ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 044.
Câu 1.
Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính
, người thợ thủ cơng mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó
thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã
hồn thiện.

A.

B.

C.
D.
Đáp án đúng: A
Câu 2. Cho một hình nón đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy. Nếu tam giác SAB đều thì góc ở
đỉnh của hình nón bằng
A. 120 °.
B. 60 ° .
C. 30 ° .
D. 90 ° .
Đáp án đúng: B

Giải thích chi tiết:
Hình nón có đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy nên góc ở đỉnh của hình nón là góc ^
ASB. Lại
0
^
ΔSAB
60
°
có tam giác
là tam giác đều nên ASB=6 0 . Vậy góc ở đỉnh hình nón bằng
.
Câu 3. Trong khơng gian
, cho ba điểm
Đường thẳng
có phương trình là.
A.
C.
Đáp án đúng: C

. Gọi

là trực tâm tam giác

.

B.
D.

Giải thích chi tiết: Trong không gian
, cho ba điểm

tam giác
. Đường thẳng
có phương trình là.

. Gọi

là trực tâm
1


A.

B.

C.
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Như Trình ; Fb: Như Trình Nguyễn
Phương trình mặt phẳng (ABC):
Dễ thấy,

.

nên đường thẳng OH nhận vectơ

làm VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng OH là:
Câu 4. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?

A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

. Để ít

D. Cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng
.
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
nhiêu?

. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao

A. Cạnh đáy bằng


và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
Lời giải

và cạnh bên bằng

.

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
Khi đó

và

có độ dài


,

.

.
2


Theo giả thiết

.

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ
Gọi

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

là nhỏ nhất.
, ta có:

.
Khảo sát

trên

Với

, ta được


nhỏ nhất khi

.

.

Câu 5. Trong không gian

cho mặt cầu

.
sao cho
nhất.

,

,

A.
.
Đáp án đúng: A

có tâm

, bán kính

là một điểm di động trên
là các tiếp tuyến của

B.


. Ba điểm phân biệt

. Tính tổng

.

và mặt phẳng
,

khi

C.

.

,

thuộc
đạt giá trị lớn

D.

.

Giải thích chi tiết:

Vì

nên điểm


được các tiếp tuyến với mặt cầu
Gọi

. Do đó qua điểm

luôn kẻ

.

là giao điểm của đường thẳng

và mặt phẳng

ta có
Do đó

ln nằm ngồi mặt cầu

, ta có

. Xét tam giác

vng tại

.
lớn nhất khi

nhỏ nhất hay


là hình chiếu của

trên mặt phẳng

3


Đường thẳng

thẳng
Vì

đi qua

là

và nhận vectơ pháp tuyến của

làm vectơ chỉ phương. Phương trình đường

.
nên

Vậy
Câu 6.

hay
.

Trong khơng gian

đến mặt phẳng

, cho mặt phẳng

. Khoảng cách từ điểm

bằng

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Ta có

C.
Đáp án đúng: C

.

D.

.

.


Câu 7. Cho hình lập phương
và đáy là hình trịn nội tiếp hình vng
A.

.

có cạnh . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vng
. Diện tích tồn phần của khối nón đó là

.

B.

.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:

Bán kính của đường trịn đáy là

.

Diện tích đáy nón là:


.

Độ dài đường sinh là
Diện tích xung quanh của khối nón là:

.
.

4


Vây, diện tích tồn phần của khối nón đó là:

.

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình chữ nhật,
Cạnh SB tạo với mp đáy góc 60°. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:

. SA vng góc với mp

.

A.
B.
C.
D.
Đáp án đúng: C
Câu 9. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có BD=3 a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối
chóp đã cho bằng
A. 3 a3 .

B. 6 a 3 .
C. 12 a3 .
D. 6 a 3 .
Đáp án đúng: D
Câu 10. Cho hình trụ có trục
một khoảng bằng
cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: B

và có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng song song với trục

và cách

cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vng. Diện tích xung quanh của hình trụ đã
B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Mặt phẳng


song song với trục và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vng
, trong đó

là bán kính đáy và

. Cạnh hình vng là

là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng

.
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là

.
5


Câu 11. Cho tam giác
vng tại
có
tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng
A.

,

?

.

C.

Đáp án đúng: D

. Diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay
B.

.

.

D.

Giải thích chi tiết: Khi quay tam giác
.

.

quanh cạnh

ta thu được hình nón có:

Ta có:
.
Câu 12. Cho hình túr giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh
phẳng đáy và

. Hãy tính thế tích

phẳng

, cạnh bên SA vng góc với mặt


của khối chóp S.ABCD.

A.
.
B.
.
Đáp án đúng: D
Câu 13. Lăng trụ có 2020 đỉnh có số mặt là
A. 1010 .
B. 1009 .
Đáp án đúng: C
Câu 14. Trong không gian
tại , ,
sao cho

;

C.

.

C. 1012 .

, cho điểm
là trực tâm tam giác

D.

.


D. 1011 .

. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt

?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: D

D.

Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

Thật vậy :
Mà


.
(1)

(vì

là trực tâm tam giác

Từ (1) và (2) suy ra
Tương tự

) (2)
(*)

. (**)
6


Từ (*) và (**)

.

• Khi đó mặt cầu tâm
Vậy mặt cầu tâm

tiếp xúc mặt phẳng

và tiếp xúc với mặt phẳng

có bán kính


.

là

.

Câu 15. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng
của đường trịn đáy tâm . Gọi
của khối tứ diện
là:

cạnh bằng

là điểm thuộc cung

A.

với

là đường kính

của đường trịn đáy sao cho

. Thể tích

B.

C.
Đáp án đúng: A


D.

Giải thích chi tiết:
Ta có:
Gọi

vng tại

có

là hình chiếu của

lên

nên

.

, suy ra

và

Vậy
Câu 16. Khối đa diện đều loại
A. .
Đáp án đúng: D

có bao nhiêu mặt?
B.


.

Giải thích chi tiết: Khối đa diện đều loại
A. . B. . C. .
Lời giải
Theo lí thuyết,

D.

C.

.

D.

.

có bao nhiêu mặt?

.

7


Chọn phương án D.
Câu 17. Trong khơng gian

cho điểm

,


trình
nhất.

. Tìm tọa độ điểm

trên mặt cầu

A.

.

C.
Đáp án đúng: C

.

D.
qua

làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
có tâm

và mặt cầu
sao cho tứ diện

B.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng


Mặt cầu

,

, bán kính

có phương
có thể tích lớn

.
.

, mà
.

.

8


Gọi
.

là đường thẳng qua

và vng góc với

Gọi

là điểm thuộc mặt cầu


có vectơ chỉ phương

sao cho thể tích tứ diện

lớn nhất

Xét hệ

.

.

và
Vậy

.

là điểm cần tìm.

Câu 18. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

, cho

. Gọi

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất

trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp


. Tính bán kính mặt cầu

.

A.
.
Đáp án đúng: D

C. .

D.

B.

.

Giải thích chi tiết: Gọi H là hình chiếu của

.

lên mp

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp
đường kính là

nên

có

, suy ra


Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ
. Tập hợp các giá trị của
A.
.
Đáp án đúng: B

B.

, cho

để bớn điểm
.

Giải thích chi tiết: Ta có

;

,

,

C.
,

,

;

;


đồng phẳng là tập con của tập nào sau?
.

,

D.

.

.

.
Để bốn điểm

,

,

,

đồng phẳng:

.
Câu 20. Trong không gian
A.

, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
.


B.

và
.
9


C.
Đáp án đúng: C

.

D.

.

x +5 y−7 z
=
= và điểm M (4 ;1; 6). Đường
2
−2 1
thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB=6 . Viết phương trình của mặt cầu (S).
A. ¿
B. ¿
C. ¿
D. ¿
Đáp án đúng: C

Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :


Câu 22. Trong không gian
tiếp tứ diện
là

, cho ba điểm

A.
C.
Đáp án đúng: A
Câu 23.
Trong khơng gian

,

. Phương trình mặt cầu ngoại

.

B.

.

.

D.

.

, cho tam giác


có trọng tâm

. Tọa độ điểm

. Biết

là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
. Tọa độ điểm
A.
Lời giải
Vì

,

B.

C.

là trọng tâm tam giác


, cho tam giác

có trọng tâm

. Biết

là:
D.

nên ta có:

.
Câu 24. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
A.
C.
Đáp án đúng: C

, cho hai vectơ

.

B.
.

D.

,

. Tính


.

.
.
10


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

, cho hai vectơ

,

. Tính

.
A.
Lời giải

. B.

.

C.

. D.

.


Ta có
.
′
′ ′ ′
Câu 25. Mặt phẳng ( A BC ) chia khối lăng trụ ABC . A B C thành hai khối chóp.
A. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
B. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
C. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .
D. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .
Đáp án đúng: D
Câu 26. Trong khơng gian với hệ tọa độ
,

. Gọi

trình tiếp diện của mặt cầu
A.
C.
Đáp án đúng: D

là điểm thuộc mặt cầu
tại

.

.

D.

.


có tâm

và bán kính

tọa độ của

là

.
,

và

nên

Do

.

áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta có:

.
đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

lớn nhất nên

thuộc đường thẳng

Phương trình đường thẳng

Tọa độ giao điểm

nằm ngồi mặt cầu

.

Ta lại có:
Bởi vậy
MNEKI

đạt giá trị lớn nhất. Viết phương

.

,

Xét tam giác

sao cho
B.

là trung điểm của

Ta có:

và hai điểm

.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu

Gọi

, cho mặt cầu

là:

và

lớn nhất.

.

.

của đường thẳng

với mặt cầu

ứng với

là nghiệm phương trình:

.
Như vậy

hoặc

.
11



Ta có
,
. Suy ra
tại
có phương trình:

, nên phương trình tiếp diện của mặt cầu
hay

.

Câu 27.
Trong khơng gian
phương trình mặt phẳng

cho ba điểm

và

Phương trình nào sau đây là

?

A.

B.

C.
D.

Đáp án đúng: B
Câu 28.
Cho hình vng
nội tiếp đường trịn
bán kính tam giác đều
nội tiếp đường trịn đó và
song song
(như hình vẽ). Cho mơ hình trên quay quanh đường thẳng
Kí hiệu
là thể tích khối
trịn xoay do hình vng, hình trịn và tam giác đều tạo thành. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

Gọi

B.

C.

lần lượt là trung điểm của

Thể tích khối cầu (tạo bởi khi quay hình trịn quanh trục
Ta có

D.


cạnh hình vng bằng

) là

nên
12


Ta có

cạnh tam giác đều bằng

nên

Vậy
Câu 29.
Cho tam giác ABC vng cân tại A có cạnh
của khối nón được tạo thành:
A.
Đáp án đúng: D

. Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Tính thể tích

B.

C.

Câu 30. Trong khơng gian với hệ tọa độ
Gọi


hỏi

A.
Đáp án đúng: A

thuộc khoảng nào trong các khoảng sau.
C.

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

A.
.
Đáp án đúng: D

, góc giữa đường thẳng

.

C.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ tam giác

A.
.
B.
Hướng dẫn giải:

Gọi
và

.

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện
C.

D.

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

B.

bằng
, tam giác
trùng với trọng tâm của

và mặt phẳng

sao cho biểu thức

B.

Câu 31. Cho lăng trụ tam giác

giác
của

cho 3 điểm

là điểm thuộc mặt phẳng

đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng

D.

.

D.

.

và
lên

bằng

, tam

trùng với trọng tâm

D.

.


, góc giữa đường thẳng

và

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

lên

.

là trung điểm của
là trọng tâm của

.
.

Xét

vuông tại

, có

13


. (nửa tam giác đều)
Đặt

. Trong


tam giác
Do

vuông tại

có

là nữa tam giác đều

là trọng tâm

Trong

vng tại

.
:

Vậy,

.

Câu 32. Cho hình chóp tứ giác đều
Thể tích khối chóp đó bằng
A.

.

B.


.

C.

.

có cạnh đáy bằng

. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

.

D.
.
Đáp án đúng: A
Câu 33. Phương trình nào khơng phải là phương trình mặt cầu, chọn đáp án đúng nhất:
A.

.

B.
C. B và C.
D.
Đáp án đúng: A

.
.

Câu 34. Cho hình lăng trụ đứng

Thể tích khối lăng trụ
A.
Đáp án đúng: D

B.

có đáy là tam giác vuông cân tại

,

và

.

là
C.

D.
14


Giải thích chi tiết:

Ta có

,

.

Thể tích khối lăng trụ là

Câu 35.

.

Trong khơng gian
A.

, cho hai vectơ

và

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: A

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
là
A.
Lời giải

. B.

Ta có


. C.

. Tọa độ của vectơ
.
.

, cho hai vectơ

. D.

là

và

. Tọa độ của vectơ

.

.

Câu 36. Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
,
. Tam giác
cân tại
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Đường thẳng
tạo với đáy một góc
. Khi đó thể tích của
khối chóp

bằng
A.
.
Đáp án đúng: B
Câu 37.

B.

.

Cho hình nón có bán kính đường trịn đáy là
đúng?

C.

.

, chiều cao

D.

.

và độ dài đường sinh là

. Gọi

lần lượt là diện tích xung quanh và thể tích của khối nón. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào

A.

C.
Đáp án đúng: D

B.
D.

15


Câu 38. Trong không gian với hệ trục tọa độ
hai vectơ

và

, cho ba điểm

. Tính góc giữa

.

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

C.


.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ
A.
. B.
Lời giải

. C.

T a có:

và

D.

.

, cho ba điểm

.

.

. D.

.

,


.

Nên
Câu 39. Cho lăng trụ đứng
khối lăng trụ biết rằng
A.
.
Đáp án đúng: B

có đáy

Tam giác

. B.

B.

. C.

vng cân tại

,

. Tính thể tích

.
.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ đứng
Tính thể tích khối lăng trụ biết rằng

A.
Lời giải

là tam giác vng cân tại

. D.

, mà

C.

.

có đáy

D.

là tam giác vuông cân tại

.
,

.

.
.

.

16



Xét
vng tại , có
Vậy thể tích hình lăng trụ đã cho là

Câu 40. Cho hình nón
Biết rằng

đỉnh

,

,

có thiết diện qua trục là tam giác đều

nội tiếp trong mặt cầu

so với khối cầu

.

tâm

, bán kính

có diện tích là

.


. Tính tỉ lệ thể tích của khối nón

.

A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Vì tam giác
Gọi

đều có diện tích

là trung điểm của

Hình nón

Mặt cầu

nên các cạnh

ta có

.

có đường cao
có bán kính

.

và bán kính đáy

.

.

.
----HẾT---

17