ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 047.
Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ
A.

, cho hai vectơ

.

C.
Đáp án đúng: D

,

. Tính

B.

.

.

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

.

.
, cho hai vectơ

,

. Tính

.
A.
Lời giải

. B.

.

C.

. D.

.

Ta có
Câu

.

2.

Cho

hàm

số

.

Các

số

. Khi biểu thức

.
A. .
Đáp án đúng: C
Câu 3.

B.

.

Cho hình nón có bán kính đường trịn đáy là
đúng?
A.

thực


thoả

mãn

và

đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị của
C.

, chiều cao

.

D.

.

và độ dài đường sinh là

. Gọi

lần lượt là diện tích xung quanh và thể tích của khối nón. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào

B.

C.
D.
Đáp án đúng: B
Câu 4. Cho một hình nón đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy. Nếu tam giác SAB đều thì góc ở

đỉnh của hình nón bằng
A. 90 ° .
B. 120 °.
C. 30 ° .
D. 60 ° .
1


Đáp án đúng: D

Giải thích chi tiết:
Hình nón có đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy nên góc ở đỉnh của hình nón là góc ^
ASB. Lại
0
60
°
có tam giác ΔSAB là tam giác đều nên ^
.
Vậy
góc
ở
đỉnh
hình
nón
bằng
.
ASB=6 0
Câu 5. Cho lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. 3 a3 .
B. 4 a3 .

C. a 3.
D. 2 a3.
Đáp án đúng: B
Câu 6.
Trong không gian
tam giác
A.

, cho ba điểm

. Tọa độ trọng tâm

của

là
.

C.
Đáp án đúng: C

.

Câu 7. Cho hình lăng trụ đứng
tích khối lăng trụ
là
A.
Đáp án đúng: C

B.


.

D.

.

có đáy là tam giác vng cân tại

B.

C.

,

và

. Thể

D.

Giải thích chi tiết:

Ta có

,

Thể tích khối lăng trụ là
Câu 8. Trong khơng gian

.

.

, cho

và

. Tính tọa độ

.
2


A.

.

C.
Đáp án đúng: B
Câu 9.

B.

.

.

D.

Cho


.

. Tọa độ M là

A.

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Câu 10. Cho khối lăng trụ đứng

có đáy

), góc giữa đường thẳng
A.
.
Đáp án đúng: B
Biết rằng

và mặt phẳng

B.

Câu 11. Cho hình nón

đỉnh


bằng

.

C.

tâm

, bán kính

,

(với

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
.

D.

có thiết diện qua trục là tam giác đều

nội tiếp trong mặt cầu

so với khối cầu

là tam giác vng cân tại

.


có diện tích là

.

. Tính tỉ lệ thể tích của khối nón

.

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Vì tam giác
Gọi

đều có diện tích


là trung điểm của

Hình nón
Mặt cầu

nên các cạnh

ta có

.

có đường cao
có bán kính

.

và bán kính đáy

.

.

3


.
Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều
Thể tích khối chóp đó bằng
A.


.

B.

.

C.

.

có cạnh đáy bằng

. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

.

D.
.
Đáp án đúng: B
Câu 13. Phương trình nào khơng phải là phương trình mặt cầu, chọn đáp án đúng nhất:
A.
B.

.
.

C.
D. B và C.
Đáp án đúng: C
Câu 14.


.

Một chiếc ly dạng hình nón ( như hình vẽ với chiều cao ly là

). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho

chiều cao của lượng nước trong ly bằng
chiều cao của ly. Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỷ
lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng bao nhiêu?

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

.

D.

.

4



Giải thích chi tiết:

Giả sử ly có chiều cao

và đáy là đường trịn có bán kính

Khối nước trong ly có chiều cao bằng
và bán kính đáy

, nên có thể tích

.

chiều cao của ly nên khối nước tạo thành khối nón có chiều cao bằng

thể tích nước bằng

.

Do đó thể tích khoảng khơng bằng

.

Nên khi úp ngược ly lại thì ta có các tỉ lệ:

.

Suy ra: thể tích khoảng khơng bằng:

.

.

Nên chiều cao mực nước bằng:

.

Vậy tỷ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng

.

Câu 15. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.


. Để ít

D. Cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng
.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
nhiêu?

. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao

A. Cạnh đáy bằng
B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng
và cạnh bên bằng

.
.
5


C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

D. Cạnh đáy bằng
Lời giải

và cạnh bên bằng


.
.

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
Khi đó

có độ dài

và

,

.

Theo giả thiết

.

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ
Gọi

.

là nhỏ nhất.

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

, ta có:


.
Khảo sát

trên

Với

, ta được

nhỏ nhất khi

.

.

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ
. Tập hợp các giá trị của
A.
.
Đáp án đúng: B

B.

, cho

để bốn điểm
.

Giải thích chi tiết: Ta có


;

,

,

,

C.
,

;

đồng phẳng là tập con của tập nào sau?
.

,

;

D.

.

.

.
Để bốn điểm

,


,

,

đồng phẳng:

.
Câu 17. Trong không gian
A.
.
Đáp án đúng: B

, cho
B.

,
.

. Tính diện tích tam giác
C.

.

.
D.

.
6



Câu 18. Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua
trục là một tam giác vng cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón đơi một tiếp xúc với nhau,
một khối nón có đường trịn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón cịn lại có đường tròn đáy
tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng
lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là
(lít). Thể tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?
A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
+) Gọi
cân).

là bán kính đáy của hình nón suy ra chiều cao nón là

+) Chiều dài của khối hộp là


bán kính của khối cầu là

(do thiết diện là tam giác vng

.

+) Thể tích nước bị tràn là
+) Gọi

.

là tâm của 3 đáy của khối nón suy ra

+) Chiều rộng khối hộp là

đều cạnh

.

(dm).

+) Ba đỉnh nón chạm mặt cầu tại các điếm
( với

I

là tâm mặt cầu), do đó

. Suy ra chiều cao của khối trụ là


.
+) Thể tích nước ban đầu là

{

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
Câu 19. Cho dãy số ( u n) xác định bởi
1
un+1 = ( un +1 )
3
2
5
A. u 4= .
B. u 4= .
C. u 4=1.
3
9
Đáp án đúng: B

(lít).

D. u 4=

14
.
27

7



{

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
Giải thích chi tiết: Cho dãy số ( u n) xác định bởi
1
un+1 = ( un +1 )
3
5
2
14
A. u 4= .
B. u 4=1.
C. u 4= .
D. u 4= .
9
3
27
Lời giải
Ta có
1
1
1
2
1
1 2
5
u2= ( u1+ 1 )= ( 2+1 ) =1;u3 = ( u2 +1 )= ;u 4= ( u3 +1 )=

+1 = .
3
3
3
3
3
3 3
9
Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.

( )

Câu 20. Trong khơng gian với hệ tọa độ
Gọi

là điểm thuộc mặt phẳng

đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng

hỏi

A.
Đáp án đúng: A

C.
Đáp án đúng: D

và mặt phẳng

sao cho biểu thức


thuộc khoảng nào trong các khoảng sau.

B.

Câu 21. Trong khơng gian
A.

cho 3 điểm

C.

D.

, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

và

.

B.

.

.

D.

.


Câu 22. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng
của đường trịn đáy tâm . Gọi
của khối tứ diện
là:

cạnh bằng

là điểm thuộc cung

A.

với

của đường trịn đáy sao cho

là đường kính
. Thể tích

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Giải thích chi tiết:
Ta có:
Gọi

vng tại


có

là hình chiếu của

lên

nên

.

, suy ra

và

Vậy
Câu 23. Cho hình trụ có trục
một khoảng bằng
cho bằng

và có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng song song với trục

và cách

cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vng. Diện tích xung quanh của hình trụ đã

8


A.

.
Đáp án đúng: D

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Mặt phẳng

song song với trục và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vng
, trong đó

là bán kính đáy và

. Cạnh hình vng là

là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng

.
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là
Câu 24.

Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là

. Một khối cầu

tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
nón và với

 ;… ;

 ;

nội tiếp trong khối nối nón. Gọi

B.

và

.

là khối cầu

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của khối

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với

lần lượt là thể tích của khối cầu

A.
.
Đáp án đúng: B


.

. Gọi

,…

là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức

C.

.

D.

.

9


Giải thích chi tiết:
Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh . Do đó bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cũng
chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chọp là
Áp dụng định lí Ta-Let ta có:

Tương tự ta tìm được

.

Tiếp tục như vậy ta có


Ta có

Do đó
Đặt

Đây là tổng của CSN lùi vơ hạn với công bội

10


Vậy
Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ

, cho

. Gọi

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất

trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp

. Tính bán kính mặt cầu

.

A. .
Đáp án đúng: C

C.


D.

B.

.

Giải thích chi tiết: Gọi H là hình chiếu của

.

.

lên mp

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp
đường kính là

nên

có

, suy ra

Câu 26. Trong khơng gian Oxyz, cho
A.
.
Đáp án đúng: B

B.


. Giá trị của
.

Giải thích chi tiết: Ta có:
Vậy
Câu 27.

C.

bằng
D.

.

.

.

Trong khơng gian
đến mặt phẳng

, cho mặt phẳng

. Khoảng cách từ điểm

bằng

A.
.

Đáp án đúng: C

B.

.

C.

.

D.

Giải thích chi tiết: Ta có

.

Câu 28. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

, cho điểm

. Khoảng cách từ điểm

đến mặt phẳng

.

và mặt phẳng

là


A.
.
B. 3.
PHẦN TỰ LUẬN
C.

.

D.
.
Đáp án đúng: B

11


Câu 29. Cho hình trụ có đường kính đáy bằng
song với trục và cách trục một khoảng bằng
được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: D

B.

. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song
, thiết diện thu được là một hình vng. Thể tích của khối trụ

.

C.


.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Theo giả thiết, bán kính hình trụ là:

.

Giả sử thiết diện là hình vng MNPQ, ta có,
Suy ra

;

.

.

Thiết diện ta thu được là hình vng MNPQ có cạnh bằng

. Suy ra chiều cao hình trụ là

Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là:

.

Câu 30. Trong khơng gian


cho điểm

,

trình
nhất.

. Tìm tọa độ điểm

trên mặt cầu

A.

,

.

và mặt cầu
sao cho tứ diện

B.

C.
.
Đáp án đúng: A
qua

.


, mà

làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt cầu

có tâm

Gọi
.

là đường thẳng qua

Gọi

là điểm thuộc mặt cầu

, bán kính

và vng góc với

có thể tích lớn

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

có phương


.

.

có vectơ chỉ phương

sao cho thể tích tứ diện

lớn nhất

.

12


Xét hệ

.

và
Vậy

.

là điểm cần tìm.

Câu 31. Trong khơng gian với hệ tọa độ
A.
.
Đáp án đúng: C


B.

Câu 32. Trong không gian
là
A.

, vectơ

có tọa độ là

.

C.

, cho hai điểm

C.
.
Đáp án đúng: C

, cho hai điểm

A.
Lời giải

. D.

.
và


. Tọa độ trọng tâm của

.

Gọi
là trọng tâm
Câu 33.
Nếu hai điểm

.

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
tam giác
là

.

. Tọa độ trọng tâm của tam giác

B.

. C.

D.

và


.

. B.

.

.
thoả mãn

thì độ dài đoạn thẳng

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết: Nếu hai điểm
bao nhiêu?

D.
thoả mãn

bằng bao nhiêu?
.

;
thì độ dài đoạn thẳng

bằng


A.
13


B.
C.

;

D.
Lời giải

.

Câu 34. Cho lăng trụ đứng
khối lăng trụ biết rằng
A.
.
Đáp án đúng: C

có đáy

Tam giác

. B.

B.

. C.


vng cân tại

,

. Tính thể tích

.
.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ đứng
Tính thể tích khối lăng trụ biết rằng
A.
Lời giải

là tam giác vng cân tại

C.
có đáy

D.

là tam giác vng cân tại

.
,

.

.


. D.

.

, mà

Xét
vng tại , có
Vậy thể tích hình lăng trụ đã cho là

.

.

,

Câu 35. Lăng trụ có 2020 đỉnh có số mặt là
A. 1012 .
B. 1009 .
Đáp án đúng: A
Câu 36.

,

.

C. 1011 .

D. 1010 .


14


Trong

khơng

gian

với

hệ

tọa

độ

cho

và

hai

đường

. Phương trình đường thẳng qua
với

và cắt


thẳng

, vng góc

là

A.
C.
Đáp án đúng: D

.

B.

.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Gọi

là đường thẳng qua

và

cắt


tại

. Khi đó

.
Ta có

.

Đường

, với

Do đó

là một vectơ chỉ phương của

, suy ra

.

Vậy phương trình đường thẳng

.

Câu 37. Trong khơng gian với hệ tọa độ

, cho hai điểm


và

chứa giao tuyến của hai mặt cầu
hai điểm
A.

,

. Gọi

là mặt phẳng

và

là hai điểm bất kì thuộc

sao cho

. Xét

. Giá trị nhỏ nhất của

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: C


bằng

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

.

.

là giao tuyến của hai mặt cầu

và

nên ta có hệ:

.
Gọi
.

và

lần lượt là hình chiếu của

và

lên


. Khi đó

,

,

15


Ta có:
Mặt khác:

.

Suy ra
Vậy
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
, dấu
xảy ra khi
thẳng hàng.
Câu 38. Cho khối nón có bán kính đáy r =a và chiều cao h=2 a. Độ dài đường sinh của hình nón đó bằng
A. 3 a .
B. 10 a.
C. 5 a.
D. a √ 5
Đáp án đúng: D
Câu 39. Trong không gian với hệ trục tọa độ
hai vectơ

và


, cho ba điểm

.

A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ
A.
. B.
Lời giải

. C.

T a có:

. Tính góc giữa

và
. D.


.

D.

.

, cho ba điểm

.

.
.

,

.

Nên
Câu 40. Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
,
. Tam giác
cân tại
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Đường thẳng
tạo với đáy một góc
. Khi đó thể tích của
khối chóp
bằng
A.

.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

.

D.

.
16


----HẾT---

17