ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 040.
Câu 1. Phương trình nào khơng phải là phương trình mặt cầu, chọn đáp án đúng nhất:
A.
B. B và C.

.

C.

.

D.
Đáp án đúng: C

.

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ
. Khoảng cách từ điểm

, cho điểm

đến mặt phẳng

và mặt phẳng

là

A. 3.
PHẦN TỰ LUẬN
B.
C.

.
.

D.
.
Đáp án đúng: A
Câu 3.
Cho tam giác ABC vng cân tại A có cạnh
của khối nón được tạo thành:
A.
Đáp án đúng: D

B.

Câu 4. Trong không gian

, cho

A.
C.

Đáp án đúng: D

C.
Đáp án đúng: D
Câu 6.

C.

.

và

D.

. Tính tọa độ

.

B.
.

Câu 5. Cho hình bình hành
A.

. Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Tính thể tích

D.
và điểm

bất kỳ nằm trên đường chéo


.
.
Mệnh đề nào sau đây sai?

B.
D.

1


Cho hình vng
nội tiếp đường trịn
bán kính tam giác đều
nội tiếp đường trịn đó và
song song
(như hình vẽ). Cho mơ hình trên quay quanh đường thẳng
Kí hiệu
là thể tích khối
trịn xoay do hình vng, hình trịn và tam giác đều tạo thành. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

Gọi

B.


C.

D.

lần lượt là trung điểm của

Thể tích khối cầu (tạo bởi khi quay hình trịn quanh trục
Ta có

Ta có

cạnh hình vng bằng

) là

nên

cạnh tam giác đều bằng

nên

Vậy
Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ

, cho

. Gọi

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất


trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp

. Tính bán kính mặt cầu

.

A.
.
Đáp án đúng: B

C. .

D.

B.

.

Giải thích chi tiết: Gọi H là hình chiếu của

.

lên mp
2


là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp
đường kính là
Câu 8.


có

, suy ra

Trong khơng gian

, cho mặt phẳng

đến mặt phẳng

. Khoảng cách từ điểm

bằng

A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Ta có
Câu 9. Hình đa diện nào khơng có tâm đối xứng?
A. Hình tứ diện đều.
C. Hình lập phương.
Đáp án đúng: A
Câu 10. Cho khối lăng trụ đứng


A.
.
Đáp án đúng: B
11.

Trong

gian

.

là tam giác vuông cân tại
bằng

.

không

D.

B. Hình lăng trụ tứ giác đều.
D. Hình bát diện đều.

và mặt phẳng

B.

.


.

có đáy

), góc giữa đường thẳng

Câu

nên

C.

,

(với

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
.

D.

,

.
cắt

mặt

cầu


theo thiết diện là một đường trịn có bán kính bằng
A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ
hai vectơ

và

C.

.

, cho ba điểm

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ

T a có:


D.

. Tính góc giữa

.

A.
.
Đáp án đúng: D

A.
. B.
Lời giải

.

. C.

và
. D.

,

.
, cho ba điểm

D.

.

.

.
.
.

Nên
3


Câu 13. Trong không gian
tại , ,
sao cho
phẳng

, cho điểm
là trực tâm tam giác

. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt

?

A.


B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

.

Thật vậy :
Mà

(1)
(vì

là trực tâm tam giác

) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

(*)

Tương tự


. (**)

Từ (*) và (**)

.

• Khi đó mặt cầu tâm
Vậy mặt cầu tâm
Câu 14.

tiếp xúc mặt phẳng

có bán kính

và tiếp xúc với mặt phẳng

Trong khơng gian

là

, cho tam giác

.

có trọng tâm

. Tọa độ điểm

. Biết


là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
. Tọa độ điểm
A.
Lời giải
Vì

.

B.

là trọng tâm tam giác

C.

, cho tam giác

có trọng tâm

. Biết


là:
D.

nên ta có:
4


.
Câu 15. Cho khối trụ có thể tích là
A. .
Đáp án đúng: C

B.

và chiều cao bằng
.

C.

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ
Gọi

hỏi

và mặt phẳng

sao cho biểu thức
C.


Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ
. Tập hợp các giá trị của
B.

Giải thích chi tiết: Ta có

.

thuộc khoảng nào trong các khoảng sau.

B.

A.
.
Đáp án đúng: A

D.

cho 3 điểm

là điểm thuộc mặt phẳng

đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng
A.
Đáp án đúng: D

. Bán kính đáy của khối trụ đã cho bằng:

D.


, cho

để bốn điểm

,

.

C.

,

;
,

,

;

;

đồng phẳng là tập con của tập nào sau?
.

D.

,

.


.

.
Để bốn điểm

,

,

,

đồng phẳng:

.
Câu 18. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.
B. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy

và chiều cao

là

.

C. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy

và chiều cao

là


.

D. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy
Đáp án đúng: C
Câu 19. Trong không gian với hệ trục
A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

và chiều cao

là

, cho mặt cầu

.
. Bán kính của

C.

.

D.

là


.

5


Câu 20. Trong khơng gian

cho điểm

,

trình
nhất.

. Tìm tọa độ điểm

trên mặt cầu

A.

,

.

C.
Đáp án đúng: A

và mặt cầu
sao cho tứ diện


B.

.
qua

.

, mà

làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt cầu

có tâm

Gọi
.

là đường thẳng qua

Gọi

là điểm thuộc mặt cầu

, bán kính

.

.

và vng góc với


có vectơ chỉ phương

sao cho thể tích tứ diện

lớn nhất

Xét hệ

.

.

và
Vậy

có thể tích lớn

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

có phương

.

là điểm cần tìm.


Câu 21. Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu

có tâm I và bán kính R là:

A.

B.

C.
D.
Đáp án đúng: A
Câu 22. Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua
trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón đơi một tiếp xúc với nhau,
một khối nón có đường tròn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón cịn lại có đường tròn đáy
tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng
lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là
(lít). Thể tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?
A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

.

D.


.
6


Giải thích chi tiết:
+) Gọi
cân).

là bán kính đáy của hình nón suy ra chiều cao nón là

+) Chiều dài của khối hộp là

(do thiết diện là tam giác vng

bán kính của khối cầu là

.

+) Thể tích nước bị tràn là
+) Gọi

.

là tâm của 3 đáy của khối nón suy ra

+) Chiều rộng khối hộp là

đều cạnh


.

(dm).

+) Ba đỉnh nón chạm mặt cầu tại các điếm
( với

I

là tâm mặt cầu), do đó

. Suy ra chiều cao của khối trụ là

.
+) Thể tích nước ban đầu là

(lít).

Câu 23. Trong khơng gian
tiếp tứ diện
là
A.
C.
Đáp án đúng: B
Câu 24.
Trong khơng gian

,

,


. Phương trình mặt cầu ngoại

.

B.

.

.

D.

.

, cho ba điểm

tam giác

là

A.

.

C.
.
Đáp án đúng: D

, cho ba điểm


. Tọa độ trọng tâm

B.
D.

của

.
.

7


Câu 25. Cho một hình nón đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy. Nếu tam giác SAB đều thì góc
ở đỉnh của hình nón bằng
A. 60 ° .
B. 90 ° .
C. 120 °.
D. 30 ° .
Đáp án đúng: A

Giải thích chi tiết:
Hình nón có đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy nên góc ở đỉnh của hình nón là góc ^
ASB. Lại
0
^
có tam giác ΔSAB là tam giác đều nên ASB=6 0 . Vậy góc ở đỉnh hình nón bằng 60 ° .
Câu 26.
Trong khơng gian


cho ba điểm

và

Phương trình nào sau đây là

Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
trình đường trung trực của cạnh
.

. Viết phương

phương trình mặt phẳng

?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

A.
.
Đáp án đúng: D


B.

.

C.

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
Viết phương trình đường trung trực của cạnh
.

A.
Lời giải
Gọi
Gọi

.B.

.

C.

là đường trung trực của cạnh
là trung điểm của đoạn thẳng

Gọi
là mặt phẳng qua
pháp tuyến.
Mặt phẳng


nhận

.

D.

trong tam giác
. Suy ra

và vng góc với

D.

.
.

.
.

.
. Mặt phẳng

nhận

làm làm một vectơ

làm một vectơ pháp tuyến.
8



Ta có, đường thẳng
Đường thẳng

là giao tuyến của mặt phẳng

đi qua

và mặt phẳng

và nhận

. Chọn

Phương trình của đường thẳng

là:

Câu 28. Trong khơng gian

, cho hai mặt phẳng

hai điểm
của

,
bằng

B.


Giải thích chi tiết: Nhận xét:
Xét

và

Ta có

. Suy ra

Ta có
Gọi
Khi đó

,
là điểm sao cho

và

.

.
,

. Xét hai điểm thay đổi

A.
.
Đáp án đúng: D

.


và

.

C.

;

và

sao cho
.

. Giá trị nhỏ nhất
D.

.

cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
.
và

.

suy ra

.
.
.

9


Do đó

.

Xét

với

Đường thẳng

đi qua

Suy ra hình chiếu của
Gọi

. Ta thấy

và

và vng góc với
trên

là điểm đối xứng với

có phương trình là:
là


qua

, suy ra

Ta có
Đẳng thức xảy ra khi

nằm về cùng một phía so với

.

.

.

là trung điểm

, suy ra

.

.
là giao diểm của

Vậy giá trị nhỏ nhất của

là

và


.

.

Câu 29. Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là
Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng 3 kích
thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương ln gấp
lần thể tích hình hộp chữ
nhật. Gọi
là tỉ số giữa diện tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật.
Tìm giá trị lớn nhất của
A.
.
Đáp án đúng: C

của
B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương là
Hình hộp chữ nhật có


và

Hình lập phương có
Vậy
Ta có

Đặt

Vậy
Đặt
Ta có

10


Kết hợp điều kiện

ta có

Khi đó
Xét hàm số

trện đoạn

Ta có
Suy ra,

Khi đó,


Câu 30. Trong khơng gian với hệ tọa độ

.

, cho hai điểm

và

chứa giao tuyến của hai mặt cầu
hai điểm
A.

,

là mặt phẳng

và

là hai điểm bất kì thuộc

sao cho

. Xét

. Giá trị nhỏ nhất của

.

B.


C.
.
Đáp án đúng: C

bằng

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

. Gọi

.

là giao tuyến của hai mặt cầu

và

nên ta có hệ:

.
Gọi
.

và

lần lượt là hình chiếu của


và

lên

. Khi đó

,

,

11


Ta có:
Mặt khác:

.

Suy ra
Vậy
Câu 31.

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Trong không gian

, dấu

xảy ra khi


, cho hai điểm

thẳng hàng.

và

. Trung điểm của đoạn thẳng

là điểm
A.

.

C.
Đáp án đúng: A

B.
.

Giải thích chi tiết: Trong không gian
thẳng
là điểm
A.
Lời giải
Câu 32.

. B.

. C.


.

D.

.

, cho hai điểm

và

. D.

. Trung điểm của đoạn

.

Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính
, người thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó
thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã
hoàn thiện.

A.

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.


Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ

, mặt phẳng

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất. Gọi
là một véctơ pháp tuyến của

A. .
Đáp án đúng: D

B.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

. Tính giá trị biểu thức

.

có tâm

đi qua hai điểm

C.

.

,


và

?
D. .

.

.
12


đi qua điểm

.

đi qua điểm
Mặt phẳng
nhất.

.

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn

.
.

Trừ từng vế

và

ta được

.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

.
.

Dấu = xảy ra

.

Câu 34. Trong không gian

, cho mặt cầu

. Có bao nhiêu điểm
hai tiếp tuyến cùng vng góc với
A. .
Đáp án đúng: A

B.

.


hai tiếp tuyến cùng vng góc với

Mặt cầu

. D.

Khi đó

kẻ được đến

.

D.

.

, cho mặt cầu
thuộc tia

và đường thẳng
, với tung độ là số nguyên, mà từ

kẻ được đến

?

.

có tâm


và bán kính

Ta có
Gọi

, với tung độ là số nguyên, mà từ
C.

. Có bao nhiêu điểm
. C.

thuộc tia

?

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian

A. . B.
Lời giải

và đường thẳng

.

với
là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ
qua điểm

đến


và vng góc đường thẳng

.
, vì vậy phương trình mặt phẳng

là:

.
Ta có

nằm ngồi mặt cầu
13


.
Mặt khác

Từ

.

và

Do

suy ra

.

nên


. Vậy có

điểm

thỏa mãn bài tốn.

Câu 35. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

. Để ít

D. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng
.
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
nhiêu?

. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao

A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
Lời giải

và cạnh bên bằng


.

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
Khi đó
Theo giả thiết

và

có độ dài

,

.

.
.

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ

là nhỏ nhất.
14


Gọi

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

, ta có:


.
Khảo sát

trên

Với

, ta được

nhỏ nhất khi

.

.

Câu 36. Cho hình chóp tứ giác đều
Thể tích khối chóp đó bằng
A.

.

B.

.

C.

.

có cạnh đáy bằng


. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

.

D.
.
Đáp án đúng: B
Câu 37. Mặt phẳng ( A′ BC ) chia khối lăng trụ ABC . A′ B ′ C′ thành hai khối chóp.
A. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
B. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
C. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .
D. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .
Đáp án đúng: C
Câu 38. Trong không gian
A.
.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết:
Lời giải

, cho véctơ
B.

Ta có
Câu 39.

. Độ dài của

.


C.

bằng

.

D.

.

.

Nếu hai điểm

thoả mãn

A.

thì độ dài đoạn thẳng

.

B.

C.
Đáp án đúng: D

bằng bao nhiêu?


;

D.

Giải thích chi tiết: Nếu hai điểm
bao nhiêu?

thoả mãn

thì độ dài đoạn thẳng

bằng

A.
B.
C.

;
15


D.
Lời giải

.

Câu 40. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng
của đường trịn đáy tâm . Gọi
của khối tứ diện
là:


cạnh bằng

là điểm thuộc cung

A.

với

của đường tròn đáy sao cho

là đường kính
. Thể tích

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Giải thích chi tiết:
Ta có:
Gọi

vng tại
là hình chiếu của

có
lên


nên

.

, suy ra

và

Vậy
----HẾT---

16