ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 025.
Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho
A.
Đáp án đúng: C

B.

. Giá trị của

.

C.

Giải thích chi tiết: Ta có:
Vậy

D.

.

.

và điểm

A.

bất kỳ nằm trên đường chéo

Mệnh đề nào sau đây sai?

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Câu 3. Cho hình lập phương
và đáy là hình trịn nội tiếp hình vng

C.
Đáp án đúng: C

.

.

Câu 2. Cho hình bình hành

A.

bằng


có cạnh . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vng
. Diện tích tồn phần của khối nón đó là

.

B.

.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:

Bán kính của đường trịn đáy là

.

Diện tích đáy nón là:

.

Độ dài đường sinh là

.


1


Diện tích xung quanh của khối nón là:

.

Vây, diện tích tồn phần của khối nón đó là:
Câu 4.
Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là

. Một khối cầu

tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
nón và với

 ;… ;

 ;

nội tiếp trong khối nối nón. Gọi

B.

và

.

là khối cầu


là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của khối

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với

lần lượt là thể tích của khối cầu

A.
.
Đáp án đúng: B

.

. Gọi

,…

là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh . Do đó bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cũng
chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chọp là
Áp dụng định lí Ta-Let ta có:


Tương tự ta tìm được

.

Tiếp tục như vậy ta có
2


Ta có

Do đó
Đặt

Đây là tổng của CSN lùi vơ hạn với cơng bội

Vậy
Câu 5. Cho khối nón có bán kính đáy r =a và chiều cao h=2 a. Độ dài đường sinh của hình nón đó bằng
A. 10 a.
B. 3 a .
C. a √ 5
D. 5 a.
Đáp án đúng: C
Câu 6.
Trong không gian

, cho ba điểm

tam giác


là

A.

.

C.
Đáp án đúng: C

B.
.

Câu 7. Cho hình chóp tứ giác đều
tích khối chóp đó bằng
A.

.

B.

.

. Tọa độ trọng tâm

D.
có cạnh đáy bằng

của

.

.
. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

. Thể

3


C.

.

D.
.
Đáp án đúng: A
Câu 8. Trong khơng gian

cho điểm

trình
nhất.

. Tìm tọa độ điểm

A.

,

,
trên mặt cầu


.

C.
Đáp án đúng: D

và mặt cầu
sao cho tứ diện

B.
.
qua

.

, mà

làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt cầu

có tâm

Gọi
.

là đường thẳng qua

Gọi

là điểm thuộc mặt cầu


, bán kính

có thể tích lớn

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

có phương

.

.

và vng góc với

có vectơ chỉ phương

sao cho thể tích tứ diện

Xét hệ

lớn nhất

.

.


và

.

Vậy
là điểm cần tìm.
Câu 9.
Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính
, người thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó
thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã
hoàn thiện.

4


A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Câu 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ

, cho

. Gọi


là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất

trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp

. Tính bán kính mặt cầu

.

A. .
Đáp án đúng: C

C.

D.

B.

.

Giải thích chi tiết: Gọi H là hình chiếu của

.

.

lên mp

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp
đường kính là


có

, suy ra

Câu 11. Trong không gian
hai điểm
của

nên

,
bằng

, cho hai mặt phẳng

,

. Xét hai điểm thay đổi

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

Giải thích chi tiết: Nhận xét:
Xét

và


Ta có

. Suy ra

.

và
C.

;

và

sao cho
.

. Giá trị nhỏ nhất
D.

.

cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
.
và

.

5



Ta có
Gọi

,

và

suy ra

.

là điểm sao cho

.

Khi đó

.

Do đó

.

Xét

với

Đường thẳng


đi qua

Suy ra hình chiếu của
Gọi

. Ta thấy

và

nằm về cùng một phía so với

và vng góc với
trên

là điểm đối xứng với

là
qua

, suy ra

Ta có
Đẳng thức xảy ra khi

.

.

là trung điểm


, suy ra

.

.
là giao diểm của

Vậy giá trị nhỏ nhất của

là

Câu 12. Trong khơng gian với hệ trục
A.
.
Đáp án đúng: D

có phương trình là:

.

B.

.

và

.

.
, cho mặt cầu


. Bán kính của
C.

.

D.

là

.
6


Câu 13. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy

và chiều cao

là

.

B. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy
và chiều cao là
C. Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.
D. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy
Đáp án đúng: B
Câu 14.


và chiều cao

Cho hình nón có bán kính đường trịn đáy là

.

là

.

, chiều cao

và độ dài đường sinh là

. Gọi

lần lượt là diện tích xung quanh và thể tích của khối nón. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào

đúng?
A.

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ
. Khoảng cách từ điểm


, cho điểm

đến mặt phẳng

và mặt phẳng

là

A. 3.
PHẦN TỰ LUẬN
B.
C.

.
.

D.
.
Đáp án đúng: A
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ
Gọi

là điểm thuộc mặt phẳng

đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng
A.
Đáp án đúng: A
Câu 17.


hỏi

sao cho biểu thức
C.

thoả mãn

D.

thì độ dài đoạn thẳng

.

bằng bao nhiêu?

B.

C.
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết: Nếu hai điểm
bao nhiêu?

và mặt phẳng

thuộc khoảng nào trong các khoảng sau.

B.

Nếu hai điểm
A.


cho 3 điểm

D.
thoả mãn

;
thì độ dài đoạn thẳng

bằng
7


A.
B.
C.

;

D.
.
Lời giải
Câu 18. Mặt phẳng ( A′ BC ) chia khối lăng trụ ABC . A′ B ′ C′ thành hai khối chóp.
A. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
B. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .
C. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
D. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .
Đáp án đúng: B
Câu 19. Lăng trụ có 2020 đỉnh có số mặt là
A. 1009 .

B. 1010 .
C. 1012 .
D. 1011 .
Đáp án đúng: C
Câu 20. Cho hình nón
Biết rằng

đỉnh

có thiết diện qua trục là tam giác đều

nội tiếp trong mặt cầu

so với khối cầu

tâm

, bán kính

có diện tích là

.

. Tính tỉ lệ thể tích của khối nón

.

A.
.
Đáp án đúng: B


B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Vì tam giác
Gọi

đều có diện tích

là trung điểm của

Hình nón
Mặt cầu

nên các cạnh

ta có

.
.


có đường cao

và bán kính đáy

có bán kính

.

.

.
Câu 21. Cho lăng trụ đứng
khối lăng trụ biết rằng

có đáy

là tam giác vng cân tại

,

. Tính thể tích

.
8


A.
.
Đáp án đúng: A


B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ đứng
Tính thể tích khối lăng trụ biết rằng
A.
Lời giải

Tam giác

. B.

. C.

vng cân tại

có đáy

D.

là tam giác vng cân tại

.
,

.


.

. D.

.

, mà

Xét
vng tại , có
Vậy thể tích hình lăng trụ đã cho là

.

.

,

,

.

Câu 22. Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua
trục là một tam giác vng cân vào bể sao cho ba đường trịn đáy của ba khối nón đơi một tiếp xúc với nhau,
một khối nón có đường trịn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón cịn lại có đường trịn đáy
tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng
lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là
(lít). Thể tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?
A.

.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

.

D.

.

9


Giải thích chi tiết:
+) Gọi
cân).

là bán kính đáy của hình nón suy ra chiều cao nón là

+) Chiều dài của khối hộp là

(do thiết diện là tam giác vng

bán kính của khối cầu là


.

+) Thể tích nước bị tràn là
+) Gọi

.

là tâm của 3 đáy của khối nón suy ra

đều cạnh

+) Chiều rộng khối hộp là

.

(dm).

+) Ba đỉnh nón chạm mặt cầu tại các điếm
( với

I

là tâm mặt cầu), do đó

. Suy ra chiều cao của khối trụ là

.
+) Thể tích nước ban đầu là
Câu


23.

Cho

hàm

(lít).

số

.

Các

số

. Khi biểu thức

.
A. .
Đáp án đúng: B
Câu 24.
Trong khơng gian
phương trình mặt phẳng
A.
C.
Đáp án đúng: B

B.


.

thực

thoả

mãn

và

đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị của
C.

cho ba điểm

.

D.

và

.

Phương trình nào sau đây là

?
B.
D.

10



Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ
hai vectơ

và

, cho ba điểm

.

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ
A.
. B.
Lời giải

. Tính góc giữa


. C.

T a có:

và
. D.

D.

.

, cho ba điểm

.

.
.

,

.

Nên
Câu 26. Trong không gian

cho mặt cầu

.
sao cho

nhất.

,

,

A.
.
Đáp án đúng: C

có tâm

, bán kính

là một điểm di động trên
là các tiếp tuyến của

B.

. Ba điểm phân biệt

. Tính tổng

.

C.

và mặt phẳng
,


khi

.

,

thuộc
đạt giá trị lớn

D.

.

Giải thích chi tiết:

Vì

nên điểm

được các tiếp tuyến với mặt cầu
Gọi

. Do đó qua điểm

ln kẻ

.

là giao điểm của đường thẳng


và mặt phẳng

ta có
Do đó

ln nằm ngồi mặt cầu

, ta có

. Xét tam giác

vng tại

.
lớn nhất khi

nhỏ nhất hay

là hình chiếu của

trên mặt phẳng
11


Đường thẳng

thẳng
Vì

đi qua


là

và nhận vectơ pháp tuyến của

làm vectơ chỉ phương. Phương trình đường

.
nên

Vậy

hay

.

.

Câu 27. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng


.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

. Để ít

.

D. Cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng
.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
nhiêu?

. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao

A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.


C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
Lời giải

và cạnh bên bằng

.

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
Khi đó
Theo giả thiết

và

có độ dài

,

.

.
.
12



Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ
Gọi

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

là nhỏ nhất.
, ta có:

.
Khảo sát

trên

Với

, ta được

nhỏ nhất khi

.

.

Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ

, mặt phẳng

cắt mặt cầu


theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất. Gọi
là một véctơ pháp tuyến của

A. .
Đáp án đúng: C

B.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

đi qua hai điểm

. Tính giá trị biểu thức

.

và

?

C. .

có tâm

,

D. .

.


.
đi qua điểm

.

đi qua điểm
Mặt phẳng
nhất.

.

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn

.
.
Trừ từng vế

và

ta được

.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được


.
.

Dấu = xảy ra
.
Câu 29.
Cho hình vng
nội tiếp đường trịn
bán kính tam giác đều
nội tiếp đường trịn đó và
song song
(như hình vẽ). Cho mơ hình trên quay quanh đường thẳng
Kí hiệu
là thể tích khối
trịn xoay do hình vng, hình trịn và tam giác đều tạo thành. Khẳng định nào sau đây đúng ?
13


A.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

Gọi

B.

C.

lần lượt là trung điểm của


Thể tích khối cầu (tạo bởi khi quay hình trịn quanh trục
Ta có

Ta có

D.

cạnh hình vng bằng

nên

cạnh tam giác đều bằng

Vậy
Câu 30.
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng

) là

nên

(tham khảo hình vẽ)

14


.
Biết diện tích xung quanh của hình chóp đó gấpđơi diện tích đáy, thể tích khối chóp đã cho bằng
A.

.
Đáp án đúng: D

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Gọi chiều cao của mặt bên là
Ta có diện tích xung quanh bằng

.

D.

.

.
, suy ra

:

Khi đó thể tích khối chóp
Câu 31. Trong khơng gian
là
A.

, cho hai điểm


và

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: C

, cho hai điểm

A.
Lời giải

. D.

Gọi

là trọng tâm

.

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
tam giác
là
. B.


. Tọa độ trọng tâm của tam giác

. C.

.
và

. Tọa độ trọng tâm của

.

.

15


Câu 32. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình chữ nhật,

. SA vng góc với mp

. Cạnh SB tạo với mp đáy góc 60°. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A.
Đáp án đúng: B

B.

C.

D.


Câu 33. Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
,
. Tam giác
cân tại
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Đường thẳng
tạo với đáy một góc
. Khi đó thể tích của
khối chóp
bằng
A.
.
Đáp án đúng: C
Câu 34.
cho

B.

.

Trong khơng gian
có dạng

C.

, phương trình mặt cầu

A.


.

.

D.

có tâm

.

và cắt trục

B.

tại

sao

.

C.
.
D.
.
Đáp án đúng: D
Câu 35. Hình đa diện nào khơng có tâm đối xứng?
A. Hình tứ diện đều.
B. Hình bát diện đều.
C. Hình lập phương.
D. Hình lăng trụ tứ giác đều.

Đáp án đúng: A
Câu 36. Cho một hình nón đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy. Nếu tam giác SAB đều thì góc
ở đỉnh của hình nón bằng
A. 90 ° .
B. 30 ° .
C. 60 ° .
D. 120 °.
Đáp án đúng: C

Giải thích chi tiết:
Hình nón có đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy nên góc ở đỉnh của hình nón là góc ^
ASB. Lại
có tam giác ΔSAB là tam giác đều nên ^
ASB=6 0 0. Vậy góc ở đỉnh hình nón bằng 60 ° .
Câu 37. Trong khơng gian
A.
.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết:
Lời giải
Ta có

, cho véctơ
B.

.

. Độ dài của
C.


.

bằng
D.

.

.
16


Câu 38.
Cho tam giác ABC vng cân tại A có cạnh
của khối nón được tạo thành:
A.
Đáp án đúng: C

. Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Tính thể tích

B.

C.

Câu 39. Trong khơng gian với hệ tọa độ
,

. Gọi

trình tiếp diện của mặt cầu
A.

C.
Đáp án đúng: C

.

.

D.

.

có tâm

và bán kính

tọa độ của

là

.
,

và

nên

nằm ngồi mặt cầu

.


.

áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta có:

Ta lại có:

.

Bởi vậy
MNEKI
Do

đạt giá trị lớn nhất. Viết phương

.

,

Xét tam giác

sao cho
B.

là trung điểm của

Ta có:

và hai điểm

.


Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

, cho mặt cầu

là điểm thuộc mặt cầu
tại

D.

đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
lớn nhất nên

thuộc đường thẳng

Phương trình đường thẳng
Tọa độ giao điểm

và

lớn nhất.

.

là:

.

của đường thẳng


với mặt cầu

ứng với

là nghiệm phương trình:

.
Như vậy

hoặc

.

Ta có
,
. Suy ra
tại
có phương trình:

, nên phương trình tiếp diện của mặt cầu
hay

.

Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ
. Tập hợp các giá trị của

, cho


để bốn điểm

,

;
,

,

;

;

đồng phẳng là tập con của tập nào sau?
17


A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

Giải thích chi tiết: Ta có

C.

,


.
,

D.

.

.

.
Để bớn điểm

,

,

,

đồng phẳng:

.
----HẾT---

18