ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 042.
Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ
A.

, cho hai vectơ

.

C.
Đáp án đúng: A

,

B.
.

.

.

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

. Tính

.
, cho hai vectơ

,

. Tính

.
A.
Lời giải

. B.

.

C.

. D.

Ta có

.

.

Câu 2. Cho hình chóp tứ giác đều

tích khối chóp đó bằng
A.

.

B.

.

C.

.

có cạnh đáy bằng

. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

. Thể

D.
.
Đáp án đúng: D
Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng
tích khối lăng trụ
là
A.
Đáp án đúng: A

B.


có đáy là tam giác vng cân tại

C.

,

và

. Thể

D.

1


Giải thích chi tiết:

Ta có

,

.

Thể tích khối lăng trụ là

.

Câu 4. Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là
Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng 3 kích
thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương ln gấp

lần thể tích hình hộp chữ
nhật. Gọi
là tỉ số giữa diện tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật.
Tìm giá trị lớn nhất của
A.
.
Đáp án đúng: A

của
B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương là
Hình hộp chữ nhật có

và

Hình lập phương có
Vậy
Ta có


Đặt

Vậy
Đặt
Ta có

2


Kết hợp điều kiện

ta có

Khi đó
Xét hàm số

trện đoạn

Ta có
Suy ra,

Khi đó,

.

Câu 5. Trong khơng gian
, cho điểm
tại , ,
sao cho
là trực tâm tam giác

phẳng

. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt

?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

.

Thật vậy :
Mà


(1)
(vì

là trực tâm tam giác

) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

(*)

Tương tự

. (**)

Từ (*) và (**)

.

• Khi đó mặt cầu tâm
Vậy mặt cầu tâm

tiếp xúc mặt phẳng

và tiếp xúc với mặt phẳng

Câu 6. Trong khơng gian
là
A.


.

có bán kính

.

là

.

, cho hai điểm

và

B.

. Tọa độ trọng tâm của tam giác

.
3


C.
.
Đáp án đúng: B

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian

tam giác
là

, cho hai điểm

A.
Lời giải

. D.

. B.

. C.

.
và

.

Gọi
là trọng tâm
Câu 7.
Trong khơng gian
A.

. Tọa độ trọng tâm của

.
, hình chiếu vng góc của điểm


trên trục

.

B.

.

C.
.
Đáp án đúng: D

D.

.

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ
A.
.
Đáp án đúng: C

B.

, vectơ
.

Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ
cắt mặt cầu

có tọa độ là


có tọa độ là
C.

.

, mặt phẳng

D.

.

đi qua hai điểm

,

và

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất. Gọi
là một véctơ pháp tuyến của

A. .
Đáp án đúng: B

B. .

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

. Tính giá trị biểu thức


có tâm

C.

.

?
D.

.

.

.
đi qua điểm
đi qua điểm

Mặt phẳng
nhất.

cắt mặt cầu

.
.
theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn

4



.
.
Trừ từng vế

và

ta được

.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

.
.

Dấu = xảy ra
.
Câu 10.
Một cái khối gỗ có hình dạng như hình bên (gồm 1 khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi
trên hình, chu vi đáy là

A.
C.

. Thể tích của khối gỗ bằng

.


B.
.

D.

.
.

5


Đáp án đúng: D
Câu 11. Cho hình túr giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh
phẳng đáy và

. Hãy tính thế tích

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

, cạnh bên SA vng góc với mặt

của khối chóp S.ABCD.

.

C.


.

D.

.

Câu 12. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
trình đường trung trực của cạnh
.

A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

. Viết phương

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết

Viết phương trình đường trung trực của cạnh
.

A.
Lời giải
Gọi
Gọi

.B.

.

C.

là đường trung trực của cạnh

Mặt phẳng

. Suy ra

và vng góc với

nhận

Ta có, đường thẳng
Đường thẳng

D.

trong tam giác


là trung điểm của đoạn thẳng

Gọi
là mặt phẳng qua
pháp tuyến.

.

.

.
.

.
. Mặt phẳng

nhận

làm làm một vectơ

làm một vectơ pháp tuyến.

là giao tuyến của mặt phẳng

đi qua

và mặt phẳng

và nhận


.
. Chọn

.

Phương trình của đường thẳng là:
.
′
Câu 13. Mặt phẳng ( A BC ) chia khối lăng trụ ABC . A′ B ′ C′ thành hai khối chóp.
A. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
B. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .
C. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .
D. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
Đáp án đúng: B
Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ
hai vectơ

và

A.
.
Đáp án đúng: B

, cho ba điểm

. Tính góc giữa

.
B.


.

C.

.

D.

.
6


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ
A.
. B.
Lời giải

. C.

T a có:

và
. D.

,

, cho ba điểm


.

.
.
.

Nên
Câu 15. Trong khơng gian
A.
C.
Đáp án đúng: C

, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
.

B.

.

.

D.

.

Câu 16. Trong khơng gian
, cho ba điểm
Đường thẳng
có phương trình là.


. Gọi

A.

và

là trực tâm tam giác

.

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
, cho ba điểm
tam giác
. Đường thẳng
có phương trình là.
A.

. Gọi

là trực tâm

B.


C.
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Như Trình ; Fb: Như Trình Nguyễn
Phương trình mặt phẳng (ABC):
Dễ thấy,

.

nên đường thẳng OH nhận vectơ

Vậy phương trình đường thẳng OH là:
Câu 17. Lăng trụ có 2020 đỉnh có số mặt là
A. 1009 .
B. 1011 .
Đáp án đúng: C
Câu 18. Cho tam giác
vng tại
có
tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng

làm VTCP.

C. 1012 .

?

,

D. 1010 .


. Diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay
7


A.
C.
Đáp án đúng: D

.

B.

.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Khi quay tam giác
.
Ta có:
Câu 19.

ta thu được hình nón có:

;


.

Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là

. Một khối cầu

tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
nón và với

quanh cạnh

 ;… ;

B.

và

.

là khối cầu

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của khối

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với

lần lượt là thể tích của khối cầu

A.
.
Đáp án đúng: B


 ;

nội tiếp trong khối nối nón. Gọi
. Gọi

,…

là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh . Do đó bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cũng
chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chọp là
Áp dụng định lí Ta-Let ta có:

8


Tương tự ta tìm được

.


Tiếp tục như vậy ta có

Ta có

Do đó
Đặt

Đây là tổng của CSN lùi vơ hạn với cơng bội

Vậy
Câu 20. Cho hình bình hành

và điểm

bất kỳ nằm trên đường chéo

A.

B.

C.
Đáp án đúng: B
Câu 21. Trong không gian
A.
.
Đáp án đúng: B
Câu 22.

Mệnh đề nào sau đây sai?


D.
, cho
B.

,
.

. Tính diện tích tam giác
C.

Một chiếc ly dạng hình nón ( như hình vẽ với chiều cao ly là

.

.
D.

.

). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho

chiều cao của lượng nước trong ly bằng
chiều cao của ly. Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỷ
lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng bao nhiêu?

9


A.
.

Đáp án đúng: A

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:

Giả sử ly có chiều cao

và đáy là đường trịn có bán kính

Khối nước trong ly có chiều cao bằng
và bán kính đáy

, nên có thể tích

chiều cao của ly nên khối nước tạo thành khối nón có chiều cao bằng

thể tích nước bằng

Do đó thể tích khoảng khơng bằng

Nên khi úp ngược ly lại thì ta có các tỉ lệ:

.

.
.
.

Suy ra: thể tích khoảng không bằng:

.
.

Nên chiều cao mực nước bằng:

.

Vậy tỷ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng
Câu 23.
Cho
A.
C.
Đáp án đúng: B

.

. Tọa độ M là
B.
D.


10


Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình chữ nhật,

. SA vng góc với mp

. Cạnh SB tạo với mp đáy góc 60°. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A.
Đáp án đúng: A

B.

C.

D.

Câu 25. Trong khơng gian

cho điểm

,

trình
nhất.

. Tìm tọa độ điểm

trên mặt cầu


A.

,

.

C.
Đáp án đúng: A

và mặt cầu
sao cho tứ diện

B.

.
qua

.

, mà

làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt cầu

có tâm

, bán kính

Gọi
.


là đường thẳng qua

Gọi

là điểm thuộc mặt cầu

.

.

và vng góc với

có vectơ chỉ phương

sao cho thể tích tứ diện

lớn nhất

Xét hệ

.

.

và
Vậy
Câu

có thể tích lớn


.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

có phương

.

là điểm cần tìm.
26.

Cho

hàm

số

.

số

. Khi biểu thức

.
A. .
Đáp án đúng: D


Các

B.

.

thực

thoả

mãn

và

đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị của
C.

.

D.

.

11


Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ
. Tập hợp các giá trị của
A.
.

Đáp án đúng: A

B.

, cho

để bốn điểm

.

;

,

,

,

C.

Giải thích chi tiết: Ta có

,

;

;

đồng phẳng là tập con của tập nào sau?
.


,

D.

.

.

.
Để bớn điểm

,

,

,

đồng phẳng:

.
Câu 28. Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
,
. Tam giác
cân tại
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Đường thẳng
tạo với đáy một góc
. Khi đó thể tích của

khối chóp
bằng
A.
.
Đáp án đúng: B
Câu 29.
cho

Trong khơng gian
có dạng

B.

.

, phương trình mặt cầu

A.
C.
Đáp án đúng: D

C.

.
có tâm

D.

.


và cắt trục

tại

.

B.

.

.

D.

.

{

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
Câu 30. Cho dãy số ( u n) xác định bởi
un+1 = ( un +1 )
3
2
5
A. u 4=1.
B. u 4= .
C. u 4= .
3

9
Đáp án đúng: C
u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
Giải thích chi tiết: Cho dãy số ( u n) xác định bởi
un+1 = ( un +1 )
3
5
2
14
A. u 4= .
B. u 4=1.
C. u 4= .
D. u 4= .
9
3
27
Lời giải
Ta có
1
1
1
2
1
1 2
5
u2= ( u1+ 1 )= ( 2+1 ) =1;u3 = ( u2 +1 )= ;u 4= ( u3 +1 )=
+1 = .
3

3
3
3
3
3 3
9
Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.

D. u 4=

sao

14
.
27

{

( )

12


Câu 31. Trong không gian với hệ trục tọa độ
. Khoảng cách từ điểm
A.
B.

, cho điểm


đến mặt phẳng

và mặt phẳng

là

.
.

C.
.
D. 3.
PHẦN TỰ LUẬN
Đáp án đúng: D
Câu 32. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB=2a, BC =
bằng 3a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
.
A.
Đáp án đúng: A

B.

C.

D.

Câu 33. Trong không gian Oxyz, cho
A.
.
Đáp án đúng: A


B.

. Giá trị của

.

C.

Giải thích chi tiết: Ta có:
Vậy

.

bằng
D.

.

.

Câu 34. Trong khơng gian

cho mặt cầu

.
sao cho
nhất.

cạnh bên


,

,

A.
.
Đáp án đúng: D

có tâm

là một điểm di động trên
là các tiếp tuyến của

B.

.

, bán kính
. Ba điểm phân biệt

. Tính tổng

C.

và mặt phẳng
,

,


khi

.

thuộc
đạt giá trị lớn

D.

.

Giải thích chi tiết:
13


Vì

nên điểm

được các tiếp tuyến với mặt cầu
Gọi

ln nằm ngồi mặt cầu

và mặt phẳng

ta có

, ta có


. Xét tam giác

lớn nhất khi

Đường thẳng

đi qua

là

nhỏ nhất hay

là hình chiếu của

và nhận vectơ pháp tuyến của

trên mặt phẳng

làm vectơ chỉ phương. Phương trình đường

.
nên

hay

Vậy

.

.


Câu 35. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

, cho

. Gọi

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất

trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp

. Tính bán kính mặt cầu

.

A.
.
Đáp án đúng: B

C.

D. .

B.

.

Giải thích chi tiết: Gọi H là hình chiếu của

.


lên mp

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp
đường kính là

, cho mặt cầu

. Có bao nhiêu điểm
hai tiếp tuyến cùng vng góc với
A. .
Đáp án đúng: A

B.

hai tiếp tuyến cùng vng góc với
. D.

và đường thẳng

thuộc tia

.

, với tung độ là số nguyên, mà từ
C.

.

D.


kẻ được đến

.

, cho mặt cầu

. Có bao nhiêu điểm
. C.

có

?

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian

. B.

nên

, suy ra

Câu 36. Trong khơng gian

A.

vng tại

.


Do đó

Vì

ln kẻ

.

là giao điểm của đường thẳng

thẳng

. Do đó qua điểm

thuộc tia

và đường thẳng
, với tung độ là số nguyên, mà từ

kẻ được đến

?

.
14


Lời giải
Mặt cầu


có tâm

và bán kính

Ta có

.

với

Gọi

là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ

Khi đó

qua điểm

đến

.

và vng góc đường thẳng

, vì vậy phương trình mặt phẳng

là:

.
Ta có


nằm ngồi mặt cầu
.

Mặt khác

Từ

.

và

Do

suy ra

.

nên

. Vậy có

Câu 37. Cho hình nón
Biết rằng

đỉnh

thỏa mãn bài tốn.

có thiết diện qua trục là tam giác đều


nội tiếp trong mặt cầu

so với khối cầu

điểm
tâm

, bán kính

có diện tích là

.

. Tính tỉ lệ thể tích của khối nón

.

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

C.

.


D.

.

Giải thích chi tiết:
Vì tam giác
Gọi

đều có diện tích

là trung điểm của

Hình nón
Mặt cầu

nên các cạnh

ta có

.

có đường cao
có bán kính

.

và bán kính đáy

.


.
15


.
Câu 38.
Trong không gian

, cho hai điểm

và

. Trung điểm của đoạn thẳng

là điểm
A.

.

C.
Đáp án đúng: B

. B.

. C.

D.

.


, cho hai điểm

và

. D.

Câu 39. Cho lăng trụ tam giác
giác
của

.

.

Giải thích chi tiết: Trong không gian
thẳng
là điểm
A.
Lời giải

B.

A.
.
Đáp án đúng: D

.

có


vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện
B.

, góc giữa đường thẳng

. Hình chiếu vng góc của điểm
theo bằng
.

C.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ tam giác
bằng
, tam giác
trùng với trọng tâm của
A.
.
B.
Hướng dẫn giải:
Gọi
và

.

có

vuông tại
và góc

. Thể tích của khối tứ diện
C.

.

. Trung điểm của đoạn

D.

.

và
lên

bằng

, tam

trùng với trọng tâm

D.

.

, góc giữa đường thẳng

và

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng


lên

.

là trung điểm của
là trọng tâm của

.
.

Xét

vuông tại

, có

. (nửa tam giác đều)
Đặt

. Trong

vuông tại

có
16


tam giác
Do

Trong

là nữa tam giác đều

là trọng tâm
vuông tại

Vậy,

.
:

.

Câu 40. Cho một hình nón đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy. Nếu tam giác SAB đều thì góc
ở đỉnh của hình nón bằng
A. 120 °.
B. 30 ° .
C. 60 ° .
D. 90 ° .
Đáp án đúng: C

Giải thích chi tiết:
Hình nón có đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy nên góc ở đỉnh của hình nón là góc ^
ASB. Lại
0
^
có tam giác ΔSAB là tam giác đều nên ASB=6 0 . Vậy góc ở đỉnh hình nón bằng 60 ° .
----HẾT---


17