ĐỀ 1

Câu 1. Tìm khai triển Taylor của
2
( , )
x y
f x y
x y



tại điểm (2,1) đến cấp 3.
Câu 2. Tìm cực trị của hàm
2 2
12 3
z x y xy x y
    
.
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số


1n
n
n
v
u
với u
n
=

n
n







2
1
2 và v
n
=
2
2
1
n
n







Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
1 2
1
( 1)

4 (3 1)
n n
n
n
x
n







Câu 5. Tính tích phân kép
2 2
1
D
I dxdy
x y



, trong đó D là miền phẳng giới
hạn bởi
2 2
2 6 ,
x x y x y x
   
,
Câu 6. Tính tích phân





2
2
cos
x
C
I e xy dx y y x dy
   

với C là chu vi tam giác ABC,
A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ.
Câu 7. Tính ( )   


C
I ydx z x dy xdz
, với C là giao của
2 2
1
 
x y và
1
z y
 
, chiều kim đồng
hồ theo hướng dương trục 0z.


Câu 8. Tính tích phân mặt loại một


2 2
 

S
I x y dS
, trong đó S là phần mặt nón
2 2 2
z x y
 
,
nằm giữa hai mặt phẳng
0, 1
z z
 
.



ĐỀ 2

Câu 1. Cho hàm
2
( , )
xy
f x y xe
 . Tính
2

(2,1)
d f .
Câu 2. Tìm gtln, gtnn của
2 2
2 2 1
( , ) ( )
x y
f x y y x e
 
  trên miền
2 2
{( , ) | 4}
D x y x y
  

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/
)2(
2
2
1













nn
n
n
n
b/
1
1
3.
)2 (6.4.2
)12 (5.3.1





n
n
n
n

Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
3
1
( 1) ( 3)
2 ln
n n
n
x

n n


 



Câu 5. Tính tích phân kép
2 2
x y
D
I e dxdy
 


, trong đó D là miền phẳng giới hạn
bởi
2 2
1 4, 0, 3
x y y y x
     ,
Câu 6. Tính tích phân




C
I x y dx x y dy
   


, với C là phần đường cong
sin
y x x
 
, từ
(0,0)
A
đến
( , )
B
 
.
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt cầu
2 2 2
z R x y
  
nằm trong hình trụ
2 2
x y Rx
  .
Câu 8. Tính tích phân mặt loại hai
3 3 3
  

S
I x dydz y dxdz z dxdy
, với S là biên vật thể giới hạn bởi
2 2 2 2 2
4,
    

x y z z x y
, phía trong.



ĐỀ 3

Câu 1. Cho hàm
( , ) (2 )ln
x
f x y x y
y
 
. Tính
2
(1,1)
d f
Câu 2. Tìm cực trị của hàm số z = xy +
x
3
+
y
9
với x > 0, y > 0
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
1
1 4 7 (3 2)
(2 1)!!
n
n

n


  




Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
1
!( 4)
n
n
n
n x
n





Câu 5. Tính tích phân kép ( 2)
D
I x dxdy
 

, trong đó D là miền phẳng giới hạn
bởi
2 2
1, 0

9 4
x y
y
  

Câu 6. Tính tích phân




2 3 2
C
I x y dx x y dy
   

, trong đó C là biên của miền phẳng giới
hạn bởi
2
2 ,
y x y x
   
, chiều kim đồng hồ.
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt
2 2
z x y
 
nằm trong hình cầu
2 2 2
2
x y z z

  
.
Câu 8. Tính 2

S
I xdS
, với S là phần mặt trụ
2 2
4
 
x y nằm giữa hai mặt phẳng
1, 4
z z
 
.


ĐỀ 4

Câu 1. Cho hàm
2 2
( , ) 4 sin ( )
f x y y x y
  
. Tính
2
(0,0)
d f
Câu 2. Tìm cực trị của hàm
3 2

12 8 .
z x y x y
  
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
1
2 5 8 (3 1)
1 5 9 (4 3)
n
n
n


  

  



Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
3
1
( 1) ( 1)
2 ( 1)ln( 1)
n n
n
n
x
n n



 

 

Câu 5. Tính tích phân
)2222
ln(. yxyx
D


dxdy với D là miền 1

x
2
+y
2

e
2

Câu 6. Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-ye
y
. Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thức
h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(y) vừa tìm, tính tích
phân




L

dyyxQyhdxyxPyh ),()(),()( trong đó L là đường cong có phương trình: 4x
2
+9y
2
=36, chiều
ngược kịm đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2).
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt
2 2
2
z x y
  
nằm trong hình paraboloid
2 2
z x y
 
.
Câu 8. Tính
2 2 2
  

S
I x dydz y dxdz z dxdy
, với S là nửa dưới mặt cầu
2 2 2
2
  
x y z z
, phía trên.



ĐỀ 5

Câu 1. Tính
2
f
x y

 
, với
3
( ) sin ;
2

  


 


x
f f u u u
u xy e

Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện:
2 2 2 2
( , ) 2 12 ; 4 25
f x y x xy y x y
    



Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
3
3
1
2
2
1
n
n
n
n
n


 


 

 

Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi:
)1ln()1(
)5(2)1(
11
1







nn
x
nnn
n

Câu 5. Tính tích phân


dxdyyxarctg
D


22
với D là hình tròn: x
2
+y
2


3
Câu 6. Chứng tỏ tích phân


(1 ) (1 )
x y
C
I e x y dx x y dy


     

không phụ thuộc đường đi.
Tính tích phân I với C là phần ellipse
2 2
1
9 4
x y
 
từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ.
Câu 7. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi
2
2 , 1, 0, 3
y x y z z x
    
, lấy phần
0.
z


Câu 8. Tính


2
2 3   

S
I xdydz y z dxdz z dxdy
, với S là phần mặt phẳng
4

  
x y z nằm trong
hình trụ
2 2
2
x y y
  , phía trên.



ĐỀ 6

Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y) =
32
3
yx
e
. Tính dz(1,1) và )1,1(
2
yx
z



Câu 2. Khảo sát cực trị hàm số z= x
3
+ y
3
+ 3x
2

- 3xy +3x-3y +1
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
2
1
1 4 9
(4 3)!!
n
n
n


 




Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
n
n
n
nn
x
n
)1(
1.4
3.)1(
0
3
2
1










Câu 5. Tính tích phân kép
2 2
4
D
I x y dxdy
  

, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
2 2
1,
x y y x
  
.
Câu 6. Tính tích phân
2 2
( ) ( )
C
I x y x y dx y x xy dy
     

, với C là nửa bên phải của đường

tròn
2 2
4 ,
x y y
  chiều kim đồng hồ.
Câu 7. Tính tích phân đường loại một
2 2
 

C
I x y dl
, với C là nửa trên đường tròn
2 2
2
 
x y y
.
Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính ( ) (2 )    


C
I x y dx x z dy ydz
, với C là giao của
2 2 2
4
  
x y z và
0
x y z
  

, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.


ĐỀ 7

Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x
2
- y
2
). Tính dz( )1,2 và
2
2
x
z


( )1,2
Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện:
2 2
( , ) 1 4 8 ; 8 8
f x y x y x y
    
.
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
1
2 !
n
n
n
n

n




Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa










0
62
1.5
12
n
n
n
n
xn

Câu 5. Tính tích phân


0

22
3 yx
dxdy
với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi các đường x
2
+y
2
=
1(x, y

0), x
2
+y
2
=33 (x, y
0

), y=x, y = x 3 .
Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= 2ye
xy
+ e
x

cosy, Q(x,y)= 2xe
xy
- e
x

siny trong đó


là hằng số. Tìm

để
biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với

vừa tìm được, tính tích phân
đường dyxyxQdxyyx ]),([]),[(
33



trong đó ( )

là đường tròn x
2
+y
2
= 2x lấy theo chiều dương
(ngược chiều kim đồng hồ).
Câu 7. Tính tích phân mặt loại một
2


S
I x dS
, với S là nửa trên mặt
2 2 2
4
  
x y z

Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính
2 2 2
(3 ) (3 ) (3 )
     


C
I x y dx y z dy z x dz
, với C là giao của
2 2
 
z x y
và
2 2
z y
 
, chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z.



ĐỀ 8

Câu 1. Tìm
' '
,
x y
z z
của hàm ẩn z = z(x,y) xác định từ phương trình
3 2
ln

x y yz z
  
Câu 2. Tìm gtln, gtnn của
2 2 2
( , ) 4
f x y x y x y
   
trên miền
{( , ) | | | 1,| | 1}
D x y x y
  


Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số a/
)1(
2
12
2











nn

n
n
n
b/
2
1
2
5.
!)12 (5.3.1
9.4.1





n
n
nn
n

Câu 4. Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa
1 4 23
1
( 1) ( 2)
3 1
n n
n
n
x
n n




 
 


Câu 5. Tính tích phân kép


D
yx
22
9
dxdy với D là miền phẳng hữu hạn giới hạn bởi nữa đường
tròn x
2
+ y
2
= 9, y
0

và các đường thẳng y = x, y = -x
Câu 6. Cho 2 hàm P(x,y)= (1+x+y)e
-y
,
( , ) (1 )
y
Q x y x y e


   . Tìm

hàm h(x) để biểu thức
h(x)P(x, y)dx + h(x)Q(x, y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(x) vừa tìm, tính tích
phân




L
dyyxQxhdxyxPxh ),()(),()( trong đó L là nữa đường tròn x
2
+ y
2
= 9 nằm bên phải trục
tung, chiều đi từ điểm A(0, -3) đến điểm B(0, 3).
Câu 7. Tính 2

V
I zdxdydz
, với V giới hạn bởi
2 2 2
2
  
x y z z
và
2 2
1
  
z x y .

Câu 8. Tính tích phân mặt




( 2 ) 2 2     

S
I x y dydz y z dxdz z x dxdy
, với S là phần mặt
paraboloid
2 2
 
z x y
, bị cắt bởi
2 2
z x
 
, phía dưới.



ĐỀ 9

Câu 1. Tìm miền xác định và miền giá trị của
2 2
1
, if ( , ) (0,0)
( , )
3, if ( , ) (0,0)

x y
e x y
f x y
x y








 


Câu 2. Tìm cực trị của hàm f(x, y)= x
2
- 2xy+ 2y
2
- 2x+ 2y +4
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của
 




1n
nn
vu với
)14(

14
14










nn
n
n
n
u ,
!).13 (10.7.4
).2 (6.4.2
nn
nn
v
n
n


Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa







0
4
32
1.4
)3(
n
n
n
n
x


Câu 5. Tính J=

D
dxdy với D là miền phẳng giới hạn bởi 2 đường tròn x
2
+y
2
= 2x, x
2
+y
2
= 6x và các
đường thẳng y = x, y = 0.

Câu 6. Tìm hàm h(x

2
- y
2
), h(1) = 1 để tích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi
I=


dxyxydyyxxyxh
AB
)()()(
222222


với AB là cung không cắt đường x
2
= y
2
.
Câu 7. Tính ( )
V
I x yz dxdydz
 

, với V giới hạn bởi
2 2
z x y
 
và
2 2
2

z x y
  
.
Câu 8. Tính tích phân mặt




2 3 2 4    

S
I xdydz y z dxdz z y dxdy
, với S là phần mặt
paraboloid
2 2 2
2
  
x y z x
, phần
0
z

, phía dưới.



ĐỀ 10

Câu 1. Tính
//

(0,0)
xy
f
2 2
, if ( , ) (0,0)
( , )
0, if ( , ) (0,0)



 




xy
x y
f x y x y
x y

Câu 2. Tìm cực trị của hàm
4 4 2 2
2 , 0.
z x y x y xy x
     

Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
2
1
1

2 1
n
n
n
n



 

 

 

Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
1
( 4)
2
n
n
x
n n






Câu 5. Tính tích phân kép ( | |)
D

I x y dxdy
 

, trong đó D là miền phẳng giới
hạn bởi
2 2
4, 0
x y x
  

Câu 6. Tính tích phân
(2,3)
2
2 2 2 2
(1,1)
1x y y
I dx dy
x x
x y x y
   
   
   
   
 
   

, theo đường cong C
không qua gốc O và không cắt trục tung.
Câu 7.
2 2 2

1
V
I dxdydz
x y z


 
, với V được giới hạn bởi
2 2 2
4
  
x y z và
2 2
 
z x y


Câu 8. Tính tích phân mặt






S
I x z dydz y x dxdz z y dxdy
     

, với S là phần mặt
paraboloid

2 2
z x y
 
nằm dưới mặt
2
x z
 
, phía trên.