ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 018.
Câu 1. Cho khối lăng trụ đứng
), góc giữa đường thẳng

có đáy

và mặt phẳng

là tam giác vng cân tại
bằng

,

(với

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
Đáp án đúng: D
Câu 2. Mặt phẳng ( A′ BC ) chia khối lăng trụ ABC . A′ B ′ C′ thành hai khối chóp.
A. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
B. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .
C. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
D. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .
Đáp án đúng: D
Câu 3.
Cho hình vng
nội tiếp đường trịn
bán kính tam giác đều
nội tiếp đường trịn đó và
song song
(như hình vẽ). Cho mơ hình trên quay quanh đường thẳng
Kí hiệu
là thể tích khối
trịn xoay do hình vng, hình trịn và tam giác đều tạo thành. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

Gọi

B.


C.

D.

lần lượt là trung điểm của
1


Thể tích khối cầu (tạo bởi khi quay hình trịn quanh trục
Ta có

cạnh hình vng bằng

Ta có

) là

nên

cạnh tam giác đều bằng

nên

Vậy
Câu 4. Cho khối trụ có thể tích là
A. .
Đáp án đúng: B

và chiều cao bằng


. Bán kính đáy của khối trụ đã cho bằng:

B.

C.

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ

.

, cho hai điểm

và

chứa giao tuyến của hai mặt cầu
hai điểm

,

. Gọi

là mặt phẳng

sao cho

. Xét

. Giá trị nhỏ nhất của

.


B.

.

C.
.
Đáp án đúng: A

D.

.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

.

và

là hai điểm bất kì thuộc

A.

D.

là giao tuyến của hai mặt cầu

và

bằng


nên ta có hệ:

.
Gọi
.

và

lần lượt là hình chiếu của

và

lên

. Khi đó

,

,

2


Ta có:
Mặt khác:

.

Suy ra

Vậy
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
, dấu
xảy ra khi
Câu 6. Hình đa diện nào khơng có tâm đối xứng?
A. Hình tứ diện đều.
B. Hình bát diện đều.
C. Hình lăng trụ tứ giác đều.
D. Hình lập phương.
Đáp án đúng: A
Câu 7.
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng (tham khảo hình vẽ)

thẳng hàng.

.
Biết diện tích xung quanh của hình chóp đó gấpđơi diện tích đáy, thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Gọi chiều cao của mặt bên là

.


D.

.

.

Ta có diện tích xung quanh bằng

, suy ra

:

Khi đó thể tích khối chóp
Câu 8. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
cắt mặt cầu

, mặt phẳng

đi qua hai điểm

,

và

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất. Gọi
là một véctơ pháp tuyến của

A. .
Đáp án đúng: D

Giải thích chi tiết: Mặt cầu

B.

. Tính giá trị biểu thức

.

có tâm

C. .

?
D. .

.
3


Gọi

.
đi qua điểm

.

đi qua điểm
Mặt phẳng
nhất.


.

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn

.
.
Trừ từng vế

và

ta được

.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

.
.

Dấu = xảy ra
Câu 9.

.

Trong khơng gian
có dạng


, phương trình mặt cầu

A.

.

có tâm

và cắt trục

B.

tại

sao cho

.

C.
.
D.
.
Đáp án đúng: D
Câu 10. Cho lăng trụ có đáy là hình vng cạnh a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. 4 a3.
B. 2 a3.
C. a 3.
D. 3 a3 .
Đáp án đúng: A

Câu 11. Cho hình lập phương
và đáy là hình trịn nội tiếp hình vng
A.
C.
Đáp án đúng: D

.
.

có cạnh . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vng
. Diện tích tồn phần của khối nón đó là
B.

.

D.

.

4


Giải thích chi tiết:

Bán kính của đường trịn đáy là

.

Diện tích đáy nón là:


.

Độ dài đường sinh là

.

Diện tích xung quanh của khối nón là:

.

Vây, diện tích tồn phần của khối nón đó là:
Câu 12. Trong khơng gian
tại , ,
sao cho
phẳng

.

, cho điểm
là trực tâm tam giác

. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt

?


A.

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

.

Thật vậy :
Mà

(1)
(vì

là trực tâm tam giác

Từ (1) và (2) suy ra

(*)

Tương tự

Từ (*) và (**)

) (2)

. (**)
.
5


• Khi đó mặt cầu tâm
Vậy mặt cầu tâm
Câu 13.

tiếp xúc mặt phẳng

và tiếp xúc với mặt phẳng

có bán kính

.

là

.

Một chiếc ly dạng hình nón ( như hình vẽ với chiều cao ly là

). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho

chiều cao của lượng nước trong ly bằng

chiều cao của ly. Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỷ
lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng bao nhiêu?

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:

Giả sử ly có chiều cao

và đáy là đường trịn có bán kính

Khối nước trong ly có chiều cao bằng
và bán kính đáy

, nên có thể tích


chiều cao của ly nên khối nước tạo thành khối nón có chiều cao bằng

thể tích nước bằng

Do đó thể tích khoảng khơng bằng
Nên khi úp ngược ly lại thì ta có các tỉ lệ:

.

.
.
.

Suy ra: thể tích khoảng khơng bằng:

.
.

Nên chiều cao mực nước bằng:

.

6


Vậy tỷ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng
Câu 14. Trong không gian

, cho mặt cầu


. Có bao nhiêu điểm
hai tiếp tuyến cùng vng góc với
A. .
Đáp án đúng: B

B.

Mặt cầu

kẻ được đến

.

D.

.

, cho mặt cầu

và đường thẳng

thuộc tia

, với tung độ là số ngun, mà từ

kẻ được đến

?

.


có tâm

và bán kính

Ta có
Gọi

, với tung độ là số nguyên, mà từ
C.

hai tiếp tuyến cùng vng góc với
. D.

thuộc tia

.

. Có bao nhiêu điểm
. C.

và đường thẳng

?

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian

A. . B.
Lời giải


.

.

với
là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ

Khi đó

qua điểm

đến

và vng góc đường thẳng

.
, vì vậy phương trình mặt phẳng

là:

.
Ta có

nằm ngồi mặt cầu
.

Mặt khác

Từ


và

.

suy ra

.

Do
nên
. Vậy có
điểm thỏa mãn bài tốn.
Câu 15. Cho hình túr giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh
phẳng đáy và

. Hãy tính thế tích

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

, cạnh bên SA vng góc với mặt

của khối chóp S.ABCD.

.

C.


Câu 16. Trong khơng gian

cho điểm

,

trình
nhất.

. Tìm tọa độ điểm

trên mặt cầu

.
,

D.
và mặt cầu
sao cho tứ diện

.
có phương
có thể tích lớn
7


A.

.


C.
Đáp án đúng: A

B.

.

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

qua

.

, mà

làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt cầu

có tâm

Gọi
.

là đường thẳng qua


Gọi

là điểm thuộc mặt cầu

, bán kính

.

.

và vng góc với

có vectơ chỉ phương

sao cho thể tích tứ diện

lớn nhất

Xét hệ

.

.

và
Vậy

.

là điểm cần tìm.


x +5 y−7 z
=
= và điểm M (4 ;1; 6). Đường
2
−2 1
thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB=6 . Viết phương trình của mặt cầu (S).
A. ¿
B. ¿
C. ¿
D. ¿
Đáp án đúng: D
Câu 18. Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua
trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường trịn đáy của ba khối nón đơi một tiếp xúc với nhau,
một khối nón có đường trịn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón cịn lại có đường trịn đáy
tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng

Câu 17. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là
(lít). Thể tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?
A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.


.

D.

.

8


Giải thích chi tiết:
+) Gọi
cân).

là bán kính đáy của hình nón suy ra chiều cao nón là

+) Chiều dài của khối hộp là

(do thiết diện là tam giác vng

bán kính của khối cầu là

.

+) Thể tích nước bị tràn là
+) Gọi

.

là tâm của 3 đáy của khối nón suy ra


đều cạnh

+) Chiều rộng khối hộp là

.

(dm).

+) Ba đỉnh nón chạm mặt cầu tại các điếm
( với

I

là tâm mặt cầu), do đó

. Suy ra chiều cao của khối trụ là

.
+) Thể tích nước ban đầu là
Câu 19.

(lít).

Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là

. Một khối cầu

tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
nón và với


 ;… ;

B.

và

.

là khối cầu

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của khối

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với

lần lượt là thể tích của khối cầu

A.
.
Đáp án đúng: D

 ;

nội tiếp trong khối nối nón. Gọi
. Gọi

,…

là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức


C.

.

D.

.

9


Giải thích chi tiết:
Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh . Do đó bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cũng
chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chọp là
Áp dụng định lí Ta-Let ta có:

Tương tự ta tìm được

.

Tiếp tục như vậy ta có

Ta có

Do đó
Đặt

Đây là tổng của CSN lùi vơ hạn với công bội

10



Vậy
Câu 20. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

C. Cạnh đáy bằng

. Để ít

.
.

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng
.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
nhiêu?


. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao

A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
Lời giải

và cạnh bên bằng

.

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
Khi đó


có độ dài

và

Theo giả thiết

.

.
.

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ
Gọi

,

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

là nhỏ nhất.
, ta có:

.
11


Khảo sát

trên


Với

, ta được

nhỏ nhất khi

.

.

Câu 21. Cho hình trụ có đường kính đáy bằng
song với trục và cách trục một khoảng bằng
được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song
, thiết diện thu được là một hình vng. Thể tích của khối trụ

.

C.

.

D.


.

Giải thích chi tiết:
Theo giả thiết, bán kính hình trụ là:

.

Giả sử thiết diện là hình vng MNPQ, ta có,
Suy ra

;

.

.

Thiết diện ta thu được là hình vng MNPQ có cạnh bằng

. Suy ra chiều cao hình trụ là

Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là:
Câu 22. Trong khơng gian
A.
C.
Đáp án đúng: D

.

, cho


và

.

. Tính tọa độ
B.

.

.
.

D.

.

Câu 23. Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu

có tâm I và bán kính R là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Câu 24. Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là

Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng 3 kích
thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương ln gấp
lần thể tích hình hộp chữ
nhật. Gọi
là tỉ số giữa diện tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật.
Tìm giá trị lớn nhất của
A.
.
Đáp án đúng: D

của
B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương là

.

D.

.

12


Hình hộp chữ nhật có


và

Hình lập phương có
Vậy
Ta có

Đặt

Vậy
Đặt
Ta có

Kết hợp điều kiện

ta có

Khi đó
Xét hàm số

trện đoạn

Ta có
Suy ra,

Khi đó,

Câu 25. Cho hình lăng trụ đứng
Thể tích khối lăng trụ
A.
Đáp án đúng: C


B.

.
có đáy là tam giác vng cân tại

,

và

.

là
C.

D.

13


Giải thích chi tiết:

Ta có

,

.

Thể tích khối lăng trụ là


.

Câu 26. Trong không gian với hệ trục tọa độ

, cho

. Gọi

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất

trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp

. Tính bán kính mặt cầu

.

A.
.
Đáp án đúng: D

C. .

D.

B.

.

Giải thích chi tiết: Gọi H là hình chiếu của


.

lên mp

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp
đường kính là
Câu 27.

nên

có

, suy ra

Trong khơng gian
tam giác

, cho ba điểm

. Tọa độ trọng tâm

của

là

A.

.

C.

Đáp án đúng: C

.

B.

.

D.

.

Câu 28. Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
,
. Tam giác
cân tại
và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Đường thẳng
tạo với đáy một góc
. Khi đó thể tích của
khối chóp
bằng
A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.


C.

Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ
. Tập hợp các giá trị của
A.

.

B.

.

.

D.

, cho

để bốn điểm

,
C.

;
,

,

.

;

;

đồng phẳng là tập con của tập nào sau?
.

D.

.
14


Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết: Ta có

,

,

.

.
Để bớn điểm

,

,

,


đồng phẳng:

.
Câu 30. Lăng trụ có 2020 đỉnh có số mặt là
A. 1011 .
B. 1012 .
Đáp án đúng: B
Câu

31.

Cho

hàm

số

C. 1009 .
.

Các

. Khi biểu thức

.
A.
.
Đáp án đúng: A
Câu 32.

Trong không gian
phương trình mặt phẳng

B.

.

thực

thoả

mãn

và

đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị của
C.

cho ba điểm

.

D.

và

.

Phương trình nào sau đây là


?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

Câu 33. Trong khơng gian
, cho ba điểm
Đường thẳng
có phương trình là.
A.

. Gọi

là trực tâm tam giác

.

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
, cho ba điểm
tam giác
. Đường thẳng
có phương trình là.
A.

số

D. 1010 .

. Gọi

là trực tâm

B.

C.
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Như Trình ; Fb: Như Trình Nguyễn
15


Phương trình mặt phẳng (ABC):
Dễ thấy,

.

nên đường thẳng OH nhận vectơ


làm VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng OH là:
Câu 34. Trong không gian với hệ trục
A. .
Đáp án đúng: D

B.

, cho mặt cầu

.

. Bán kính của
C.

.

D.

Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình chữ nhật,

là

.

. SA vng góc với mp

. Cạnh SB tạo với mp đáy góc 60°. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:

A.
Đáp án đúng: A

B.

C.

Câu 36. Trong không gian
tiếp tứ diện
là

, cho ba điểm

A.
C.
Đáp án đúng: C
và

,

,

B.

.

.

D.


.

, cho ba điểm

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ
. C.

T a có:

. Tính góc giữa

.

A.
.
Đáp án đúng: D

A.
. B.
Lời giải

. Phương trình mặt cầu ngoại


.

Câu 37. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
hai vectơ

D.

và
. D.

.

D.

.

, cho ba điểm

.

.
.

,

.

Nên
Câu 38.
Trong


khơng

gian

với

hệ

tọa

độ

cho

và

hai

. Phương trình đường thẳng qua
với

và cắt

đường

thẳng

, vng góc


là

16


A.
C.
Đáp án đúng: B

.

B.

.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Gọi

là đường thẳng qua

và

cắt

tại


. Khi đó

.
Ta có

.

Đường

, với

Do đó

là một vectơ chỉ phương của

, suy ra

.

Vậy phương trình đường thẳng

.

Câu 39. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
A.

, cho hai vectơ

.


C.
Đáp án đúng: D

.

,

. Tính

B.
.

.

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

.

.
, cho hai vectơ

,

. Tính

.
A.

Lời giải

. B.

.

C.

. D.

Ta có

.

Câu 40. Cho lăng trụ tam giác
giác
của

.

có

vng tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

A.
.
Đáp án đúng: C


B.

, góc giữa đường thẳng

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng
.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ tam giác
bằng
, tam giác
trùng với trọng tâm của

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

C.
có

.

và
lên

bằng

, tam

trùng với trọng tâm


D.

.

, góc giữa đường thẳng

và

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

lên
17


A.
.
B.
Hướng dẫn giải:
Gọi
và

.

C.

.

D.


.

là trung điểm của
là trọng tâm của

.
.

Xét

vuông tại

, có

. (nửa tam giác đều)
Đặt

. Trong

tam giác
Do
Trong

Vậy,

vuông tại

có


là nữa tam giác đều

là trọng tâm
vuông tại

.
:

.
----HẾT---

18