ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 068.
Câu 1.
Cho

. Tọa độ M là

A.

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

Câu 2. Trong không gian
, cho điểm
tại , ,
sao cho
là trực tâm tam giác
phẳng

. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt

?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

.

Thật vậy :
Mà

(1)

(vì

là trực tâm tam giác

Từ (1) và (2) suy ra

(*)

Tương tự
Từ (*) và (**)
• Khi đó mặt cầu tâm

) (2)

. (**)
.
tiếp xúc mặt phẳng

có bán kính

.

Vậy mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt phẳng
là
.
Câu 3. Cho khối nón có bán kính đáy r =a và chiều cao h=2 a. Độ dài đường sinh của hình nón đó bằng
A. 10 a.
B. 5 a.
C. 3 a .

D. a √ 5
1


Đáp án đúng: D
Câu 4. Trong khơng gian
A.

, cho

và

. Tính tọa độ

.

C.
Đáp án đúng: B

.

B.
.

.

D.

Câu 5. Trong không gian


, cho véctơ

A.
.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết:
Lời giải

B.

Ta có
Câu 6.

.

. Độ dài của

.

C.

bằng

.

D.

.

.


Trong khơng gian

cho ba điểm

phương trình mặt phẳng

và

Phương trình nào sau đây là

?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: D

D.

Câu 7. Cho hình nón
Biết rằng

đỉnh

có thiết diện qua trục là tam giác đều

nội tiếp trong mặt cầu


so với khối cầu
A.
.
Đáp án đúng: A

tâm

, bán kính

có diện tích là

.

. Tính tỉ lệ thể tích của khối nón

.
B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:

Vì tam giác
Gọi

đều có diện tích

là trung điểm của

ta có

nên các cạnh

.
.
2


Hình nón
Mặt cầu

có đường cao

và bán kính đáy

có bán kính

.

.

.

Câu 8. Trong khơng gian

, cho mặt cầu

. Có bao nhiêu điểm
hai tiếp tuyến cùng vng góc với
A. .
Đáp án đúng: D

B.

.

Mặt cầu

kẻ được đến

D.

.

thuộc tia

và đường thẳng
, với tung độ là số ngun, mà từ

kẻ được đến

?


.

có tâm

và bán kính

Ta có
Gọi

.

, cho mặt cầu

hai tiếp tuyến cùng vng góc với
. D.

, với tung độ là số nguyên, mà từ
C.

. Có bao nhiêu điểm
. C.

thuộc tia

?

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian

A. . B.
Lời giải


và đường thẳng

.

với
là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ

Khi đó

qua điểm

đến

và vng góc đường thẳng

.
, vì vậy phương trình mặt phẳng

là:

.
Ta có

nằm ngồi mặt cầu
.

Mặt khác

Từ

Do
Câu 9.

.

và

suy ra
nên

.
. Vậy có

điểm

thỏa mãn bài tốn.

3


Trong không gian

, cho ba điểm

. Tọa độ trọng tâm

tam giác

là


A.

.

B.

.

D.

C.
Đáp án đúng: D

Câu 10. Cho hình lập phương
và đáy là hình trịn nội tiếp hình vng
A.
C.
Đáp án đúng: A

của

.
.

có cạnh . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vng
. Diện tích tồn phần của khối nón đó là

.

B.


.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:

Bán kính của đường trịn đáy là

.

Diện tích đáy nón là:

.

Độ dài đường sinh là

.

Diện tích xung quanh của khối nón là:

.

Vây, diện tích tồn phần của khối nón đó là:

.


Câu 11. Trong khơng gian

cho điểm

,

trình
nhất.

. Tìm tọa độ điểm

trên mặt cầu

A.
C.

.

,

và mặt cầu
sao cho tứ diện

B.
.

D.

có phương

có thể tích lớn

.
.
4


Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

qua

, mà

làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt cầu

có tâm

, bán kính

Gọi
.

là đường thẳng qua

Gọi

là điểm thuộc mặt cầu


.

.

và vng góc với

có vectơ chỉ phương

sao cho thể tích tứ diện

lớn nhất

Xét hệ

.

.

và

.

Vậy
là điểm cần tìm.
Câu 12. Mặt phẳng ( A′ BC ) chia khối lăng trụ ABC . A′ B ′ C′ thành hai khối chóp.
A. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .
B. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .
C. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
D. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
Đáp án đúng: A

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ
Gọi

là điểm thuộc mặt phẳng

đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng
A.
Đáp án đúng: C

hỏi
B.

và

sao cho biểu thức

thuộc khoảng nào trong các khoảng sau.

, cho ba điểm

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ

T a có:


D.
. Tính góc giữa

.

A.
.
Đáp án đúng: B

A.
. B.
Lời giải

và mặt phẳng

C.

Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ
hai vectơ

cho 3 điểm

. C.

và
. D.

,


.
, cho ba điểm

D.

.
.

.
.
.
5


Nên
Câu 15.
Một cái khối gỗ có hình dạng như hình bên (gồm 1 khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi
trên hình, chu vi đáy là

A.

. Thể tích của khối gỗ bằng

.

C.
Đáp án đúng: C

B.
.


.

D.

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ

.

, cho hai điểm

và

chứa giao tuyến của hai mặt cầu
hai điểm
A.

,

C.
.
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

là mặt phẳng

và

là hai điểm bất kì thuộc
.


. Gọi

sao cho

. Xét

. Giá trị nhỏ nhất của
B.

.

D.
là giao tuyến của hai mặt cầu

bằng

.
và

nên ta có hệ:
6


.
Gọi
.

và


lần lượt là hình chiếu của

và

lên

. Khi đó

,

,

Ta có:
Mặt khác:

.

Suy ra
Vậy

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

, dấu

xảy ra khi

Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ
. Khoảng cách từ điểm

thẳng hàng.


, cho điểm

đến mặt phẳng

và mặt phẳng

là

A. 3.
PHẦN TỰ LUẬN
B.

.

C.

.

D.
.
Đáp án đúng: A
Câu 18.
Nếu hai điểm

thoả mãn

A.
C.
Đáp án đúng: B


thì độ dài đoạn thẳng

bằng bao nhiêu?

B.
.

D.

;

7


Giải thích chi tiết: Nếu hai điểm
bao nhiêu?

thoả mãn

thì độ dài đoạn thẳng

bằng

A.
B.
C.

;


D.
Lời giải
Câu 19.

.

Trong không gian
A.

, cho hai vectơ

và

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: B

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
là
A.
Lời giải

. B.


Ta có
Câu 20.

. C.

.
và

. Tọa độ của vectơ

.

và bán kính đáy

.

C.
.
Đáp án đúng: B
Câu 21.
Cho hình nón có bán kính đường trịn đáy là
đúng?

.

, cho hai vectơ

. D.

là


.

Thể tích của khối nón có chiều cao
A.

. Tọa độ của vectơ

là
B.

.

D.

.

, chiều cao

và độ dài đường sinh là

. Gọi

lần lượt là diện tích xung quanh và thể tích của khối nón. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào

A.
C.
Đáp án đúng: D
Câu 22.
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng


B.
D.

(tham khảo hình vẽ)

8


.
Biết diện tích xung quanh của hình chóp đó gấpđơi diện tích đáy, thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Gọi chiều cao của mặt bên là
Ta có diện tích xung quanh bằng

.

D.

.


.
, suy ra

:

Khi đó thể tích khối chóp
Câu 23. Cho hình lăng trụ đứng
Thể tích khối lăng trụ
A.
Đáp án đúng: D

có đáy là tam giác vng cân tại

,

và

.

là

B.

C.

D.

Giải thích chi tiết:

Ta có


,

Thể tích khối lăng trụ là
Câu 24.
Trong khơng gian

.
.

, cho tam giác

có trọng tâm

. Biết
9


. Tọa độ điểm

là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: D

D.


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
. Tọa độ điểm
A.
Lời giải
Vì

B.

C.

là trọng tâm tam giác

, cho tam giác

có trọng tâm

. Biết

là:
D.

nên ta có:

.
Câu 25. Cho một hình nón đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy. Nếu tam giác SAB đều thì góc
ở đỉnh của hình nón bằng
A. 60 ° .
B. 120 °.
C. 90 ° .

D. 30 ° .
Đáp án đúng: A

Giải thích chi tiết:
Hình nón có đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy nên góc ở đỉnh của hình nón là góc ^
ASB. Lại
0
^
có tam giác ΔSAB là tam giác đều nên ASB=6 0 . Vậy góc ở đỉnh hình nón bằng 60 ° .
Câu 26.
Trong khơng gian
A.

, hình chiếu vng góc của điểm

trên trục

.

B.

.

C.
.
Đáp án đúng: A

D.

.


Câu 27. Cho hình chóp tứ giác đều
Thể tích khối chóp đó bằng
A.

có cạnh đáy bằng

có tọa độ là

. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

.

.
10


B.

.

C.

.

D.
.
Đáp án đúng: B
Câu 28. Cho lăng trụ tam giác
giác

của

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

A.
.
Đáp án đúng: C

, góc giữa đường thẳng

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ tam giác
bằng
, tam giác
trùng với trọng tâm của
A.
.
B.

Hướng dẫn giải:
Gọi
và

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

.

C.

.

D.

.

và
lên

bằng

, tam

trùng với trọng tâm

D.


.

, góc giữa đường thẳng

và

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

lên

.

là trung điểm của
là trọng tâm của

.
.

Xét

vuông tại

, có

. (nửa tam giác đều)
Đặt

. Trong


tam giác
Do
Trong

vuông tại

có

là nữa tam giác đều

là trọng tâm
vuông tại

.
:

11


Vậy,

.

Câu 29.
Trong không gian

, cho mặt phẳng

đến mặt phẳng


. Khoảng cách từ điểm

bằng

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

.

Giải thích chi tiết: Ta có
Câu 30.
Trong

khơng

gian

D.

.

.


với

hệ

tọa

độ

cho

và

hai

đường

. Phương trình đường thẳng qua
với

và cắt

thẳng

, vng góc

là

A.
C.

Đáp án đúng: C

.

B.

.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Gọi

là đường thẳng qua

và

cắt

tại

. Khi đó

.
Ta có

.


Đường

, với

Do đó

là một vectơ chỉ phương của

, suy ra

Vậy phương trình đường thẳng

.

.
.

Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình chữ nhật,

. SA vng góc với mp

. Cạnh SB tạo với mp đáy góc 60°. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:
12


A.
Đáp án đúng: D

B.


C.

D.

Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ

, mặt phẳng

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất. Gọi
là một véctơ pháp tuyến của

A. .
Đáp án đúng: B

. Tính giá trị biểu thức

B. .

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

đi qua hai điểm

C.

có tâm


,

và

?

.

D. .

.

.
đi qua điểm

.

đi qua điểm
Mặt phẳng
nhất.

.

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn

.

.
Trừ từng vế

và

ta được

.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

.
.

Dấu = xảy ra

.

Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ

, cho

. Gọi

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất

trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp

. Tính bán kính mặt cầu


.

A. .
Đáp án đúng: A

C. .

D.

B.

.

Giải thích chi tiết: Gọi H là hình chiếu của

.

lên mp

13


là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp
đường kính là

nên

có

, suy ra


x +5 y−7 z
=
= và điểm M (4 ;1; 6). Đường
2
−2 1
thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB=6 . Viết phương trình của mặt cầu (S).
A. ¿
B. ¿
C. ¿
D. ¿
Đáp án đúng: A

Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=2a, BC =
bằng 3a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
.

cạnh bên

A.
B.
C.
D.
Đáp án đúng: B
Câu 36. Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua
trục là một tam giác vng cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón đơi một tiếp xúc với nhau,
một khối nón có đường trịn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón cịn lại có đường trịn đáy
tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng

lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là
(lít). Thể tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?
A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
+) Gọi
cân).

là bán kính đáy của hình nón suy ra chiều cao nón là

+) Chiều dài của khối hộp là

bán kính của khối cầu là

+) Thể tích nước bị tràn là
+) Gọi


.
.

là tâm của 3 đáy của khối nón suy ra

+) Chiều rộng khối hộp là

(do thiết diện là tam giác vuông

đều cạnh

.

(dm).
14


+) Ba đỉnh nón chạm mặt cầu tại các điếm
( với

I

là tâm mặt cầu), do đó

. Suy ra chiều cao của khối trụ là

.
+) Thể tích nước ban đầu là
Câu 37. Trong khơng gian

A.
.
Đáp án đúng: B

(lít).
, cho
B.

,
.

Câu 38. Cho khối trụ có thể tích là
A.
Đáp án đúng: A

B.

C.
và chiều cao bằng

.

. Gọi

trình tiếp diện của mặt cầu
A.
C.
Đáp án đúng: D

Gọi


.

Do

sao cho

đạt giá trị lớn nhất. Viết phương
.

.

D.

.

có tâm

và bán kính

tọa độ của

là

.
,

và

nên


nằm ngồi mặt cầu

.

.

áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta có:

.
đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

lớn nhất nên

thuộc đường thẳng

Phương trình đường thẳng
Tọa độ giao điểm

.
và hai điểm

Ta lại có:
Bởi vậy
MNEKI

D.

.


,

Xét tam giác

.

. Bán kính đáy của khối trụ đã cho bằng:

B.

là trung điểm của

Ta có:

D.

.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu

.

, cho mặt cầu

là điểm thuộc mặt cầu
tại

.

C.


Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ
,

. Tính diện tích tam giác

là:

của đường thẳng

và

lớn nhất.

.

.
với mặt cầu

ứng với

là nghiệm phương trình:
15


.
Như vậy

hoặc


.

Ta có
,
. Suy ra
tại
có phương trình:

, nên phương trình tiếp diện của mặt cầu

hay
.
Câu 40. Phương trình nào khơng phải là phương trình mặt cầu, chọn đáp án đúng nhất:
A.
B. B và C.
C.
D.
Đáp án đúng: D

.
.
.
----HẾT---

16