ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 058.
Câu 1. Trong không gian
, cho điểm
tại , ,
sao cho
là trực tâm tam giác
phẳng

. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt

?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

.

Thật vậy :
Mà

(1)
(vì

là trực tâm tam giác

Từ (1) và (2) suy ra

(*)

Tương tự
Từ (*) và (**)
• Khi đó mặt cầu tâm

) (2)


. (**)
.
tiếp xúc mặt phẳng

có bán kính

Vậy mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt phẳng
là
Câu 2.
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng (tham khảo hình vẽ)

.
.

1


.
Biết diện tích xung quanh của hình chóp đó gấpđơi diện tích đáy, thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.


Giải thích chi tiết: Gọi chiều cao của mặt bên là
Ta có diện tích xung quanh bằng

.

D.

.

.
, suy ra

:

Khi đó thể tích khối chóp
Câu 3. Trong khơng gian Oxyz, cho
A.
Đáp án đúng: B

B.

. Giá trị của
.

Giải thích chi tiết: Ta có:
Vậy
Câu 4.

C.


.

bằng
D.

.

.

.

Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính
, người thợ thủ cơng mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó
thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã
hồn thiện.

A.

B.

C.
Đáp án đúng: A
Câu 5. Trong khơng gian

D.
, cho véctơ

. Độ dài của

bằng

2


A.
.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết:
Lời giải

B.

.

C.

.

D.

.

Ta có
.
Câu 6.
Cho hình vng
nội tiếp đường trịn
bán kính tam giác đều
nội tiếp đường trịn đó và
song song
(như hình vẽ). Cho mơ hình trên quay quanh đường thẳng

Kí hiệu
là thể tích khối
trịn xoay do hình vng, hình trịn và tam giác đều tạo thành. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

Gọi

B.

C.

lần lượt là trung điểm của

Thể tích khối cầu (tạo bởi khi quay hình trịn quanh trục
Ta có

Ta có

D.

cạnh hình vng bằng

) là

nên


cạnh tam giác đều bằng

nên

Vậy
3


Câu 7. Cho hình trụ có trục
một khoảng bằng
cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: B

và có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng song song với trục

và cách

cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vng. Diện tích xung quanh của hình trụ đã
B.

.

C.

.

D.


.

Giải thích chi tiết:
Mặt phẳng

song song với trục và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vng
, trong đó

là bán kính đáy và

. Cạnh hình vng là

là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng

.
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là
Câu 8. Cho hình trụ có đường kính đáy bằng
song với trục và cách trục một khoảng bằng
được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

.
. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song
, thiết diện thu được là một hình vng. Thể tích của khối trụ

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
4


Theo giả thiết, bán kính hình trụ là:

.

Giả sử thiết diện là hình vng MNPQ, ta có,
Suy ra

;

.

.

Thiết diện ta thu được là hình vng MNPQ có cạnh bằng

. Suy ra chiều cao hình trụ là

Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là:

Câu 9.
Nếu hai điểm

.

thoả mãn

A.

thì độ dài đoạn thẳng

;

B.

C.
Đáp án đúng: D

bằng bao nhiêu?
.

D.

Giải thích chi tiết: Nếu hai điểm
bao nhiêu?

thoả mãn

thì độ dài đoạn thẳng


bằng

A.
B.
C.
D.
Lời giải

;
.

Câu 10. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB=2a, BC =
bằng 3a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
.

cạnh bên

A.
B.
C.
D.
Đáp án đúng: C
Câu 11. Cho lăng trụ có đáy là hình vng cạnh a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. a 3.
B. 3 a3 .
C. 4 a3.
D. 2 a3.
Đáp án đúng: C
Câu 12. Cho hình lăng trụ đứng
Thể tích khối lăng trụ

A.
Đáp án đúng: A

B.

có đáy là tam giác vng cân tại

,

và

.

là
C.

D.

Giải thích chi tiết:
5


Ta có

,

.

Thể tích khối lăng trụ là
Câu 13.


.

Cho hình nón có bán kính đường trịn đáy là
đúng?

, chiều cao

. Gọi

lần lượt là diện tích xung quanh và thể tích của khối nón. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào

A.

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ

, cho hai điểm

và

chứa giao tuyến của hai mặt cầu
hai điểm


và độ dài đường sinh là

,

sao cho

. Xét

. Giá trị nhỏ nhất của

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: A

bằng

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

là mặt phẳng

và


là hai điểm bất kì thuộc

A.

. Gọi

.

là giao tuyến của hai mặt cầu

và

nên ta có hệ:

.
Gọi
.

và

lần lượt là hình chiếu của

và

lên

. Khi đó

,


,

6


Ta có:
Mặt khác:

.

Suy ra
Vậy

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Câu 15. Trong khơng gian

, dấu

hai tiếp tuyến cùng vng góc với
B.

Mặt cầu

kẻ được đến

.

D.


.

, cho mặt cầu
thuộc tia

và đường thẳng
, với tung độ là số nguyên, mà từ

kẻ được đến

?

.

có tâm

và bán kính

Ta có
Gọi

, với tung độ là số ngun, mà từ
C.

hai tiếp tuyến cùng vng góc với
. D.

thuộc tia

.


. Có bao nhiêu điểm
. C.

và đường thẳng

?

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian

A. . B.
Lời giải

thẳng hàng.

, cho mặt cầu

. Có bao nhiêu điểm
A. .
Đáp án đúng: A

xảy ra khi

.

với
là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ

Khi đó


qua điểm

đến

và vng góc đường thẳng

.
, vì vậy phương trình mặt phẳng

là:

.
Ta có

nằm ngồi mặt cầu
.

Mặt khác

Từ
Do

.

và

suy ra
nên

.

. Vậy có

điểm

thỏa mãn bài tốn.

Câu 16. Trong khơng gian

cho điểm

,

trình
nhất.

. Tìm tọa độ điểm

trên mặt cầu

,

và mặt cầu
sao cho tứ diện

có phương
có thể tích lớn

7



A.

.

C.
Đáp án đúng: A

B.

.

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

qua

.

, mà

làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt cầu

có tâm

, bán kính


Gọi
.

là đường thẳng qua

Gọi

là điểm thuộc mặt cầu

.

.

và vng góc với

có vectơ chỉ phương

sao cho thể tích tứ diện

Xét hệ

.

.

và
Vậy

lớn nhất


.

là điểm cần tìm.

Câu 17. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

. Để ít

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng
.
Đáp án đúng: B

Giải thích chi tiết: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
nhiêu?

. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao

A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.
8


D. Cạnh đáy bằng
Lời giải

và cạnh bên bằng


.

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
Khi đó

có độ dài

và

.

.

Theo giả thiết

.

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ
Gọi

,

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

là nhỏ nhất.
, ta có:

.
Khảo sát


trên

Với

, ta được

C.
Đáp án đúng: D

.

.

Câu 18. Cho hình lập phương
và đáy là hình trịn nội tiếp hình vng
A.

nhỏ nhất khi

.
.

có cạnh . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vng
. Diện tích tồn phần của khối nón đó là
B.

.

D.


.

Giải thích chi tiết:

Bán kính của đường trịn đáy là

.

9


Diện tích đáy nón là:

.

Độ dài đường sinh là

.

Diện tích xung quanh của khối nón là:

.

Vây, diện tích tồn phần của khối nón đó là:
.
Câu 19. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có BD=3 a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối
chóp đã cho bằng
A. 3 a3 .
B. 6 a 3 .
C. 6 a 3 .

D. 12 a3 .
Đáp án đúng: B
Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ

, cho

. Gọi

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất

trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp

. Tính bán kính mặt cầu

.

A.
.
Đáp án đúng: D

C.

D.

B. .

Giải thích chi tiết: Gọi H là hình chiếu của

.


.

lên mp

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp
đường kính là

có

, suy ra

Câu 21. Trong khơng gian
hai điểm
của

nên

,
bằng

, cho hai mặt phẳng

,

. Xét hai điểm thay đổi

A.
.
Đáp án đúng: A


B.

Giải thích chi tiết: Nhận xét:
Xét

và

Ta có

. Suy ra

.

và
C.

;

và

sao cho
.

. Giá trị nhỏ nhất
D.

.

cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
.

và

.

10


Ta có
Gọi

,

và

suy ra

.

là điểm sao cho

.

Khi đó

.

Do đó

.


Xét

với

Đường thẳng

đi qua

Suy ra hình chiếu của
Gọi

. Ta thấy

và

và vng góc với

là
qua

, suy ra

Ta có

.

.

.


là trung điểm

, suy ra

.

.
là giao diểm của

Vậy giá trị nhỏ nhất của

là

Câu 22. Khối đa diện đều loại
A. .
Đáp án đúng: D

có phương trình là:

trên

là điểm đối xứng với

Đẳng thức xảy ra khi

nằm về cùng một phía so với

và

.


.

có bao nhiêu mặt?
B.

.

C. .

D.

.

11


Giải thích chi tiết: Khối đa diện đều loại
A. . B. . C. .
Lời giải
Theo lí thuyết,

D.

.

Chọn phương án D.

{


u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
un+1 = ( un +1 )
3
14
B. u 4= .
C. u 4=1.
27

Câu 23. Cho dãy số ( u n) xác định bởi
5
A. u 4= .
9
Đáp án đúng: A

B. u 4=1.

2
D. u 4= .
3

{

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
un+1 = ( un +1 )
3
2

14
C. u 4= .
D. u 4= .
3
27

Giải thích chi tiết: Cho dãy số ( u n) xác định bởi
5
A. u 4= .
9
Lời giải

có bao nhiêu mặt?

12


Ta có
1
1
1
2
1
1 2
5
u2= ( u1+ 1 )= ( 2+1 ) =1;u3 = ( u2 +1 )= ;u 4= ( u3 +1 )=
+1 = .
3
3
3

3
3
3 3
9
Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.
Câu 24. Cho khối nón có bán kính đáy r =a và chiều cao h=2 a. Độ dài đường sinh của hình nón đó bằng
A. a √ 5
B. 5 a.
C. 3 a .
D. 10 a.
Đáp án đúng: A

( )

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
trình đường trung trực của cạnh
.

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

. Viết phương

C.


.

D.

.

Giải thích chi tiết: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
Viết phương trình đường trung trực của cạnh
.

A.
Lời giải
Gọi
Gọi

.B.

.

C.

là đường trung trực của cạnh

.
trong tam giác

là trung điểm của đoạn thẳng

Gọi
là mặt phẳng qua

pháp tuyến.
Mặt phẳng

và vng góc với

Đường thẳng

.
. Mặt phẳng

nhận

làm làm một vectơ

làm một vectơ pháp tuyến.

là giao tuyến của mặt phẳng

đi qua

và mặt phẳng

và nhận

Phương trình của đường thẳng

là:

.


.

. Tập hợp các giá trị của
B.

.
. Chọn

Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ

A.
.
Đáp án đúng: B

.
.

. Suy ra

nhận

Ta có, đường thẳng

D.

.

, cho

để bớn điểm

.

Giải thích chi tiết: Ta có

;

,

,

C.
,

,

;

đồng phẳng là tập con của tập nào sau?
.

,

;

D.

.

.


.
13


Để bớn điểm

,

,

,

đồng phẳng:

.
Câu 27. Cho hình nón
Biết rằng

đỉnh

có thiết diện qua trục là tam giác đều

nội tiếp trong mặt cầu

so với khối cầu

tâm

, bán kính


có diện tích là

.

. Tính tỉ lệ thể tích của khối nón

.

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Vì tam giác
Gọi

đều có diện tích


là trung điểm của

Hình nón
Mặt cầu

nên các cạnh

ta có

.
.

có đường cao

và bán kính đáy

có bán kính

.

.

.
Câu 28. Trong khơng gian
là
A.

, cho hai điểm

.


C.
.
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
tam giác
là

và
B.
D.

, cho hai điểm

. Tọa độ trọng tâm của tam giác
.
.
và

. Tọa độ trọng tâm của

14


A.
Lời giải

. B.

. C.


. D.

.

Gọi
là trọng tâm
.
′
′ ′ ′
Câu 29. Mặt phẳng ( A BC ) chia khối lăng trụ ABC . A B C thành hai khối chóp.
A. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
B. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
C. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .
D. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .
Đáp án đúng: C
Câu 30.
cho

Trong không gian
có dạng

, phương trình mặt cầu

A.
C.
Đáp án đúng: C
Câu 31. Cho hình bình hành

và cắt trục


tại

.

B.

.

.

D.

.

và điểm

bất kỳ nằm trên đường chéo

A.

sao

Mệnh đề nào sau đây sai?

B.

C.
Đáp án đúng: C
Câu 32.


D.

Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là

. Một khối cầu

tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
nón và với

có tâm

 ;… ;

B.

và

.

là khối cầu

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của khối

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với

lần lượt là thể tích của khối cầu

A.
.

Đáp án đúng: D

 ;

nội tiếp trong khối nối nón. Gọi
. Gọi

,…

là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức

C.

.

D.

.

15


Giải thích chi tiết:
Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh . Do đó bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cũng
chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chọp là
Áp dụng định lí Ta-Let ta có:

Tương tự ta tìm được

.


Tiếp tục như vậy ta có

Ta có

Do đó
Đặt

Đây là tổng của CSN lùi vơ hạn với công bội

16


Vậy
Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ
A.

, cho hai vectơ

.

C.
Đáp án đúng: B

,

B.
.

.


.

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

. Tính

.
, cho hai vectơ

,

. Tính

.
A.
Lời giải

. B.

.

C.

. D.

Ta có
Câu 34.


.

Trong khơng gian

, cho tam giác

có trọng tâm

. Tọa độ điểm

. Biết

là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
. Tọa độ điểm
A.
Lời giải
Vì


.

B.

là trọng tâm tam giác

C.

, cho tam giác

có trọng tâm

. Biết

là:
D.

nên ta có:

.
Câu 35.
17


Trong khơng gian
A.

, hình chiếu vng góc của điểm

trên trục


.

B.

.

C.
.
Đáp án đúng: B

D.

.

Câu 36. Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu

có tâm I và bán kính R là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C
Câu 37. Lăng trụ có 2020 đỉnh có số mặt là
A. 1012 .
B. 1011 .
Đáp án đúng: A
Câu


có tọa độ là

38.

Trong

khơng

D.

C. 1009 .

gian

D. 1010 .

,

cắt

mặt

cầu

theo thiết diện là một đường tròn có bán kính bằng
A.
.
Đáp án đúng: D


B.

.

C.

.

D.

.

Câu 39. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

, mặt phẳng

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất. Gọi
là một véctơ pháp tuyến của

A. .
Đáp án đúng: B

. Tính giá trị biểu thức

B. .

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi


có tâm

đi qua hai điểm

C.

,

và

?

.

D.

.

.

.
đi qua điểm

.

đi qua điểm
Mặt phẳng
nhất.


.

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn

.
.
Trừ từng vế

và

ta được

.
18


Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

.
.

Dấu = xảy ra

.

Câu 40. Cho lăng trụ tam giác

giác
của

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

A.
.
Đáp án đúng: A

, góc giữa đường thẳng

. Hình chiếu vng góc của điểm
theo bằng

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ tam giác
bằng
, tam giác
trùng với trọng tâm của
A.
.

B.
Hướng dẫn giải:
Gọi
và

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

.

C.

.

D.

.

và
lên

bằng

, tam

trùng với trọng tâm


D.

.

, góc giữa đường thẳng

và

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

lên

.

là trung điểm của
là trọng tâm của

.
.

Xét

vuông tại

, có

. (nửa tam giác đều)
Đặt


. Trong

tam giác
Do
Trong

vuông tại

có

là nữa tam giác đều

là trọng tâm
vuông tại

.
:

19


Vậy,

.
----HẾT---

20