ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 063.
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ
Gọi

cho 3 điểm

là điểm thuộc mặt phẳng

đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng

hỏi

và mặt phẳng

sao cho biểu thức

thuộc khoảng nào trong các khoảng sau.

A.
B.
C.
D.

Đáp án đúng: A
Câu 2. Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục
là một tam giác vng cân vào bể sao cho ba đường trịn đáy của ba khối nón đơi một tiếp xúc với nhau, một
khối nón có đường trịn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón cịn lại có đường trịn đáy tiếp
xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng
bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là
tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

.

D.

lần

(lít). Thể
.

Giải thích chi tiết:
+) Gọi
cân).


là bán kính đáy của hình nón suy ra chiều cao nón là

+) Chiều dài của khối hộp là

bán kính của khối cầu là

+) Thể tích nước bị tràn là
+) Gọi

.
.

là tâm của 3 đáy của khối nón suy ra

+) Chiều rộng khối hộp là

(do thiết diện là tam giác vuông

đều cạnh

.

(dm).
1


+) Ba đỉnh nón chạm mặt cầu tại các điếm
( với

I


là tâm mặt cầu), do đó

. Suy ra chiều cao của khối trụ là

.
+) Thể tích nước ban đầu là
Câu 3. Khẳng định nào sau đây là sai?

(lít).

A. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy
B. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy

và chiều cao
và chiều cao

là
là

.

C. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy
và chiều cao là
D. Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.
Đáp án đúng: B
Câu 4.
Trong khơng gian

, cho tam giác


có trọng tâm

. Tọa độ điểm

.

. Biết

là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
. Tọa độ điểm
A.
Lời giải
Vì

.

B.


là trọng tâm tam giác

, cho tam giác

có trọng tâm

. Biết

là:

C.

D.
nên ta có:

.
Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ
cắt mặt cầu

.

đi qua hai điểm

,

và

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất. Gọi
là một véctơ pháp tuyến của


A.

, mặt phẳng

B. .

. Tính giá trị biểu thức
C. .

?
D.

.
2


Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

có tâm

.

.
đi qua điểm

.

đi qua điểm

Mặt phẳng
nhất.

.

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn

.
.
Trừ từng vế

và

ta được

.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

.
.

Dấu = xảy ra

.


Câu 6. Cho lăng trụ tam giác
giác
của

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

, góc giữa đường thẳng

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng
.

C.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ tam giác
bằng
, tam giác
trùng với trọng tâm của
A.
.

B.
Hướng dẫn giải:

.

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện
C.

.

D.

.

và
lên

bằng

, tam

trùng với trọng tâm

D.

.


, góc giữa đường thẳng

và

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

lên

.

3


Gọi
và

là trung điểm của
là trọng tâm của

.
.

Xét

vuông tại

, có


. (nửa tam giác đều)
Đặt

. Trong

tam giác
Do
Trong

vuông tại

có

là nữa tam giác đều

là trọng tâm

.

vuông tại

:

Vậy,

.

Câu 7. Trong không gian
điểm


,
bằng

, cho hai mặt phẳng
. Xét hai điểm thay đổi

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

Giải thích chi tiết: Nhận xét:
Xét

và

Ta có

. Suy ra

.

,
và
C.

;

và hai


sao cho

. Giá trị nhỏ nhất của

.

D.

.

cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
.
và

.

4


Ta có

,

Gọi

và

suy ra


.

là điểm sao cho

.

Khi đó

.

Do đó

.

Xét

với

Đường thẳng

đi qua

Suy ra hình chiếu của
Gọi

. Ta thấy

và

nằm về cùng một phía so với


và vng góc với
trên

là điểm đối xứng với

có phương trình là:
là

qua

, suy ra

Ta có

.

.

.

là trung điểm

, suy ra

.

.

Đẳng thức xảy ra khi


là giao diểm của

Vậy giá trị nhỏ nhất của

là

Câu 8. Cho hình nón
Biết rằng

đỉnh

.

.

có thiết diện qua trục là tam giác đều

nội tiếp trong mặt cầu

so với khối cầu

và

tâm

, bán kính

có diện tích là


.

. Tính tỉ lệ thể tích của khối nón

.
5


A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Vì tam giác
Gọi

đều có diện tích


là trung điểm của

Hình nón
Mặt cầu

nên các cạnh

ta có

.
.

có đường cao

và bán kính đáy

có bán kính

.

.

.

x +5 y−7 z
=
= và điểm M (4 ; 1; 6). Đường
2
−2 1
thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB=6 . Viết phương trình của mặt cầu (S).

A. ¿
B. ¿
C. ¿
D. ¿
Đáp án đúng: A

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Câu 10. Trong không gian
A.
.
Đáp án đúng: D

, cho
B.

,

.

. Tính diện tích tam giác
C.

Câu 11. Trong khơng gian Oxyz, cho
A.
.
Đáp án đúng: A

B.


Giải thích chi tiết: Ta có:
Vậy
Câu 12.

.

.
D.

. Giá trị của

.

C.

.
bằng

D.

.

.

.
6


Trong không gian


, cho mặt phẳng

đến mặt phẳng

. Khoảng cách từ điểm

bằng

A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Ta có
Câu 13. Hình đa diện nào khơng có tâm đối xứng?
A. Hình bát diện đều.
C. Hình lăng trụ tứ giác đều.
Đáp án đúng: D

.

.

.
B. Hình lập phương.

D. Hình tứ diện đều.

Câu 14. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng
của đường trịn đáy tâm . Gọi
của khối tứ diện
là:

D.

cạnh bằng

là điểm thuộc cung

với

là đường kính

của đường trịn đáy sao cho

A.

. Thể tích

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.


Giải thích chi tiết:
Ta có:
Gọi

vng tại
là hình chiếu của

có
lên

nên

.

, suy ra

và

Vậy
Câu 15. Lăng trụ có 2020 đỉnh có số mặt là
A. 1009 .
B. 1012 .
Đáp án đúng: B
Câu 16. Trong không gian với hệ trục tọa độ

C. 1011 .
, cho

D. 1010 .
. Gọi


là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất

trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp

. Tính bán kính mặt cầu

.

A. .
Đáp án đúng: B

C.

D.

B.

.

Giải thích chi tiết: Gọi H là hình chiếu của

.

lên mp

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp
đường kính là

.


nên

có

, suy ra
7


Câu 17. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

. Để ít

.


D. Cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng
.
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao

nhiêu?

A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
Lời giải


và cạnh bên bằng

.

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
Khi đó

có độ dài

và

.

.

Theo giả thiết

.

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ
Gọi

,

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

là nhỏ nhất.
, ta có:


.
Khảo sát

trên

, ta được

Với
.
Câu 18.
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng

nhỏ nhất khi

.

(tham khảo hình vẽ)
8


.
Biết diện tích xung quanh của hình chóp đó gấpđơi diện tích đáy, thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.


Giải thích chi tiết: Gọi chiều cao của mặt bên là
Ta có diện tích xung quanh bằng

C.

.

D.

.

.
, suy ra

:

Khi đó thể tích khối chóp
Câu 19.
Cho hình nón có bán kính đường trịn đáy là
đúng?

, chiều cao

và độ dài đường sinh là

. Gọi

lần lượt là diện tích xung quanh và thể tích của khối nón. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào

A.

C.
Đáp án đúng: B

B.
D.

Câu 20. Trong không gian
, cho ba điểm
Đường thẳng
có phương trình là.
A.
C.
Đáp án đúng: C

. Gọi

là trực tâm tam giác

.

B.
D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
, cho ba điểm
tam giác
. Đường thẳng
có phương trình là.

. Gọi


là trực tâm

9


A.

B.

C.
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Như Trình ; Fb: Như Trình Nguyễn
Phương trình mặt phẳng (ABC):
Dễ thấy,

.

nên đường thẳng OH nhận vectơ

làm VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng OH là:
Câu 21. Trong không gian với hệ trục tọa độ
hai vectơ

và

, cho ba điểm


.

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ
A.
. B.
Lời giải

. Tính góc giữa

. C.

T a có:

và
. D.

.


D.

.

, cho ba điểm

.

.
.

,

.

Nên
Câu 22. Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
,
. Tam giác
cân tại
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Đường thẳng
tạo với đáy một góc
. Khi đó thể tích của
khối chóp
bằng
A.
.
Đáp án đúng: B

Câu

23.

B.
Trong

khơng

.

C.

gian

.

D.

,

.
cắt

mặt

cầu

theo thiết diện là một đường trịn có bán kính bằng
A.

.
Đáp án đúng: D
Câu 24.

B.

Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là

.

C.

. Một khối cầu

tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
nón và với

 ;… ;

 ;

.

D.

.

nội tiếp trong khối nối nón. Gọi

là khối cầu


là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của khối

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với

. Gọi

,…

10


lần lượt là thể tích của khối cầu

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

và

.

là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức

C.

.


D.

.

Giải thích chi tiết:
Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh . Do đó bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cũng
chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chọp là
Áp dụng định lí Ta-Let ta có:

Tương tự ta tìm được

.

Tiếp tục như vậy ta có

Ta có

Do đó
Đặt
11


Đây là tổng của CSN lùi vô hạn với công bội

Vậy
Câu 25. Trong không gian
tại , ,
sao cho
phẳng


, cho điểm
là trực tâm tam giác

. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt

?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: D

D.

Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

.

Thật vậy :

Mà

(1)
(vì

là trực tâm tam giác

Từ (1) và (2) suy ra

(*)

Tương tự

. (**)

Từ (*) và (**)

.

• Khi đó mặt cầu tâm
Vậy mặt cầu tâm
Câu 26.
Trong không gian
là điểm

) (2)

tiếp xúc mặt phẳng

và tiếp xúc với mặt phẳng

, cho hai điểm

có bán kính
là

.
.

và

. Trung điểm của đoạn thẳng
12


A.
C.
Đáp án đúng: B

.

B.

.

D.

.

, cho hai điểm


và

.

Giải thích chi tiết: Trong không gian
thẳng
là điểm

. Trung điểm của đoạn

A.
. B.
. C.
. D.
.
Lời giải
Câu 27. Cho một hình nón đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy. Nếu tam giác SAB đều thì góc
ở đỉnh của hình nón bằng
A. 30 ° .
B. 90 ° .
C. 60 ° .
D. 120 °.
Đáp án đúng: C

Giải thích chi tiết:
Hình nón có đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy nên góc ở đỉnh của hình nón là góc ^
ASB. Lại
0
^
có tam giác ΔSAB là tam giác đều nên ASB=6 0 . Vậy góc ở đỉnh hình nón bằng 60 ° .

Câu 28. Cho khối nón có bán kính đáy r =a và chiều cao h=2 a. Độ dài đường sinh của hình nón đó bằng
A. a √ 5
B. 10 a.
C. 5 a.
D. 3 a .
Đáp án đúng: A
Câu 29. Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu

có tâm I và bán kính R là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Câu 30. Trong không gian
tiếp tứ diện
là

, cho ba điểm

A.
C.
Đáp án đúng: C

,


,

. Phương trình mặt cầu ngoại

.

B.

.

.

D.

.

Câu 31. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
trình đường trung trực của cạnh
.

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.


. Viết phương

.

D.

.
13


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
Viết phương trình đường trung trực của cạnh
.

A.
Lời giải
Gọi
Gọi

.B.

.

C.

.

là đường trung trực của cạnh


trong tam giác

là trung điểm của đoạn thẳng

Gọi
là mặt phẳng qua
pháp tuyến.
Mặt phẳng

Đường thẳng

. Suy ra

và vng góc với

nhận

Ta có, đường thẳng

.
.

.
. Mặt phẳng

nhận

là giao tuyến của mặt phẳng

và mặt phẳng


.

và nhận

Phương trình của đường thẳng
Câu 32. Trong khơng gian

là:

. Chọn

, cho

và

. Tính tọa độ
B.

. Hãy tính thế tích
B.

Câu 34. Cho hình trụ có trục
một khoảng bằng
cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: D

.


.
.

C.
.
D.
Đáp án đúng: D
Câu 33. Cho hình túr giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh

A.
.
Đáp án đúng: B

.

.

.

phẳng đáy và

làm làm một vectơ

làm một vectơ pháp tuyến.

đi qua

A.


D.

.

.
, cạnh bên SA vng góc với mặt

của khối chóp S.ABCD.
C.

.

D.

.

và có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng song song với trục

và cách

cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vng. Diện tích xung quanh của hình trụ đã
B.

.

C.

.

D.


.

14


Giải thích chi tiết:
Mặt phẳng

song song với trục và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vng
, trong đó

là bán kính đáy và

. Cạnh hình vng là

là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng

.
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là
Câu 35. Cho hình bình hành

.

và điểm

bất kỳ nằm trên đường chéo

A.


B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Câu 36. Trong khơng gian

cho điểm

,

trình
nhất.

. Tìm tọa độ điểm

trên mặt cầu

A.

.

C.
Đáp án đúng: C

.

D.

qua

làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
có tâm

,

và mặt cầu
sao cho tứ diện

B.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

Mặt cầu

Mệnh đề nào sau đây sai?

, bán kính

có phương
có thể tích lớn

.
.

, mà
.

.

15


Gọi
.

là đường thẳng qua

và vng góc với

Gọi

là điểm thuộc mặt cầu

có vectơ chỉ phương

sao cho thể tích tứ diện

lớn nhất

Xét hệ

.

.

và
Vậy

.


là điểm cần tìm.

Câu 37. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB=2a, BC =
bằng 3a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
.
A.
Đáp án đúng: A
Câu 38.

B.

Trong không gian

D.

, cho ba điểm

tam giác

. Tọa độ trọng tâm

của

là

A.

.


C.
Đáp án đúng: A

B.

.
cho mặt cầu

.
,

A.
.
Đáp án đúng: C

,

.

D.

Câu 39. Trong khơng gian

sao cho
nhất.

C.

cạnh bên


.

có tâm

, bán kính

là một điểm di động trên
là các tiếp tuyến của

B.

.

. Ba điểm phân biệt

. Tính tổng

C.

và mặt phẳng

khi

.

,

,

thuộc

đạt giá trị lớn

D.

.

16


Giải thích chi tiết:

Vì

nên điểm

được các tiếp tuyến với mặt cầu
Gọi

ln nằm ngồi mặt cầu

và mặt phẳng

ta có
lớn nhất khi

Đường thẳng

đi qua

là


. Xét tam giác

vng tại

nhỏ nhất hay

là hình chiếu của

và nhận vectơ pháp tuyến của

trên mặt phẳng

làm vectơ chỉ phương. Phương trình đường

.
nên

hay

Vậy
Câu

, ta có

.

Do đó

Vì


ln kẻ

.

là giao điểm của đường thẳng

thẳng

. Do đó qua điểm

.

.
40.

Cho

hàm

số

.

số

. Khi biểu thức

.
A. .

Đáp án đúng: B

Các

B.

.

thực

thoả

mãn

và

đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị của
C.

.

D.

.

----HẾT---

17