ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 039.
Câu 1.
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng (tham khảo hình vẽ)

.
Biết diện tích xung quanh của hình chóp đó gấpđơi diện tích đáy, thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Gọi chiều cao của mặt bên là
Ta có diện tích xung quanh bằng

.

D.

.

.
, suy ra

:

Khi đó thể tích khối chóp
Câu 2.
Cho

. Tọa độ M là

A.

B.

C.
Đáp án đúng: D

D.

Câu 3. Cho hình lập phương
và đáy là hình trịn nội tiếp hình vng
A.

.

có cạnh . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vng

. Diện tích tồn phần của khối nón đó là
B.

.
1


C.
Đáp án đúng: A

.

D.

.

Giải thích chi tiết:

Bán kính của đường trịn đáy là

.

Diện tích đáy nón là:

.

Độ dài đường sinh là

.


Diện tích xung quanh của khối nón là:

.

Vây, diện tích tồn phần của khối nón đó là:
Câu 4. Cho khối trụ có thể tích là
A. .
Đáp án đúng: B
Câu 5.

.

và chiều cao bằng

B.

Trong không gian

C.

là

A.

.

.

Cho


D.

B.

số

.

Các

.
số

. Khi biểu thức

A.
.
B. .
Đáp án đúng: A
Câu 7. Lăng trụ có 2020 đỉnh có số mặt là
A. 1010 .
B. 1012 .

của

.

D.
hàm


.

. Tọa độ trọng tâm

C.
.
Đáp án đúng: D
6.

.

, cho ba điểm

tam giác

Câu

. Bán kính đáy của khối trụ đã cho bằng:

thực

thoả

mãn

và

đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị của
C.


.

C. 1011 .

D.

.

D. 1009 .
2


Đáp án đúng: B
Câu 8. Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục
là một tam giác vng cân vào bể sao cho ba đường trịn đáy của ba khối nón đơi một tiếp xúc với nhau, một
khối nón có đường trịn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón cịn lại có đường trịn đáy tiếp
xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng
bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là
tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

.


D.

lần

(lít). Thể
.

Giải thích chi tiết:
+) Gọi
cân).

là bán kính đáy của hình nón suy ra chiều cao nón là

+) Chiều dài của khối hộp là

bán kính của khối cầu là

(do thiết diện là tam giác vng

.

+) Thể tích nước bị tràn là
+) Gọi

.

là tâm của 3 đáy của khối nón suy ra

+) Chiều rộng khối hộp là


đều cạnh

.

(dm).

+) Ba đỉnh nón chạm mặt cầu tại các điếm
( với

I

là tâm mặt cầu), do đó

. Suy ra chiều cao của khối trụ là

.
+) Thể tích nước ban đầu là
(lít).
′
′ ′ ′
Câu 9. Mặt phẳng ( A BC ) chia khối lăng trụ ABC . A B C thành hai khối chóp.
A. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
B. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
C. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .
D. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .
Đáp án đúng: D

3



Câu 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ
. Khoảng cách từ điểm

, cho điểm

đến mặt phẳng

và mặt phẳng

là

A. 3.
PHẦN TỰ LUẬN
B.

.

C.

.

D.
.
Đáp án đúng: A
Câu 11. Trong không gian với hệ trục
A. .
Đáp án đúng: B
Câu 12.


B.

Nếu hai điểm

, cho mặt cầu
.

. Bán kính của
C.

thoả mãn

.

D.

thì độ dài đoạn thẳng

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

.

bằng bao nhiêu?

;


D.

Giải thích chi tiết: Nếu hai điểm
bao nhiêu?

là

.

thoả mãn

thì độ dài đoạn thẳng

bằng

A.
B.
C.
D.
Lời giải
Câu 13.

;
.

Một chiếc ly dạng hình nón ( như hình vẽ với chiều cao ly là

). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho


chiều cao của lượng nước trong ly bằng
chiều cao của ly. Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỷ
lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng bao nhiêu?

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

.

D.

.

4


Giải thích chi tiết:

Giả sử ly có chiều cao

và đáy là đường trịn có bán kính

Khối nước trong ly có chiều cao bằng

và bán kính đáy

, nên có thể tích

.

chiều cao của ly nên khối nước tạo thành khối nón có chiều cao bằng

thể tích nước bằng

Do đó thể tích khoảng khơng bằng
Nên khi úp ngược ly lại thì ta có các tỉ lệ:

.
.
.

Suy ra: thể tích khoảng khơng bằng:

.
.

Nên chiều cao mực nước bằng:

.

Vậy tỷ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng
Câu 14.
Trong khơng gian


cho ba điểm

phương trình mặt phẳng
A.

và

Phương trình nào sau đây là

?
B.

C.
Đáp án đúng: C
Câu 15.

D.

Trong không gian
A.

.

, hình chiếu vng góc của điểm

trên trục

.

B.


.

C.
.
Đáp án đúng: B

D.

.

có tọa độ là

5


Câu 16. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.


C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

. Để ít

D. Cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng
.
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao

nhiêu?

A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng


và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
Lời giải

và cạnh bên bằng

.

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
Khi đó

có độ dài

và

.

.

Theo giả thiết

.

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ
Gọi


,

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

là nhỏ nhất.
, ta có:

.
Khảo sát

trên

, ta được

nhỏ nhất khi

.

Với
.
Câu 17. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.
6


B. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy

và chiều cao

là


.

C. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy

và chiều cao

là

.

D. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy
Đáp án đúng: C

và chiều cao

là

.

Câu 18. Trong không gian
hai điểm
của

,
bằng

, cho hai mặt phẳng
. Xét hai điểm thay đổi


A.
.
Đáp án đúng: C

B.

Giải thích chi tiết: Nhận xét:
và

Ta có

. Suy ra

Gọi

,

C.

và

sao cho
.

. Giá trị nhỏ nhất
D.

.

cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.

.

và

và

.

suy ra

là điểm sao cho

.
.

Khi đó
Do đó

và

.
;

Xét

Ta có

,

.

.
7


Xét

với

Đường thẳng

đi qua

Suy ra hình chiếu của
Gọi

. Ta thấy

và

và vng góc với
trên

là điểm đối xứng với

qua

, suy ra

.


có phương trình là:
là

Ta có
Đẳng thức xảy ra khi

nằm về cùng một phía so với

.

.

là trung điểm

, suy ra

.

.
là giao diểm của

Vậy giá trị nhỏ nhất của

là

và

.

.


Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ

, cho

. Gọi

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất

trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp

. Tính bán kính mặt cầu

.

A.
.
Đáp án đúng: C

C.

D.

B. .

Giải thích chi tiết: Gọi H là hình chiếu của

.

.


lên mp

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp

nên

có

đường kính là
, suy ra
Câu 20.
Cho hình vng
nội tiếp đường trịn
bán kính tam giác đều
nội tiếp đường trịn đó và
song song
(như hình vẽ). Cho mơ hình trên quay quanh đường thẳng
Kí hiệu
là thể tích khối
trịn xoay do hình vng, hình trịn và tam giác đều tạo thành. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

B.

C.


D.

8


Gọi

lần lượt là trung điểm của

Thể tích khối cầu (tạo bởi khi quay hình trịn quanh trục
Ta có

cạnh hình vng bằng

Ta có

) là

nên

cạnh tam giác đều bằng

nên

Vậy
Câu 21. Cho khối nón có bán kính đáy r =a và chiều cao h=2 a. Độ dài đường sinh của hình nón đó bằng
A. a √ 5
B. 5 a.
C. 3 a .

D. 10 a.
Đáp án đúng: A
Câu 22. Cho hình chóp tứ giác đều
Thể tích khối chóp đó bằng
A.

.

B.

.

C.

.

có cạnh đáy bằng

. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

.

D.
.
Đáp án đúng: A
Câu 23. Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là
Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng 3 kích
thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương ln gấp
lần thể tích hình hộp chữ
nhật. Gọi

là tỉ số giữa diện tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật.
Tìm giá trị lớn nhất của
A.
.
Đáp án đúng: B

của
B.

.

C.

.

D.

.
9


Giải thích chi tiết: Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương là
Hình hộp chữ nhật có

và

Hình lập phương có
Vậy
Ta có


Đặt

Vậy
Đặt
Ta có

Kết hợp điều kiện

ta có

Khi đó
Xét hàm số

trện đoạn

Ta có
Suy ra,

Khi đó,

Câu 24. Cho hình trụ có trục
một khoảng bằng
cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: D

.

và có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng song song với trục


và cách

cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vng. Diện tích xung quanh của hình trụ đã
B.

.

C.

.

D.

.

10


Giải thích chi tiết:
Mặt phẳng

song song với trục và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vng
, trong đó

là bán kính đáy và

. Cạnh hình vng là

là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng


.
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là

.

Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ

, mặt phẳng

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất. Gọi
là một véctơ pháp tuyến của

A. .
Đáp án đúng: A

B.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

. Tính giá trị biểu thức

.

có tâm

C. .


đi qua hai điểm

,

và

?
D.

.

.

.
đi qua điểm

.

đi qua điểm
Mặt phẳng
nhất.

.

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn


.
11


.
Trừ từng vế

và

ta được

.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

.
.

Dấu = xảy ra

.

Câu 26. Cho hình nón
Biết rằng

đỉnh

có thiết diện qua trục là tam giác đều


nội tiếp trong mặt cầu

so với khối cầu

tâm

, bán kính

có diện tích là

.

. Tính tỉ lệ thể tích của khối nón

.

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

.

D.


.

Giải thích chi tiết:
Vì tam giác
Gọi

đều có diện tích

là trung điểm của

Hình nón
Mặt cầu

nên các cạnh

ta có

.

có đường cao
có bán kính

.

và bán kính đáy

.

.


.
Câu 27. Cho hình trụ có đường kính đáy bằng
song với trục và cách trục một khoảng bằng
được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng

. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song
, thiết diện thu được là một hình vng. Thể tích của khối trụ
12


A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Theo giả thiết, bán kính hình trụ là:

.


Giả sử thiết diện là hình vng MNPQ, ta có,
Suy ra

;

.

.

Thiết diện ta thu được là hình vng MNPQ có cạnh bằng

. Suy ra chiều cao hình trụ là

Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là:

.

Câu 28. Trong khơng gian với hệ tọa độ
,

. Gọi

trình tiếp diện của mặt cầu
A.
C.
Đáp án đúng: B

là điểm thuộc mặt cầu
tại


.

.

D.

.

có tâm

và bán kính

tọa độ của

là

.
,

và

nên

Do

.

áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta có:


.
đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

lớn nhất nên

thuộc đường thẳng

Phương trình đường thẳng
Tọa độ giao điểm

nằm ngồi mặt cầu

.

Ta lại có:
Bởi vậy
MNEKI

đạt giá trị lớn nhất. Viết phương

.

,

Xét tam giác

sao cho
B.

là trung điểm của


Ta có:

và hai điểm

.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

, cho mặt cầu

là:

của đường thẳng

và

lớn nhất.

.

.
với mặt cầu

ứng với

là nghiệm phương trình:

13



.
Như vậy

hoặc

.

Ta có
,
. Suy ra
tại
có phương trình:

, nên phương trình tiếp diện của mặt cầu
hay

.

Câu 29.
Trong không gian
A.

, cho hai vectơ

và

.


B.

C.
.
Đáp án đúng: A

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
là
A.
Lời giải

. B.

Ta có

. C.

. Tọa độ của vectơ
.
.

, cho hai vectơ

. D.

là

và


. Tọa độ của vectơ

.

.

Câu 30. Trong không gian
, cho ba điểm
Đường thẳng
có phương trình là.
A.

. Gọi

là trực tâm tam giác

.

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
, cho ba điểm
tam giác
. Đường thẳng

có phương trình là.
A.

. Gọi

là trực tâm

B.

C.
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Như Trình ; Fb: Như Trình Nguyễn
Phương trình mặt phẳng (ABC):
Dễ thấy,

nên đường thẳng OH nhận vectơ

.
làm VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng OH là:
14


Câu 31. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng
của đường trịn đáy tâm . Gọi
của khối tứ diện
là:


cạnh bằng

là điểm thuộc cung

với

là đường kính

của đường trịn đáy sao cho

A.

. Thể tích

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

Giải thích chi tiết:
Ta có:
Gọi

vng tại
là hình chiếu của

có
lên


nên

.

, suy ra

và

Vậy
Câu 32. Trong không gian
A.

, cho

và

.

C.
Đáp án đúng: B

B.
.
có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện


A.
.
Đáp án đúng: C

B.

A.
.
B.
Hướng dẫn giải:
Gọi
và

.

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng
.

C.
có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khới tứ diện
C.

.

, góc giữa đường thẳng


Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ tam giác
bằng
, tam giác
trùng với trọng tâm của

.

.
.

D.

Câu 33. Cho lăng trụ tam giác
giác
của

. Tính tọa độ

D.

.

và
lên

bằng

, tam


trùng với trọng tâm

D.

.

, góc giữa đường thẳng

và

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

lên

.

là trung điểm của
là trọng tâm của

.
.

15


Xét

vuông tại


, có

. (nửa tam giác đều)
Đặt

. Trong

tam giác
Do
Trong

vuông tại

có

là nữa tam giác đều

là trọng tâm
vuông tại

.
:

Vậy,

.

Câu 34.
Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính
, người thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó

thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã
hoàn thiện.

A.

B.

C.
D.
Đáp án đúng: C
Câu 35. Cho lăng trụ có đáy là hình vng cạnh a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. a 3.
B. 3 a3 .
C. 2 a3.
D. 4 a3.
Đáp án đúng: D
u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
Câu 36. Cho dãy số ( u n) xác định bởi
un+1 = ( un +1 )
3
2
5
14
A. u 4= .
B. u 4= .
C. u 4= .
D. u 4=1.
3

9
27
Đáp án đúng: B
u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
Giải thích chi tiết: Cho dãy số ( u n) xác định bởi
1
un+1 = ( un +1 )
3

{

{

16


5
2
14
A. u 4= .
B. u 4=1.
C. u 4= .
D. u 4= .
9
3
27
Lời giải
Ta có
1

1
1
2
1
1 2
5
u2= ( u1+ 1 )= ( 2+1 ) =1;u3 = ( u2 +1 )= ;u 4= ( u3 +1 )=
+1 = .
3
3
3
3
3
3 3
9
Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.

( )

Câu 37. Trong không gian
tiếp tứ diện
là

, cho ba điểm

A.

,

,


. Phương trình mặt cầu ngoại

.

B.

.

C.
Đáp án đúng: B

.

D.

.

Câu 38. Trong khơng gian

, cho mặt cầu

. Có bao nhiêu điểm
hai tiếp tuyến cùng vng góc với
A. .
Đáp án đúng: C

B.

.


Mặt cầu

kẻ được đến

D.

.

thuộc tia

và đường thẳng
, với tung độ là số nguyên, mà từ

kẻ được đến

?

.

có tâm

và bán kính

Ta có
Gọi

.

, cho mặt cầu


hai tiếp tuyến cùng vng góc với
. D.

, với tung độ là số nguyên, mà từ
C.

. Có bao nhiêu điểm
. C.

thuộc tia

?

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian

A. . B.
Lời giải

và đường thẳng

.

với
là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ

Khi đó

qua điểm


đến

và vng góc đường thẳng

.
, vì vậy phương trình mặt phẳng

là:

.
Ta có

nằm ngồi mặt cầu
.

Mặt khác

Từ

và

.

suy ra

.
17


Do

Câu 39.

nên

. Vậy có

Thể tích của khối nón có chiều cao
A.

điểm

thỏa mãn bài tốn.

và bán kính đáy

.

C.
.
Đáp án đúng: B

là
B.

.

D.

.


Câu 40. Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
,
. Tam giác
cân tại
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Đường thẳng
tạo với đáy một góc
. Khi đó thể tích của
khối chóp
bằng
A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

.

D.

.

----HẾT---

18