ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 076.
Câu 1. Trong khơng gian

cho mặt cầu

.
sao cho
nhất.

,

,

có tâm

, bán kính

là một điểm di động trên
là các tiếp tuyến của

A.
.

Đáp án đúng: D

B.

. Ba điểm phân biệt

. Tính tổng

.

C.

và mặt phẳng
,

,

khi

.

thuộc
đạt giá trị lớn

D.

.

Giải thích chi tiết:


Vì

nên điểm

được các tiếp tuyến với mặt cầu
Gọi

. Do đó qua điểm

ln kẻ

.

là giao điểm của đường thẳng

và mặt phẳng

ta có

, ta có

. Xét tam giác

vng tại

.

Do đó

lớn nhất khi


Đường thẳng

thẳng

ln nằm ngồi mặt cầu

là

đi qua

nhỏ nhất hay

là hình chiếu của

và nhận vectơ pháp tuyến của

trên mặt phẳng

làm vectơ chỉ phương. Phương trình đường

.
1


Vì

nên

hay


Vậy
Câu

.

.
2.

Cho

hàm

số

.

Các

số

. Khi biểu thức

.
A. .
Đáp án đúng: D

B.

Câu 3. Trong không gian

tiếp tứ diện
là

.

A.
C.
Đáp án đúng: C

thoả

mãn

và

đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị của
C.

, cho ba điểm

thực

.

,

D.
,

.


. Phương trình mặt cầu ngoại

.

B.

.

.

D.

.

Câu 4. Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là
Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng 3 kích
thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương ln gấp
lần thể tích hình hộp chữ
nhật. Gọi
là tỉ số giữa diện tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật.
Tìm giá trị lớn nhất của
A.
.
Đáp án đúng: D

của
B.

.


C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương là
Hình hộp chữ nhật có

và

Hình lập phương có
Vậy
Ta có

Đặt

Vậy
Đặt
2


Ta có

Kết hợp điều kiện

ta có


Khi đó
Xét hàm số

trện đoạn

Ta có
Suy ra,

Khi đó,

.

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình chữ nhật,
Cạnh SB tạo với mp đáy góc 60°. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A.
Đáp án đúng: C

B.

. SA vng góc với mp

C.

D.

Câu 6. Trong khơng gian
, cho ba điểm
Đường thẳng
có phương trình là.

A.

.

. Gọi

là trực tâm tam giác

.

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
, cho ba điểm
tam giác
. Đường thẳng
có phương trình là.
A.

. Gọi

là trực tâm

B.


C.
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Như Trình ; Fb: Như Trình Nguyễn
Phương trình mặt phẳng (ABC):
Dễ thấy,

nên đường thẳng OH nhận vectơ

.
làm VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng OH là:
3


Câu 7.
Cho

. Tọa độ M là

A.

B.

C.
Đáp án đúng: D
Câu 8.

D.


Trong khơng gian
có dạng

, phương trình mặt cầu

A.
C.
Đáp án đúng: C

có tâm

và cắt trục

tại

.

B.

.

.

D.

.

Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ
. Khoảng cách từ điểm


, cho điểm

đến mặt phẳng

sao cho

và mặt phẳng

là

A. 3.
PHẦN TỰ LUẬN
B.
C.

.
.

D.
.
Đáp án đúng: A
Câu 10. Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua
trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường trịn đáy của ba khối nón đơi một tiếp xúc với nhau,
một khối nón có đường tròn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón cịn lại có đường trịn đáy
tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng
lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là
(lít). Thể tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?
A.
.

Đáp án đúng: A

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
+) Gọi
cân).

là bán kính đáy của hình nón suy ra chiều cao nón là

+) Chiều dài của khối hộp là

bán kính của khối cầu là

(do thiết diện là tam giác vuông

.
4



+) Thể tích nước bị tràn là
+) Gọi

.

là tâm của 3 đáy của khối nón suy ra

đều cạnh

+) Chiều rộng khối hộp là

.

(dm).

+) Ba đỉnh nón chạm mặt cầu tại các điếm
( với

I

là tâm mặt cầu), do đó

. Suy ra chiều cao của khối trụ là

.
+) Thể tích nước ban đầu là
(lít).
Câu 11. Cho lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. 2 a3.
B. a 3.

C. 3 a3 .
D. 4 a3.
Đáp án đúng: D
Câu 12. Trong không gian
tại , ,
sao cho
phẳng

, cho điểm
là trực tâm tam giác

. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt

?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.


Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

.

Thật vậy :
Mà

(1)
(vì

là trực tâm tam giác

Từ (1) và (2) suy ra

(*)

Tương tự
Từ (*) và (**)

) (2)

. (**)
.
5


• Khi đó mặt cầu tâm


tiếp xúc mặt phẳng

Vậy mặt cầu tâm

có bán kính

.

và tiếp xúc với mặt phẳng
là
.
u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
Câu 13. Cho dãy số ( u n) xác định bởi
un+1 = ( un +1 )
3
2
14
5
A. u 4= .
B. u 4= .
C. u 4= .
3
27
9
Đáp án đúng: C
u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .

1
Giải thích chi tiết: Cho dãy số ( u n) xác định bởi
un+1 = ( un +1 )
3
5
2
14
A. u 4= .
B. u 4=1.
C. u 4= .
D. u 4= .
9
3
27
Lời giải
Ta có
1
1
1
2
1
1 2
5
u2= ( u1+ 1 )= ( 2+1 ) =1;u3 = ( u2 +1 )= ;u 4= ( u3 +1 )=
+1 = .
3
3
3
3
3

3 3
9
Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.

{

D. u 4=1.

{

( )

Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ
A.

, cho hai vectơ

.

C.
Đáp án đúng: B

,

B.
.

.

.


D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

. Tính

.
, cho hai vectơ

,

. Tính

.
A.
Lời giải

. B.

.

C.

. D.

.

Ta có
.

Câu 15.
Một cái khối gỗ có hình dạng như hình bên (gồm 1 khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi
trên hình, chu vi đáy là

. Thể tích của khối gỗ bằng

6


A.

.

C.
Đáp án đúng: D

B.

.

D.

Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho
A.
.
Đáp án đúng: D

B.

Giải thích chi tiết: Ta có:

Vậy

.
. Giá trị của

.

C.

bằng
D.

.

.

.

Câu 17. Cho tam giác
vng tại
có
tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng
A.

.

?

,


. Diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay

.

B.

.

C.
.
Đáp án đúng: A

D.

.

7


Giải thích chi tiết: Khi quay tam giác
.
Ta có:
Câu 18.

quanh cạnh

, chiều cao

và độ dài đường sinh là


. Gọi

lần lượt là diện tích xung quanh và thể tích của khối nón. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào

A.

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Câu 19. Trong không gian với hệ trục
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

Câu 20. Trong không gian
A.
.
Đáp án đúng: D
Câu 21.

, cho mặt cầu

.


B.

,
C.

. Một khối cầu
 ;

B.

và

.

là

D. .

.

.
D.

.

nội tiếp trong khối nối nón. Gọi

là khối cầu

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của khối


là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với

lần lượt là thể tích của khối cầu

A.
.
Đáp án đúng: B

.
. Tính diện tích tam giác

.

tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
 ;… ;

. Bán kính của
C.

, cho

Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là
nón và với

;

.

Cho hình nón có bán kính đường trịn đáy là

đúng?

ta thu được hình nón có:

. Gọi

,…

là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức

C.

.

D.

.

8


Giải thích chi tiết:
Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh . Do đó bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cũng
chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chọp là
Áp dụng định lí Ta-Let ta có:

Tương tự ta tìm được

.


Tiếp tục như vậy ta có

Ta có

Do đó
Đặt

Đây là tổng của CSN lùi vơ hạn với công bội

9


Vậy
Câu 22. Cho lăng trụ đứng
khối lăng trụ biết rằng
A.
.
Đáp án đúng: D

có đáy

B.

Tam giác

. B.

. C.

vng cân tại


,

. Tính thể tích

.
.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ đứng
Tính thể tích khối lăng trụ biết rằng
A.
Lời giải

là tam giác vng cân tại

C.
có đáy

D.

là tam giác vng cân tại

.
,

.

.

. D.


.

, mà

Xét
vng tại , có
Vậy thể tích hình lăng trụ đã cho là

.

.

,

,

.

Câu 23.
Nếu hai điểm

thoả mãn

A.
C.
Đáp án đúng: D

thì độ dài đoạn thẳng
B.


;

bằng bao nhiêu?
.

D.
10


Giải thích chi tiết: Nếu hai điểm
bao nhiêu?

thoả mãn

thì độ dài đoạn thẳng

bằng

A.
B.
C.

;

D.
Lời giải
Câu 24.

.


Trong không gian

, cho mặt phẳng

đến mặt phẳng

. Khoảng cách từ điểm

bằng

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Ta có
.
Câu 25. Phương trình nào khơng phải là phương trình mặt cầu, chọn đáp án đúng nhất:

A. B và C.
B.

.

C.

.

D.
Đáp án đúng: B

.

Câu 26. Cho hình nón
Biết rằng

đỉnh

có thiết diện qua trục là tam giác đều

nội tiếp trong mặt cầu

so với khối cầu
A.
.
Đáp án đúng: C

tâm


, bán kính

có diện tích là

.

. Tính tỉ lệ thể tích của khối nón

.
B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Vì tam giác

đều có diện tích

nên các cạnh

.
11



Gọi

là trung điểm của

Hình nón
Mặt cầu

ta có

.

có đường cao

và bán kính đáy

có bán kính

.

.

.
Câu 27. Cho hình trụ có trục
một khoảng bằng
cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: B


và có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng song song với trục

và cách

cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vng. Diện tích xung quanh của hình trụ đã
B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Mặt phẳng

song song với trục và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vng
, trong đó

là bán kính đáy và

. Cạnh hình vng là

là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng


.
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là

.

12


Câu 28. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

C. Cạnh đáy bằng

. Để ít

.
.

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng
.
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao

nhiêu?

A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
Lời giải

và cạnh bên bằng


.

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
Khi đó

có độ dài

và

.

.

Theo giả thiết

.

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ
Gọi

,

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

là nhỏ nhất.
, ta có:

.
Khảo sát

Với
Câu 29.

trên

, ta được

nhỏ nhất khi

.

.

13


Trong không gian

, cho hai điểm

và

. Trung điểm của đoạn thẳng

là điểm
A.

.

C.

Đáp án đúng: A

B.

.

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
thẳng
là điểm
A.
Lời giải

.

. B.

. C.

.

, cho hai điểm
. D.

và

. Trung điểm của đoạn

.


Câu 30. Trong không gian với hệ trục tọa độ

, mặt phẳng

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất. Gọi
là một véctơ pháp tuyến của

A. .
Đáp án đúng: C

B.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

đi qua hai điểm

. Tính giá trị biểu thức

.

và

?

C. .


có tâm

,

D. .

.

.
đi qua điểm

.

đi qua điểm
Mặt phẳng
nhất.

.

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn

.
.
Trừ từng vế

và


ta được

.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

.
.

Dấu = xảy ra

.

14


Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ
Gọi

là điểm thuộc mặt phẳng

đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng
A.
Đáp án đúng: D

hỏi

A.


và mặt phẳng

sao cho biểu thức

thuộc khoảng nào trong các khoảng sau.

B.

C.

Câu 32. Cho hình lập phương
và đáy là hình trịn nội tiếp hình vng

C.
Đáp án đúng: D

cho 3 điểm

D.

có cạnh . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vng
. Diện tích tồn phần của khối nón đó là

.
.

B.

.


D.

.

Giải thích chi tiết:

Bán kính của đường trịn đáy là

.

Diện tích đáy nón là:

.

Độ dài đường sinh là

.

Diện tích xung quanh của khối nón là:

.

Vây, diện tích tồn phần của khối nón đó là:
Câu 33. Khẳng định nào sau đây là sai?

.

A. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy
và chiều cao là
B. Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.

C. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy
D. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy
Đáp án đúng: D
Câu 34.

và chiều cao
và chiều cao

.

là
là

.
.

15


Trong

khơng

gian

với

hệ

tọa


độ

cho

và

hai

đường

. Phương trình đường thẳng qua
với

và cắt

thẳng

, vng góc

là

A.
C.
Đáp án đúng: D

.

B.


.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Gọi

là đường thẳng qua

và

cắt

tại

. Khi đó

.
Ta có

.

Đường

, với

Do đó


là một vectơ chỉ phương của

, suy ra

.

.

Vậy phương trình đường thẳng

.

Câu 35. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng
của đường trịn đáy tâm . Gọi
của khối tứ diện
là:

cạnh bằng

là điểm thuộc cung

A.

với

là đường kính

của đường trịn đáy sao cho


. Thể tích

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Giải thích chi tiết:
Ta có:
Gọi

vng tại
là hình chiếu của

có

nên

.

lên

, suy ra

và

khơng


gian

Vậy
Câu

36.

Trong

,

cắt

mặt

cầu

theo thiết diện là một đường trịn có bán kính bằng
A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

.


D.

.
16


Câu 37.
Một chiếc ly dạng hình nón ( như hình vẽ với chiều cao ly là

). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho

chiều cao của lượng nước trong ly bằng
chiều cao của ly. Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỷ
lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng bao nhiêu?

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

C.

.

D.

.


Giải thích chi tiết:

Giả sử ly có chiều cao

và đáy là đường trịn có bán kính

Khối nước trong ly có chiều cao bằng
và bán kính đáy

, nên có thể tích

chiều cao của ly nên khối nước tạo thành khối nón có chiều cao bằng

thể tích nước bằng

Do đó thể tích khoảng khơng bằng
Nên khi úp ngược ly lại thì ta có các tỉ lệ:

.

.
.
.

Suy ra: thể tích khoảng khơng bằng:

.
.


Nên chiều cao mực nước bằng:

.

Vậy tỷ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng

.

17


Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ
. Tập hợp các giá trị của
A.
.
Đáp án đúng: C

B.

, cho

để bốn điểm

.

;

,

,


C.

Giải thích chi tiết: Ta có

,

,

;

;

đồng phẳng là tập con của tập nào sau?
.

D.

,

.

.

.
Để bốn điểm

,

,


,

đồng phẳng:

.
Câu 39.
Trong không gian
A.

, cho hai vectơ

và

.

C.
.
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết: Trong không gian
là
A.
Lời giải

. B.

. C.

. D.


. Tọa độ của vectơ

B.

.

D.

.

, cho hai vectơ

và

là

. Tọa độ của vectơ

.

Ta có
.
Câu 40.
Cho hình vng
nội tiếp đường trịn
bán kính tam giác đều
nội tiếp đường trịn đó và
song song
(như hình vẽ). Cho mơ hình trên quay quanh đường thẳng
Kí hiệu

là thể tích khối
trịn xoay do hình vng, hình trịn và tam giác đều tạo thành. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

B.

C.

D.

18


Gọi

lần lượt là trung điểm của

Thể tích khối cầu (tạo bởi khi quay hình trịn quanh trục
Ta có

Ta có

cạnh hình vuông bằng

) là


nên

cạnh tam giác đều bằng

nên

Vậy
----HẾT---

19