ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 020.

x +5 y−7 z
=
= và điểm M (4 ; 1; 6). Đường
2
−2 1
thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB=6 . Viết phương trình của mặt cầu (S).
A. ¿
B. ¿
C. ¿
D. ¿
Đáp án đúng: C

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Câu 2. Trong không gian

, cho

,

. Tính diện tích tam giác

.

A. .
B.
.
C.
.
D.
.
Đáp án đúng: D
Câu 3. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có BD=3 a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối
chóp đã cho bằng
A. 12 a3 .
B. 6 a 3 .
C. 6 a 3 .
D. 3 a3 .
Đáp án đúng: C
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ

, cho hai điểm

và

chứa giao tuyến của hai mặt cầu
hai điểm

,


sao cho

. Xét

. Giá trị nhỏ nhất của

.

B.

.

C.
.
Đáp án đúng: C

D.

.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

là mặt phẳng

và

là hai điểm bất kì thuộc

A.


. Gọi

là giao tuyến của hai mặt cầu

và

bằng

nên ta có hệ:

.
Gọi
.

và

lần lượt là hình chiếu của

và

lên

. Khi đó

,

,

1



Ta có:
Mặt khác:

.

Suy ra
Vậy

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Câu 5. Trong khơng gian với hệ tọa độ
,

. Gọi

trình tiếp diện của mặt cầu
A.
C.
Đáp án đúng: A

sao cho

.

.

D.

.


có tâm

và bán kính

tọa độ của

là

.
,

và

nên

Do

nằm ngồi mặt cầu

.

.

áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta có:

Ta lại có:
Bởi vậy
MNEKI


đạt giá trị lớn nhất. Viết phương

.

,

Xét tam giác

và hai điểm

B.

là trung điểm của

Ta có:

thẳng hàng.

, cho mặt cầu

là điểm thuộc mặt cầu
tại

xảy ra khi

.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi


, dấu

.
đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

lớn nhất nên

thuộc đường thẳng

và

lớn nhất.

.

2


Phương trình đường thẳng
Tọa độ giao điểm

là:

.

của đường thẳng

với mặt cầu

ứng với


là nghiệm phương trình:

.
Như vậy

hoặc

.

Ta có
,
. Suy ra
tại
có phương trình:

, nên phương trình tiếp diện của mặt cầu
hay

.

Câu 6.
Trong không gian

, cho mặt phẳng

đến mặt phẳng

. Khoảng cách từ điểm


bằng

A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Ta có
cho điểm

trình
nhất.

. Tìm tọa độ điểm

,

,
trên mặt cầu

.

C.
Đáp án đúng: B


D.

và mặt cầu
sao cho tứ diện

B.
.
qua

Gọi
.

là đường thẳng qua

Gọi

là điểm thuộc mặt cầu

, bán kính

và vng góc với

có thể tích lớn

.

, mà

làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
có tâm


có phương

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

Mặt cầu

.

.

Câu 7. Trong khơng gian

A.

.

.

.

có vectơ chỉ phương

sao cho thể tích tứ diện

lớn nhất


.
3


Xét hệ

.

và
Vậy

.

là điểm cần tìm.

Câu 8. Trong khơng gian
là
A.

, cho hai điểm

và

.

B.

C.
.

Đáp án đúng: C

, cho hai điểm

A.
Lời giải

. D.

. C.

.
và

. Tọa độ trọng tâm của

.

Gọi
là trọng tâm
Câu 9.
Cho tam giác ABC vng cân tại A có cạnh
của khối nón được tạo thành:
A.
Đáp án đúng: A

.

D.


Giải thích chi tiết: Trong không gian
tam giác
là
. B.

. Tọa độ trọng tâm của tam giác

.
. Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Tính thể tích

B.

C.

D.

Câu 10. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

, mặt phẳng

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất. Gọi
là một véctơ pháp tuyến của

A. .
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết: Mặt cầu

B.


. Tính giá trị biểu thức

.

có tâm

đi qua hai điểm

C.

.

,

và

?
D. .

.
4


Gọi

.
đi qua điểm

.


đi qua điểm
Mặt phẳng
nhất.

.

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn

.
.
Trừ từng vế

và

ta được

.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

.
.

Dấu = xảy ra
.

Câu 11.
Một cái khối gỗ có hình dạng như hình bên (gồm 1 khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi
trên hình, chu vi đáy là

. Thể tích của khối gỗ bằng

5


A.

.

B.

.

C.
.
D.
.
Đáp án đúng: C
Câu 12.
Cho hình vng
nội tiếp đường trịn
bán kính tam giác đều
nội tiếp đường trịn đó và
song song
(như hình vẽ). Cho mơ hình trên quay quanh đường thẳng
Kí hiệu

là thể tích khối
trịn xoay do hình vng, hình trịn và tam giác đều tạo thành. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

B.

C.

D.

6


Gọi

lần lượt là trung điểm của

Thể tích khối cầu (tạo bởi khi quay hình trịn quanh trục
Ta có

cạnh hình vng bằng

Ta có

) là


nên

cạnh tam giác đều bằng

nên

Vậy
Câu 13. Cho hình lập phương
và đáy là hình trịn nội tiếp hình vng
A.
C.
Đáp án đúng: B

có cạnh . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vng
. Diện tích tồn phần của khối nón đó là

.

B.
.

D.

.
.

Giải thích chi tiết:

Bán kính của đường trịn đáy là


.

Diện tích đáy nón là:

.

Độ dài đường sinh là

.
7


Diện tích xung quanh của khối nón là:

.

Vây, diện tích tồn phần của khối nón đó là:

.

Câu 14. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng
của đường tròn đáy tâm . Gọi
của khối tứ diện
là:

cạnh bằng

là điểm thuộc cung

A.


với

của đường trịn đáy sao cho

là đường kính
. Thể tích

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Giải thích chi tiết:
Ta có:
Gọi

vng tại

có

là hình chiếu của

lên

nên

.


, suy ra

và

Vậy
Câu 15. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB=2a, BC =
bằng 3a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
.
A.
Đáp án đúng: A
Câu 16.

B.

Nếu hai điểm

C.

thoả mãn

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Giải thích chi tiết: Nếu hai điểm
bao nhiêu?


D.

thì độ dài đoạn thẳng

A.

thoả mãn

cạnh bên

bằng bao nhiêu?

;
.
thì độ dài đoạn thẳng

bằng

A.
B.
C.
D.
Lời giải

;
.

Câu 17. Cho lăng trụ đứng
khối lăng trụ biết rằng


có đáy

là tam giác vng cân tại

,

. Tính thể tích

.
8


A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ đứng
Tính thể tích khối lăng trụ biết rằng
A.
Lời giải

Tam giác

. B.


. C.

vng cân tại

C.
có đáy

D.

là tam giác vng cân tại

.
,

.

.

. D.

.

, mà

Xét
vng tại , có
Vậy thể tích hình lăng trụ đã cho là

.


.

,

,

.

Câu 18. Mặt phẳng ( A′ BC ) chia khối lăng trụ ABC . A′ B ′ C′ thành hai khối chóp.
A. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
B. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .
C. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
D. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .
Đáp án đúng: D
Câu 19. Cho hình bình hành
A.
C.
Đáp án đúng: A

và điểm

bất kỳ nằm trên đường chéo

Mệnh đề nào sau đây sai?

B.
D.

Câu 20. Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là
Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng 3 kích

thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương ln gấp
lần thể tích hình hộp chữ

9


nhật. Gọi

là tỉ số giữa diện tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật.

Tìm giá trị lớn nhất của

của

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

.

D.

.


Giải thích chi tiết: Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương là
Hình hộp chữ nhật có

và

Hình lập phương có
Vậy
Ta có

Đặt

Vậy
Đặt
Ta có

Kết hợp điều kiện

ta có

Khi đó
Xét hàm số

trện đoạn

Ta có
Suy ra,

Khi đó,

Câu 21. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp

.
, cho

. Gọi

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất

. Tính bán kính mặt cầu

.
10


A. .
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Gọi H là hình chiếu của

.

D.


.

lên mp

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp
đường kính là
Câu 22.

, suy ra

Trong

gian

khơng

với

hệ

tọa

độ

cho

và

hai


nên

có

đường

thẳng

. Phương trình đường thẳng qua
với

và cắt

, vng góc

là

A.
C.
Đáp án đúng: D

.

B.

.

.

D.


.

Giải thích chi tiết: Gọi

là đường thẳng qua

và

cắt

tại

. Khi đó

.
Ta có

.

Đường

, với

Do đó

là một vectơ chỉ phương của

, suy ra


.

Vậy phương trình đường thẳng

.

Câu 23. Trong khơng gian với hệ tọa độ
Gọi

tam giác
A.

hỏi
B.

Trong không gian

cho 3 điểm

là điểm thuộc mặt phẳng

đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng
A.
Đáp án đúng: C
Câu 24.

.

và mặt phẳng


sao cho biểu thức

thuộc khoảng nào trong các khoảng sau.
C.

D.

, cho ba điểm

. Tọa độ trọng tâm

của

là
.

B.

.
11


C.
Đáp án đúng: A

.

D.

.


Câu 25. Trong không gian
, cho ba điểm
Đường thẳng
có phương trình là.

. Gọi

A.

là trực tâm tam giác

.

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
, cho ba điểm
tam giác
. Đường thẳng
có phương trình là.
A.

. Gọi


là trực tâm

B.

C.
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Như Trình ; Fb: Như Trình Nguyễn
Phương trình mặt phẳng (ABC):
Dễ thấy,

.

nên đường thẳng OH nhận vectơ

làm VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng OH là:
Câu 26. Trong khơng gian
A.

, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
.

C.
Đáp án đúng: B

.

Câu 27. Cho hình nón

Biết rằng

B.

A.
.
Đáp án đúng: C

.

có thiết diện qua trục là tam giác đều

nội tiếp trong mặt cầu

so với khối cầu

.

D.
đỉnh

tâm

, bán kính

và

có diện tích là

.


. Tính tỉ lệ thể tích của khối nón

.
B.

.

C.

.

D.

.

12


Giải thích chi tiết:
Vì tam giác
Gọi

đều có diện tích

là trung điểm của

Hình nón
Mặt cầu


nên các cạnh

ta có

.
.

có đường cao

và bán kính đáy

có bán kính

.

.

.
Câu 28. Trong khơng gian với hệ tọa độ
. Tập hợp các giá trị của
A.
.
Đáp án đúng: D

B.

, cho

để bớn điểm


.

;

,

,

C.

Giải thích chi tiết: Ta có

,

,

;

đồng phẳng là tập con của tập nào sau?
.

,

;

D.

.

.


.
Để bốn điểm

,

,

,

đồng phẳng:

.
a
Câu 29. Cho lăng trụ có đáy là hình vng cạnh và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. 3 a3 .
B. 2 a3.
C. a 3.
D. 4 a3.
Đáp án đúng: D
Câu 30.
Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính
, người thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó
thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã
hoàn thiện.

13


A.


B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Câu 31. Trong không gian Oxyz, cho
A.
Đáp án đúng: D

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Ta có:
Vậy
Câu 32.

. Giá trị của
.

D.

.

.


.

Trong khơng gian
A.

, hình chiếu vng góc của điểm

trên trục

.

B.

.

C.
.
Đáp án đúng: D

D.

.

14
.
27
Đáp án đúng: C

{


u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
un+1 = ( un +1 )
3
5
B. u 4=1.
C. u 4= .
9

Câu 33. Cho dãy số ( u n) xác định bởi
A. u 4=

bằng

có tọa độ là

2
D. u 4= .
3

{

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
un+1 = ( un +1 )
3
2

14
C. u 4= .
D. u 4= .
3
27

Giải thích chi tiết: Cho dãy số ( u n) xác định bởi

5
A. u 4= .
B. u 4=1.
9
Lời giải
Ta có
1
1
1
2
1
1 2
5
u2= ( u1+ 1 )= ( 2+1 ) =1;u3 = ( u2 +1 )= ;u 4= ( u3 +1 )=
+1 = .
3
3
3
3
3
3 3
9

Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.
Câu 34.

( )

Cho hình nón có bán kính đường trịn đáy là
đúng?

, chiều cao

và độ dài đường sinh là

. Gọi

lần lượt là diện tích xung quanh và thể tích của khối nón. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào
14


A.

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Câu 35. Cho lăng trụ tam giác
giác
của


có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

, góc giữa đường thẳng

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng
.

C.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ tam giác
bằng
, tam giác
trùng với trọng tâm của
A.
.
B.
Hướng dẫn giải:
Gọi

và

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

.

C.

.

D.

.

và
lên

bằng

, tam

trùng với trọng tâm

D.

.


, góc giữa đường thẳng

và

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

lên

.

là trung điểm của
là trọng tâm của

.
.

Xét

vuông tại

, có

. (nửa tam giác đều)
Đặt

. Trong

tam giác

Do
Trong

vuông tại

có

là nữa tam giác đều

là trọng tâm
vuông tại

.
:

15


Vậy,

.

Câu 36.
Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là

. Một khối cầu

tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
nón và với


 ;… ;

B.

và

.

là khối cầu

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của khối

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với

lần lượt là thể tích của khối cầu

A.
.
Đáp án đúng: A

 ;

nội tiếp trong khối nối nón. Gọi
. Gọi

,…

là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức

C.


.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh . Do đó bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cũng
chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chọp là
Áp dụng định lí Ta-Let ta có:

Tương tự ta tìm được

.

Tiếp tục như vậy ta có

16


Ta có

Do đó
Đặt

Đây là tổng của CSN lùi vơ hạn với cơng bội

Vậy
Câu 37. Cho tam giác

vng tại
có
tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng
A.

.

. Diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay

B.

C.
.
Đáp án đúng: C

Ta có:

.

quanh cạnh

ta thu được hình nón có:

;

.

Câu 38. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
và


, cho ba điểm

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ
. C.

. Tính góc giữa

.

A.
.
Đáp án đúng: A

A.
. B.
Lời giải

.

D.

Giải thích chi tiết: Khi quay tam giác
.


hai vectơ

?

,

và
. D.

.
, cho ba điểm

D.

.
.

.
.
17


T a có:

,

.

Nên

Câu 39. Cho hình chóp tứ giác đều
Thể tích khối chóp đó bằng
A.

.

B.

.

C.

.

có cạnh đáy bằng

. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

.

D.
.
Đáp án đúng: B
Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
trình đường trung trực của cạnh
.

A.
.
Đáp án đúng: B


B.

.

C.

. Viết phương

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
Viết phương trình đường trung trực của cạnh
.

A.
Lời giải
Gọi
Gọi

.B.

.

C.


là đường trung trực của cạnh
là trung điểm của đoạn thẳng

Gọi
là mặt phẳng qua
pháp tuyến.
Mặt phẳng

đi qua

D.

trong tam giác
. Suy ra

và vng góc với

nhận

Ta có, đường thẳng
Đường thẳng

.

.

.
.

.

. Mặt phẳng

nhận

làm làm một vectơ

làm một vectơ pháp tuyến.

là giao tuyến của mặt phẳng
và nhận

và mặt phẳng

.
. Chọn

.

18


Phương trình của đường thẳng

là:

.
----HẾT---

19