ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 029.
Câu 1. Cho tam giác
vng tại
có
tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng
A.

?

,

. Diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay

.

C.
Đáp án đúng: D

B.
.

D.

Giải thích chi tiết: Khi quay tam giác
.
Ta có:

.
ta thu được hình nón có:

;

.

Câu 2. Cho hình lăng trụ đứng
tích khối lăng trụ
là
A.
Đáp án đúng: A

quanh cạnh

.

có đáy là tam giác vng cân tại

B.

C.

,


và

. Thể

D.

Giải thích chi tiết:

Ta có

,

.

Thể tích khối lăng trụ là
.
Câu 3. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có BD=3 a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối
chóp đã cho bằng
A. 6 a 3 .
B. 3 a3 .
C. 6 a 3 .
D. 12 a3 .
Đáp án đúng: A
Câu 4.

1


Trong không gian
đến mặt phẳng


, cho mặt phẳng

. Khoảng cách từ điểm

bằng

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Ta có
Câu 5.
Cho tam giác ABC vng cân tại A có cạnh
của khối nón được tạo thành:

D.

.

.
. Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Tính thể tích

A.

B.
Đáp án đúng: C
Câu 6. Mặt phẳng ( A′ BC ) chia khối lăng trụ ABC . A′ B ′ C′
A. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .
C. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
Đáp án đúng: A
Câu 7. Trong không gian
, cho điểm
tại , ,
sao cho
là trực tâm tam giác
phẳng

.

C.

D.

thành hai khối chóp.
B. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
D. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .

. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt


?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: D

D.

Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

.

Thật vậy :
Mà

(1)
(vì

là trực tâm tam giác

Từ (1) và (2) suy ra

(*)


Tương tự
Từ (*) và (**)

) (2)

. (**)
.
2


• Khi đó mặt cầu tâm
Vậy mặt cầu tâm

tiếp xúc mặt phẳng

và tiếp xúc với mặt phẳng

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ
,

. Gọi

trình tiếp diện của mặt cầu
A.
C.
Đáp án đúng: D

tại


, cho mặt cầu

và hai điểm

sao cho
B.

.

.

D.

.

có tâm

và bán kính

tọa độ của

là

.
,

và

nên


Do

.

áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta có:

.
đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

lớn nhất nên

thuộc đường thẳng

Phương trình đường thẳng
Tọa độ giao điểm

nằm ngồi mặt cầu

.

Ta lại có:
Bởi vậy
MNEKI

đạt giá trị lớn nhất. Viết phương

.

,


Xét tam giác

.

.

là trung điểm của

Ta có:

.

là

là điểm thuộc mặt cầu

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

có bán kính

là:

và

lớn nhất.

.

.


của đường thẳng

với mặt cầu

ứng với

là nghiệm phương trình:

.
Như vậy

hoặc

Ta có
,
. Suy ra
tại
có phương trình:

.
, nên phương trình tiếp diện của mặt cầu

hay
.
Câu 9. Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua trục
là một tam giác vng cân vào bể sao cho ba đường trịn đáy của ba khối nón đơi một tiếp xúc với nhau, một
khối nón có đường trịn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón cịn lại có đường trịn đáy tiếp
xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng


lần
3


bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là
tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?
A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

.

D.

(lít). Thể
.

Giải thích chi tiết:
+) Gọi
cân).

là bán kính đáy của hình nón suy ra chiều cao nón là

+) Chiều dài của khối hộp là


bán kính của khối cầu là

+) Thể tích nước bị tràn là
+) Gọi

(do thiết diện là tam giác vuông

.
.

là tâm của 3 đáy của khối nón suy ra

+) Chiều rộng khối hộp là

đều cạnh

.

(dm).

+) Ba đỉnh nón chạm mặt cầu tại các điếm
( với

I

là tâm mặt cầu), do đó

. Suy ra chiều cao của khối trụ là


.
+) Thể tích nước ban đầu là
(lít).
Câu 10. Cho một hình nón đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy. Nếu tam giác SAB đều thì góc
ở đỉnh của hình nón bằng
A. 120 °.
B. 30 ° .
C. 90 ° .
D. 60 ° .
Đáp án đúng: D

Giải thích chi tiết:
4


Hình nón có đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy nên góc ở đỉnh của hình nón là góc ^
ASB. Lại
0
^
có tam giác ΔSAB là tam giác đều nên ASB=6 0 . Vậy góc ở đỉnh hình nón bằng 60 ° .
Câu 11. Trong khơng gian
hai điểm
của

, cho hai mặt phẳng

,
bằng

. Xét hai điểm thay đổi


A.
.
Đáp án đúng: B

B.

Giải thích chi tiết: Nhận xét:
và

Ta có

. Suy ra

Gọi

,

C.

và

sao cho
.

. Giá trị nhỏ nhất
D.

.


cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
.

và

và

.

suy ra

là điểm sao cho

.
.

Khi đó

.

Do đó
Xét

và

.
;

Xét


Ta có

,

.
với

. Ta thấy

và

nằm về cùng một phía so với

.

5


Đường thẳng

đi qua

và vng góc với

Suy ra hình chiếu của
Gọi

trên

là điểm đối xứng với


có phương trình là:
là

qua

, suy ra

Ta có

.

.

là trung điểm

, suy ra

.

.

Đẳng thức xảy ra khi

là giao diểm của

Vậy giá trị nhỏ nhất của

là


và
.

Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ
A.

.

, cho hai vectơ

.

,

B.

C.
Đáp án đúng: D

.

. Tính

.

.

D.

.


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

, cho hai vectơ

,

. Tính

.
A.
Lời giải

. B.

.

C.

. D.

.

Ta có

.

Câu 13. Trong khơng gian với hệ tọa độ
Gọi


cho 3 điểm

là điểm thuộc mặt phẳng

đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng

hỏi

và mặt phẳng

sao cho biểu thức

thuộc khoảng nào trong các khoảng sau.

A.
B.
C.
D.
Đáp án đúng: D
Câu 14. Cho khối nón có bán kính đáy r =a và chiều cao h=2 a. Độ dài đường sinh của hình nón đó bằng
A. 5 a.
B. 3 a .
C. 10 a.
D. a √ 5
Đáp án đúng: D
Câu 15. Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là
Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng 3 kích
thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương ln gấp
lần thể tích hình hộp chữ
nhật. Gọi

là tỉ số giữa diện tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật.
Tìm giá trị lớn nhất của
A.

.

của
B.

.

C.

.

D.

.
6


Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết: Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương là
Hình hộp chữ nhật có

và

Hình lập phương có
Vậy
Ta có


Đặt

Vậy
Đặt
Ta có

Kết hợp điều kiện

ta có

Khi đó
Xét hàm số

trện đoạn

Ta có
Suy ra,

Khi đó,

Câu 16. Trong khơng gian
A.
C.
Đáp án đúng: D

.
.

, cho


.
và

. Tính tọa độ

.

B.

.

D.

.

7


Câu

17.

Cho

hàm

số

.


Các

số

thực

. Khi biểu thức

.
A. .
Đáp án đúng: D
Câu 18.

B.

Trong không gian
A.

.

C.

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
là
A.
Lời giải


. B.

. C.

Ta có

. D.

và

.

. Tọa độ của vectơ

B.

.

D.

.
và

là

. Tọa độ của vectơ

.

.

và

, cho ba điểm

. Tính góc giữa

.

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ
A.
. B.
Lời giải

D.

, cho hai vectơ

Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ
hai vectơ


.

và

.

mãn

đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị của

, cho hai vectơ

C.
Đáp án đúng: A

thoả

. C.

T a có:

và
. D.

,

.

D.


.

, cho ba điểm

.

.
.
.

Nên
Câu 20.
Trong khơng gian
A.

, hình chiếu vng góc của điểm

trên trục

.

B.

.

C.
.
Đáp án đúng: C
Câu 21.


D.

.

có tọa độ là

8


Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là

. Một khối cầu

tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
nón và với

 ;… ;

B.

và

.

là khối cầu

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của khối

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với


lần lượt là thể tích của khối cầu

A.
.
Đáp án đúng: C

 ;

nội tiếp trong khối nối nón. Gọi
. Gọi

,…

là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh . Do đó bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cũng
chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chọp là
Áp dụng định lí Ta-Let ta có:

Tương tự ta tìm được


.

Tiếp tục như vậy ta có

Ta có

9


Do đó
Đặt

Đây là tổng của CSN lùi vơ hạn với công bội

Vậy
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ
A.
.
Đáp án đúng: B

, vectơ

B.

.

Câu 23. Cho lăng trụ tam giác
giác
của


A.
.
Đáp án đúng: A

C.
có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

.

.

C.
có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện
C.

.

D.

D.


, góc giữa đường thẳng

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ tam giác

A.
.
B.
Hướng dẫn giải:

.

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

B.

bằng
, tam giác
trùng với trọng tâm của

có tọa độ là

.

.

và
lên

bằng


, tam

trùng với trọng tâm

D.

.

, góc giữa đường thẳng

và

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

lên

.

10


Gọi
và

là trung điểm của
là trọng tâm của

.

.

Xét

vuông tại

, có

. (nửa tam giác đều)
Đặt

. Trong

tam giác
Do

vuông tại

có

là nữa tam giác đều

là trọng tâm

Trong

vuông tại

.
:


Vậy,

.

Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ

, cho hai điểm

và

chứa giao tuyến của hai mặt cầu
hai điểm
A.

,

là mặt phẳng

và

là hai điểm bất kì thuộc

sao cho

. Xét

. Giá trị nhỏ nhất của

.


B.

.

C.
.
Đáp án đúng: D

D.

.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

. Gọi

là giao tuyến của hai mặt cầu

và

bằng

nên ta có hệ:

.
Gọi
.

và


lần lượt là hình chiếu của

và

lên

. Khi đó

,

,

11


Ta có:
Mặt khác:

.

Suy ra
Vậy
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
Câu 25. Hình đa diện nào khơng có tâm đối xứng?
A. Hình bát diện đều.
C. Hình lăng trụ tứ giác đều.
Đáp án đúng: B

, dấu


xảy ra khi
B. Hình tứ diện đều.
D. Hình lập phương.

Câu 26. Trong không gian với hệ trục tọa độ
. Khoảng cách từ điểm
A.

thẳng hàng.

, cho điểm

đến mặt phẳng

và mặt phẳng

là

.

B.
.
C. 3.
PHẦN TỰ LUẬN
D.
.
Đáp án đúng: C
Câu 27.
Một cái khối gỗ có hình dạng như hình bên (gồm 1 khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi

trên hình, chu vi đáy là

. Thể tích của khối gỗ bằng

12


A.
C.
Đáp án đúng: B

.

B.
.

D.

Câu 28. Cho hình bình hành

và điểm

.

bất kỳ nằm trên đường chéo

A.

Mệnh đề nào sau đây sai?


B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

Câu 29. Trong không gian với hệ trục
A. .
Đáp án đúng: C
Câu 30.

.

B.

.

, cho mặt cầu

. Bán kính của
C.

Một chiếc ly dạng hình nón ( như hình vẽ với chiều cao ly là

.

là

D. .


). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho

chiều cao của lượng nước trong ly bằng
chiều cao của ly. Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỷ
lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng bao nhiêu?

13


A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:

Giả sử ly có chiều cao


và đáy là đường trịn có bán kính

Khối nước trong ly có chiều cao bằng
và bán kính đáy

, nên có thể tích

chiều cao của ly nên khối nước tạo thành khối nón có chiều cao bằng

thể tích nước bằng

Do đó thể tích khoảng khơng bằng

.

.
.

Nên khi úp ngược ly lại thì ta có các tỉ lệ:

.

Suy ra: thể tích khoảng không bằng:

.
.

Nên chiều cao mực nước bằng:

.


Vậy tỷ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng
Câu 31.
Thể tích của khối nón có chiều cao

và bán kính đáy

.

là

A.

.

B.

C.

.

D.

.
.
14


Đáp án đúng: B
Câu 32. Trong không gian

A.

, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

.

C.
Đáp án đúng: D

và

B.
.

.

D.

.

x +5 y−7 z
=
= và điểm M (4 ;1; 6). Đường
2
−2 1
thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB=6 . Viết phương trình của mặt cầu (S).
A. ¿
B. ¿
C. ¿
D. ¿

Đáp án đúng: D
Câu 34.

Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính
, người thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó
thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã
hoàn thiện.

A.

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

Câu 35. Trong không gian
là
A.

, cho hai điểm

và

.

C.

.
Đáp án đúng: C

B.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
tam giác
là

, cho hai điểm

A.
Lời giải

. D.

. B.

. C.

. Tọa độ trọng tâm của tam giác

và


. Tọa độ trọng tâm của

.

15


Gọi

là trọng tâm

.

Câu 36. Cho khối lăng trụ đứng

có đáy

), góc giữa đường thẳng
A.
.
Đáp án đúng: D
Câu

37.

và mặt phẳng

B.
Trong


khơng

là tam giác vng cân tại
bằng

.

C.

gian

,

(với

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
.

D.

.

,

cắt

mặt

cầu


đường

thẳng

theo thiết diện là một đường trịn có bán kính bằng
A.
.
Đáp án đúng: B
Câu 38.
Trong

khơng

gian

với

B.

.

hệ

tọa

C.

độ

.


D.

cho

và

.

hai

. Phương trình đường thẳng qua
với

và cắt

, vng góc

là

A.
C.
Đáp án đúng: D

.

B.

.


.

D.

.

Giải thích chi tiết: Gọi

là đường thẳng qua

và

cắt

tại

. Khi đó

.
Ta có
Đường
Do đó

.
, với
, suy ra

là một vectơ chỉ phương của

.


.

Vậy phương trình đường thẳng
.
Câu 39. Cho lăng trụ có đáy là hình vng cạnh a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. 3 a3 .
B. 4 a3 .
C. a 3.
D. 2 a3.
Đáp án đúng: B
16


Câu 40. Cho hình trụ có đường kính đáy bằng
song với trục và cách trục một khoảng bằng
được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: D

B.

. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song
, thiết diện thu được là một hình vng. Thể tích của khối trụ

.

C.


.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Theo giả thiết, bán kính hình trụ là:

.

Giả sử thiết diện là hình vng MNPQ, ta có,
Suy ra

;

.

.

Thiết diện ta thu được là hình vng MNPQ có cạnh bằng
Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là:

. Suy ra chiều cao hình trụ là
.

----HẾT---

17