ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 075.
Câu 1.
Cho tam giác ABC vng cân tại A có cạnh
. Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Tính thể tích
của khối nón được tạo thành:
A.
Đáp án đúng: D
Câu 2.

B.

C.

Một chiếc ly dạng hình nón ( như hình vẽ với chiều cao ly là

D.

). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho

chiều cao của lượng nước trong ly bằng
chiều cao của ly. Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỷ
lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng bao nhiêu?

A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:

Giả sử ly có chiều cao

và đáy là đường trịn có bán kính

Khối nước trong ly có chiều cao bằng
và bán kính đáy

.

chiều cao của ly nên khối nước tạo thành khối nón có chiều cao bằng


thể tích nước bằng

Do đó thể tích khoảng khơng bằng

, nên có thể tích

.
.
1


Nên khi úp ngược ly lại thì ta có các tỉ lệ:

.

Suy ra: thể tích khoảng khơng bằng:

.
.

Nên chiều cao mực nước bằng:

.

Vậy tỷ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng
Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ
A.

, cho hai vectơ


.

C.
Đáp án đúng: D

B.
.

.
,

.

.

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

. Tính

.
, cho hai vectơ

,

. Tính

.
A.

Lời giải

Ta có

. B.

.

C.

. D.

.

.

{

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
Câu 4. Cho dãy số ( u n) xác định bởi
1
un+1 = ( un +1 )
3
14
2
A. u 4= .
B. u 4=1.
C. u 4= .
27

3
Đáp án đúng: D
u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
Giải thích chi tiết: Cho dãy số ( u n) xác định bởi
1
un+1 = ( un +1 )
3
5
2
14
A. u 4= .
B. u 4=1.
C. u 4= .
D. u 4= .
9
3
27
Lời giải
Ta có
1
1
1
2
1
1 2
5
u2= ( u1+ 1 )= ( 2+1 ) =1;u3 = ( u2 +1 )= ;u 4= ( u3 +1 )=
+1 = .
3

3
3
3
3
3 3
9

5
D. u 4= .
9

{

( )

2


Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.
Câu 5. Cho lăng trụ đứng
khối lăng trụ biết rằng
A.
.
Đáp án đúng: B

có đáy

Tam giác

. B.


B.

. C.

vng cân tại

.

điểm

,
bằng

có đáy

và

.

là tam giác vng cân tại

,

.

.

, mà


B.

D.

.

.

,

,

. Xét hai điểm thay đổi

Giải thích chi tiết: Nhận xét:

. Tính thể tích

.

.

, cho hai mặt phẳng

A.
.
Đáp án đúng: C

Xét


C.

. D.

Xét
vng tại , có
Vậy thể tích hình lăng trụ đã cho là

Câu 6. Trong khơng gian

,

.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ đứng
Tính thể tích khối lăng trụ biết rằng
A.
Lời giải

là tam giác vuông cân tại

.

,
và
C.

;

và hai


sao cho
.

. Giá trị nhỏ nhất của
D.

.

cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
.
3


Ta có

. Suy ra

Ta có
Gọi

,

và

và

.

suy ra


.

là điểm sao cho

.

Khi đó

.

Do đó

.

Xét

với

Đường thẳng

đi qua

Suy ra hình chiếu của
Gọi

. Ta thấy

và


và vng góc với
trên

là điểm đối xứng với

có phương trình là:
là

qua

, suy ra

Ta có

.

.

.

là trung điểm

, suy ra

.

.

Đẳng thức xảy ra khi


là giao diểm của

Vậy giá trị nhỏ nhất của

là

Câu 7. Cho khối trụ có thể tích là
A.

nằm về cùng một phía so với

.

B.

và

.

.
và chiều cao bằng

. Bán kính đáy của khối trụ đã cho bằng:
C.

.

D.

.

4


Đáp án đúng: B
Câu 8. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy
và chiều cao là
B. Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.
C. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy

và chiều cao

là

.
.

D. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy
và chiều cao là
.
Đáp án đúng: D
Câu 9. Hình đa diện nào khơng có tâm đối xứng?
A. Hình lăng trụ tứ giác đều.
B. Hình lập phương.
C. Hình tứ diện đều.
D. Hình bát diện đều.
Đáp án đúng: C
Câu 10. Cho lăng trụ tam giác
giác
của


có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

A.
.
Đáp án đúng: A

, góc giữa đường thẳng

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ tam giác
bằng
, tam giác
trùng với trọng tâm của
A.
.
B.
Hướng dẫn giải:

Gọi
và

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

.

C.

.

D.

.

và
lên

bằng

, tam

trùng với trọng tâm

D.


.

, góc giữa đường thẳng

và

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

lên

.

là trung điểm của
là trọng tâm của

.
.

Xét

vuông tại

, có

. (nửa tam giác đều)
Đặt

. Trong


tam giác
Do
Trong

vuông tại

có

là nữa tam giác đều

là trọng tâm
vuông tại

.
:
5


Vậy,

.

Câu 11. Cho hình bình hành

và điểm

bất kỳ nằm trên đường chéo

A.


Mệnh đề nào sau đây sai?

B.

C.
Đáp án đúng: D

D.

Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ

, mặt phẳng

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất. Gọi
là một véctơ pháp tuyến của

A. .
Đáp án đúng: C

B.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

đi qua hai điểm

. Tính giá trị biểu thức


.

và

?

C. .

có tâm

,

D.

.

.

.
đi qua điểm

.

đi qua điểm
Mặt phẳng
nhất.

.

cắt mặt cầu


theo giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn

.
.
Trừ từng vế

và

ta được

.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

.
.

Dấu = xảy ra

.
6


Câu 13. Trong không gian
tại , ,
sao cho
phẳng


, cho điểm
là trực tâm tam giác

. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt

?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

.


Thật vậy :

(1)

Mà

(vì

là trực tâm tam giác

Từ (1) và (2) suy ra

) (2)
(*)

Tương tự

. (**)

Từ (*) và (**)

.

• Khi đó mặt cầu tâm
Vậy mặt cầu tâm

tiếp xúc mặt phẳng

và tiếp xúc với mặt phẳng


Câu 14. Cho hình chóp tứ giác đều
Thể tích khối chóp đó bằng
A.

.

B.

.

C.

.

có bán kính
là
có cạnh đáy bằng

.
.
. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

.

D.
.
Đáp án đúng: C
Câu 15. Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,

,
. Tam giác
cân tại
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Đường thẳng
tạo với đáy một góc
. Khi đó thể tích của
khối chóp
bằng
7


A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

Câu 16. Khối đa diện đều loại
A. .
Đáp án đúng: C

B.

D.

.

D.


.

có bao nhiêu mặt?
.

Giải thích chi tiết: Khối đa diện đều loại
A. . B. . C. .
Lời giải
Theo lí thuyết,

C.

C.

.

D.

.

có bao nhiêu mặt?

.

Chọn phương án D.
Câu 17. Cho hình lăng trụ đứng
Thể tích khối lăng trụ
A.


B.

có đáy là tam giác vuông cân tại

,

và

.

là
C.

D.

8


Đáp án đúng: D

Giải thích chi tiết:

Ta có

,

.

Thể tích khối lăng trụ là


.

Câu 18. Cho khối lăng trụ đứng

có đáy

), góc giữa đường thẳng
A.
.
Đáp án đúng: B

và mặt phẳng

B.

.

Câu 19. Trong không gian với hệ trục
A. .
Đáp án đúng: B

B.

là tam giác vuông cân tại
bằng
C.

, cho mặt cầu
.


C. .

(với

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
.

D.

.

. Bán kính của

Câu 20. Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu
A.

,

D.

là

.

có tâm I và bán kính R là:
B.

C.
Đáp án đúng: A
Câu 21.

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng

D.

(tham khảo hình vẽ)

.
Biết diện tích xung quanh của hình chóp đó gấpđơi diện tích đáy, thể tích khối chóp đã cho bằng
9


A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Gọi chiều cao của mặt bên là

.

D.

.

.


Ta có diện tích xung quanh bằng

, suy ra

:

Khi đó thể tích khối chóp
Câu 22. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng
của đường tròn đáy tâm . Gọi
của khối tứ diện
là:

cạnh bằng

là điểm thuộc cung

A.

với

là đường kính

của đường trịn đáy sao cho

. Thể tích

B.

C.

Đáp án đúng: C

D.

Giải thích chi tiết:
Ta có:
Gọi

vng tại

có

là hình chiếu của

lên

nên

.

, suy ra

và

Vậy
Câu 23.
Trong không gian
A.

, cho hai vectơ


và

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: C

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
là
A.
Lời giải
Ta có

. B.

. C.

, cho hai vectơ

. D.

. Tọa độ của vectơ

là


.
.
và

. Tọa độ của vectơ

.

.

Câu 24. Trong không gian

, cho mặt cầu

. Có bao nhiêu điểm
hai tiếp tuyến cùng vng góc với

thuộc tia

và đường thẳng
, với tung độ là số nguyên, mà từ

kẻ được đến

?
10


A. .

Đáp án đúng: A

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian

hai tiếp tuyến cùng vng góc với

Mặt cầu

. C.

. D.

.
và đường thẳng

thuộc tia

, với tung độ là số nguyên, mà từ

kẻ được đến

?

.


có tâm

và bán kính

Ta có
Gọi

D.

, cho mặt cầu

. Có bao nhiêu điểm
A. . B.
Lời giải

.

.

với
là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ

Khi đó

qua điểm

đến

và vng góc đường thẳng


.
, vì vậy phương trình mặt phẳng

là:

.
Ta có

nằm ngồi mặt cầu
.

Mặt khác

Từ

.

và

Do

suy ra
nên

.

thỏa mãn bài toán.
x +5 y−7 z
=

= và điểm M (4 ;1; 6). Đường
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :
2
−2 1
thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB=6 . Viết phương trình của mặt cầu (S).
A. ¿
B. ¿
C. ¿
D. ¿
Đáp án đúng: B
Câu 26.
Trong khơng gian

. Vậy có

điểm

, cho tam giác
. Tọa độ điểm

có trọng tâm
là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết: Trong khơng gian


. Biết

D.
, cho tam giác

có trọng tâm

. Biết
11


. Tọa độ điểm
A.
Lời giải
Vì

B.

là:

C.

là trọng tâm tam giác

D.
nên ta có:

.
Câu 27.

Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là

. Một khối cầu

tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
nón và với

 ;… ;

B.

và

.

là khối cầu

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của khối

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với

lần lượt là thể tích của khối cầu

A.
.
Đáp án đúng: D

 ;

nội tiếp trong khối nối nón. Gọi

. Gọi

,…

là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh . Do đó bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cũng
chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chọp là
Áp dụng định lí Ta-Let ta có:

12


Tương tự ta tìm được

.

Tiếp tục như vậy ta có

Ta có


Do đó
Đặt

Đây là tổng của CSN lùi vơ hạn với cơng bội

Vậy
Câu 28. Lăng trụ có 2020 đỉnh có số mặt là
A. 1010 .
B. 1012 .
Đáp án đúng: B
Câu 29. Trong khơng gian
A.
.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết:
Lời giải
Ta có
Câu 30.

, cho véctơ
B.

.

C. 1009 .
. Độ dài của
C.

.


D. 1011 .
bằng
D.

.

.

13


Trong không gian

, cho hai điểm

và

. Trung điểm của đoạn thẳng

là điểm
A.

.

C.
Đáp án đúng: D

B.

.


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
thẳng
là điểm
A.
Lời giải

. B.

. C.

,

. Gọi

trình tiếp diện của mặt cầu
A.
C.
Đáp án đúng: B

, cho hai điểm

và

tại

, cho mặt cầu

và hai điểm


sao cho
B.

.

.

D.

.

có tâm

và bán kính

tọa độ của

là

.
,

và

nên

Do

.


áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta có:

.
đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

lớn nhất nên

thuộc đường thẳng

Phương trình đường thẳng
Tọa độ giao điểm

nằm ngồi mặt cầu

.

Ta lại có:
Bởi vậy
MNEKI

đạt giá trị lớn nhất. Viết phương

.

,

Xét tam giác

. Trung điểm của đoạn


.

là điểm thuộc mặt cầu

là trung điểm của

Ta có:

.

.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

D.

. D.

Câu 31. Trong khơng gian với hệ tọa độ

.

là:

và

lớn nhất.

.


.

của đường thẳng

với mặt cầu

ứng với

là nghiệm phương trình:

.
Như vậy

hoặc

.
14


Ta có
,
. Suy ra
tại
có phương trình:

, nên phương trình tiếp diện của mặt cầu
hay

.


Câu 32. Trong không gian
, cho ba điểm
Đường thẳng
có phương trình là.

. Gọi

A.

là trực tâm tam giác

.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
, cho ba điểm
tam giác
. Đường thẳng
có phương trình là.
A.

. Gọi


là trực tâm

B.

C.
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Như Trình ; Fb: Như Trình Nguyễn
Phương trình mặt phẳng (ABC):
Dễ thấy,

.

nên đường thẳng OH nhận vectơ

làm VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng OH là:
Câu 33. Trong không gian
A.
.
Đáp án đúng: C
Câu 34.

, cho
B.

Nếu hai điểm

,

.

C.

thoả mãn

A.

. Tính diện tích tam giác
.

D.

thì độ dài đoạn thẳng

.

B.

C.
Đáp án đúng: C

.
.

bằng bao nhiêu?

;

D.


Giải thích chi tiết: Nếu hai điểm
bao nhiêu?

thoả mãn

thì độ dài đoạn thẳng

bằng

A.
B.
C.

;
15


D.
Lời giải
Câu 35.
Trong

.

khơng

gian

với


hệ

tọa

độ

cho

và

hai

đường

. Phương trình đường thẳng qua
với

và cắt

thẳng

, vng góc

là

A.
C.
Đáp án đúng: D


.

B.

.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Gọi

là đường thẳng qua

và

cắt

tại

. Khi đó

.
Ta có
Đường
Do đó

.

, với

là một vectơ chỉ phương của

, suy ra

.

.

Vậy phương trình đường thẳng
.
Câu 36. Phương trình nào khơng phải là phương trình mặt cầu, chọn đáp án đúng nhất:
A.
B.

.
.

C.
.
D. B và C.
Đáp án đúng: B
Câu 37. Cho một hình nón đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy. Nếu tam giác SAB đều thì góc
ở đỉnh của hình nón bằng
A. 90 ° .
B. 120 °.
C. 60 ° .
D. 30 ° .
Đáp án đúng: C


Giải thích chi tiết:
16


Hình nón có đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy nên góc ở đỉnh của hình nón là góc ^
ASB. Lại
0
^
có tam giác ΔSAB là tam giác đều nên ASB=6 0 . Vậy góc ở đỉnh hình nón bằng 60 ° .
Câu 38. Mặt phẳng ( A′ BC ) chia khối lăng trụ ABC . A′ B ′ C′ thành hai khối chóp.
A. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
B. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
C. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .
D. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .
Đáp án đúng: D
Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình chữ nhật,

. SA vng góc với mp

. Cạnh SB tạo với mp đáy góc 60°. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A.
B.
C.
D.
Đáp án đúng: B
Câu 40. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có BD=3 a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối
chóp đã cho bằng
A. 6 a 3 .
B. 3 a3 .

C. 12 a3 .
D. 6 a 3 .
Đáp án đúng: D
----HẾT---

17