ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 073.
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ

, cho hai điểm

và

chứa giao tuyến của hai mặt cầu
hai điểm
A.

,

là mặt phẳng

và

là hai điểm bất kì thuộc

sao cho

. Xét

. Giá trị nhỏ nhất của

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: B

bằng

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

. Gọi

.

là giao tuyến của hai mặt cầu

và

nên ta có hệ:

.

Gọi
.

và

lần lượt là hình chiếu của

và

lên

. Khi đó

,

,

Ta có:
Mặt khác:

.

Suy ra
Vậy
Câu 2.

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

, dấu


xảy ra khi

thẳng hàng.
1


Trong không gian

, cho mặt phẳng

đến mặt phẳng

. Khoảng cách từ điểm

bằng

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Ta có

D.


.

.

Câu 3. Trong không gian
, cho điểm
tại , ,
sao cho
là trực tâm tam giác
phẳng

.

. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt

?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: D


D.

Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

.

Thật vậy :

(1)

Mà

(vì

là trực tâm tam giác

) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

(*)

Tương tự

. (**)

Từ (*) và (**)


.

• Khi đó mặt cầu tâm
Vậy mặt cầu tâm

tiếp xúc mặt phẳng

và tiếp xúc với mặt phẳng

Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ
cắt mặt cầu

.

là

.
.

, mặt phẳng

đi qua hai điểm

,

và

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất. Gọi
là một véctơ pháp tuyến của


A.

có bán kính

B.

.

. Tính giá trị biểu thức
C. .

?
D.

.
2


Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

có tâm

.

.
đi qua điểm


.

đi qua điểm
Mặt phẳng
nhất.

.

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn

.
.
Trừ từng vế

và

ta được

.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

.
.

Dấu = xảy ra

.
Câu 5.
Một cái khối gỗ có hình dạng như hình bên (gồm 1 khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi
trên hình, chu vi đáy là

. Thể tích của khối gỗ bằng

3


A.

.

C.
Đáp án đúng: D

B.
.

D.

Câu 6. Trong không gian
A.

.
.

, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
.


B.

và
.

C.
.
D.
.
Đáp án đúng: C
Câu 7. Cho lăng trụ có đáy là hình vng cạnh a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. a 3.
B. 2 a3.
C. 3 a3 .
D. 4 a3.
Đáp án đúng: D
Câu 8. Trong không gian
điểm
A.

,
bằng
.

, cho hai mặt phẳng
. Xét hai điểm thay đổi
B.

.


,
và
C.

và hai

sao cho
.

. Giá trị nhỏ nhất của
D.

.
4


Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết: Nhận xét:

;

Xét

và

Ta có

. Suy ra


Ta có
Gọi

,

cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
.
và

và

.

suy ra

.

là điểm sao cho

.

Khi đó

.

Do đó

.

Xét


với

Đường thẳng

đi qua

Suy ra hình chiếu của
Gọi

. Ta thấy

và

và vng góc với
trên

là điểm đối xứng với

có phương trình là:
là

qua

, suy ra

Ta có
Đẳng thức xảy ra khi

nằm về cùng một phía so với


là trung điểm

.

.

.
, suy ra

.

.
là giao diểm của

và

.
5


Vậy giá trị nhỏ nhất của
Câu 9.

là

Trong không gian

.


, cho ba điểm

tam giác

là

A.

.

. Tọa độ trọng tâm

B.

C.
.
Đáp án đúng: D

Gọi
A.
Đáp án đúng: A
Câu 11.

hỏi

và mặt phẳng

sao cho biểu thức

thuộc khoảng nào trong các khoảng sau.


B.

Nếu hai điểm

.

cho 3 điểm

là điểm thuộc mặt phẳng

đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng

C.

thoả mãn

A.

.

D.

Câu 10. Trong khơng gian với hệ tọa độ

của

D.

thì độ dài đoạn thẳng


.

bằng bao nhiêu?

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

Giải thích chi tiết: Nếu hai điểm
bao nhiêu?

thoả mãn

;
thì độ dài đoạn thẳng

bằng

A.
B.
C.
D.
Lời giải

;
.


Câu 12. Trong khơng gian

, cho

,

. Tính diện tích tam giác

.

A.
.
B.
.
C.
.
D. .
Đáp án đúng: C
Câu 13. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có BD=3 a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối
chóp đã cho bằng
A. 6 a 3 .
B. 3 a3 .
C. 12 a3 .
D. 6 a 3 .
Đáp án đúng: A

6



Câu 14. Trong khơng gian

, cho mặt cầu

. Có bao nhiêu điểm
hai tiếp tuyến cùng vng góc với
A. .
Đáp án đúng: A

B.

thuộc tia

.

C.

hai tiếp tuyến cùng vng góc với

Mặt cầu

. D.

kẻ được đến

D.

.
và đường thẳng


thuộc tia

, với tung độ là số ngun, mà từ

kẻ được đến

?

.

có tâm

và bán kính

Ta có
Gọi

.

, cho mặt cầu

. Có bao nhiêu điểm
. C.

, với tung độ là số nguyên, mà từ

?

Giải thích chi tiết: Trong không gian


A. . B.
Lời giải

và đường thẳng

.

với
là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ

Khi đó

qua điểm

đến

.

và vng góc đường thẳng

, vì vậy phương trình mặt phẳng

là:

.
Ta có

nằm ngồi mặt cầu
.


Mặt khác

Từ

.

và

Do

suy ra

.

nên

. Vậy có

Câu 15. Trong khơng gian với hệ tọa độ
,

. Gọi

trình tiếp diện của mặt cầu
A.
C.
Đáp án đúng: D

thỏa mãn bài toán.


, cho mặt cầu

là điểm thuộc mặt cầu
tại

và hai điểm

sao cho

đạt giá trị lớn nhất. Viết phương

.

.

B.

.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

điểm


là trung điểm của

có tâm
tọa độ của

và bán kính
là

.
,

nên

nằm ngồi mặt cầu

.
7


Ta có:

,

Xét tam giác

và

.

áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta có:


Ta lại có:

.

Bởi vậy
MNEKI
Do

đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
lớn nhất nên

thuộc đường thẳng

Phương trình đường thẳng
Tọa độ giao điểm

và

lớn nhất.

.

là:

.

của đường thẳng

với mặt cầu


ứng với

là nghiệm phương trình:

.
Như vậy

hoặc

.

Ta có
,
. Suy ra
tại
có phương trình:

, nên phương trình tiếp diện của mặt cầu
hay

.

Câu 16.
Trong khơng gian
A.

, hình chiếu vng góc của điểm

trên trục


.

B.

.

C.
.
Đáp án đúng: C

D.

.

Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình chữ nhật,

có tọa độ là

. SA vng góc với mp

. Cạnh SB tạo với mp đáy góc 60°. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A.
Đáp án đúng: D

B.

C.

D.


Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
trình đường trung trực của cạnh
.

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

. Viết phương

.

D.

.

8


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
Viết phương trình đường trung trực của cạnh
.


A.
Lời giải
Gọi
Gọi

.B.

.

là đường trung trực của cạnh
là trung điểm của đoạn thẳng

Gọi
là mặt phẳng qua
pháp tuyến.
Mặt phẳng

Đường thẳng

trong tam giác
. Suy ra

hàm

.
.

.

và vng góc với


. Mặt phẳng

là giao tuyến của mặt phẳng

đi qua

Cho

D.

nhận

làm làm một vectơ

làm một vectơ pháp tuyến.
và mặt phẳng

và nhận

Phương trình của đường thẳng
19.

.

nhận

Ta có, đường thẳng

Câu


C.

.

là:

. Chọn

.

.

số

.

Các

. Khi biểu thức

.

.

số

thực

thoả


A.
C.
Đáp án đúng: D
Câu 22.

và điểm

và

đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị của

A. .
B.
.
C. .
D.
Đáp án đúng: B
Câu 20. Mặt phẳng ( A′ BC ) chia khối lăng trụ ABC . A′ B ′ C′ thành hai khối chóp.
A. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
B. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .
C. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
D. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .
Đáp án đúng: D
Câu 21. Cho hình bình hành

mãn

bất kỳ nằm trên đường chéo


.

Mệnh đề nào sau đây sai?

B.
D.

Một chiếc ly dạng hình nón ( như hình vẽ với chiều cao ly là

). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho

chiều cao của lượng nước trong ly bằng
chiều cao của ly. Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỷ
lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng bao nhiêu?

9


A. .
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

.

D.


.

Giải thích chi tiết:

Giả sử ly có chiều cao

và đáy là đường trịn có bán kính

Khối nước trong ly có chiều cao bằng
và bán kính đáy

, nên có thể tích

.

chiều cao của ly nên khối nước tạo thành khối nón có chiều cao bằng

thể tích nước bằng

Do đó thể tích khoảng khơng bằng
Nên khi úp ngược ly lại thì ta có các tỉ lệ:

.
.
.

Suy ra: thể tích khoảng khơng bằng:

.

.

Nên chiều cao mực nước bằng:

.

Vậy tỷ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng
Câu 23. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.

.

B. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy

và chiều cao

là

.

C. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy

và chiều cao

là

.

D. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy
Đáp án đúng: C


và chiều cao

là

.
10


Câu 24. Cho lăng trụ đứng
khối lăng trụ biết rằng

có đáy

B.

.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ đứng
Tính thể tích khối lăng trụ biết rằng

Tam giác

. B.

,

. Tính thể tích

.


A.
.
Đáp án đúng: B

A.
Lời giải

là tam giác vng cân tại

. C.

C.
có đáy

là tam giác vng cân tại

.
,

.

.

, mà

Xét
vng tại , có
Vậy thể tích hình lăng trụ đã cho là


D.

.

. D.

vng cân tại

.

.

,

,

.

Câu 25. Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là
Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng 3 kích
thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương ln gấp
lần thể tích hình hộp chữ
nhật. Gọi
là tỉ số giữa diện tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật.
Tìm giá trị lớn nhất của
A.
.
Đáp án đúng: B

của

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương là
Hình hộp chữ nhật có

và
11


Hình lập phương có
Vậy
Ta có

Đặt

Vậy
Đặt
Ta có

Kết hợp điều kiện


ta có

Khi đó
Xét hàm số

trện đoạn

Ta có
Suy ra,
Câu 26.

Khi đó,

.

Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính
, người thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó
thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã
hoàn thiện.

A.

B.

C.

D.
12



Đáp án đúng: A
Câu 27.
Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy là
đúng?

, chiều cao

và độ dài đường sinh là

. Gọi

lần lượt là diện tích xung quanh và thể tích của khối nón. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C
Câu 28.
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng

D.

(tham khảo hình vẽ)

.
Biết diện tích xung quanh của hình chóp đó gấpđơi diện tích đáy, thể tích khối chóp đã cho bằng
A.

.
Đáp án đúng: D

B.

.

Giải thích chi tiết: Gọi chiều cao của mặt bên là
Ta có diện tích xung quanh bằng

C.

.

D.

.

.
, suy ra

:

Khi đó thể tích khối chóp
Câu 29. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
A.
C.
Đáp án đúng: C

, cho hai vectơ


.

B.
.

D.

,

. Tính

.

.
.

13


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

, cho hai vectơ

,

. Tính

.
A.

Lời giải

. B.

.

C.

. D.

.

Ta có

.

Câu 30. Cho hình trụ có trục
một khoảng bằng
cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: B

và có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng song song với trục

và cách

cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vng. Diện tích xung quanh của hình trụ đã
B.


.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Mặt phẳng

song song với trục và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vng
, trong đó

là bán kính đáy và

. Cạnh hình vng là

là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng

.
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là
Câu 31. Cho tam giác
vng tại
có
tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng

.

?

,

. Diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay

14


A.
C.
Đáp án đúng: D

.

B.

.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Khi quay tam giác
.
Ta có:

ta thu được hình nón có:


;

.

Câu 32. Khối đa diện đều loại
A. .
Đáp án đúng: D

có bao nhiêu mặt?
B.

.

Giải thích chi tiết: Khối đa diện đều loại
A. . B. . C. .
Lời giải
Theo lí thuyết,

quanh cạnh

D.

C.

.

D.

.


có bao nhiêu mặt?

.

15


Chọn phương án D.
Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ

, cho

. Gọi

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất

trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp

. Tính bán kính mặt cầu

.

A.
.
Đáp án đúng: B

C. .

D.


B.

.

Giải thích chi tiết: Gọi H là hình chiếu của

.

lên mp

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp
đường kính là
Câu 34.

nên

có

, suy ra

Trong khơng gian

cho ba điểm

phương trình mặt phẳng

và

Phương trình nào sau đây là


?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

{

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
un+1 = ( un +1 )
3
2
B. u 4=1.
C. u 4= .
3

Câu 35. Cho dãy số ( u n) xác định bởi
14
.
27
Đáp án đúng: D


A. u 4=

5
D. u 4= .
9

{

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
un+1 = ( un +1 )
3
2
14
C. u 4= .
D. u 4= .
3
27

Giải thích chi tiết: Cho dãy số ( u n) xác định bởi

5
A. u 4= .
B. u 4=1.
9
Lời giải
Ta có
1
1

1
2
1
1 2
5
u2= ( u1+ 1 )= ( 2+1 ) =1;u3 = ( u2 +1 )= ;u 4= ( u3 +1 )=
+1 = .
3
3
3
3
3
3 3
9
Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.

( )

Câu 36. Trong khơng gian
.
sao cho
nhất.

,

,

cho mặt cầu

có tâm


là một điểm di động trên
là các tiếp tuyến của

. Tính tổng

, bán kính
. Ba điểm phân biệt
khi

và mặt phẳng
,

,

thuộc
đạt giá trị lớn

16


A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.


.

D.

.

Giải thích chi tiết:

Vì

nên điểm

được các tiếp tuyến với mặt cầu
Gọi

ln nằm ngồi mặt cầu

là giao điểm của đường thẳng

và mặt phẳng

, ta có

. Xét tam giác

vng tại

.


Do đó

lớn nhất khi

Đường thẳng

Vì

ln kẻ

.

ta có

thẳng

. Do đó qua điểm

là

đi qua

nhỏ nhất hay

là hình chiếu của

và nhận vectơ pháp tuyến của

trên mặt phẳng


làm vectơ chỉ phương. Phương trình đường

.
nên

Vậy

hay
.

Câu 37. Cho hình lập phương
và đáy là hình trịn nội tiếp hình vng
A.
C.
Đáp án đúng: D

.

có cạnh . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vng
. Diện tích tồn phần của khối nón đó là

.

B.

.

.

D.


.

17


Giải thích chi tiết:

Bán kính của đường trịn đáy là

.

Diện tích đáy nón là:

.

Độ dài đường sinh là

.

Diện tích xung quanh của khối nón là:

.

Vây, diện tích tồn phần của khối nón đó là:
Câu 38. Trong khơng gian với hệ trục
A. .
Đáp án đúng: C

B.


, cho mặt cầu

.
và chiều cao bằng

B.

. Tập hợp các giá trị của
B.

.

.
;

,

,

C.

Giải thích chi tiết: Ta có

D.

, cho

để bớn điểm


.

D.

là

.

. Bán kính đáy của khối trụ đã cho bằng:
C.

Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ

A.
.
Đáp án đúng: C

. Bán kính của
C.

Câu 39. Cho khối trụ có thể tích là
A. .
Đáp án đúng: B

.

,

,


;

;

đồng phẳng là tập con của tập nào sau?
.

,

.

D.

.

.

.
Để bốn điểm

,

,

,

đồng phẳng:

.
----HẾT---


18