ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 036.
Câu 1. Mặt phẳng ( A′ BC ) chia khối lăng trụ ABC . A′ B ′ C′ thành hai khối chóp.
A. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .
B. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
C. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
D. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .
Đáp án đúng: A
Câu 2. Trong không gian
là
A.

, cho hai điểm

và

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: C

, cho hai điểm

A.
Lời giải

. D.

Gọi

. C.

,
bằng

.
và

. Tọa độ trọng tâm của

.

là trọng tâm

.

Câu 3. Trong khơng gian
điểm

.


D.

Giải thích chi tiết: Trong không gian
tam giác
là
. B.

. Tọa độ trọng tâm của tam giác

, cho hai mặt phẳng
. Xét hai điểm thay đổi

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

Giải thích chi tiết: Nhận xét:
Xét

và

Ta có

. Suy ra

.


,
và
C.

;

và hai

sao cho

. Giá trị nhỏ nhất của

.

D.

.

cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
.
và

.
1


Ta có
Gọi

,


và

suy ra

.

là điểm sao cho

.

Khi đó

.

Do đó

.

Xét

với

Đường thẳng

đi qua

Suy ra hình chiếu của
Gọi


. Ta thấy

và

và vng góc với
trên

là điểm đối xứng với

có phương trình là:
là

qua

, suy ra

Ta có
Đẳng thức xảy ra khi

nằm về cùng một phía so với

.

.

.

là trung điểm

, suy ra


.

.
là giao diểm của

Vậy giá trị nhỏ nhất của
là
.
Câu 4. Lăng trụ có 2020 đỉnh có số mặt là
A. 1009 .
B. 1010 .
Đáp án đúng: D

và

.

C. 1011 .

D. 1012 .

2


Câu 5.

Trong khơng gian
có dạng


, phương trình mặt cầu

A.
C.
Đáp án đúng: A

có tâm

và cắt trục

.

B.

.

.

D.

.

Câu 6. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

, cho

. Gọi

. Tính bán kính mặt cầu


.

A. .
Đáp án đúng: C

C.

D.

.

Giải thích chi tiết: Gọi H là hình chiếu của

.

.

lên mp

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp
đường kính là

A.

, cho

và

.


. Tính tọa độ
B.

.

A.
Đáp án đúng: B
Câu 9. Trong không gian

D.

B.
, cho
B.

C.
Đáp án đúng: B

.

.
. SA vng góc với mp

C.

.

,

C.


.

D.

. Tính diện tích tam giác

Câu 10. Trong khơng gian
, cho ba điểm
Đường thẳng
có phương trình là.
A.

có

.

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình chữ nhật,
Cạnh SB tạo với mp đáy góc 60°. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:

A.
.
Đáp án đúng: C

nên

, suy ra

Câu 7. Trong không gian


C.
Đáp án đúng: B

sao cho

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất

trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp
B.

tại

.

.
D.

. Gọi

.

là trực tâm tam giác

.

B.
D.

Giải thích chi tiết: Trong không gian
, cho ba điểm

tam giác
. Đường thẳng
có phương trình là.

. Gọi

là trực tâm
3


A.

B.

C.
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Như Trình ; Fb: Như Trình Nguyễn
Phương trình mặt phẳng (ABC):
Dễ thấy,

.

nên đường thẳng OH nhận vectơ

làm VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng OH là:
Câu 11. Khối đa diện đều loại
A. .

Đáp án đúng: B

có bao nhiêu mặt?
B.

.

Giải thích chi tiết: Khối đa diện đều loại
A. . B. . C. .
Lời giải
Theo lí thuyết,

D.

C.

.

D.

.

có bao nhiêu mặt?

.

4


Chọn phương án D.

Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều
Thể tích khối chóp đó bằng
A.

.

B.

.

C.

.

có cạnh đáy bằng

. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

.

D.
.
Đáp án đúng: C

5


Câu 13. Trong khơng gian với hệ tọa độ
,


. Gọi

trình tiếp diện của mặt cầu
A.
C.
Đáp án đúng: C

là điểm thuộc mặt cầu
tại

đạt giá trị lớn nhất. Viết phương

.
.

.

D.

.

có tâm

và bán kính

tọa độ của

là

,


Xét tam giác

sao cho
B.

là trung điểm của

Ta có:

và hai điểm

.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

, cho mặt cầu

.
,

và

nên

Do

áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta có:


.
đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

lớn nhất nên

thuộc đường thẳng

Phương trình đường thẳng
Tọa độ giao điểm

.

.

Ta lại có:
Bởi vậy
MNEKI

nằm ngồi mặt cầu

và

lớn nhất.

.

là:

.


của đường thẳng

với mặt cầu

ứng với

là nghiệm phương trình:

.
Như vậy

hoặc

.

Ta có
,
. Suy ra
tại
có phương trình:

, nên phương trình tiếp diện của mặt cầu
hay

Câu 14. Trong không gian
tiếp tứ diện
là
A.

.


, cho ba điểm
.

C.
.
Đáp án đúng: B
Câu 15.
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng

,

,

. Phương trình mặt cầu ngoại

B.

.

D.

.

(tham khảo hình vẽ)
6


.
Biết diện tích xung quanh của hình chóp đó gấpđơi diện tích đáy, thể tích khối chóp đã cho bằng

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Gọi chiều cao của mặt bên là
Ta có diện tích xung quanh bằng

.

D.

.

.
, suy ra

:

Khi đó thể tích khối chóp
Câu 16.
Trong khơng gian
phương trình mặt phẳng

cho ba điểm


và

?

A.
C.
Đáp án đúng: A

Phương trình nào sau đây là

B.
D.

{

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
Câu 17. Cho dãy số ( u n) xác định bởi
1
un+1 = ( un +1 )
3
2
14
A. u 4=1.
B. u 4= .
C. u 4= .
3
27
Đáp án đúng: D

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
u
1
Giải thích chi tiết: Cho dãy số ( n) xác định bởi
un+1 = ( un +1 )
3
5
2
14
A. u 4= .
B. u 4=1.
C. u 4= .
D. u 4= .
9
3
27
Lời giải
Ta có

5
D. u 4= .
9

{

7


( )


1
1
1
2
1
1 2
5
u2= ( u1+ 1 )= ( 2+1 ) =1;u3 = ( u2 +1 )= ;u 4= ( u3 +1 )=
+1 = .
3
3
3
3
3
3 3
9
Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.

Câu 18. Cho khối lăng trụ đứng
), góc giữa đường thẳng

có đáy

là tam giác vng cân tại

và mặt phẳng

bằng


,

(với

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Đáp án đúng: C
Câu 19. Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua
trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường trịn đáy của ba khối nón đơi một tiếp xúc với nhau,
một khối nón có đường trịn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón cịn lại có đường trịn đáy
tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng
lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là
(lít). Thể tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.


.

D.

.

Giải thích chi tiết:
+) Gọi
cân).

là bán kính đáy của hình nón suy ra chiều cao nón là

+) Chiều dài của khối hộp là

bán kính của khối cầu là

+) Thể tích nước bị tràn là
+) Gọi

(do thiết diện là tam giác vuông

.
.

là tâm của 3 đáy của khối nón suy ra

+) Chiều rộng khối hộp là

đều cạnh


.

(dm).

+) Ba đỉnh nón chạm mặt cầu tại các điếm
( với

I

là tâm mặt cầu), do đó

. Suy ra chiều cao của khối trụ là

.
8


+) Thể tích nước ban đầu là

(lít).

Câu 20. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
. Khoảng cách từ điểm

, cho điểm

đến mặt phẳng

và mặt phẳng


là

A. 3.
PHẦN TỰ LUẬN
B.
C.

.
.

D.
.
Đáp án đúng: A
Câu 21. Cho lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. 3 a3 .
B. 4 a3 .
C. a 3.
D. 2 a3.
Đáp án đúng: B
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ
A.
.
Đáp án đúng: B

B.

, vectơ
.


có tọa độ là
C.

.

D.

.

Câu 23. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

. Để ít


D. Cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng
.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
nhiêu?

. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao

A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
Lời giải


và cạnh bên bằng

.

9


Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
Khi đó

có độ dài

và

.

.

Theo giả thiết

.

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ
Gọi

,

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ


là nhỏ nhất.
, ta có:

.
Khảo sát
Với

trên

, ta được

nhỏ nhất khi

.

.

Câu 24. Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu
A.

có tâm I và bán kính R là:
B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Câu 25. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB=2a, BC =
bằng 3a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

.
A.
Đáp án đúng: B

B.

Câu 26. Cho hình lăng trụ đứng
Thể tích khối lăng trụ
A.
Đáp án đúng: C

B.

C.
có đáy là tam giác vuông cân tại

cạnh bên

D.
,

và

.

là
C.

D.


10


Giải thích chi tiết:

Ta có

,

.

Thể tích khối lăng trụ là

.

Câu 27. Trong khơng gian

cho điểm

,

trình
nhất.

. Tìm tọa độ điểm

trên mặt cầu

A.


,

.

C.
Đáp án đúng: D

B.

.

và mặt cầu
sao cho tứ diện

qua

.

, mà

làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt cầu

có tâm

Gọi
.

là đường thẳng qua


Gọi

là điểm thuộc mặt cầu

, bán kính

.

.

và vng góc với

có vectơ chỉ phương

sao cho thể tích tứ diện

Xét hệ

lớn nhất

.

.

và
Vậy

có thể tích lớn

.


D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

có phương

.

là điểm cần tìm.

11


Câu 28. Trong khơng gian

, cho mặt cầu

. Có bao nhiêu điểm
hai tiếp tuyến cùng vng góc với
A. .
Đáp án đúng: B

B.

thuộc tia

.

C.


hai tiếp tuyến cùng vng góc với

Mặt cầu

. D.

kẻ được đến

D.

.
và đường thẳng

thuộc tia

, với tung độ là số ngun, mà từ

kẻ được đến

?

.

có tâm

và bán kính

Ta có
Gọi


.

, cho mặt cầu

. Có bao nhiêu điểm
. C.

, với tung độ là số nguyên, mà từ

?

Giải thích chi tiết: Trong không gian

A. . B.
Lời giải

và đường thẳng

.

với
là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ

Khi đó

qua điểm

đến


và vng góc đường thẳng

.
, vì vậy phương trình mặt phẳng

là:

.
Ta có

nằm ngồi mặt cầu
.

Mặt khác

Từ

và

.

suy ra

.

Do
nên
. Vậy có
điểm thỏa mãn bài tốn.
Câu 29. Phương trình nào khơng phải là phương trình mặt cầu, chọn đáp án đúng nhất:

A.
B. B và C.
C.

.
.

D.
Đáp án đúng: A

.

Câu 30. Trong không gian Oxyz, cho
A.
Đáp án đúng: D

B.

.

. Giá trị của
C.

.

bằng
D.

.
12



Giải thích chi tiết: Ta có:
Vậy
Câu 31.

.

.

Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là

. Một khối cầu

tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
nón và với

 ;… ;

B.

và

.

là khối cầu

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của khối

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với


lần lượt là thể tích của khối cầu

A.
.
Đáp án đúng: A

 ;

nội tiếp trong khối nối nón. Gọi
. Gọi

,…

là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh . Do đó bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cũng
chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chọp là
Áp dụng định lí Ta-Let ta có:

Tương tự ta tìm được


.

Tiếp tục như vậy ta có

13


Ta có

Do đó
Đặt

Đây là tổng của CSN lùi vơ hạn với công bội

Vậy
Câu 32. Trong không gian
tại , ,
sao cho
phẳng

, cho điểm
là trực tâm tam giác

. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm

và tiếp xúc với mặt

?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: D

D.

Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

Thật vậy :
Mà

.
(1)

(vì

là trực tâm tam giác

) (2)
14



Từ (1) và (2) suy ra

(*)

Tương tự

. (**)

Từ (*) và (**)

.

• Khi đó mặt cầu tâm
Vậy mặt cầu tâm

tiếp xúc mặt phẳng

và tiếp xúc với mặt phẳng

Câu 33. Cho hình lập phương
và đáy là hình trịn nội tiếp hình vng
A.

có bán kính
là

.


có cạnh . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vng
. Diện tích tồn phần của khối nón đó là

.

C.
Đáp án đúng: C

.

B.

.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:

Bán kính của đường trịn đáy là

.

Diện tích đáy nón là:

.


Độ dài đường sinh là

.

Diện tích xung quanh của khối nón là:

.

Vây, diện tích tồn phần của khối nón đó là:
Câu

34.

Cho

hàm

số

.

Các

số

. Khi biểu thức

.
A.
.

Đáp án đúng: A

B.

.

Câu 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ
hai vectơ

.

và

thực

thoả

mãn

và

đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị của
C.

, cho ba điểm

.

D.


.
. Tính góc giữa

.
15


A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ
A.
. B.
Lời giải

. C.

và
. D.

T a có:


.

D.

.

, cho ba điểm

.

.
.

,

.

Nên
Câu 36. Cho lăng trụ tam giác
giác
của

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

A.
.

Đáp án đúng: A

B.

, góc giữa đường thẳng

. Hình chiếu vng góc của điểm
theo bằng
.

C.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ tam giác
bằng
, tam giác
trùng với trọng tâm của
A.
.
B.
Hướng dẫn giải:
Gọi
và

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

.


C.

.

D.

.

và
lên

bằng

, tam

trùng với trọng tâm

D.

.

, góc giữa đường thẳng

và

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

lên


.

là trung điểm của
là trọng tâm của

.
.

Xét

vuông tại

, có

. (nửa tam giác đều)
Đặt

. Trong

tam giác
Do
Trong

vuông tại

có

là nữa tam giác đều


là trọng tâm
vuông tại

.
:
16


Vậy,

.

Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ

, cho hai điểm

và

chứa giao tuyến của hai mặt cầu
hai điểm

,

sao cho

. Xét

. Giá trị nhỏ nhất của

.


B.

C.
.
Đáp án đúng: A

bằng

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

là mặt phẳng

và

là hai điểm bất kì thuộc

A.

. Gọi

.

là giao tuyến của hai mặt cầu

và


nên ta có hệ:

.
Gọi
.

và

lần lượt là hình chiếu của

và

lên

. Khi đó

,

,

Ta có:
Mặt khác:

.

Suy ra
Vậy

đạt giá trị nhỏ nhất bằng


, dấu

xảy ra khi

thẳng hàng.
17


Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
trình đường trung trực của cạnh
.

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

. Viết phương

.

D.

.


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
Viết phương trình đường trung trực của cạnh
.

A.
Lời giải
Gọi
Gọi

.B.

.

C.

là đường trung trực của cạnh
là trung điểm của đoạn thẳng

Gọi
là mặt phẳng qua
pháp tuyến.
Mặt phẳng

. Suy ra

và vng góc với

.
.


.
. Mặt phẳng

nhận

làm làm một vectơ

làm một vectơ pháp tuyến.

là giao tuyến của mặt phẳng

đi qua

và mặt phẳng

và nhận

Phương trình của đường thẳng là:
Câu 39.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh
của khối nón được tạo thành:
A.
Đáp án đúng: B

D.

trong tam giác

nhận


Ta có, đường thẳng
Đường thẳng

.

.

B.

.
. Chọn

.

.
. Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Tính thể tích
C.

D.

x +5 y−7 z
=
= và điểm M (4 ;1; 6). Đường
2
−2 1
thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB=6 . Viết phương trình của mặt cầu (S).
A. ¿
B. ¿
C. ¿

D. ¿
Đáp án đúng: B
----HẾT---

Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

18