ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 035.
Câu 1. Trong khơng gian với hệ tọa độ
,

. Gọi

trình tiếp diện của mặt cầu
A.
C.
Đáp án đúng: C

là điểm thuộc mặt cầu
tại

.

.

D.

.

có tâm

và bán kính

tọa độ của

là

.
,

và

nên

Do

.

áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta có:

.
đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

lớn nhất nên

thuộc đường thẳng

Phương trình đường thẳng
Tọa độ giao điểm


nằm ngồi mặt cầu

.

Ta lại có:
Bởi vậy
MNEKI

đạt giá trị lớn nhất. Viết phương

.

,

Xét tam giác

sao cho
B.

là trung điểm của

Ta có:

và hai điểm

.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi


, cho mặt cầu

là:

và

lớn nhất.

.

.

của đường thẳng

với mặt cầu

ứng với

là nghiệm phương trình:

.
Như vậy

hoặc

.

Ta có
,

. Suy ra
tại
có phương trình:

, nên phương trình tiếp diện của mặt cầu
hay

.
1


Câu 2. Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục
là một tam giác vng cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón đơi một tiếp xúc với nhau, một
khối nón có đường trịn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón cịn lại có đường tròn đáy tiếp
xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng
bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là
tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?
A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

.

D.


lần

(lít). Thể
.

Giải thích chi tiết:
+) Gọi
cân).

là bán kính đáy của hình nón suy ra chiều cao nón là

+) Chiều dài của khối hộp là

bán kính của khối cầu là

(do thiết diện là tam giác vuông

.

+) Thể tích nước bị tràn là
+) Gọi

.

là tâm của 3 đáy của khối nón suy ra

+) Chiều rộng khối hộp là

đều cạnh


.

(dm).

+) Ba đỉnh nón chạm mặt cầu tại các điếm
( với

I

là tâm mặt cầu), do đó

. Suy ra chiều cao của khối trụ là

.
+) Thể tích nước ban đầu là

(lít).

Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=2a, BC =
bằng 3a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
.
A.
Đáp án đúng: A

B.

C.

cạnh bên


D.

2


Câu 4. Trong không gian
điểm

,
bằng

, cho hai mặt phẳng
. Xét hai điểm thay đổi

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

và

Ta có

. Suy ra

Gọi

,


C.
;

Xét

sao cho

. Giá trị nhỏ nhất của

.

D.

.

.
và

và

.

suy ra

.
.

Khi đó


.

Do đó

Đường thẳng

và hai

cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.

là điểm sao cho

Xét

và

.

Giải thích chi tiết: Nhận xét:

Ta có

,

.
với

đi qua

. Ta thấy


và

nằm về cùng một phía so với

và vng góc với

có phương trình là:

.

.
3


Suy ra hình chiếu của
Gọi

trên

là điểm đối xứng với

là
qua

, suy ra

Ta có

.


là trung điểm

, suy ra

.

.

Đẳng thức xảy ra khi

là giao diểm của

và

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của
là
.
Câu 5.
Cho hình vng
nội tiếp đường trịn
bán kính tam giác đều
nội tiếp đường trịn đó và
song song
(như hình vẽ). Cho mơ hình trên quay quanh đường thẳng
Kí hiệu
là thể tích khối
trịn xoay do hình vng, hình trịn và tam giác đều tạo thành. Khẳng định nào sau đây đúng ?


A.
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

Gọi

B.

C.

lần lượt là trung điểm của

Thể tích khối cầu (tạo bởi khi quay hình trịn quanh trục
Ta có

Ta có

D.

cạnh hình vng bằng

) là

nên

cạnh tam giác đều bằng

nên


4


Vậy
Câu 6.
Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính
, người thợ thủ cơng mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó
thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã
hồn thiện.

A.

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Câu 7. Trong khơng gian

cho mặt cầu

.
sao cho
nhất.

,


,

A.
.
Đáp án đúng: D

có tâm

, bán kính

là một điểm di động trên
là các tiếp tuyến của

B.

. Ba điểm phân biệt

. Tính tổng

.

và mặt phẳng
,

,

khi

C.


.

thuộc
đạt giá trị lớn

D.

.

Giải thích chi tiết:

Vì

nên điểm

được các tiếp tuyến với mặt cầu
Gọi

. Do đó qua điểm

luôn kẻ

.

là giao điểm của đường thẳng

và mặt phẳng

ta có
Do đó


ln nằm ngồi mặt cầu

, ta có

. Xét tam giác

vng tại

.
lớn nhất khi

nhỏ nhất hay

là hình chiếu của

trên mặt phẳng
5


Đường thẳng

thẳng
Vì

đi qua

là

và nhận vectơ pháp tuyến của


làm vectơ chỉ phương. Phương trình đường

.
nên

hay

Vậy

.

.

Câu 8. Trong khơng gian
, cho ba điểm
Đường thẳng
có phương trình là.

. Gọi

A.

là trực tâm tam giác

.

B.

C.

Đáp án đúng: D

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
, cho ba điểm
tam giác
. Đường thẳng
có phương trình là.
A.

. Gọi

là trực tâm

B.

C.
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Như Trình ; Fb: Như Trình Nguyễn
Phương trình mặt phẳng (ABC):
Dễ thấy,

.

nên đường thẳng OH nhận vectơ

làm VTCP.


Vậy phương trình đường thẳng OH là:
Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ
hai vectơ

và

, cho ba điểm

.

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ
A.
. B.
Lời giải
T a có:

. Tính góc giữa

. C.


và
. D.

,

.
, cho ba điểm

D.

.
.

.
.
.
6


Nên
Câu 10. Mặt phẳng ( A′ BC ) chia khối lăng trụ ABC . A′ B ′ C′ thành hai khối chóp.
A. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .
B. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
C. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
D. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .
Đáp án đúng: A
Câu 11. Hình đa diện nào khơng có tâm đối xứng?
A. Hình tứ diện đều.
B. Hình bát diện đều.

C. Hình lăng trụ tứ giác đều.
D. Hình lập phương.
Đáp án đúng: A
Câu 12.
Một cái khối gỗ có hình dạng như hình bên (gồm 1 khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi
trên hình, chu vi đáy là

A.
C.
Đáp án đúng: D

. Thể tích của khối gỗ bằng

.

B.
.

D.

.
.

7


Câu 13. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng


và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

. Để ít

D. Cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng
.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao

nhiêu?

A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng


.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
Lời giải

và cạnh bên bằng

.

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
Khi đó

có độ dài

và

.


.

Theo giả thiết

.

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ
Gọi

,

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

là nhỏ nhất.
, ta có:

.
Khảo sát

trên

, ta được

nhỏ nhất khi

.

Với
.

Câu 14. Cho một hình nón đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy. Nếu tam giác SAB đều thì góc
ở đỉnh của hình nón bằng
8


A. 30 ° .
Đáp án đúng: D

B. 120 °.

C. 90 ° .

D. 60 ° .

Giải thích chi tiết:
Hình nón có đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy nên góc ở đỉnh của hình nón là góc ^
ASB. Lại
0
60
°
có tam giác ΔSAB là tam giác đều nên ^
.
Vậy
góc
ở
đỉnh
hình
nón
bằng
.

ASB=6 0
Câu 15.
Trong khơng gian

, cho tam giác

có trọng tâm

. Tọa độ điểm

là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
. Tọa độ điểm
A.
Lời giải
Vì

. Biết

B.


, cho tam giác

. Biết

là:

C.

là trọng tâm tam giác

có trọng tâm

D.
nên ta có:

.
Câu 16. Cho tam giác
vng tại
có
tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng
A.
C.
Đáp án đúng: A

.

?

,


. Diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay
B.

.

Giải thích chi tiết: Khi quay tam giác
.

D.
quanh cạnh

.
.
ta thu được hình nón có:

;

9


Ta có:
Câu 17.

.

Nếu hai điểm

thoả mãn


A.

thì độ dài đoạn thẳng

;

C.
Đáp án đúng: D

bằng bao nhiêu?

B.
.

D.

Giải thích chi tiết: Nếu hai điểm
bao nhiêu?

thoả mãn

thì độ dài đoạn thẳng

bằng

A.
B.
C.

;


D.
.
Lời giải
Câu 18. Phương trình nào khơng phải là phương trình mặt cầu, chọn đáp án đúng nhất:
A.

.

B.

.

C.
.
D. B và C.
Đáp án đúng: C
Câu 19.
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng

(tham khảo hình vẽ)

.
Biết diện tích xung quanh của hình chóp đó gấpđơi diện tích đáy, thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: A

B.


.

Giải thích chi tiết: Gọi chiều cao của mặt bên là

C.

.

D.

.

.

10


Ta có diện tích xung quanh bằng

, suy ra

:

Khi đó thể tích khối chóp
Câu 20.
Cho

. Tọa độ M là

A.


B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

Câu 21. Trong không gian
là
A.

, cho hai điểm

và

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: C

, cho hai điểm

A.
Lời giải

. D.


. B.

. C.

.

, cho hai vectơ

và

.
.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
là

Ta có

. Tọa độ trọng tâm của

.

Trong không gian

A.
Lời giải

.
và


Gọi
là trọng tâm
Câu 22.

C.
Đáp án đúng: A

.

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
tam giác
là

A.

. Tọa độ trọng tâm của tam giác

. B.

. C.

. D.

. Tọa độ của vectơ

B.


.

D.

.

, cho hai vectơ

và

là

. Tọa độ của vectơ

.

.
11


Câu 23. Cho khối nón có bán kính đáy r =a và chiều cao h=2 a. Độ dài đường sinh của hình nón đó bằng
A. 5 a.
B. 3 a .
C. a √ 5
D. 10 a.
Đáp án đúng: C
Câu 24. Trong khơng gian
A.

.


C.
Đáp án đúng: C
Câu 25.
Trong

, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

khơng

B.

.

gian

và
.

D.

với

hệ

tọa

độ

.


cho

và

hai

đường

. Phương trình đường thẳng qua
với

và cắt

thẳng

, vng góc

là

A.
C.
Đáp án đúng: C

.

B.

.


.

D.

.

Giải thích chi tiết: Gọi

là đường thẳng qua

và

cắt

tại

. Khi đó

.
Ta có

.

Đường

, với

Do đó

là một vectơ chỉ phương của


, suy ra

.

Vậy phương trình đường thẳng

.

Câu 26. Trong khơng gian

, cho mặt cầu

. Có bao nhiêu điểm
hai tiếp tuyến cùng vng góc với
A. .
Đáp án đúng: A

.

B.

.

và đường thẳng

thuộc tia

, với tung độ là số nguyên, mà từ


kẻ được đến

?
C.

.

D.

.

12


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian

, cho mặt cầu

. Có bao nhiêu điểm
hai tiếp tuyến cùng vng góc với
A. . B.
Lời giải
Mặt cầu

. C.

. D.

thuộc tia


, với tung độ là số ngun, mà từ

kẻ được đến

?

.

có tâm

và bán kính

Ta có
Gọi

và đường thẳng

.

với
là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ

Khi đó

qua điểm

đến

và vng góc đường thẳng


.
, vì vậy phương trình mặt phẳng

là:

.
Ta có

nằm ngồi mặt cầu
.

Mặt khác

Từ

và

.

suy ra

.

Do
nên
. Vậy có
điểm thỏa mãn bài tốn.
Câu 27. Cho lăng trụ có đáy là hình vng cạnh a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. 2 a3.
B. a 3.

C. 4 a3.
D. 3 a3 .
Đáp án đúng: C
Câu 28.
Cho tam giác ABC vng cân tại A có cạnh
. Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Tính thể tích
của khối nón được tạo thành:
A.
Đáp án đúng: C

B.

Câu 29. Cho hình lập phương
và đáy là hình trịn nội tiếp hình vng
A.
C.
Đáp án đúng: D

.
.

C.

D.

có cạnh . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vng
. Diện tích tồn phần của khối nón đó là
B.

.


D.

.

13


Giải thích chi tiết:

Bán kính của đường trịn đáy là

.

Diện tích đáy nón là:

.

Độ dài đường sinh là

.

Diện tích xung quanh của khối nón là:

.

Vây, diện tích tồn phần của khối nón đó là:
Câu 30. Khẳng định nào sau đây là sai?

.


A. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy

và chiều cao

là

.

B. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy
và chiều cao là
C. Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.
D. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy
Đáp án đúng: A
Câu 31. Cho khối lăng trụ đứng
), góc giữa đường thẳng
A.
.
Đáp án đúng: D

B.

và chiều cao
có đáy

và mặt phẳng

bằng
C.


Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ

, cho hai điểm

A.

.
(với

D.
và

. Gọi

.
là mặt phẳng

và

là hai điểm bất kì thuộc

sao cho

. Xét

. Giá trị nhỏ nhất của

.

B.


.

C.
.
Đáp án đúng: B

D.

.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

,

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
.

chứa giao tuyến của hai mặt cầu
,

là

là tam giác vuông cân tại

.

hai điểm

.


là giao tuyến của hai mặt cầu

và

bằng

nên ta có hệ:

14


.
Gọi
.

và

lần lượt là hình chiếu của

và

lên

. Khi đó

,

,


Ta có:
Mặt khác:

.

Suy ra
Vậy

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Câu 33. Trong không gian
A.

, cho

.
có đáy

.

là tam giác vng cân tại

,

. Tính thể tích

.
B.

.


Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ đứng
Tính thể tích khối lăng trụ biết rằng
. C.

.
.

D.

A.
.
Đáp án đúng: D

thẳng hàng.

. Tính tọa độ
B.

Câu 34. Cho lăng trụ đứng
khối lăng trụ biết rằng

. B.

xảy ra khi

và

.


C.
Đáp án đúng: B

A.
Lời giải

, dấu

. D.

C.
có đáy

.

D.

là tam giác vuông cân tại

.
,

.

.
.

15



Tam giác

vng cân tại

, mà

Xét
vng tại , có
Vậy thể tích hình lăng trụ đã cho là

.

,

,

.

Câu 35. Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là
Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng 3 kích
thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương ln gấp
lần thể tích hình hộp chữ
nhật. Gọi
là tỉ số giữa diện tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật.
Tìm giá trị lớn nhất của
A.
.
Đáp án đúng: C

của

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương là
Hình hộp chữ nhật có

và

Hình lập phương có
Vậy
Ta có

Đặt
16


Vậy
Đặt
Ta có

Kết hợp điều kiện


ta có

Khi đó
Xét hàm số

trện đoạn

Ta có
Suy ra,

Khi đó,

Câu 36. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

.
, cho

. Gọi

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất

trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp

. Tính bán kính mặt cầu

.

A.
.

Đáp án đúng: B

C. .

D.

B.

.

Giải thích chi tiết: Gọi H là hình chiếu của

.

lên mp

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp
đường kính là
, suy ra
Câu 37. Cho hình túr giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh
phẳng đáy và

. Hãy tính thế tích

A.

.

B.


.

có

, cạnh bên SA vng góc với mặt

của khối chóp S.ABCD.

A.
.
B.
.
Đáp án đúng: D
Câu 38. Lăng trụ có 2020 đỉnh có số mặt là
A. 1012 .
B. 1009 .
Đáp án đúng: A
Câu 39. Trong không gian với hệ trục

nên

C.

.

C. 1010 .
, cho mặt cầu

D.


.

D. 1011 .
. Bán kính của

C.

.

là

D. .
17


Đáp án đúng: C
Câu 40. Trong không gian
tại , ,
sao cho
phẳng

, cho điểm
là trực tâm tam giác

. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm

và tiếp xúc với mặt

?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

.

Thật vậy :
Mà

(1)
(vì

là trực tâm tam giác

Từ (1) và (2) suy ra


(*)

Tương tự

. (**)

Từ (*) và (**)

.

• Khi đó mặt cầu tâm
Vậy mặt cầu tâm

) (2)

tiếp xúc mặt phẳng

và tiếp xúc với mặt phẳng

có bán kính
là
----HẾT---

.
.

18