ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 053.
Câu 1. Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu

có tâm I và bán kính R là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: D

D.

Câu 2. Cho khối lăng trụ đứng
), góc giữa đường thẳng

có đáy

và mặt phẳng

A.

.
Đáp án đúng: C

B.

là tam giác vng cân tại
bằng

.

(với

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
C.

.

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ
. Khoảng cách từ điểm

,

D.

, cho điểm

đến mặt phẳng

.
và mặt phẳng


là

A.
.
B. 3.
PHẦN TỰ LUẬN
C.

.

D.
.
Đáp án đúng: B
Câu 4. Trong khơng gian với hệ tọa độ
,

. Gọi

trình tiếp diện của mặt cầu
A.
C.
Đáp án đúng: D

Ta có:

tại

sao cho


đạt giá trị lớn nhất. Viết phương

.
B.

.

.

D.

.

là trung điểm của
,

là điểm thuộc mặt cầu

và hai điểm

.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

, cho mặt cầu

có tâm
tọa độ của


và bán kính
là
và

.
,

nên

nằm ngồi mặt cầu

.

.
1


Xét tam giác

áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:

Ta lại có:

.

Bởi vậy
MNEKI
Do

đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

lớn nhất nên

thuộc đường thẳng

Phương trình đường thẳng
Tọa độ giao điểm

và

lớn nhất.

.

là:

.

của đường thẳng

với mặt cầu

ứng với

là nghiệm phương trình:

.
Như vậy

hoặc


.

Ta có
,
. Suy ra
tại
có phương trình:

, nên phương trình tiếp diện của mặt cầu
hay

.

Câu 5. Cho lăng trụ tam giác
giác
của

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

A.
.
Đáp án đúng: A

, góc giữa đường thẳng

. Hình chiếu vuông góc của điểm

theo bằng

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ tam giác
bằng
, tam giác
trùng với trọng tâm của
A.
.
B.
Hướng dẫn giải:
Gọi
và

.

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện
C.

.


D.

.

và
lên

bằng

, tam

trùng với trọng tâm

D.

.

, góc giữa đường thẳng

và

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

lên

.

là trung điểm của
là trọng tâm của


.
.

2


Xét

vuông tại

, có

. (nửa tam giác đều)
Đặt

. Trong

tam giác
Do

vuông tại

có

là nữa tam giác đều

là trọng tâm

Trong


.

vuông tại

:

Vậy,

.

Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ
hai vectơ

và

, cho ba điểm

.

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ
A.
. B.
Lời giải

. C.

T a có:

. Tính góc giữa

và

.
, cho ba điểm

D.

.
.

.

. D.

.

,


.

Nên
Câu 7. Phương trình nào khơng phải là phương trình mặt cầu, chọn đáp án đúng nhất:
A.

.

B.
C. B và C.
D.
Đáp án đúng: D

.
.

3


Câu 8. Trong không gian
điểm

,
bằng

, cho hai mặt phẳng
. Xét hai điểm thay đổi

A.
.

Đáp án đúng: A

B.

và

Ta có

. Suy ra

Gọi

,

C.

;

Xét

sao cho

. Giá trị nhỏ nhất của

.

D.

.


.
và

và

.

suy ra

.
.

Khi đó

.

Do đó

Đường thẳng

và hai

cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.

là điểm sao cho

Xét

và


.

Giải thích chi tiết: Nhận xét:

Ta có

,

.
với

đi qua

. Ta thấy

và

nằm về cùng một phía so với

và vng góc với

có phương trình là:

.

.
4


Suy ra hình chiếu của

Gọi

trên

là

là điểm đối xứng với

qua

, suy ra

Ta có

là trung điểm

, suy ra

.

.

Đẳng thức xảy ra khi

là giao diểm của

Vậy giá trị nhỏ nhất của
Câu 9.

là


A.

và

.

.

Thể tích của khối nón có chiều cao

và bán kính đáy

.

C.
.
Đáp án đúng: C
Câu 10. Trong không gian
tiếp tứ diện
là

, cho ba điểm

A.

A.
Đáp án đúng: A
Câu 12. Trong không gian
tại , ,

sao cho

là
B.

.

D.

.

,

.

C.
.
Đáp án đúng: C
Câu 11.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh
của khối nón được tạo thành:

phẳng

.

,

. Phương trình mặt cầu ngoại


B.

.

D.

.

. Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Tính thể tích

B.

C.

, cho điểm
là trực tâm tam giác

D.

. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt

?

A.


B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

.
5


Thật vậy :
Mà

(1)
(vì

là trực tâm tam giác

) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

(*)


Tương tự

. (**)

Từ (*) và (**)

.

• Khi đó mặt cầu tâm
Vậy mặt cầu tâm

tiếp xúc mặt phẳng

có bán kính

và tiếp xúc với mặt phẳng

là

.

Câu 13. Trong không gian Oxyz, cho
A. .
Đáp án đúng: D

B.

. Giá trị của
.


Giải thích chi tiết: Ta có:
Vậy

.

C.

bằng
D.

.

.

.

Câu 14. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.


C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

. Để ít

D. Cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng
.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
nhiêu?

. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao

A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.


C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
Lời giải

và cạnh bên bằng

.

6


Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
Khi đó

có độ dài

và

,

.

Theo giả thiết

.


Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ
Gọi

.

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

là nhỏ nhất.
, ta có:

.
Khảo sát
Với

trên

, ta được

nhỏ nhất khi

.

.

Câu 15. Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là
Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng 3 kích
thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương ln gấp
lần thể tích hình hộp chữ
nhật. Gọi

là tỉ số giữa diện tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật.
Tìm giá trị lớn nhất của
A.
.
Đáp án đúng: B

của
B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương là
Hình hộp chữ nhật có

và

Hình lập phương có
Vậy
Ta có

Đặt
7



Vậy
Đặt
Ta có

Kết hợp điều kiện

ta có

Khi đó
Xét hàm số

trện đoạn

Ta có
Suy ra,
Câu 16.

Khi đó,

Trong khơng gian
tam giác

.

, cho ba điểm

. Tọa độ trọng tâm


của

là

A.

.

C.
Đáp án đúng: A

B.

.

.

D.

.

Câu 17. Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
,
. Tam giác
cân tại
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Đường thẳng
tạo với đáy một góc
. Khi đó thể tích của

khối chóp
bằng
A.
.
Đáp án đúng: C

B.

Câu 18. Cho hình nón
Biết rằng

.

C.

.

có thiết diện qua trục là tam giác đều

nội tiếp trong mặt cầu

so với khối cầu
A.

đỉnh

.

tâm


, bán kính

D.

.

có diện tích là

.

. Tính tỉ lệ thể tích của khối nón

.
B.

.

C.

.

D.

.
8


Đáp án đúng: C

Giải thích chi tiết:

Vì tam giác
Gọi

đều có diện tích

là trung điểm của

Hình nón
Mặt cầu

nên các cạnh

.

ta có

.

có đường cao

và bán kính đáy

có bán kính

.

.

.
Câu 19. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ


, mặt phẳng

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất. Gọi
là một véctơ pháp tuyến của

A. .
Đáp án đúng: C

B.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

. Tính giá trị biểu thức

.

có tâm

đi qua hai điểm

,

và

?


C. .

D. .

.

.
đi qua điểm

.

đi qua điểm
Mặt phẳng
nhất.

.

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn

.
.
9


Trừ từng vế


và

ta được

.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

.
.

Dấu = xảy ra

.

Câu 20. Trong không gian
là
A.

, cho hai điểm

và

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: C


, cho hai điểm

A.
Lời giải

. D.

. B.

. C.

.
và

.

A.
Đáp án đúng: A
22.

Cho

B.
hàm

và chiều cao bằng
.

. Bán kính đáy của khối trụ đã cho bằng:

C.

số

.

Các

.

D.
số

. Khi biểu thức

.
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

Câu 23. Cho hình lăng trụ đứng
Thể tích khối lăng trụ
A.

. Tọa độ trọng tâm của

.


là trọng tâm

Câu 21. Cho khối trụ có thể tích là

Câu

.

D.

Giải thích chi tiết: Trong không gian
tam giác
là

Gọi

. Tọa độ trọng tâm của tam giác

B.

.

thực

thoả

.
mãn

và


đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị của
C.

.

có đáy là tam giác vuông cân tại

D.
,

.
và

.

là
C.

D.
10


Đáp án đúng: C

Giải thích chi tiết:

Ta có

,


.

Thể tích khối lăng trụ là
.
Câu 24.
Một cái khối gỗ có hình dạng như hình bên (gồm 1 khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi
trên hình, chu vi đáy là

A.
C.
Đáp án đúng: D

. Thể tích của khối gỗ bằng

.

B.
.

D.

.
.
11


Câu 25.
Trong không gian


, cho mặt phẳng

đến mặt phẳng

. Khoảng cách từ điểm

bằng

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Ta có
.
Câu 26. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.
B. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy


và chiều cao

là

.

C. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy

và chiều cao

là

.

D. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy
Đáp án đúng: C

và chiều cao

là

.

Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
trình đường trung trực của cạnh
.

A.
.
Đáp án đúng: B


B.

.

C.

. Viết phương

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
Viết phương trình đường trung trực của cạnh
.

A.
Lời giải
Gọi
Gọi

.B.

.

C.


là đường trung trực của cạnh
là trung điểm của đoạn thẳng

Gọi
là mặt phẳng qua
pháp tuyến.
Mặt phẳng

đi qua

D.

trong tam giác
. Suy ra

và vuông góc với

nhận

Ta có, đường thẳng
Đường thẳng

.

.

.
.

.

. Mặt phẳng

nhận

làm làm một vectơ

làm một vectơ pháp tuyến.

là giao tuyến của mặt phẳng
và nhận

và mặt phẳng

.
. Chọn

.

12


Phương trình của đường thẳng

là:

.

Câu 28. Cho hình lập phương
và đáy là hình trịn nội tiếp hình vng
A.

C.
Đáp án đúng: B

có cạnh . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vng
. Diện tích tồn phần của khối nón đó là

.

B.

.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:

Bán kính của đường trịn đáy là

.

Diện tích đáy nón là:

.

Độ dài đường sinh là


.

Diện tích xung quanh của khối nón là:

.

Vây, diện tích tồn phần của khối nón đó là:
Câu 29.
cho

Trong khơng gian
có dạng

A.
C.
Đáp án đúng: D

, phương trình mặt cầu

có tâm

và cắt trục

tại

.

B.

.


.

D.

.

Câu 30. Cho tam giác
vng tại
có
tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng
A.

.

?

,

sao

. Diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay

.

B.

.

C.

.
Đáp án đúng: A

D.

.
13


Giải thích chi tiết: Khi quay tam giác
.
Ta có:

quanh cạnh

ta thu được hình nón có:

.

Câu 31. Trong khơng gian với hệ tọa độ

, cho hai điểm

và

chứa giao tuyến của hai mặt cầu
hai điểm

;


,

sao cho

. Xét

. Giá trị nhỏ nhất của

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: D

bằng

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

là mặt phẳng

và

là hai điểm bất kì thuộc


A.

. Gọi

.

là giao tuyến của hai mặt cầu

và

nên ta có hệ:

.
Gọi
.

và

lần lượt là hình chiếu của

và

lên

. Khi đó

,

,


Ta có:
Mặt khác:

.

Suy ra
Vậy

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Câu 32. Cho hình chóp tứ giác đều
Thể tích khối chóp đó bằng
A.

, dấu

xảy ra khi

có cạnh đáy bằng

thẳng hàng.

. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

.

.
14



B.

.

C.

.

D.
.
Đáp án đúng: D
Câu 33. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB=2a, BC =
bằng 3a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
.
A.
Đáp án đúng: B

B.

Câu 34. Trong khơng gian
A.

.

, cho

C.
và

D.

. Tính tọa độ

B.

cạnh bên

.
.

C.
.
D.
.
Đáp án đúng: C
Câu 35. Cho một hình nón đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy. Nếu tam giác SAB đều thì góc
ở đỉnh của hình nón bằng
A. 120 °.
B. 60 ° .
C. 90 ° .
D. 30 ° .
Đáp án đúng: B

Giải thích chi tiết:
Hình nón có đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy nên góc ở đỉnh của hình nón là góc ^
ASB. Lại
0
^
có tam giác ΔSAB là tam giác đều nên ASB=6 0 . Vậy góc ở đỉnh hình nón bằng 60 ° .
x +5 y−7 z
=

= và điểm M (4 ;1; 6). Đường
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :
2
−2 1
thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB=6 . Viết phương trình của mặt cầu (S).
A. ¿
B. ¿
C. ¿
D. ¿
Đáp án đúng: B
Câu 37. Lăng trụ có 2020 đỉnh có số mặt là
A. 1010 .
B. 1012 .
C. 1009 .
D. 1011 .
Đáp án đúng: B
Câu 38.
15


Trong không gian

, cho hai điểm

và

. Trung điểm của đoạn thẳng

là điểm
A.


.

C.
Đáp án đúng: D

B.

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
thẳng
là điểm
A.
Lời giải
Câu 39.

. B.

. C.

Cho

D.

.

, cho hai điểm

và


. D.

. Trung điểm của đoạn

.

. Tọa độ M là

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Câu 40. Trong không gian

cho mặt cầu

.
sao cho
nhất.

.

,


,

A.
.
Đáp án đúng: B

có tâm

là một điểm di động trên
là các tiếp tuyến của

B.

.

, bán kính
. Ba điểm phân biệt

. Tính tổng

C.

và mặt phẳng
,

,

khi

.


thuộc
đạt giá trị lớn

D.

.

Giải thích chi tiết:

Vì
được các tiếp tuyến với mặt cầu

nên điểm

ln nằm ngồi mặt cầu

. Do đó qua điểm

luôn kẻ

.

16


Gọi

là giao điểm của đường thẳng


và mặt phẳng

ta có
lớn nhất khi

Đường thẳng

Vì
Vậy

. Xét tam giác

vng tại

.

Do đó

thẳng

, ta có

là

đi qua

nhỏ nhất hay

là hình chiếu của


và nhận vectơ pháp tuyến của

trên mặt phẳng

làm vectơ chỉ phương. Phương trình đường

.
nên

hay

.

.
----HẾT---

17