ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 016.
Câu 1. Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu

có tâm I và bán kính R là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

Câu 2. Cho hình nón
Biết rằng

đỉnh

có thiết diện qua trục là tam giác đều

nội tiếp trong mặt cầu

so với khối cầu

tâm

, bán kính

có diện tích là

.

. Tính tỉ lệ thể tích của khối nón

.

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

.

D.

.


Giải thích chi tiết:
Vì tam giác
Gọi

đều có diện tích

là trung điểm của

Hình nón
Mặt cầu

nên các cạnh

ta có

.

có đường cao
có bán kính

.

và bán kính đáy

.

.

.

Câu 3. Trong khơng gian Oxyz, cho

. Giá trị của

bằng
1


A.
.
Đáp án đúng: B

B.

Giải thích chi tiết: Ta có:
Vậy

.

C.

D.

.

.

.

Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vng tại B, AB=2a, BC =

bằng 3a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
.
A.
Đáp án đúng: A
Câu 5.

B.

C.

cạnh bên

D.

Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính
, người thợ thủ cơng mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó
thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã
hồn thiện.

A.

B.

C.
Đáp án đúng: D
Câu 6.

D.

Cho hình nón có bán kính đường tròn đáy là

đúng?

, chiều cao

và độ dài đường sinh là

. Gọi

lần lượt là diện tích xung quanh và thể tích của khối nón. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào

A.

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Câu 7. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng
của đường trịn đáy tâm . Gọi
của khối tứ diện
là:
A.
C.
Đáp án đúng: A

cạnh bằng

là điểm thuộc cung


với

của đường trịn đáy sao cho

là đường kính
. Thể tích

B.
D.

Giải thích chi tiết:
2


Ta có:
Gọi

vng tại

có

là hình chiếu của

lên

nên

.


, suy ra

và

Vậy
Câu 8. Cho hình trụ có trục
một khoảng bằng
cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: B

và có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng song song với trục

và cách

cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vng. Diện tích xung quanh của hình trụ đã
B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:

Mặt phẳng

song song với trục và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vng
, trong đó

là bán kính đáy và

. Cạnh hình vng là

là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng

.
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là
.
Câu 9. Phương trình nào khơng phải là phương trình mặt cầu, chọn đáp án đúng nhất:
A.

.

B.
C.

.
.
3


D. B và C.
Đáp án đúng: C


x +5 y−7 z
=
= và điểm M (4 ;1; 6). Đường
2
−2 1
thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB=6 . Viết phương trình của mặt cầu (S).
A. ¿
B. ¿
C. ¿
D. ¿
Đáp án đúng: B

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều
Thể tích khối chóp đó bằng
A.

.

B.

.

C.

.

có cạnh đáy bằng


. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

.

D.
.
Đáp án đúng: B
Câu 12. Cho khối nón có bán kính đáy r =a và chiều cao h=2 a. Độ dài đường sinh của hình nón đó bằng
A. a √ 5
B. 10 a.
C. 3 a .
D. 5 a.
Đáp án đúng: A
Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ
,

. Gọi

trình tiếp diện của mặt cầu
A.
C.
Đáp án đúng: B

Xét tam giác

,

tại

sao cho


.
.

.

D.

.

có tâm
tọa độ của

và bán kính
là

.
,

và

nên

nằm ngồi mặt cầu

.

.

áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta có:


Ta lại có:
Bởi vậy
MNEKI

đạt giá trị lớn nhất. Viết phương

B.

là trung điểm của

Ta có:

là điểm thuộc mặt cầu

và hai điểm

.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

, cho mặt cầu

.
đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

và

lớn nhất.

4


Do

lớn nhất nên

thuộc đường thẳng

Phương trình đường thẳng
Tọa độ giao điểm

.

là:

.

của đường thẳng

với mặt cầu

ứng với

là nghiệm phương trình:

.
Như vậy

hoặc


.

Ta có
,
. Suy ra
tại
có phương trình:

, nên phương trình tiếp diện của mặt cầu
hay

.

Câu 14. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng


và cạnh bên bằng

.

. Để ít

D. Cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng
.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
nhiêu?

. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao

A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng


.

D. Cạnh đáy bằng
Lời giải

và cạnh bên bằng

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là

.

có độ dài

,

.
5


Khi đó

và

.

Theo giả thiết

.


Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ
Gọi

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

là nhỏ nhất.
, ta có:

.
Khảo sát

trên

, ta được

nhỏ nhất khi

.

Với
.
Câu 15. Cho một hình nón đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy. Nếu tam giác SAB đều thì góc
ở đỉnh của hình nón bằng
A. 90 ° .
B. 120 °.
C. 30 ° .
D. 60 ° .
Đáp án đúng: D

Giải thích chi tiết:

Hình nón có đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy nên góc ở đỉnh của hình nón là góc ^
ASB. Lại
0
có tam giác ΔSAB là tam giác đều nên ^
ASB=6 0 . Vậy góc ở đỉnh hình nón bằng 60 ° .
Câu

16.

Trong

khơng

gian

,

cắt

mặt

cầu

theo thiết diện là một đường trịn có bán kính bằng
A.
.
Đáp án đúng: C

B.


.

Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ
A.

C.
, cho hai vectơ

.

C.
Đáp án đúng: B

.

B.
.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

D.
,

.
. Tính

.

.


D.

.
, cho hai vectơ

,

. Tính

.
6


A.
Lời giải

. B.

.

C.

. D.

.

Ta có

.


Câu 18. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
hai vectơ

và

, cho ba điểm

.

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ
A.
. B.
Lời giải

. Tính góc giữa

. C.

và

. D.

T a có:

.

D.

.

, cho ba điểm

.

.
.

,

.

Nên
Câu 19. Trong khơng gian

cho điểm

,

trình
nhất.


. Tìm tọa độ điểm

trên mặt cầu

A.

,

.

C.
Đáp án đúng: D

và mặt cầu
sao cho tứ diện

B.
.
qua

.

, mà

làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt cầu

có tâm


Gọi
.

là đường thẳng qua

Gọi

là điểm thuộc mặt cầu

, bán kính

và vng góc với

có thể tích lớn

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

có phương

.

.

có vectơ chỉ phương

sao cho thể tích tứ diện


lớn nhất

.

7


Xét hệ

.

và
Vậy

.

là điểm cần tìm.

Câu 20. Cho tam giác
vng tại
có
tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng
A.

?

.

C.

Đáp án đúng: B

. Diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay
B.

.

Ta có:
Câu 21.

.

D.

Giải thích chi tiết: Khi quay tam giác
.

quanh cạnh

.
ta thu được hình nón có:

;

.

Trong khơng gian
A.

, cho hai vectơ


và

.

C.
.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
là
A.
Lời giải

,

. B.

. C.

B.

.

D.

.

, cho hai vectơ

. D.


. Tọa độ của vectơ

và

là

. Tọa độ của vectơ

.

Ta có
.
Câu 22. Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua
trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường trịn đáy của ba khối nón đơi một tiếp xúc với nhau,
một khối nón có đường trịn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón cịn lại có đường trịn đáy
tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng
lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là
(lít). Thể tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?
A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

C.

.


D.

.

8


Giải thích chi tiết:
+) Gọi
cân).

là bán kính đáy của hình nón suy ra chiều cao nón là

+) Chiều dài của khối hộp là

bán kính của khối cầu là

(do thiết diện là tam giác vng

.

+) Thể tích nước bị tràn là
+) Gọi

.

là tâm của 3 đáy của khối nón suy ra

+) Chiều rộng khối hộp là


đều cạnh

.

(dm).

+) Ba đỉnh nón chạm mặt cầu tại các điếm
( với

I

là tâm mặt cầu), do đó

. Suy ra chiều cao của khối trụ là

.
+) Thể tích nước ban đầu là
Câu 23.
cho

Trong khơng gian
có dạng

(lít).
, phương trình mặt cầu

A.
C.
Đáp án đúng: C

Câu 24. Cho hình lập phương
và đáy là hình trịn nội tiếp hình vng
A.
C.
Đáp án đúng: D

có tâm

và cắt trục

tại

.

B.

.

.

D.

.

sao

có cạnh . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vng
. Diện tích tồn phần của khối nón đó là

.


B.

.

.

D.

.

9


Giải thích chi tiết:

Bán kính của đường trịn đáy là

.

Diện tích đáy nón là:

.

Độ dài đường sinh là

.

Diện tích xung quanh của khối nón là:


.

Vây, diện tích tồn phần của khối nón đó là:
Câu 25. Trong khơng gian
A.

.

, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

.

B.

và
.

C.
.
D.
.
Đáp án đúng: B
Câu 26.
Cho hình vng
nội tiếp đường trịn
bán kính tam giác đều
nội tiếp đường trịn đó và
song song
(như hình vẽ). Cho mơ hình trên quay quanh đường thẳng
Kí hiệu

là thể tích khối
trịn xoay do hình vng, hình trịn và tam giác đều tạo thành. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

B.

C.

D.

10


Gọi

lần lượt là trung điểm của

Thể tích khối cầu (tạo bởi khi quay hình trịn quanh trục
Ta có

cạnh hình vng bằng

Ta có

) là


nên

cạnh tam giác đều bằng

nên

Vậy
Câu 27. Cho hình lăng trụ đứng
Thể tích khối lăng trụ
A.
Đáp án đúng: C

có đáy là tam giác vng cân tại

,

và

.

là

B.

C.

D.

Giải thích chi tiết:


Ta có

,

Thể tích khối lăng trụ là
Câu 28. Cho lăng trụ tam giác
giác
của

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

.
.
có

, góc giữa đường thẳng

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

và
lên

bằng

, tam

trùng với trọng tâm


11


A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ tam giác
bằng
, tam giác
trùng với trọng tâm của
A.
.
B.
Hướng dẫn giải:
Gọi
và

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện


.

C.

.

D.

.

D.

.

, góc giữa đường thẳng

và

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

lên

.

là trung điểm của
là trọng tâm của

.

.

Xét

vuông tại

, có

. (nửa tam giác đều)
Đặt

. Trong

tam giác
Do
Trong

Vậy,

vuông tại

có

là nữa tam giác đều

là trọng tâm
vuông tại

.
:


.

Câu 29.
Một chiếc ly dạng hình nón ( như hình vẽ với chiều cao ly là

). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho

chiều cao của lượng nước trong ly bằng
chiều cao của ly. Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỷ
lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng bao nhiêu?

12


A. .
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

.

D.

.


Giải thích chi tiết:

Giả sử ly có chiều cao

và đáy là đường trịn có bán kính

Khối nước trong ly có chiều cao bằng
và bán kính đáy

, nên có thể tích

.

chiều cao của ly nên khối nước tạo thành khối nón có chiều cao bằng

thể tích nước bằng

Do đó thể tích khoảng khơng bằng
Nên khi úp ngược ly lại thì ta có các tỉ lệ:

.
.
.

Suy ra: thể tích khoảng khơng bằng:

.
.

Nên chiều cao mực nước bằng:


.

Vậy tỷ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng
Câu 30. Khẳng định nào sau đây là sai?

.

A. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy

và chiều cao

là

.

B. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy

và chiều cao

là

.

C. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy
và chiều cao là
D. Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.
Đáp án đúng: A

.


13


Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ
. Tập hợp các giá trị của
A.
.
Đáp án đúng: D

B.

, cho

để bốn điểm

;

,

.

,

,

C.

Giải thích chi tiết: Ta có


,

;

;

đồng phẳng là tập con của tập nào sau?
.

D.

,

.

.

.
Để bốn điểm

,

,

,

đồng phẳng:

.
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ


, cho hai điểm

và

chứa giao tuyến của hai mặt cầu
hai điểm
A.

,

là mặt phẳng

và

là hai điểm bất kì thuộc

sao cho

. Xét

. Giá trị nhỏ nhất của

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: B


bằng

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

. Gọi

.

là giao tuyến của hai mặt cầu

và

nên ta có hệ:

.
Gọi
.

và

lần lượt là hình chiếu của

và

lên


. Khi đó

,

,

Ta có:
14


Mặt khác:

.

Suy ra
Vậy

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

, dấu

xảy ra khi

thẳng hàng.

Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ

, mặt phẳng


cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường tròn có chu vi nhỏ nhất. Gọi
là một véctơ pháp tuyến của

A. .
Đáp án đúng: B

. Tính giá trị biểu thức

B. .

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

đi qua hai điểm

C.

có tâm

,

và

?

.

D. .


.

.
đi qua điểm

.

đi qua điểm
Mặt phẳng
nhất.

.

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn

.
.
Trừ từng vế

và

ta được

.


Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

.
.

Dấu = xảy ra
.
Câu 34.
Một cái khối gỗ có hình dạng như hình bên (gồm 1 khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi
trên hình, chu vi đáy là

. Thể tích của khối gỗ bằng

15


A.

.

C.
.
Đáp án đúng: A
Câu 35.
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng

B.
D.

.

.

(tham khảo hình vẽ)

.
Biết diện tích xung quanh của hình chóp đó gấpđơi diện tích đáy, thể tích khối chóp đã cho bằng
16


A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Gọi chiều cao của mặt bên là
Ta có diện tích xung quanh bằng

D.

B.

.

.
, suy ra


Khi đó thể tích khối chóp
Câu 36.
Cho tam giác ABC vng cân tại A có cạnh
của khối nón được tạo thành:
A.
Đáp án đúng: D

.

:

. Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Tính thể tích
C.

D.

Câu 37. Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là
Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng 3 kích
thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương ln gấp
lần thể tích hình hộp chữ
nhật. Gọi
là tỉ số giữa diện tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật.
Tìm giá trị lớn nhất của
A.
.
Đáp án đúng: C

của
B.


.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương là
Hình hộp chữ nhật có

và

Hình lập phương có
Vậy
Ta có

Đặt

Vậy
Đặt
Ta có

17


Kết hợp điều kiện


ta có

Khi đó
Xét hàm số

trện đoạn

Ta có
Suy ra,

Khi đó,

Câu 38. Trong khơng gian
tại , ,
sao cho
phẳng

.

, cho điểm
là trực tâm tam giác

. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt


?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

.

Thật vậy :
Mà

(1)
(vì

là trực tâm tam giác

Từ (1) và (2) suy ra

(*)


Tương tự

. (**)

Từ (*) và (**)

.

• Khi đó mặt cầu tâm
Vậy mặt cầu tâm

) (2)

tiếp xúc mặt phẳng

và tiếp xúc với mặt phẳng

có bán kính
là

.
.
18


Câu 39. Trong không gian
tiếp tứ diện
là


, cho ba điểm

A.
C.
Đáp án đúng: C

,

. Phương trình mặt cầu ngoại

.

B.

.

.

D.

.

{

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
un+1 = ( un +1 )
3
5

14
B. u 4= .
C. u 4= .
9
27

Câu 40. Cho dãy số ( u n) xác định bởi
A. u 4=1.

,

Đáp án đúng: B

2
D. u 4= .
3

{

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
un+1 = ( un +1 )
3
2
14
C. u 4= .
D. u 4= .
3
27


Giải thích chi tiết: Cho dãy số ( u n) xác định bởi

5
A. u 4= .
B. u 4=1.
9
Lời giải
Ta có
1
1
1
2
1
1 2
5
u2= ( u1+ 1 )= ( 2+1 ) =1;u3 = ( u2 +1 )= ;u 4= ( u3 +1 )=
+1 = .
3
3
3
3
3
3 3
9
Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.
----HẾT---

( )


19