ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 021.
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình chữ nhật,
Cạnh SB tạo với mp đáy góc 60°. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A.
Đáp án đúng: C
Câu 2.

B.

C.

Cho hình nón có bán kính đường trịn đáy là
đúng?

. SA vng góc với mp

.

D.

, chiều cao

và độ dài đường sinh là

. Gọi

lần lượt là diện tích xung quanh và thể tích của khối nón. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào

A.

B.

C.
Đáp án đúng: A
Câu 3.
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng

D.

(tham khảo hình vẽ)

.
Biết diện tích xung quanh của hình chóp đó gấpđơi diện tích đáy, thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

Giải thích chi tiết: Gọi chiều cao của mặt bên là


C.

.

D.

.

.
1


Ta có diện tích xung quanh bằng

, suy ra

:

Khi đó thể tích khối chóp
Câu 4.
Trong khơng gian

, cho tam giác

có trọng tâm

. Tọa độ điểm

là:


A.

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
. Tọa độ điểm
A.
Lời giải
Vì

. Biết

B.

, cho tam giác

. Biết

là:

C.

là trọng tâm tam giác


có trọng tâm

D.
nên ta có:

.
Câu 5. Trong khơng gian
A.
C.
Đáp án đúng: D

, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
.

B.
.

D.

Câu 6. Cho khối lăng trụ đứng
), góc giữa đường thẳng

và

và mặt phẳng

có đáy

.
.


là tam giác vng cân tại
bằng

,

(với

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Đáp án đúng: A
Câu 7. Cho một hình nón đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy. Nếu tam giác SAB đều thì góc ở
đỉnh của hình nón bằng
A. 60 ° .
B. 120 °.
C. 30 ° .
D. 90 ° .
Đáp án đúng: A
2


Giải thích chi tiết:

Hình nón có đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy nên góc ở đỉnh của hình nón là góc ^
ASB. Lại
0
60
°
có tam giác ΔSAB là tam giác đều nên ^
.
Vậy
góc
ở
đỉnh
hình
nón
bằng
.
ASB=6 0
Câu 8.
Một chiếc ly dạng hình nón ( như hình vẽ với chiều cao ly là

). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho

chiều cao của lượng nước trong ly bằng
chiều cao của ly. Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỷ
lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng bao nhiêu?

A.
.
Đáp án đúng: A

B.


.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:

Giả sử ly có chiều cao

và đáy là đường trịn có bán kính

Khối nước trong ly có chiều cao bằng
và bán kính đáy

, nên có thể tích

chiều cao của ly nên khối nước tạo thành khối nón có chiều cao bằng

thể tích nước bằng

Do đó thể tích khoảng khơng bằng
Nên khi úp ngược ly lại thì ta có các tỉ lệ:
Suy ra: thể tích khoảng khơng bằng:


.

.
.
.
.

3


.
Nên chiều cao mực nước bằng:

.

Vậy tỷ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng
.
Câu 9. Cho khối nón có bán kính đáy r =a và chiều cao h=2 a. Độ dài đường sinh của hình nón đó bằng
A. 5 a.
B. a √ 5
C. 10 a.
D. 3 a .
Đáp án đúng: B
Câu 10. Cho hình lăng trụ đứng
Thể tích khối lăng trụ
A.
Đáp án đúng: A

có đáy là tam giác vng cân tại


,

và

.

là

B.

C.

D.

Giải thích chi tiết:

Ta có

,

.

Thể tích khối lăng trụ là

.

Câu 11. Trong khơng gian

, cho mặt cầu


. Có bao nhiêu điểm
hai tiếp tuyến cùng vng góc với
A. .
Đáp án đúng: D

B.

C.

Mặt cầu

. D.

có tâm

.

D.

kẻ được đến

.

, cho mặt cầu

. Có bao nhiêu điểm
. C.

, với tung độ là số nguyên, mà từ


?

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian

A. . B.
Lời giải

thuộc tia

.

hai tiếp tuyến cùng vng góc với

và đường thẳng

thuộc tia

và đường thẳng
, với tung độ là số nguyên, mà từ

kẻ được đến

?

.
và bán kính

.
4



Ta có

với

Gọi

là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ

Khi đó

qua điểm

đến

và vng góc đường thẳng

.
, vì vậy phương trình mặt phẳng

là:

.
Ta có

nằm ngồi mặt cầu
.

Mặt khác


Từ

.

và

Do

suy ra

.

nên

. Vậy có

Câu 12. Trong khơng gian

điểm

, cho véctơ

A.
.
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết:
Lời giải

B.


Ta có
Câu 13.

. Độ dài của

.

C.

bằng

.

D.

.

.

Trong khơng gian

, cho ba điểm

tam giác

là

A.

.


. Tọa độ trọng tâm

B.

C.
.
Đáp án đúng: B
Câu 14. Trong không gian
tiếp tứ diện
là

, cho ba điểm

C.
Đáp án đúng: B
Câu 15. Cho lăng trụ tam giác
vuông tại
và góc
. Thể tích của khới tứ diện

,

.
,

. Phương trình mặt cầu ngoại

.


B.

.

.

D.

.

có

của

.

D.

A.

giác
của

thỏa mãn bài toán.

, góc giữa đường thẳng

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng


và
lên

bằng

, tam

trùng với trọng tâm
5


A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ tam giác
bằng
, tam giác
trùng với trọng tâm của
A.
.
B.
Hướng dẫn giải:
Gọi

và

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

.

C.

.

D.

.

D.

.

, góc giữa đường thẳng

và

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

lên


.

là trung điểm của
là trọng tâm của

.
.

Xét

vuông tại

, có

. (nửa tam giác đều)
Đặt

. Trong

tam giác
Do

vuông tại

có

là nữa tam giác đều

là trọng tâm


Trong

vuông tại

.
:

Vậy,
Câu 16.
cho

.
Trong khơng gian
có dạng

A.
C.
Đáp án đúng: A
Câu 17.

, phương trình mặt cầu

có tâm

và cắt trục

tại

.


B.

.

.

D.

.

sao

6


Cho hình vng
nội tiếp đường trịn
bán kính tam giác đều
nội tiếp đường trịn đó và
song song
(như hình vẽ). Cho mơ hình trên quay quanh đường thẳng
Kí hiệu
là thể tích khối
trịn xoay do hình vng, hình trịn và tam giác đều tạo thành. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết:
Lời giải.


Gọi

B.

C.

lần lượt là trung điểm của

Thể tích khối cầu (tạo bởi khi quay hình trịn quanh trục
Ta có

D.

cạnh hình vng bằng

Ta có

) là

nên

cạnh tam giác đều bằng

nên

Vậy
Câu 18.
Một cái khối gỗ có hình dạng như hình bên (gồm 1 khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi
trên hình, chu vi đáy là


. Thể tích của khối gỗ bằng

7


A.

.

C.
Đáp án đúng: B

B.
.

D.

Câu 19. Trong không gian

cho mặt cầu

.
sao cho
nhất.

,

A.
.

Đáp án đúng: A

,

.

có tâm

là một điểm di động trên
là các tiếp tuyến của

B.

.

.
, bán kính
. Ba điểm phân biệt

. Tính tổng

C.

và mặt phẳng
,

,

khi


.

thuộc
đạt giá trị lớn

D.

.

8


Giải thích chi tiết:

Vì

nên điểm

được các tiếp tuyến với mặt cầu
Gọi

là giao điểm của đường thẳng

luôn kẻ

và mặt phẳng

, ta có

. Xét tam giác


vng tại

.

Do đó

lớn nhất khi

Đường thẳng

Vì

. Do đó qua điểm

.

ta có

thẳng

ln nằm ngồi mặt cầu

đi qua

là

nhỏ nhất hay

là hình chiếu của


và nhận vectơ pháp tuyến của

trên mặt phẳng

làm vectơ chỉ phương. Phương trình đường

.
nên

Vậy

hay

.

.

Câu 20. Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là
Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng 3 kích
thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương ln gấp
lần thể tích hình hộp chữ
nhật. Gọi
là tỉ số giữa diện tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật.
Tìm giá trị lớn nhất của
A.
.
Đáp án đúng: C

của

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương là
Hình hộp chữ nhật có

và

Hình lập phương có
9


Vậy
Ta có

Đặt

Vậy
Đặt
Ta có


Kết hợp điều kiện

ta có

Khi đó
Xét hàm số

trện đoạn

Ta có
Suy ra,

Khi đó,

Câu 21. Cho hình trụ có trục
một khoảng bằng
cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: C

.

và có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng song song với trục

và cách

cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vng. Diện tích xung quanh của hình trụ đã
B.


.

C.

.

D.

.

10


Giải thích chi tiết:
Mặt phẳng

song song với trục và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vng
, trong đó

là bán kính đáy và

. Cạnh hình vng là

là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng

.
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ
Gọi


cho 3 điểm

là điểm thuộc mặt phẳng

đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng
A.
Đáp án đúng: C

.

hỏi

sao cho biểu thức

thuộc khoảng nào trong các khoảng sau.

B.

C.

Câu 23. Trong không gian

cho điểm

,

trình
nhất.

. Tìm tọa độ điểm


trên mặt cầu

A.
C.
Đáp án đúng: C

.

D.
,

B.
.

và mặt phẳng

D.

và mặt cầu
sao cho tứ diện

có phương
có thể tích lớn

.
.

11



Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

qua

, mà

làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt cầu

có tâm

, bán kính

Gọi
.

là đường thẳng qua

Gọi

là điểm thuộc mặt cầu

.

.

và vng góc với

có vectơ chỉ phương


sao cho thể tích tứ diện

lớn nhất

Xét hệ

.

.

và
Vậy

.

là điểm cần tìm.

x +5 y−7 z
=
= và điểm M (4 ;1; 6). Đường
2
−2 1
thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB=6 . Viết phương trình của mặt cầu (S).
A. ¿
B. ¿
C. ¿
D. ¿
Đáp án đúng: B
Câu 25.


Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Trong không gian

, cho hai điểm

và

. Trung điểm của đoạn thẳng

là điểm
A.

.

C.
Đáp án đúng: A

B.
.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
thẳng
là điểm
A.
Lời giải
Câu 26.

. B.


Trong khơng gian
phương trình mặt phẳng

. C.

cho ba điểm

.

D.

.

, cho hai điểm

và

. D.

. Trung điểm của đoạn

.

và

Phương trình nào sau đây là

?
12



A.

B.

C.
Đáp án đúng: C
Câu 27.

D.

Nếu hai điểm

thoả mãn

thì độ dài đoạn thẳng

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

.

D.

Giải thích chi tiết: Nếu hai điểm

bao nhiêu?

bằng bao nhiêu?

;

thoả mãn

thì độ dài đoạn thẳng

bằng

A.
B.
C.

;

D.
Lời giải
Câu 28.

.

Trong khơng gian
A.

, cho hai vectơ

và


.

B.

C.
.
Đáp án đúng: A

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
là
A.
Lời giải

. B.

Ta có

. C.

là

.
.
và

. Tọa độ của vectơ


.

.

Câu 29. Trong không gian
tại , ,
sao cho
phẳng

. D.

, cho hai vectơ

. Tọa độ của vectơ

, cho điểm
là trực tâm tam giác

. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt

?

A.
C.

Đáp án đúng: B

B.
D.

13


Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

.

Thật vậy :
Mà

(1)
(vì

là trực tâm tam giác

Từ (1) và (2) suy ra

(*)

Tương tự

. (**)


Từ (*) và (**)

.

• Khi đó mặt cầu tâm
Vậy mặt cầu tâm
Câu 30.

) (2)

tiếp xúc mặt phẳng

có bán kính

và tiếp xúc với mặt phẳng

là

.
.

Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính
, người thợ thủ cơng mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó
thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã
hoàn thiện.

A.

B.


C.
Đáp án đúng: C

D.

14
.
27
Đáp án đúng: C

A. u 4=

{

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
un+1 = ( un +1 )
3
2
5
B. u 4= .
C. u 4= .
3
9

Câu 31. Cho dãy số ( u n) xác định bởi

B. u 4=1.


{

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
un+1 = ( un +1 )
3
2
14
C. u 4= .
D. u 4= .
3
27

Giải thích chi tiết: Cho dãy số ( u n) xác định bởi
5
A. u 4= .
9

D. u 4=1.

14


Lời giải
Ta có
1
1
1

2
1
1 2
5
u2= ( u1+ 1 )= ( 2+1 ) =1;u3 = ( u2 +1 )= ;u 4= ( u3 +1 )=
+1 = .
3
3
3
3
3
3 3
9
Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.
Câu 32.

( )

Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là

. Một khối cầu

tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
nón và với

 ;… ;

B.

và


.

là khối cầu

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của khối

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với

lần lượt là thể tích của khối cầu

A.
.
Đáp án đúng: B

 ;

nội tiếp trong khối nối nón. Gọi
. Gọi

,…

là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức

C.

.

D.


.

Giải thích chi tiết:
Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh . Do đó bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cũng
chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chọp là
Áp dụng định lí Ta-Let ta có:

Tương tự ta tìm được

.

Tiếp tục như vậy ta có
15


Ta có

Do đó
Đặt

Đây là tổng của CSN lùi vơ hạn với công bội

Vậy
Câu 33. Trong không gian Oxyz, cho
A.
Đáp án đúng: C

B.

. Giá trị của


.

C.

Giải thích chi tiết: Ta có:
Vậy

.

bằng
D.

.

.

.

Câu 34. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng
của đường trịn đáy tâm . Gọi
của khối tứ diện
là:

cạnh bằng

là điểm thuộc cung

A.


với

của đường tròn đáy sao cho

là đường kính
. Thể tích

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

Giải thích chi tiết:
Ta có:
Gọi

vng tại
là hình chiếu của

có
lên

nên

.

, suy ra


và

16


Vậy
Câu

35.

Trong

khơng

gian

,

cắt

mặt

cầu

theo thiết diện là một đường trịn có bán kính bằng
A.
.
Đáp án đúng: C

B.


Câu 36. Trong khơng gian
A.

.

C.

, cho

và

.

.

D.

. Tính tọa độ
B.

C.
.
Đáp án đúng: A
Câu 37.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh
của khối nón được tạo thành:

.


.
.

D.

.

. Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Tính thể tích

A.
B.
C.
D.
Đáp án đúng: A
Câu 38. Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua
trục là một tam giác vng cân vào bể sao cho ba đường trịn đáy của ba khối nón đơi một tiếp xúc với nhau,
một khối nón có đường trịn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón cịn lại có đường trịn đáy
tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng
lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là
(lít). Thể tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.


.

D.

.

Giải thích chi tiết:
+) Gọi
cân).

là bán kính đáy của hình nón suy ra chiều cao nón là

+) Chiều dài của khối hộp là

bán kính của khối cầu là

+) Thể tích nước bị tràn là
+) Gọi

là tâm của 3 đáy của khối nón suy ra

(do thiết diện là tam giác vuông

.
.

đều cạnh

.
17



+) Chiều rộng khối hộp là

(dm).

+) Ba đỉnh nón chạm mặt cầu tại các điếm
( với

I

là tâm mặt cầu), do đó

. Suy ra chiều cao của khối trụ là

.
+) Thể tích nước ban đầu là

(lít).

Câu 39. Trong khơng gian
hai điểm
của

,
bằng

, cho hai mặt phẳng

,


. Xét hai điểm thay đổi

A.
.
Đáp án đúng: C

B.

Giải thích chi tiết: Nhận xét:
Xét

và

Ta có

. Suy ra

.

và
C.

;

và

sao cho
.


. Giá trị nhỏ nhất
D.

.

cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
.
và

.

18


Ta có
Gọi

,

và

suy ra

.

là điểm sao cho

.

Khi đó


.

Do đó

.

Xét

với

Đường thẳng

. Ta thấy

đi qua

nằm về cùng một phía so với

và vng góc với

Suy ra hình chiếu của
Gọi

và

có phương trình là:

trên


là

là điểm đối xứng với

qua

, suy ra

Ta có

.

.

.

là trung điểm

, suy ra

.

.

Đẳng thức xảy ra khi

là giao diểm của

Vậy giá trị nhỏ nhất của


là

và

.

.

Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ

, mặt phẳng

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất. Gọi
là một véctơ pháp tuyến của

A. .
Đáp án đúng: A

B.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

. Tính giá trị biểu thức

.

có tâm


đi qua hai điểm

C.

,

và

?

.

D.

.

.

.
đi qua điểm

.

đi qua điểm
Mặt phẳng
nhất.

.


cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn

.
.
Trừ từng vế

và

ta được

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

.
.
19


.

Dấu = xảy ra

.
----HẾT---

20