ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 033.
Câu 1. Lăng trụ có 2020 đỉnh có số mặt là
A. 1011 .
B. 1010 .
C. 1012 .
Đáp án đúng: C

D. 1009 .

Câu 2. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

. Để ít

D. Cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng
.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
nhiêu?

. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao

A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.


C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
Lời giải

và cạnh bên bằng

.

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
Khi đó

và

có độ dài

,

.

.

1


Theo giả thiết


.

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ
Gọi

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

là nhỏ nhất.
, ta có:

.
Khảo sát

trên

Với

, ta được

nhỏ nhất khi

.

.

Câu 3. Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
,

. Tam giác
cân tại
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Đường thẳng
tạo với đáy một góc
. Khi đó thể tích của
khối chóp
bằng
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ

C.

.

, cho hai điểm

và

chứa giao tuyến của hai mặt cầu
hai điểm

,


sao cho

. Gọi

là mặt phẳng
. Xét

. Giá trị nhỏ nhất của

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: A

bằng

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

.

và

là hai điểm bất kì thuộc


A.

D.

.

là giao tuyến của hai mặt cầu

và

nên ta có hệ:

.
Gọi
.

và

lần lượt là hình chiếu của

và

lên

. Khi đó

,

,


2


Ta có:
Mặt khác:

.

Suy ra
Vậy
Câu 5.

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Trong không gian
tam giác
A.

, dấu

xảy ra khi

thẳng hàng.

, cho ba điểm

. Tọa độ trọng tâm

của


là
.

B.

C.
.
Đáp án đúng: A
Câu 6.
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng

D.

.
.

(tham khảo hình vẽ)

.
3


Biết diện tích xung quanh của hình chóp đó gấpđơi diện tích đáy, thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: D

B.


.

C.

Giải thích chi tiết: Gọi chiều cao của mặt bên là

.

D.

.

.

Ta có diện tích xung quanh bằng

, suy ra

:

Khi đó thể tích khối chóp
Câu 7. Trong khơng gian
điểm

,
bằng

, cho hai mặt phẳng
. Xét hai điểm thay đổi


A.
.
Đáp án đúng: A

B.

Giải thích chi tiết: Nhận xét:
Xét

và

Ta có

. Suy ra

Ta có

,

,

và

và

.

C.
;


và hai

sao cho

. Giá trị nhỏ nhất của

.

D.

.

cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
.
và

suy ra

.

.
4


Gọi

là điểm sao cho

.


Khi đó

.

Do đó

.

Xét

với

Đường thẳng

đi qua

Suy ra hình chiếu của
Gọi

. Ta thấy

và

và vng góc với
trên

là điểm đối xứng với

qua


, suy ra

là giao diểm của

và

là

.

là trung điểm

, suy ra

.

.

.

Câu 8. Cho hình lập phương
và đáy là hình trịn nội tiếp hình vng

C.
Đáp án đúng: A

.

.


Vậy giá trị nhỏ nhất của

A.

.

có phương trình là:
là

Ta có
Đẳng thức xảy ra khi

nằm về cùng một phía so với

có cạnh . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vng
. Diện tích tồn phần của khối nón đó là

.
.

B.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:


Bán kính của đường trịn đáy là

.

Diện tích đáy nón là:

.

Độ dài đường sinh là

.

Diện tích xung quanh của khối nón là:
Vây, diện tích tồn phần của khối nón đó là:

.
.
5


Câu 9.
Trong khơng gian
A.

, hình chiếu vng góc của điểm

trên trục

.


B.

.

C.
.
Đáp án đúng: D

D.

.

Câu 10. Cho hình chóp tứ giác đều
Thể tích khối chóp đó bằng
A.

.

B.

.

C.

.

có cạnh đáy bằng

có tọa độ là


. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

.

D.
.
Đáp án đúng: C
Câu 11. Trong không gian

cho mặt cầu

.
sao cho
nhất.

,

,

A.
.
Đáp án đúng: C

có tâm

, bán kính

là một điểm di động trên
là các tiếp tuyến của


B.

.

. Ba điểm phân biệt

. Tính tổng

C.

và mặt phẳng

khi

.

,

,

thuộc
đạt giá trị lớn

D.

.

Giải thích chi tiết:

Vì

được các tiếp tuyến với mặt cầu

nên điểm

ln nằm ngồi mặt cầu

. Do đó qua điểm

ln kẻ

.
6


Gọi

là giao điểm của đường thẳng

và mặt phẳng

ta có
lớn nhất khi

Đường thẳng

Vì

. Xét tam giác

vng tại


.

Do đó

thẳng

, ta có

đi qua

là

nhỏ nhất hay

là hình chiếu của

và nhận vectơ pháp tuyến của

trên mặt phẳng

làm vectơ chỉ phương. Phương trình đường

.
nên

hay

Vậy


.

Câu 12. Trong không gian
A. .
Đáp án đúng: C

, cho
B.

A.
.
Đáp án đúng: A

,
.

Câu 13. Khối đa diện đều loại
B.

D.

. Tính diện tích tam giác
C.

.

.
D.

.


có bao nhiêu mặt?
.

Giải thích chi tiết: Khối đa diện đều loại
A. . B. . C. .
Lời giải
Theo lí thuyết,

.

C.

.

D. .

có bao nhiêu mặt?

.

7


Chọn phương án D.
Câu 14. Cho hình bình hành

và điểm

bất kỳ nằm trên đường chéo


A.

B.

C.
Đáp án đúng: A
Câu 15.
Trong không gian

Mệnh đề nào sau đây sai?

D.

, cho tam giác
. Tọa độ điểm

có trọng tâm

. Biết

là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C


D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
. Tọa độ điểm

, cho tam giác
là:

có trọng tâm

. Biết
8


A.
Lời giải
Vì

B.

C.

là trọng tâm tam giác

D.
nên ta có:

.
Câu 16.
Trong khơng gian


, cho hai điểm

và

. Trung điểm của đoạn thẳng

là điểm
A.

.

C.
Đáp án đúng: D

. B.

. C.

Câu 17. Cho hình nón
Biết rằng

.

D.

.

, cho hai điểm


và

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
thẳng
là điểm
A.
Lời giải

B.

đỉnh

. D.

so với khối cầu
A.
.
Đáp án đúng: C

.

có thiết diện qua trục là tam giác đều

nội tiếp trong mặt cầu

tâm

. Trung điểm của đoạn


, bán kính

có diện tích là

.

. Tính tỉ lệ thể tích của khối nón

.
B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Vì tam giác
Gọi

đều có diện tích

là trung điểm của


ta có

nên các cạnh

.
.
9


Hình nón

có đường cao

Mặt cầu

và bán kính đáy

có bán kính

.

.

.
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ
. Tập hợp các giá trị của
A.
.
Đáp án đúng: B


B.

, cho

để bốn điểm

,

.

Giải thích chi tiết: Ta có

;
,

,

C.
,

;

;

đồng phẳng là tập con của tập nào sau?
.

D.

,


.

.

.
Để bốn điểm

,

,

,

đồng phẳng:

.
Câu 19. Cho tam giác
vuông tại
có
tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng
A.

?

,

.

C.

Đáp án đúng: A

B.
.

.

D.

Giải thích chi tiết: Khi quay tam giác
.
Ta có:

. Diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay

.

quanh cạnh

ta thu được hình nón có:

;

.

Câu 20. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
. Khoảng cách từ điểm

, cho điểm


đến mặt phẳng

và mặt phẳng

là

A. 3.
PHẦN TỰ LUẬN
B.

.

C.

.

D.
.
Đáp án đúng: A
10


Câu 21.
Trong khơng gian

cho ba điểm

phương trình mặt phẳng

B.


C.
Đáp án đúng: A
Câu 22.

D.

Trong không gian

, cho mặt phẳng

. Khoảng cách từ điểm

bằng

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Ta có

A.
.
Đáp án đúng: B


.

D.

.

.

Câu 23. Cho hình trụ có trục
một khoảng bằng
cho bằng

Phương trình nào sau đây là

?

A.

đến mặt phẳng

và

và có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng song song với trục

và cách

cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vng. Diện tích xung quanh của hình trụ đã
B.


.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
11


Mặt phẳng

song song với trục và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vng
, trong đó

là bán kính đáy và

. Cạnh hình vng là

là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng

.
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là

.


Câu 24. Cho lăng trụ tam giác
giác
của

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

, góc giữa đường thẳng

. Hình chiếu vng góc của điểm
theo bằng
.

C.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ tam giác
bằng
, tam giác
trùng với trọng tâm của
A.
.

B.
Hướng dẫn giải:
Gọi
và

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

.

C.

.

D.

.

và
lên

bằng

, tam

trùng với trọng tâm


D.

.

, góc giữa đường thẳng

và

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

lên

.

là trung điểm của
là trọng tâm của

.
.

Xét

vuông tại

, có

. (nửa tam giác đều)
Đặt


. Trong

tam giác
Do
Trong

vuông tại

có

là nữa tam giác đều

là trọng tâm
vuông tại

.
:

12


Vậy,

.

Câu 25.
Trong không gian
A.

, cho hai vectơ

.

C.
Đáp án đúng: A

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
là
A.
Lời giải

và

. B.

. C.

. D.

. Tọa độ của vectơ

B.

.

D.

.


, cho hai vectơ

và

là

. Tọa độ của vectơ

.

Ta có
.
Câu 26.
Cho hình vng
nội tiếp đường trịn
bán kính tam giác đều
nội tiếp đường trịn đó và
song song
(như hình vẽ). Cho mơ hình trên quay quanh đường thẳng
Kí hiệu
là thể tích khối
trịn xoay do hình vng, hình trịn và tam giác đều tạo thành. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

Gọi


B.

C.

D.

lần lượt là trung điểm của
13


Thể tích khối cầu (tạo bởi khi quay hình trịn quanh trục
Ta có

cạnh hình vng bằng

Ta có

) là

nên

cạnh tam giác đều bằng

nên

Vậy
Câu 27. Trong không gian Oxyz, cho
A.
Đáp án đúng: C


. Giá trị của

B.

.

Giải thích chi tiết: Ta có:
Vậy

.

D.

.

.

.

Câu 28. Trong không gian
tại , ,
sao cho
phẳng

C.

bằng

, cho điểm
là trực tâm tam giác


. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt

?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

.

Thật vậy :
Mà


(1)
(vì

là trực tâm tam giác

Từ (1) và (2) suy ra

(*)

Tương tự
Từ (*) và (**)

) (2)

. (**)
.
14


• Khi đó mặt cầu tâm
Vậy mặt cầu tâm
Câu 29.

tiếp xúc mặt phẳng

có bán kính

và tiếp xúc với mặt phẳng

Nếu hai điểm


.

là

thoả mãn

.
thì độ dài đoạn thẳng

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

.

D.

Giải thích chi tiết: Nếu hai điểm
bao nhiêu?

bằng bao nhiêu?

;

thoả mãn


thì độ dài đoạn thẳng

bằng

A.
B.
C.

;

D.
Lời giải

.

Câu 30. Trong không gian
A.

, cho

và

.

C.
Đáp án đúng: B

.

A.


B.

.

.

, cho ba điểm

. Tính góc giữa

.

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ

T a có:

và
.


D.

Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ

A.
. B.
Lời giải

.

, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
.

và

.

D.

C.
Đáp án đúng: B

.

B.

Câu 31. Trong khơng gian

hai vectơ


. Tính tọa độ

. C.

và
. D.

,

.
, cho ba điểm

D.

.
.

.
.
.

Nên
15


Câu 33. Mặt phẳng ( A′ BC ) chia khối lăng trụ ABC . A′ B ′ C′ thành hai khối chóp.
A. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
B. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
C. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .

D. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .
Đáp án đúng: C
Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ
A.
.
Đáp án đúng: A
Câu 35.

B.

, vectơ
.

có tọa độ là
C.

Một chiếc ly dạng hình nón ( như hình vẽ với chiều cao ly là

.

D.

.

). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho

chiều cao của lượng nước trong ly bằng
chiều cao của ly. Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỷ
lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng bao nhiêu?


A. .
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:

Giả sử ly có chiều cao

và đáy là đường trịn có bán kính

Khối nước trong ly có chiều cao bằng
và bán kính đáy

, nên có thể tích

chiều cao của ly nên khối nước tạo thành khối nón có chiều cao bằng

thể tích nước bằng


Do đó thể tích khoảng khơng bằng
Nên khi úp ngược ly lại thì ta có các tỉ lệ:
Suy ra: thể tích khoảng không bằng:

.

.
.
.
.
16


.
Nên chiều cao mực nước bằng:

.

Vậy tỷ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng
Câu 36. Cho khối lăng trụ đứng
), góc giữa đường thẳng
A.
.
Đáp án đúng: A

có đáy

là tam giác vng cân tại

và mặt phẳng


B.

bằng

.

.

cho điểm

,

trình
nhất.

. Tìm tọa độ điểm

trên mặt cầu

C.
Đáp án đúng: B

D.

,

.

sao cho tứ diện


qua

có tâm

Gọi
.

là đường thẳng qua

Gọi

là điểm thuộc mặt cầu

, bán kính

, mà
.

.

và vng góc với

có vectơ chỉ phương

sao cho thể tích tứ diện

Xét hệ

lớn nhất


.

.

và
Vậy

có thể tích lớn

.

làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt cầu

có phương

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

(với

.

và mặt cầu

B.

.

,

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

C.

Câu 37. Trong không gian

A.

.

.

là điểm cần tìm.
17


Câu 38. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=2a, BC =
bằng 3a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
.

cạnh bên

A.
B.
C.
D.

Đáp án đúng: D
Câu 39. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có BD=3 a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối
chóp đã cho bằng
A. 6 a 3 .
B. 12 a3 .
C. 6 a 3 .
D. 3 a3 .
Đáp án đúng: A
Câu 40. Trong không gian với hệ trục
A.
.
Đáp án đúng: B

B.

, cho mặt cầu
.

. Bán kính của
C. .

D.

là

.

----HẾT---

18