ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 056.
Câu 1. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.
B. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy

và chiều cao

là

.

C. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy

và chiều cao

là

.

D. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy
Đáp án đúng: D
Câu 2.

và chiều cao

là

.

Trong không gian
đến mặt phẳng
A.
.
Đáp án đúng: C

, cho mặt phẳng

. Khoảng cách từ điểm

bằng
B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Ta có
Câu 3. Hình đa diện nào khơng có tâm đối xứng?
A. Hình tứ diện đều.
C. Hình bát diện đều.
Đáp án đúng: A


.

D.

.

.
B. Hình lăng trụ tứ giác đều.
D. Hình lập phương.

Câu 4. Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là
Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng 3 kích
thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương ln gấp
lần thể tích hình hộp chữ
nhật. Gọi
là tỉ số giữa diện tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật.
Tìm giá trị lớn nhất của
A.
.
Đáp án đúng: A

của
B.

.

C.

.


D.

.

Giải thích chi tiết: Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương là
Hình hộp chữ nhật có

và

Hình lập phương có
Vậy
1


Ta có

Đặt

Vậy
Đặt
Ta có

Kết hợp điều kiện

ta có

Khi đó
Xét hàm số

trện đoạn


Ta có
Suy ra,

Khi đó,

Câu 5. Cho hình bình hành

và điểm

.

bất kỳ nằm trên đường chéo

A.

Mệnh đề nào sau đây sai?

B.

C.
D.
Đáp án đúng: D
Câu 6. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có BD=3 a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối
chóp đã cho bằng
A. 6 a 3 .
B. 6 a 3 .
C. 12 a3 .
D. 3 a3 .
Đáp án đúng: A

Câu

7.

Cho

hàm

số

.

số

. Khi biểu thức

.
A. .
Đáp án đúng: B
Câu 8.

Các

B.

.

thực

thoả


mãn

và

đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị của
C.

.

D.

.

2


Trong

khơng

gian

với

hệ

tọa

độ


cho

và

hai

đường

. Phương trình đường thẳng qua
với

và cắt

thẳng

, vng góc

là

A.
C.
Đáp án đúng: A

.

B.

.


.

D.

.

Giải thích chi tiết: Gọi

là đường thẳng qua

và

cắt

tại

. Khi đó

.
Ta có

.

Đường

, với

Do đó

là một vectơ chỉ phương của


, suy ra

.

.

Vậy phương trình đường thẳng

.

Câu 9. Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu

có tâm I và bán kính R là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: D

D.

Câu 10. Cho hình nón
Biết rằng

đỉnh

có thiết diện qua trục là tam giác đều


nội tiếp trong mặt cầu

so với khối cầu
A.
.
Đáp án đúng: D

tâm

, bán kính

có diện tích là

.

. Tính tỉ lệ thể tích của khối nón

.
B.

.

C.

.

D.

.


Giải thích chi tiết:
3


Vì tam giác
Gọi

đều có diện tích

là trung điểm của

Hình nón
Mặt cầu

nên các cạnh

ta có

.
.

có đường cao

và bán kính đáy

có bán kính

.


.

.
Câu 11. Cho lăng trụ có đáy là hình vng cạnh a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. 3 a3 .
B. 4 a3 .
C. 2 a3.
D. a 3.
Đáp án đúng: B
Câu 12. Trong khơng gian với hệ tọa độ

, vectơ

có tọa độ là

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Đáp án đúng: C
Câu 13.
Cho hình vng
nội tiếp đường trịn
bán kính tam giác đều
nội tiếp đường trịn đó và
song song

(như hình vẽ). Cho mơ hình trên quay quanh đường thẳng
Kí hiệu
là thể tích khối
trịn xoay do hình vng, hình trịn và tam giác đều tạo thành. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

B.

C.

D.

4


Gọi

lần lượt là trung điểm của

Thể tích khối cầu (tạo bởi khi quay hình trịn quanh trục
Ta có

cạnh hình vng bằng

Ta có


) là

nên

cạnh tam giác đều bằng

nên

Vậy
Câu 14. Trong khơng gian với hệ tọa độ

, cho hai điểm

và

chứa giao tuyến của hai mặt cầu
hai điểm

,

sao cho

. Xét

. Giá trị nhỏ nhất của

.

B.


C.
.
Đáp án đúng: A

bằng

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

là mặt phẳng

và

là hai điểm bất kì thuộc

A.

. Gọi

.

là giao tuyến của hai mặt cầu

và

nên ta có hệ:


.
Gọi
.

và

lần lượt là hình chiếu của

và

lên

. Khi đó

,

,

Ta có:
5


Mặt khác:

.

Suy ra
Vậy

đạt giá trị nhỏ nhất bằng


Câu 15. Trong không gian
tại , ,
sao cho
phẳng

, dấu

, cho điểm
là trực tâm tam giác

xảy ra khi

thẳng hàng.

. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt

?

A.

B.

C.

Đáp án đúng: D

D.

Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

.

Thật vậy :
Mà

(1)
(vì

là trực tâm tam giác

Từ (1) và (2) suy ra

(*)

Tương tự

. (**)

Từ (*) và (**)

.


• Khi đó mặt cầu tâm
Vậy mặt cầu tâm

) (2)

tiếp xúc mặt phẳng

và tiếp xúc với mặt phẳng

có bán kính
là

.

Câu 16. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng
của đường tròn đáy tâm . Gọi
của khối tứ diện
là:
A.
C.
Đáp án đúng: C

.

cạnh bằng

là điểm thuộc cung

với


của đường tròn đáy sao cho

là đường kính
. Thể tích

B.
D.

Giải thích chi tiết:
6


Ta có:
Gọi

vng tại
là hình chiếu của

có
lên

nên

.

, suy ra

và


Vậy
Câu 17.
Trong khơng gian
tam giác

, cho ba điểm

. Tọa độ trọng tâm

là

A.

.

C.
Đáp án đúng: B

B.
.
có đáy

), góc giữa đường thẳng
A.
.
Đáp án đúng: A

A.
.
Đáp án đúng: A

Giải thích chi tiết:
Lời giải

.

, cho véctơ
B.

.

Ta có

bằng

(với

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

C.

.

. Độ dài của
C.

,

D.

.


bằng

.

D.

.

.

Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ
và

, cho ba điểm

. Tính góc giữa

.

A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ
A.
. B.
Lời giải

.
là tam giác vng cân tại

và mặt phẳng

B.

Câu 19. Trong không gian

hai vectơ

.

D.

Câu 18. Cho khối lăng trụ đứng

T a có:

của

. C.

và

. D.

,

.
, cho ba điểm

D.

.
.

.
.
.

Nên
7


Câu 21. Mặt phẳng ( A′ BC ) chia khối lăng trụ ABC . A′ B ′ C′ thành hai khối chóp.
A. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .
B. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .
C. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
D. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
Đáp án đúng: B
Câu 22. Cho hình trụ có đường kính đáy bằng
song với trục và cách trục một khoảng bằng
được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
A.

.
Đáp án đúng: C

B.

. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song
, thiết diện thu được là một hình vng. Thể tích của khối trụ

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Theo giả thiết, bán kính hình trụ là:

.

Giả sử thiết diện là hình vng MNPQ, ta có,
Suy ra

;

.


.

Thiết diện ta thu được là hình vng MNPQ có cạnh bằng

. Suy ra chiều cao hình trụ là

Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là:
Câu 23.

.

Một chiếc ly dạng hình nón ( như hình vẽ với chiều cao ly là

). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho

chiều cao của lượng nước trong ly bằng
chiều cao của ly. Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỷ
lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng bao nhiêu?

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

.


D.

.

Giải thích chi tiết:
8


Giả sử ly có chiều cao

và đáy là đường trịn có bán kính

Khối nước trong ly có chiều cao bằng
và bán kính đáy

, nên có thể tích

.

chiều cao của ly nên khối nước tạo thành khối nón có chiều cao bằng

thể tích nước bằng

.

Do đó thể tích khoảng khơng bằng

.


Nên khi úp ngược ly lại thì ta có các tỉ lệ:

.

Suy ra: thể tích khoảng khơng bằng:

.
.

Nên chiều cao mực nước bằng:

.

Vậy tỷ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng

.

Câu 24. Trong không gian

,

hai điểm
của

,
bằng

, cho hai mặt phẳng
. Xét hai điểm thay đổi


A.
.
Đáp án đúng: C

B.

Giải thích chi tiết: Nhận xét:
Xét

và

Ta có

. Suy ra

.

và
C.

;

và

sao cho
.

. Giá trị nhỏ nhất
D.


.

cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
.
và

.

9


Ta có
Gọi

,

và

suy ra

.

là điểm sao cho

.

Khi đó

.


Do đó

.

Xét

với

Đường thẳng

đi qua

Suy ra hình chiếu của
Gọi

. Ta thấy

và

nằm về cùng một phía so với

và vng góc với
trên

là điểm đối xứng với

có phương trình là:
là

qua


, suy ra

Ta có

.

.

.

là trung điểm

, suy ra

.

.

Đẳng thức xảy ra khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của
Câu 25.
Trong không gian

là giao diểm của
là

và

.


.

, cho hai điểm

và

. Trung điểm của đoạn thẳng

là điểm
10


A.

.

C.
Đáp án đúng: A

B.
.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
thẳng
là điểm
A.
Lời giải

. B.


. C.

Câu 26. Trong không gian
tiếp tứ diện
là

D.

.

, cho hai điểm

và

. D.

C.
Đáp án đúng: B

. Trung điểm của đoạn

.

, cho ba điểm

A.

.


,

,

. Phương trình mặt cầu ngoại

.

B.

.

.

D.

.

Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa độ

, mặt phẳng

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất. Gọi
là một véctơ pháp tuyến của

A. .
Đáp án đúng: C


B.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

đi qua hai điểm

. Tính giá trị biểu thức

.

và

?

C. .

có tâm

,

D.

.

.

.
đi qua điểm


.

đi qua điểm
Mặt phẳng
nhất.

.

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn

.
.
Trừ từng vế

và

ta được

.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

.
.

11



Dấu = xảy ra

.

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ
. Tập hợp các giá trị của
A.
.
Đáp án đúng: B

B.

, cho

để bớn điểm
.

Giải thích chi tiết: Ta có

;

,

,

,

C.

,

;

đồng phẳng là tập con của tập nào sau?
.

,

;

D.

.

.

.
Để bốn điểm

,

,

,

đồng phẳng:

.
Câu 29. Khối đa diện đều loại

A. .
Đáp án đúng: C

có bao nhiêu mặt?
B.

.

Giải thích chi tiết: Khối đa diện đều loại
A. . B. . C. .
Lời giải
Theo lí thuyết,

D.

C.

.

D. .

có bao nhiêu mặt?

.

12


Chọn phương án D.
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết

trình đường trung trực của cạnh
.

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

C.

. Viết phương

.

Giải thích chi tiết: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
Viết phương trình đường trung trực của cạnh
.

A.
Lời giải
Gọi

.B.

.

là đường trung trực của cạnh


C.

.
trong tam giác

D.

D.

.
.

.
.
13


Gọi

là trung điểm của đoạn thẳng

Gọi
là mặt phẳng qua
pháp tuyến.
Mặt phẳng

. Suy ra

và vng góc với


nhận

Ta có, đường thẳng
Đường thẳng

.
. Mặt phẳng

đi qua

và mặt phẳng

và nhận

Phương trình của đường thẳng
Câu 31.

là:

.

.
thì độ dài đoạn thẳng

.

C.
Đáp án đúng: B


.
. Chọn

thoả mãn

A.

làm làm một vectơ

làm một vectơ pháp tuyến.

là giao tuyến của mặt phẳng

Nếu hai điểm

nhận

bằng bao nhiêu?

B.

;

D.

Giải thích chi tiết: Nếu hai điểm
bao nhiêu?

thoả mãn


thì độ dài đoạn thẳng

bằng

A.
B.
C.

;

D.
Lời giải

.

Câu 32. Trong không gian với hệ trục
A. .
Đáp án đúng: C

B.

Câu 33. Trong khơng gian
là
A.

, cho mặt cầu

. Bán kính của

.


C.

, cho hai điểm

D.

và

.

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
tam giác
là

, cho hai điểm

A.

. D.

. C.

.

. Tọa độ trọng tâm của tam giác

B.


C.
.
Đáp án đúng: A

. B.

.

là

.
.
và

. Tọa độ trọng tâm của

.
14


Lời giải

Gọi

là trọng tâm

.

Câu 34. Trong không gian


, cho mặt cầu

. Có bao nhiêu điểm
hai tiếp tuyến cùng vng góc với
A. .
Đáp án đúng: C

B.

.

Mặt cầu

kẻ được đến

D.

.
và đường thẳng

thuộc tia

, với tung độ là số nguyên, mà từ

kẻ được đến

?

.


có tâm

và bán kính

Ta có
Gọi

.

, cho mặt cầu

hai tiếp tuyến cùng vng góc với
. D.

, với tung độ là số ngun, mà từ
C.

. Có bao nhiêu điểm
. C.

thuộc tia

?

Giải thích chi tiết: Trong không gian

A. . B.
Lời giải


và đường thẳng

.

với
là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ

Khi đó

qua điểm

đến

và vng góc đường thẳng

.
, vì vậy phương trình mặt phẳng

là:

.
Ta có

nằm ngồi mặt cầu
.

Mặt khác

Từ


.

và

suy ra

.

Do
nên
. Vậy có
điểm thỏa mãn bài tốn.
Câu 35. Cho hình túr giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh
phẳng đáy và
A.

.

. Hãy tính thế tích
B.

.

, cạnh bên SA vng góc với mặt

của khối chóp S.ABCD.
C.

.


D.

.

15


Đáp án đúng: C

{

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
Câu 36. Cho dãy số ( u n) xác định bởi
un+1 = ( un +1 )
3
14
5
A. u 4= .
B. u 4=1.
C. u 4= .
27
9
Đáp án đúng: C
u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
Giải thích chi tiết: Cho dãy số ( u n) xác định bởi
1
un+1 = ( un +1 )

3
5
2
14
A. u 4= .
B. u 4=1.
C. u 4= .
D. u 4= .
9
3
27
Lời giải
Ta có
1
1
1
2
1
1 2
5
u2= ( u1+ 1 )= ( 2+1 ) =1;u3 = ( u2 +1 )= ;u 4= ( u3 +1 )=
+1 = .
3
3
3
3
3
3 3
9
Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.

Câu 37.

2
D. u 4= .
3

{

( )

Trong khơng gian

, cho tam giác

có trọng tâm

. Tọa độ điểm

là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian

. Tọa độ điểm
A.
Lời giải
Vì

. Biết

B.

có trọng tâm

. Biết

là:

C.

là trọng tâm tam giác

, cho tam giác

D.
nên ta có:

.
Câu 38. Trong không gian Oxyz, cho
A.
Đáp án đúng: C

B.


.

. Giá trị của
C.

.

bằng
D.

.

16


Giải thích chi tiết: Ta có:
Vậy
Câu 39.

.

.

Trong khơng gian
A.

, hình chiếu vng góc của điểm

trên trục


.

B.

.

C.
.
Đáp án đúng: D

D.

.

có tọa độ là

Câu 40. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.


C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

. Để ít

D. Cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng
.
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
nhiêu?

. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao

A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.


C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
Lời giải

và cạnh bên bằng

.

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
Khi đó
Theo giả thiết

và

có độ dài

,

.

.
.
17



Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ
Gọi

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

là nhỏ nhất.
, ta có:

.
Khảo sát
Với

trên

, ta được

nhỏ nhất khi

.

.
----HẾT---

18