ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 051.
Câu 1. Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục
là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường trịn đáy của ba khối nón đơi một tiếp xúc với nhau, một
khối nón có đường tròn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón cịn lại có đường trịn đáy tiếp
xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng
bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là
tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

.

D.

lần

(lít). Thể
.

Giải thích chi tiết:
+) Gọi
cân).

là bán kính đáy của hình nón suy ra chiều cao nón là

+) Chiều dài của khối hộp là

bán kính của khối cầu là

+) Thể tích nước bị tràn là
+) Gọi

(do thiết diện là tam giác vuông

.
.

là tâm của 3 đáy của khối nón suy ra

+) Chiều rộng khối hộp là

đều cạnh

.


(dm).

+) Ba đỉnh nón chạm mặt cầu tại các điếm
( với

I

là tâm mặt cầu), do đó

. Suy ra chiều cao của khối trụ là

.
1


+) Thể tích nước ban đầu là

(lít).

Câu 2. Trong khơng gian với hệ tọa độ

, cho hai điểm

và

chứa giao tuyến của hai mặt cầu
hai điểm

,


sao cho

. Xét

. Giá trị nhỏ nhất của

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: A

bằng

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

là mặt phẳng

và

là hai điểm bất kì thuộc

A.


. Gọi

.

là giao tuyến của hai mặt cầu

và

nên ta có hệ:

.
Gọi
.

và

lần lượt là hình chiếu của

và

lên

. Khi đó

,

,

Ta có:
Mặt khác:


.

Suy ra
Vậy

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

, dấu

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ
. Tập hợp các giá trị của
A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

xảy ra khi

, cho

để bốn điểm

,
C.

thẳng hàng.

;

,

,

;

;

đồng phẳng là tập con của tập nào sau?
.

D.

.

2


Giải thích chi tiết: Ta có

,

,

.

.
Để bớn điểm


,

,

,

đồng phẳng:

.
Câu 4. Trong không gian
là
A.

, cho hai điểm

và

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: A

, cho hai điểm

A.
Lời giải


. D.

. B.

.

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
tam giác
là

Gọi

. Tọa độ trọng tâm của tam giác

. C.

.
và

. Tọa độ trọng tâm của

.

là trọng tâm

.


Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ

, cho

. Gọi

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất

trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp

. Tính bán kính mặt cầu

.

A.
.
Đáp án đúng: C

C.

D. .

B.

.

Giải thích chi tiết: Gọi H là hình chiếu của

.


lên mp

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp
đường kính là
Câu 6.

nên

có

, suy ra

Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là

. Một khối cầu

tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với

 ;

nội tiếp trong khối nối nón. Gọi

là khối cầu

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của khối
3


nón và với


 ;… ;

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với

lần lượt là thể tích của khối cầu

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

và

.

. Gọi

,…

là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức

C.

.

D.

.


Giải thích chi tiết:
Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh . Do đó bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cũng
chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chọp là
Áp dụng định lí Ta-Let ta có:

Tương tự ta tìm được

.

Tiếp tục như vậy ta có

Ta có

Do đó
Đặt
4


Đây là tổng của CSN lùi vô hạn với công bội

Vậy
Câu 7. Cho hình trụ có đường kính đáy bằng
song với trục và cách trục một khoảng bằng
được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: C

B.


. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song
, thiết diện thu được là một hình vng. Thể tích của khối trụ

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Theo giả thiết, bán kính hình trụ là:

.

Giả sử thiết diện là hình vng MNPQ, ta có,
Suy ra

;

.

.

Thiết diện ta thu được là hình vng MNPQ có cạnh bằng
Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là:


. Suy ra chiều cao hình trụ là
.

Câu 8. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
Đáp án đúng: C

và cạnh bên bằng

.


. Để ít

5


Giải thích chi tiết: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao

nhiêu?

A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
Lời giải


và cạnh bên bằng

.

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
Khi đó

có độ dài

và

.

.

Theo giả thiết

.

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ
Gọi

,

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

là nhỏ nhất.
, ta có:


.
Khảo sát

trên

Với

, ta được

nhỏ nhất khi

.

.

Câu

9.

Trong

khơng

gian

,

cắt

mặt


cầu

theo thiết diện là một đường trịn có bán kính bằng
A.
.
Đáp án đúng: D

B.

Câu 10. Cho hình nón
Biết rằng

.

C.

.

có thiết diện qua trục là tam giác đều

nội tiếp trong mặt cầu

so với khối cầu
A.

đỉnh

.


tâm

, bán kính

D.

.

có diện tích là

.

. Tính tỉ lệ thể tích của khối nón

.
B.

.

C.

.

D.

.

6



Đáp án đúng: B

Giải thích chi tiết:
Vì tam giác
Gọi

đều có diện tích

là trung điểm của

Hình nón

nên các cạnh

ta có

.

có đường cao

Mặt cầu

.

và bán kính đáy

có bán kính

.


.

.
Câu 11. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
. Khoảng cách từ điểm
A.

, cho điểm

đến mặt phẳng

và mặt phẳng

là

.

B.
.
C. 3.
PHẦN TỰ LUẬN
D.
.
Đáp án đúng: C
Câu 12. Cho hình bình hành

và điểm

bất kỳ nằm trên đường chéo


A.

B.

C.
Đáp án đúng: B
Câu

13.

Cho

D.
hàm

số

.

Các

số

. Khi biểu thức

.
A.

Mệnh đề nào sau đây sai?


.

B.

.

thực

thoả

mãn

và

đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị của
C.

.

D.

.
7


Đáp án đúng: A
Câu 14.
Cho

. Tọa độ M là


A.

B.

C.
Đáp án đúng: D

D.

Câu 15. Cho hình lăng trụ đứng
Thể tích khối lăng trụ
A.
Đáp án đúng: C

có đáy là tam giác vng cân tại

,

và

.

là

B.

C.

D.


Giải thích chi tiết:

Ta có

,

.

Thể tích khối lăng trụ là
.
Câu 16. Cho lăng trụ có đáy là hình vng cạnh a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. a 3.
B. 2 a3.
C. 4 a3.
D. 3 a3 .
Đáp án đúng: C
Câu 17.
Trong không gian

, cho hai điểm

và

. Trung điểm của đoạn thẳng

là điểm
A.

.


C.
Đáp án đúng: D

B.
.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
thẳng
là điểm
A.
Lời giải
Câu 18.

. B.

. C.

Thể tích của khối nón có chiều cao

.

D.

.

, cho hai điểm

và


. D.

và bán kính đáy

. Trung điểm của đoạn

.

là
8


A.

.

C.
.
Đáp án đúng: C
Câu 19.
Nếu hai điểm

thoả mãn

B.

.

D.


.

thì độ dài đoạn thẳng

A.

B.

C.
Đáp án đúng: D

.

bằng bao nhiêu?

;

D.

Giải thích chi tiết: Nếu hai điểm
bao nhiêu?

thoả mãn

thì độ dài đoạn thẳng

bằng

A.
B.

C.

;

D.
Lời giải
Câu 20.

.

Trong khơng gian
A.

, cho hai vectơ

và

.

C.
.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
là
A.
Lời giải

. B.

Ta có


. C.

. Tọa độ của vectơ

B.

.

D.

.

, cho hai vectơ

. D.

và

là

. Tọa độ của vectơ

.

.

Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ
Gọi


là điểm thuộc mặt phẳng

đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng
A.
Đáp án đúng: B

cho 3 điểm

hỏi

và mặt phẳng

sao cho biểu thức

thuộc khoảng nào trong các khoảng sau.

B.

C.

Câu 22. Trong khơng gian

cho điểm

,

trình
nhất.

. Tìm tọa độ điểm


trên mặt cầu

D.
,

và mặt cầu
sao cho tứ diện

có phương
có thể tích lớn

9


A.

.

C.
Đáp án đúng: C

B.
.

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng


qua

.

, mà

làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt cầu

có tâm

Gọi
.

là đường thẳng qua

Gọi

là điểm thuộc mặt cầu

, bán kính

.

.

và vng góc với

có vectơ chỉ phương


sao cho thể tích tứ diện

lớn nhất

Xét hệ

.

.

và
Vậy

.

là điểm cần tìm.

Câu 23. Trong khơng gian với hệ trục

, cho mặt cầu

A.
.
B. .
Đáp án đúng: A
Câu 24.
Cho tam giác ABC vng cân tại A có cạnh
của khối nón được tạo thành:


. Bán kính của
C. .

D.

là

.

. Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Tính thể tích

A.
B.
C.
D.
Đáp án đúng: C
Câu 25.
Một cái khối gỗ có hình dạng như hình bên (gồm 1 khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi
trên hình, chu vi đáy là

. Thể tích của khối gỗ bằng

10


A.

.

C.

Đáp án đúng: A

B.

.

.

D.

.

Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình chữ nhật,

. SA vng góc với mp

. Cạnh SB tạo với mp đáy góc 60°. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A.
Đáp án đúng: B

B.

C.

Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ
A.
.
Đáp án đúng: A

B.


, vectơ
.

Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ
A.

.

D.
có tọa độ là

C.
, cho hai vectơ
B.

.

D.
,

.
. Tính

.

.

11



C.
Đáp án đúng: D

.

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

.
, cho hai vectơ

,

. Tính

.
A.
Lời giải

. B.

.

C.

. D.

.


Ta có

.

Câu 29. Trong khơng gian
tiếp tứ diện
là

, cho ba điểm

A.

,

.

,

. Phương trình mặt cầu ngoại

B.

.

C.
.
D.
.
Đáp án đúng: D

Câu 30. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có BD=3 a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối
chóp đã cho bằng
A. 6 a 3 .
B. 3 a3 .
C. 6 a 3 .
D. 12 a3 .
Đáp án đúng: A
Câu 31. Trong không gian
hai điểm
của

,
bằng

, cho hai mặt phẳng

,

. Xét hai điểm thay đổi

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

Giải thích chi tiết: Nhận xét:
Xét

và


Ta có

. Suy ra

.

và
C.

;

và

sao cho
.

. Giá trị nhỏ nhất
D.

.

cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
.
và

.

12



Ta có
Gọi

,

và

suy ra

.

là điểm sao cho

.

Khi đó

.

Do đó

.

Xét

với

Đường thẳng


đi qua

Suy ra hình chiếu của
Gọi

. Ta thấy

và

và vng góc với
trên

là điểm đối xứng với

qua

, suy ra

.

.

là trung điểm

, suy ra

.

.
là giao diểm của


Vậy giá trị nhỏ nhất của

là

và

.

.

Câu 32. Trong không gian Oxyz, cho
A.
.
Đáp án đúng: A

.

có phương trình là:
là

Ta có
Đẳng thức xảy ra khi

nằm về cùng một phía so với

B.

. Giá trị của
C.


.

bằng
D.

.
13


Giải thích chi tiết: Ta có:
Vậy

.

.

Câu 33. Cho hình lập phương
và đáy là hình trịn nội tiếp hình vng
A.
C.
Đáp án đúng: A

có cạnh . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vng
. Diện tích tồn phần của khối nón đó là

.
.

B.


.

D.

.

Giải thích chi tiết:

Bán kính của đường trịn đáy là

.

Diện tích đáy nón là:

.

Độ dài đường sinh là

.

Diện tích xung quanh của khối nón là:

.

Vây, diện tích tồn phần của khối nón đó là:
Câu 34. Trong khơng gian
A.
.
Đáp án đúng: D

Giải thích chi tiết:
Lời giải
Ta có

, cho véctơ
B.

.

.
. Độ dài của
C.

.

D.

.

.

Câu 35. Trong không gian
, cho ba điểm
Đường thẳng
có phương trình là.
A.

bằng

. Gọi


là trực tâm tam giác

.

B.
14


C.
Đáp án đúng: C

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
, cho ba điểm
tam giác
. Đường thẳng
có phương trình là.
A.

. Gọi

là trực tâm

B.

C.
D.
Lời giải

Tác giả: Nguyễn Như Trình ; Fb: Như Trình Nguyễn
Phương trình mặt phẳng (ABC):
Dễ thấy,

.

nên đường thẳng OH nhận vectơ

làm VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng OH là:
Câu 36. Cho một hình nón đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy. Nếu tam giác SAB đều thì góc
ở đỉnh của hình nón bằng
A. 120 °.
B. 60 ° .
C. 30 ° .
D. 90 ° .
Đáp án đúng: B

Giải thích chi tiết:
Hình nón có đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy nên góc ở đỉnh của hình nón là góc ^
ASB. Lại
có tam giác ΔSAB là tam giác đều nên ^
ASB=6 0 0. Vậy góc ở đỉnh hình nón bằng 60 ° .
Câu 37. Mặt phẳng ( A′ BC ) chia khối lăng trụ ABC . A′ B ′ C′ thành hai khối chóp.
A. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
B. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .
C. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .
D. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
Đáp án đúng: C

Câu 38.
Trong không gian

, cho ba điểm

tam giác

là

A.

.

C.

.

. Tọa độ trọng tâm

B.
D.

của

.
.
15


Đáp án đúng: B

Câu 39. Cho lăng trụ tam giác
giác
của

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

, góc giữa đường thẳng

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng
.

C.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ tam giác
bằng
, tam giác
trùng với trọng tâm của
A.
.

B.
Hướng dẫn giải:
Gọi
và

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

.

C.

.

D.

.

và
lên

bằng

, tam

trùng với trọng tâm


D.

.

, góc giữa đường thẳng

và

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

lên

.

là trung điểm của
là trọng tâm của

.
.

Xét

vuông tại

, có

. (nửa tam giác đều)
Đặt


. Trong

tam giác
Do
Trong

Vậy,

vuông tại

có

là nữa tam giác đều

là trọng tâm
vuông tại

.
:

.

Câu 40.

16


Cho hình vng
nội tiếp đường trịn
bán kính tam giác đều

nội tiếp đường trịn đó và
song song
(như hình vẽ). Cho mơ hình trên quay quanh đường thẳng
Kí hiệu
là thể tích khối
trịn xoay do hình vng, hình trịn và tam giác đều tạo thành. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

Gọi

B.

C.

lần lượt là trung điểm của

Thể tích khối cầu (tạo bởi khi quay hình trịn quanh trục
Ta có

Ta có

D.

cạnh hình vng bằng

) là


nên

cạnh tam giác đều bằng

nên

Vậy
----HẾT---

17