ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 048.
Câu 1. Trong không gian
điểm

,
bằng

, cho hai mặt phẳng
. Xét hai điểm thay đổi

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

Giải thích chi tiết: Nhận xét:
Xét

và

Ta có

. Suy ra

Ta có
Gọi

,
là điểm sao cho

,

và

và

.

C.

;

và hai

sao cho

. Giá trị nhỏ nhất của

.

D.


.

cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
.
và

.

suy ra

.
.
1


Khi đó

.

Do đó

.

Xét

với

Đường thẳng


đi qua

Suy ra hình chiếu của
Gọi

. Ta thấy

và

nằm về cùng một phía so với

và vng góc với

có phương trình là:

trên

là điểm đối xứng với

là
qua

, suy ra

Ta có
là giao diểm của

Vậy giá trị nhỏ nhất của

là


Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ

.

là trung điểm

và

, suy ra

.

.

.
, cho hai điểm

và

chứa giao tuyến của hai mặt cầu

A.

.

.

Đẳng thức xảy ra khi


hai điểm

.

,

là mặt phẳng

và

là hai điểm bất kì thuộc

sao cho

. Xét

. Giá trị nhỏ nhất của

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: C

bằng

.


D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

. Gọi

.

là giao tuyến của hai mặt cầu

và

nên ta có hệ:

.
Gọi
.

và

lần lượt là hình chiếu của

và

lên

. Khi đó

,


,

2


Ta có:
Mặt khác:

.

Suy ra
Vậy
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
, dấu
xảy ra khi
thẳng hàng.
Câu 3. Cho hình túr giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng
đáy và

. Hãy tính thế tích

của khối chóp S.ABCD.

A.
.
B.
.
Đáp án đúng: A
Câu 4.
Cho tam giác ABC vng cân tại A có cạnh

của khối nón được tạo thành:
A.
Đáp án đúng: B

.

D.

.

. Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Tính thể tích

B.

C.

D.

{

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
un+1 = ( un +1 )
3
5
14
B. u 4= .
C. u 4= .
9

27

Câu 5. Cho dãy số ( u n) xác định bởi
2
A. u 4= .
3
Đáp án đúng: B

C.

D. u 4=1.

{

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
un+1 = ( un +1 )
3
2
14
C. u 4= .
D. u 4= .
3
27

Giải thích chi tiết: Cho dãy số ( u n) xác định bởi

5
A. u 4= .

B. u 4=1.
9
Lời giải
Ta có
1
1
1
2
1
1 2
5
u2= ( u1+ 1 )= ( 2+1 ) =1;u3 = ( u2 +1 )= ;u 4= ( u3 +1 )=
+1 = .
3
3
3
3
3
3 3
9
Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.
Câu 6.
Cho hình vng
nội tiếp đường trịn
bán kính tam giác đều
nội tiếp đường trịn đó và
song song
(như hình vẽ). Cho mơ hình trên quay quanh đường thẳng
Kí hiệu
là thể tích khối

trịn xoay do hình vng, hình trịn và tam giác đều tạo thành. Khẳng định nào sau đây đúng ?

( )

3


A.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

Gọi

B.

C.

D.

lần lượt là trung điểm của

Thể tích khối cầu (tạo bởi khi quay hình trịn quanh trục
Ta có

Ta có

cạnh hình vng bằng

) là


nên

cạnh tam giác đều bằng

nên

Vậy
Câu 7. Cho hình trụ có đường kính đáy bằng
song với trục và cách trục một khoảng bằng
được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song
, thiết diện thu được là một hình vng. Thể tích của khối trụ
C.

.

D.

.

4



Giải thích chi tiết:
Theo giả thiết, bán kính hình trụ là:

.

Giả sử thiết diện là hình vng MNPQ, ta có,
Suy ra

;

.

.

Thiết diện ta thu được là hình vng MNPQ có cạnh bằng

. Suy ra chiều cao hình trụ là

Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là:
Câu 8.
Trong khơng gian

.

cho ba điểm

phương trình mặt phẳng


và

?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: D

D.

Câu 9. Khối đa diện đều loại
A. .
Đáp án đúng: B

có bao nhiêu mặt?
B.

.

Giải thích chi tiết: Khối đa diện đều loại
A. . B. . C. .
Lời giải
Theo lí thuyết,

Phương trình nào sau đây là

D.


C.

.

D.

.

có bao nhiêu mặt?

.

5


Chọn phương án D.
Câu 10. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.


C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

. Để ít

D. Cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng
.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
nhiêu?

. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao

A. Cạnh đáy bằng
B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng
và cạnh bên bằng

.
.
6


C. Cạnh đáy bằng


và cạnh bên bằng

D. Cạnh đáy bằng
Lời giải

và cạnh bên bằng

.
.

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
Khi đó

có độ dài

và

,

.

Theo giả thiết

.

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ
Gọi

.


là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

là nhỏ nhất.
, ta có:

.
Khảo sát

trên

, ta được

nhỏ nhất khi

Với
.
Câu 11. Lăng trụ có 2020 đỉnh có số mặt là
A. 1011 .
B. 1012 .
Đáp án đúng: B
Câu 12. Trong khơng gian với hệ tọa độ
,

. Gọi

trình tiếp diện của mặt cầu
A.
C.
Đáp án đúng: A


Xét tam giác

,

, cho mặt cầu

và hai điểm

sao cho

đạt giá trị lớn nhất. Viết phương

.
B.

.

.

D.

.

là trung điểm của

Ta có:

D. 1009 .


.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

C. 1010 .

là điểm thuộc mặt cầu
tại

.

có tâm
tọa độ của

và bán kính
là

.
,

và

nên

nằm ngồi mặt cầu

.

.


áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta có:
7


Ta lại có:

.

Bởi vậy
MNEKI
Do

đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
lớn nhất nên

thuộc đường thẳng

Phương trình đường thẳng
Tọa độ giao điểm

và

lớn nhất.

.

là:

.


của đường thẳng

với mặt cầu

ứng với

là nghiệm phương trình:

.
Như vậy

hoặc

.

Ta có
,
. Suy ra
tại
có phương trình:

, nên phương trình tiếp diện của mặt cầu
hay

Câu 13. Cho hình bình hành

.

và điểm


bất kỳ nằm trên đường chéo

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ
hai vectơ

và

, cho ba điểm

B.

.

C.

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ


T a có:

. Tính góc giữa

.

A.
.
Đáp án đúng: C

A.
. B.
Lời giải

Mệnh đề nào sau đây sai?

. C.

và
. D.

,

D.

, cho ba điểm

.
.


.
.
.

Nên
Câu 15. Trong không gian
là

, cho hai điểm

và

. Tọa độ trọng tâm của tam giác

8


A.

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: D

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian

tam giác
là

, cho hai điểm

A.
Lời giải

. D.

. B.

. C.

.

, cho hai vectơ

và

.
.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
là
A.
Lời giải

. B.


. Tọa độ trọng tâm của

.

Trong không gian

C.
Đáp án đúng: B

.
và

Gọi
là trọng tâm
Câu 16.

A.

.

. C.

B.

.

D.

.


, cho hai vectơ

. D.

. Tọa độ của vectơ

và

là

. Tọa độ của vectơ

.

Ta có
.
Câu 17. Cho lăng trụ có đáy là hình vng cạnh a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. a 3.
B. 3 a3 .
C. 4 a3.
D. 2 a3.
Đáp án đúng: C
Câu 18.
Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy là
đúng?

, chiều cao

và độ dài đường sinh là


. Gọi

lần lượt là diện tích xung quanh và thể tích của khối nón. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào

A.
C.
Đáp án đúng: A

B.
D.
9


Câu 19. Trong không gian với hệ trục
A. .
Đáp án đúng: B
Câu 20.

B.

Trong khơng gian

, cho mặt cầu
.

. Bán kính của
C.

. Tọa độ trọng tâm


là

A.

.

B.

.

D.

Câu 21. Trong không gian với hệ trục tọa độ
A.

.
,

B.

.

. Tính

.

.

D.


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

của

.

, cho hai vectơ

.

C.
Đáp án đúng: B

D. .

, cho ba điểm

tam giác

C.
Đáp án đúng: B

.

là

.
, cho hai vectơ

,


. Tính

.
A.
Lời giải

. B.

.

C.

. D.

.

Ta có

.

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
trình đường trung trực của cạnh
.

A.
.
Đáp án đúng: C

B.


.

C.

. Viết phương

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
Viết phương trình đường trung trực của cạnh
.

A.
Lời giải

.B.

.

C.

.

D.

D.

.
.


.
10


Gọi
Gọi

là đường trung trực của cạnh
là trung điểm của đoạn thẳng

Gọi
là mặt phẳng qua
pháp tuyến.
Mặt phẳng

. Suy ra

và vng góc với

nhận

Ta có, đường thẳng
Đường thẳng

trong tam giác

.
.


. Mặt phẳng

nhận

làm làm một vectơ

làm một vectơ pháp tuyến.

là giao tuyến của mặt phẳng

đi qua

và mặt phẳng

và nhận

Phương trình của đường thẳng

.
. Chọn

là:

.

.

Câu 23. Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là
Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng 3 kích
thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương ln gấp

lần thể tích hình hộp chữ
nhật. Gọi
là tỉ số giữa diện tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật.
Tìm giá trị lớn nhất của
A.
.
Đáp án đúng: C

của
B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương là
Hình hộp chữ nhật có

và

Hình lập phương có
Vậy
Ta có


Đặt

Vậy
Đặt
Ta có

11


Kết hợp điều kiện

ta có

Khi đó
Xét hàm số

trện đoạn

Ta có
Suy ra,
Khi đó,
Câu 24. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy

.

và chiều cao

là


.

B. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy
và chiều cao là
C. Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.
D. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy
Đáp án đúng: B

và chiều cao

là

.
.

x +5 y−7 z
=
= và điểm M (4 ;1; 6). Đường
2
−2 1
thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB=6 . Viết phương trình của mặt cầu (S).
A. ¿
B. ¿
C. ¿
D. ¿
Đáp án đúng: A

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Câu 26. Trong khơng gian


, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

A.

.

C.
Đáp án đúng: C
Câu

27.

Cho

B.

.
hàm

.

D.

số

.

Các


.
số

. Khi biểu thức

.
A.
.
Đáp án đúng: D
Câu 28.

và

B.

.

thực

thoả

mãn

và

đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị của
C.

.


D.

.

12


Một cái khối gỗ có hình dạng như hình bên (gồm 1 khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi
trên hình, chu vi đáy là

A.
C.
Đáp án đúng: B

. Thể tích của khối gỗ bằng

.

B.

.

.

D.

.

Câu 29. Cho khối trụ có thể tích là
A. .

Đáp án đúng: D

B.

và chiều cao bằng
.

. Bán kính đáy của khối trụ đã cho bằng:
C.

.

D.

Câu 30. Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
,
. Tam giác
cân tại
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Đường thẳng
tạo với đáy một góc
. Khi đó thể tích của
khối chóp
bằng
A.
.
Đáp án đúng: A

B.


Câu 31. Trong khơng gian
.

.
cho mặt cầu

C.
có tâm

là một điểm di động trên

.

D.

.

, bán kính
. Ba điểm phân biệt

và mặt phẳng
,

,

thuộc
13



sao cho
nhất.

,

,

là các tiếp tuyến của

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

. Tính tổng

.

khi

C.

.

đạt giá trị lớn

D.

.


Giải thích chi tiết:

Vì

nên điểm

được các tiếp tuyến với mặt cầu
Gọi

là giao điểm của đường thẳng

luôn kẻ

và mặt phẳng

, ta có

. Xét tam giác

vng tại

.

Do đó

lớn nhất khi

Đường thẳng


Vì

. Do đó qua điểm

.

ta có

thẳng

ln nằm ngồi mặt cầu

là

đi qua

nhỏ nhất hay

là hình chiếu của

và nhận vectơ pháp tuyến của

trên mặt phẳng

làm vectơ chỉ phương. Phương trình đường

.
nên

Vậy


hay

.

.

Câu 32. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB=2a, BC =
bằng 3a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
.
A.
Đáp án đúng: C

B.

Câu 33. Trong khơng gian
, cho ba điểm
Đường thẳng
có phương trình là.

C.

cạnh bên

D.
. Gọi

là trực tâm tam giác

.

14


A.

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
, cho ba điểm
tam giác
. Đường thẳng
có phương trình là.
A.

. Gọi

là trực tâm

B.

C.
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Như Trình ; Fb: Như Trình Nguyễn
Phương trình mặt phẳng (ABC):

Dễ thấy,

.

nên đường thẳng OH nhận vectơ

làm VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng OH là:
Câu 34.
Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là

. Một khối cầu

tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
nón và với

 ;… ;

B.

và

.

là khối cầu

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của khối

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với


lần lượt là thể tích của khối cầu

A.
.
Đáp án đúng: A

 ;

nội tiếp trong khối nối nón. Gọi
. Gọi

,…

là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
15


Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh . Do đó bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cũng
chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chọp là

Áp dụng định lí Ta-Let ta có:

Tương tự ta tìm được

.

Tiếp tục như vậy ta có

Ta có

Do đó
Đặt

Đây là tổng của CSN lùi vơ hạn với cơng bội

Vậy
Câu 35.
Thể tích của khối nón có chiều cao

và bán kính đáy

là

A.

.

B.

C.


.

D.

.
.
16


Đáp án đúng: A
Câu 36. Trong không gian với hệ trục tọa độ
. Khoảng cách từ điểm

, cho điểm

đến mặt phẳng

và mặt phẳng

là

A.
.
B. 3.
PHẦN TỰ LUẬN
C.

.


D.
.
Đáp án đúng: B
Câu 37. Cho hình trụ có trục
một khoảng bằng
cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: A

và có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng song song với trục

và cách

cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vng. Diện tích xung quanh của hình trụ đã
B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Mặt phẳng


song song với trục và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vng
, trong đó

là bán kính đáy và

. Cạnh hình vng là

là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng

.
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là
Câu 38.

.
17


Trong

khơng

gian

với

hệ

tọa

độ


cho

và

hai

đường

. Phương trình đường thẳng qua
với

và cắt

thẳng

, vng góc

là

A.
C.
Đáp án đúng: B

.

B.

.


.

D.

.

Giải thích chi tiết: Gọi

là đường thẳng qua

và

cắt

tại

. Khi đó

.
Ta có

.

Đường

, với

Do đó

là một vectơ chỉ phương của


, suy ra

.

Vậy phương trình đường thẳng
Câu 39.
Trong khơng gian

.

, cho tam giác

có trọng tâm

. Tọa độ điểm

. Biết

là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
. Tọa độ điểm
A.
Lời giải
Vì

.

B.

là trọng tâm tam giác

C.

, cho tam giác

có trọng tâm

. Biết

là:
D.

nên ta có:

.
18


Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ


, cho

. Gọi

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất

trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp

. Tính bán kính mặt cầu

.

A. .
Đáp án đúng: D

C.

D.

B.

.

Giải thích chi tiết: Gọi H là hình chiếu của

.

.


lên mp

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp
đường kính là

nên

có

, suy ra
----HẾT---

19