Trường: THPT Lê Quý Đôn
Lớp: 11 Toán
Tên: Nguyễn Thị Thanh Hiền
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta có:
3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Giải:
Xét các biểu thức sau
a b c
S
b c c a a b
= + +
+ + +

b c a
A
b c c a a b
= + +
+ + +

c a b
B
c b c a a b
= + +
+ + +
Ta có A + B = 3. Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy thì:

3
a b b c c a
S A
b c c a a b
+ + +
+ = + + ≥
+ + +

3
a b b c c a
S A
b c c a a b
+ + +
+ = + + ≥
+ + +
Cộng theo vế ta có
A + B +2S ≥3
⇔
S≥
3
2
(Điều phải chứng minh)
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c, d ta có:
2
a b c d
b c c d d a a b
+ + + ≥
+ + + +
Giải : Đặt
a b c d

S
b c c d d a a b
= + + +
+ + + +
b c a a
A
b c c d d a a b
= + + +
+ + + +

c d a b
B
b c c d d a a b
= + + +
+ + + +
1
Theo bất đẳng thức Cauchy thì:
4
a b b c c d d a
S B
b c c d d a a b
+ + + +
+ = + + + ≥
+ + + +
a c b d c a d b
S A
b c c d d a a b
+ + + +
+ = + + +
+ + + +


a c c a b d d b
b c d a c d a b
+ + + +
= + + +
+ + + +

4( )a c
a b c d
+
≥
+ + +
4( )
4
b d
a b c d
+
+ =
+ + +
Cộng theo vế ta có A+B+2S ≥8 mà A+B=4 vậy S≥ 4 (Điều phải chứng
minh)
Bài 3: Cho x, y, z >0 và xyz = 1, chứng minh rằng:
3 3 3
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
x y z
y z z x x y
+ + ≥
+ + + + + +
Ta có:

3
1 1
3
(1 )(1 ) 8 8 4
x y z x
y z
+ +
+ + ≥
+ +
Tương tự ta có:
3
1 1
3
(1 )(1 ) 8 8 4
y x z y
z x
+ +
+ + ≥
+ +
3
1 1
3
(1 )(1 ) 8 8 4
z x y z
x y
+ +
+ + ≥
+ +
Cộng theo vế rồi rút gọn ta có:
3 3 3

3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
x y z
y z z x x y
+ + + ≥
+ + + + + +
3
3
3
2 2 2
xyz
x y z+ +
≥ =
2
vậy
3 3 3
3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
x y z
y z z x x y
+ + ≥
+ + + + + +
Bài 4: Cho a, b, c, d >0 và ab+bc+cd+da = 1, chứng minh rằng:
3 3 3 3
1
3
a b c d
b c d c d a a b d a b c
+ + + ≥
+ + + + + + + +

Ta có (a + b + c + d)
2
= [(a + c)+(b + d)]
2
≥4(a + c)(b + d)
= 4(ab + bc + cd + da) = 4
⇔
a + b + c + d ≥ 2 ( a, b, c, d >0)
3
1 2
8 6 12 3
a b c d a a
b c d
+ +
+ + + ≥
+ +
Tương tự ta có
3
1 2
8 6 12 3
b a c d b b
c d a
+ +
+ + + ≥
+ +
3
1 2
8 6 12 3
c a b d c c
a b d

+ +
+ + + ≥
+ +
3
1 2
8 6 12 3
d a b c d d
a b c
+ +
+ + + ≥
+ +
Cộng theo vế các bất đẳng thức ta có:
3 3 3 3
1 2 1 1
3 3 3 3 3
a b c d a b c d
b c d c d a a b d a b c
+ + +
+ + + ≥ − ≥ − =
+ + + + + + + +
vậy
3 3 3 3
1
3
a b c d
b c d c d a a b d a b c
+ + + ≥
+ + + + + + + +
Bài 5: Cho a, b, c>0, chứng minh rằng:
2

1 1 1 27
( ) ( ) ( ) 2( )a a b b b c c a c a b c
+ + ≥
+ + + + +
(1)
Giải:
VT(1) ≥
3
3
3
1 3
3
( )( )( )
( )( )( )
abc a b b c c a
abc a b b c c a
=
+ + +
+ + +
3
2
3 27
2( )
2( )
*
3 3
a b c a b c
a b c
≥ =
+ + + +

+ +
Dấu ‘=’ xảy ra
⇔

a b c
a b b c c a
= =


+ = + = +

⇔
a=b=c
Bài 6:Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc a c abc abc
+ + ≤
+ + + + + +
Giải
∀
a, b, c >0 ta luôn có
(a - b)
2
(a + b) ≥0
⇔
(a - b)(a
2
- b
2

) ≥0
⇔
a
3
+b
3
-a
2
b-ab
2
≥0
⇔
a
3
+b
3
≥ a
2
b+ab
2
⇔
a
3
+b
3
≥ab(a+b)
⇒
3 3
( )
abc abc c

a b abc ab a b abc a b c
≤ =
+ + + + + +
Tương tự ta có
3 3
( )
abc abc a
b c abc bc b c abc a b c
≤ =
+ + + + + +
3 3
( )
abc abc b
a c abc ac a c abc a b c
≤ =
+ + + + + +
Cộng theo vế ta có:
3 3 3 3 3 3
1
abc abc abc a b c
a b abc b c abc a c abc a b c
+ +
+ + ≤ =
+ + + + + + + +

⇔
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc a c abc abc
+ + ≤

+ + + + + +
Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z dương thoả mãn điều kiện
x
2
+ y
2
+z
2
=3. Chứng minh rằng:
3
xy yz zx
z x y
+ + ≥
(1)
4
Giải : Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
x y y z z x x y y z x y z x y z z x
z x y z x z y x y
       
+ + = + + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
( )
2 2 2
2 x y z
≥ + + ⇔
2 2 2 2 2 2

2 2 2
x y y z z x
z x y
+ +
≥
2 2 2
x y z
+ +
VT(1) bình phương ta được:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x y y z z x
z x y
+ +
( )
2 2 2
+ 2 x y z
+ +
≥
2 2 2
x y z
+ +
( )
2 2 2
+ 2 x y z
+ +
=
( )
2 2 2
3 x y z

+ +
=VP(1) bình
phương
Lấy căn bậc hai hai vế (hai vế đều dương) ta được điều phải chứng
minh
Bài 8:Cho các số dương x, y, z có tích bằng 1. Chứng minh rằng:
5 5 5 5 5 5
1
xy yz xz
x xy y y y z x xz z
+ + ≤
+ + + + + +
Giải:
∀
x, y, z dương ta luôn có: (x-y)
2
(x+y)(x
2
+xy+y
2
)
≥
0
⇔
(x
2
-y
2
)(x
3

-y
3
)
≥
0
⇔
x
5
-y
5
≥
x
2
y
2
(x+y)
5 5
xy
x xy y
⇒
+ +
≤
( )
2 2
x y x y
xy
xy
+ +
1
1 ( )

z
xy x y x y z
= =
+ + + +
Tương tự ta có
( )
2 2
y y
yz x
zy z z x y z
≤
+ + + +
,
( )
2 2
xz y
zx z x z x x y z
≤
+ + + +
cộng theo vế các bất đẳng thức ta có
5 5 5 5 5 5
1
xy yz xz x y z
x xy y y y z x xz z x y z
+ +
+ + ≤ =
+ + + + + + + +
5
Bài 9: Cho các số thực dương x
1

, x
2
, , x
n
thoả mãn

1 2
1 1 1
1
1 1 1
n
x x x
+ + + =
+ + +
Chứng minh rằng: x
1
.x
2
x
n
≥
(n-1)
n
Giải:Ta có
1
1
1 1 2
2 3
1 1 1 1
1

1 1 1 1
(1 )(1 ) (1 )
n
n
n
x n
x x x x
x x x
−
 
−
= − = + + ≥
 ÷
+ + + +
+ + +
 
2
1
2 2 1
1 3
1 1 1 1
1
1 1 1 1
(1 )(1 ) (1 )
n
n
n
x n
x x x x
x x x

−
 
−
= − = + + ≥
 ÷
+ + + +
+ + +
 

1
1 1
1 2 1
1 1 1 1
1
1 1 1 1
(1 )(1 ) (1 )
n
n
n n n
n
x
n
x x x x
x x x
−
−
−
 
−
= − = + + ≥

 ÷
+ + + +
+ + +
 
Nhân hai vế của n bất đẳng thức trên ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( )
1 2
1
1
1 2
1 2 3
1
.
1 1 1
(1 )(1 )(1 ) (1 )
n
n
n
n
n
n
n
x x x
x x x
x x x x
−
−
−

≥
+ + +
+ + + +
⇔
x
1
.x
2
x
n
≥
(n-1)
n
Bài 10: Cho các số dương a, b, c, d thoã mãn điều kiện a+b+c+d=4.
Chứng minh rằng:
2 2 2 2
2
1 1 1 1
a b c d
b c c d d a a b
+ + + ≥
+ + + +
Giải:
Ta có:
2 2
2 2
. . ( )
1 1 2 2 4
2
a ab c ab c ab c b a a c b a ac

a a a a a
b c b c
b c
+
= − ≥ − = − = − ≥ −
+ +
2
1 4
a ba a bc
a
b c
+
≥ −
+
6
Tương tự ta có:
2
1 4
b bc bcd
b
c d
+
≥ −
+
,
2
1 4
c cd cda
c
c d

+
≥ −
+
,
2
1 4
d da dab
d
d a
+
≥ −
+
Cộng theo vế 4 bất đẳng thức trên ta có:
2 2 2 2
1 1 1 1
a b c d
b c c d d a a b
+ + + ≥
+ + + +
( )
1
4
a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab
+ + + − + + + + + + +
Mặt khác ta có:
4
2
= (a+b+c+d)
2
≥

4(a+c)(b+d) = 4(ab+bc+cd+da)
hay ab+bc+cd+da
≤
a+b+c+d
Tương tự abc+bcd+cda+dab
≤
a+b+c+d
vậy
2 2 2 2
1 1 1 1
a b c d
b c c d d a a b
+ + + ≥
+ + + +
( )
1
2
a b c d a b c d
+ + + − + + +
=
1 1
( ) .4 2
2 2
a b c d
+ + + = =
(điều phải chứng minh)
Bài 11:Cho các số dương a, b, c có tổng bằng 3, chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1

2 2 2
a b c
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
Giải:
( )
( )
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
3 3 3 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
a b c
a b c
a b b c c a
a b c a b b c c a
+ +
+ + ≥
+ + +
+ + + + +
Do đó ta chỉ cần chứng minh
(a
2
+b
2
+c
2

)
2

≥
a
3
+ b
3
+ c
3
+2(a
2
b
2
+ c
2
b
2
+ a
2
c
2
)
7
⇔
a
4
+ b
4
+ c

4
≥
a
3
+ b
3
+ c
3
Thật vậy
3(a
3
+ b
3
+ c
3
) = (a
3
+ b
3
+ c
3
)(a+b+c)
≥
(a
2
+b
2
+c
2
)

2
≥
(a
2
+b
2
+c
2
)(1+1+1)
≥
(a+b+c)
2
=9
Do đó a
2
+b
2
+c
2
≥
3, suy ra a
3
+ b
3
+ c
3

≥
a
2

+b
2
+c
2
(a
4
+ b
4
+ c
4
)( a
2
+b
2
+c
2
)
≥
(a
3
+ b
3
+ c
3
)
2
⇒
a
4
+ b

4
+ c
4
≥
a
3
+ b
3
+ c
3
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Bài 12: Giả sử x
≥
y
≥
z
≥
0, chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
x y y z z x
x y z
z x y
+ + ≥ + +
Giải:Từ giả thiết ta có:
2 2 2 2 2 2
x y y z z x x z y x z y
z x y y z x
+ + − − −
( ) ( ) ( ) ( )

0
xy yz zx x y y z x z
xyz
+ + − − −
= ≥
2 2 2 2 2 2
x y y z z x x z y x z y
z x y y z x
⇔ + + ≥ + +
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y y z z x x y y z z x x z y x z y
z x y z x y y z x
    
⇔ + + ≥ + + + +
 ÷  ÷ ÷
    
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có:
( )
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
x y y z z x x z y x z y
x y z
z x y y z x
  
+ + + + ≥ + +
 ÷ ÷
  
( )

2
2 2 2
2
2 2 2
x y y z z x
x y z
z x y
 
⇔ + + ≥ + +
 ÷
 
( )
2 2 2
2 2 2
, , 0
x y y z z x
x y z x y z
z x y
+ + ≥ + + >
8
Bài 13:Giả sử x, y, z
≥
1 và
1 1 1
2
x y z
+ + =
, chứng minh rằng:
1 1 1x y z x y z
+ + ≥ − + − + −

Giải:
Ta có:
1 1 1
2
x y z
+ + =
1 1 1
1
x y z
x y z
− − −
⇒ + + =
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có:
x+y+z=( x+y+z)
1 1 1x y z
x y z
 
− − −
+ +
 ÷
 
( )
2
1 1 1x y z
≥ − + − + −
⇒
1 1 1x y z x y z
+ + ≥ − + − + −
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=3/2
Bài 14:Chứng minh rằng nếu a, b, c

≥
1 và abc=1 ta luôn có:
1 1 1
1
2 2 2a b c
+ + ≤
+ + +
Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
2 2 2
1 1 1 1
2 2 2a b c
− + − + − ≥
+ + +
1
2 2 2
a b c
a b c
⇔ + + ≥
+ + +
Luôn tồn tại các số thực dương x, y, z sao cho a = x/y, b = y/z, c = z/x.
Khi đó bất đẳng thức trên trở thành:
/ / /
1
2 / 2 / 2 /
1
2 2 2
x y y z z x
x y y z z x
x y z
x y y z z x

+ + ≥
+ + +
⇔ + + ≥
+ + +
theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
9
( )
2
1
2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
x y z
x y z
x y y z z x x x y y y z z z x
+ +
+ + ≥ =
+ + + + + + + +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z hay a = b = c= 1
Bài 15:Cho các số thực không âm a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh
rằng:
3 3 3
1
2 2 2
a b c
a b b c c a
+ + ≥
+ + +
Giải:Xét các biểu thức:
S=
3 3 3
2 2 2

a b c
a b b c c a
+ +
+ + +
2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) 1P a a a b b c c c a a b c
= + + + + + = + + =
Theo bất đẳng thức Holder ta có:
S
3
.P
≥
(a +b +c)
4
⇒
S
3
≥
(a +b +c)
2
= 1
⇒
S
≥
1
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1/3
Bài 16: Cho a
1
,


a
2
, ,

a
n
dương và có tổng bằng 1, tìm GTNN của biếu
thức:
1 2
1 2

1 1 1
n
n
a
a a
a a a
+ + +
− − −
Giải:
1 2
1 2

1 1 1
n
n
a
a a
A
a a a

= + + +
− − −

B = a
1
(1 - a
1
) + a
2
(1 – a
2
) + + a
n
(1 – a
n
)
Theo bất đẳng thức Holder ta có : A
2
B
≥
(a
1
+ a
2
+ + a
n
)
3
= 1
Dễ thấy B =1-(a

1
2
+ a
2
2
+ + a
n
2
)≤ 1-
( )
2
1 2 n
a a a
1n
n n
+ + +
−
= =
10
do đó
1n
A
n
−
≥
Đẳng thức xáy ra khi a
i
=
1
1,i n

n
∀ =
Bài 17: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn xy + yz + zx = 1.
Chứng minh :
1 1 1 1
2
2x y y z z x
+ + ≥ +
+ + +
Giả sử x = max(x, y, z) và đặt a = y + z > 0 ta có ax = 1 – yz
≤
1
⇔
1
x
a
≤
Xét hàm số sau
( )
2
2
1 1 1 1 2 2 1
1
x y z x
f x
x
x y y z z x y z
+ + + +
= + + = +
+

+ + + +
2
2
1 2 2 1
1
x a x
x
a
+ + +
= +
+
Mặt khác:
( )
( )
(
)
2 2
'
3
2 2
1
0,
1 2 2 1
yz x x x
f x
x x a x
− − +
= ≤
+ + + +
nên

( )
f x
nghịch biến
Ta có
( )
2
1 1
1
a
f x f a
a a
a
 
≥ = + +
 ÷
+
 
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2
1
1 1
1 2
2
2 1 2 1
a
a

a
a a a
 
+
 ÷
= − − + +
 ÷
+ + +
 ÷
 
Nên
( )
1 1
2
2
f x f
a
 
≥ ≥ +
 ÷
 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y =1, z = 0 hoặc các hoán
vị
11
12