ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 015.
Câu

1.

Trong

khơng

gian

,

cắt

mặt

cầu

theo thiết diện là một đường trịn có bán kính bằng
A.
.

Đáp án đúng: A
Câu 2.

B.

Trong khơng gian

.

C.

, cho tam giác

có trọng tâm

. Tọa độ điểm

D.

.

. Biết

là:

A.

B.

C.

Đáp án đúng: C

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
. Tọa độ điểm
A.
Lời giải
Vì

.

B.

là trọng tâm tam giác

C.

, cho tam giác

có trọng tâm

. Biết

là:
D.

nên ta có:

.

Câu 3.
Cho hình vng
nội tiếp đường trịn
bán kính tam giác đều
nội tiếp đường trịn đó và
song song
(như hình vẽ). Cho mơ hình trên quay quanh đường thẳng
Kí hiệu
là thể tích khối
trịn xoay do hình vng, hình trịn và tam giác đều tạo thành. Khẳng định nào sau đây đúng ?

1


A.
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

Gọi

B.

C.

D.

lần lượt là trung điểm của

Thể tích khối cầu (tạo bởi khi quay hình trịn quanh trục

Ta có

cạnh hình vng bằng

Ta có

nên

cạnh tam giác đều bằng

Vậy

{

B. u 4=1.

D. u 4=1.

{

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
un+1 = ( un +1 )
3
2
14
C. u 4= .
D. u 4= .
3

27

Giải thích chi tiết: Cho dãy số ( u n) xác định bởi
5
A. u 4= .
9

nên

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
un+1 = ( un +1 )
3
14
2
B. u 4= .
C. u 4= .
27
3

Câu 4. Cho dãy số ( u n) xác định bởi
5
A. u 4= .
9
Đáp án đúng: A

) là

2



Lời giải
Ta có
1
1
1
2
1
1 2
5
u2= ( u1+ 1 )= ( 2+1 ) =1;u3 = ( u2 +1 )= ;u 4= ( u3 +1 )=
+1 = .
3
3
3
3
3
3 3
9
Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.

( )

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
trình đường trung trực của cạnh
.

A.
.

Đáp án đúng: C

B.

.

C.

. Viết phương

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
Viết phương trình đường trung trực của cạnh
.

A.
Lời giải
Gọi
Gọi

.B.

.

C.


là đường trung trực của cạnh
là trung điểm của đoạn thẳng

Gọi
là mặt phẳng qua
pháp tuyến.
Mặt phẳng

D.

trong tam giác
. Suy ra

Phương trình của đường thẳng

.

. Mặt phẳng

nhận

làm làm một vectơ

làm một vectơ pháp tuyến.

là giao tuyến của mặt phẳng

đi qua


.

.

và vng góc với

nhận

Ta có, đường thẳng
Đường thẳng

.

.

và mặt phẳng

và nhận

là:

.
. Chọn

.

.

Câu 6. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?

A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

. Để ít

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
Đáp án đúng: B

và cạnh bên bằng

.

3



Giải thích chi tiết: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao

nhiêu?

A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
Lời giải

và cạnh bên bằng

.


Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
Khi đó

có độ dài

và

,

.

Theo giả thiết

.

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ
Gọi

.

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

là nhỏ nhất.
, ta có:

.
Khảo sát

trên


Với

nhỏ nhất khi

.

.

Câu 7. Trong khơng gian

cho mặt cầu

.
sao cho
nhất.

, ta được

,

A.
.
Đáp án đúng: A

,

có tâm

là một điểm di động trên
là các tiếp tuyến của


B.

.

, bán kính
. Ba điểm phân biệt

. Tính tổng

C.

và mặt phẳng

khi

.

,

,

thuộc
đạt giá trị lớn

D.

.

4



Giải thích chi tiết:

Vì

nên điểm

được các tiếp tuyến với mặt cầu
Gọi

là giao điểm của đường thẳng

luôn kẻ

và mặt phẳng

, ta có

. Xét tam giác

vng tại

.

Do đó

lớn nhất khi

Đường thẳng


Vì

. Do đó qua điểm

.

ta có

thẳng

ln nằm ngồi mặt cầu

đi qua

là

nhỏ nhất hay

là hình chiếu của

và nhận vectơ pháp tuyến của

trên mặt phẳng

làm vectơ chỉ phương. Phương trình đường

.
nên


Vậy
Câu 8.
Trong khơng gian
phương trình mặt phẳng

hay

.

.
cho ba điểm

và

Phương trình nào sau đây là

?

A.
C.
Đáp án đúng: C
Câu 9. Mặt phẳng ( A′ BC ) chia khối lăng trụ ABC . A′ B ′ C′
A. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
C. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .
Đáp án đúng: B

B.
D.
thành hai khối chóp.
B. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .

D. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
5


Câu 10.
Cho hình nón có bán kính đường trịn đáy là
đúng?

, chiều cao

và độ dài đường sinh là

. Gọi

lần lượt là diện tích xung quanh và thể tích của khối nón. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Câu 11. Trong không gian
tiếp tứ diện
là

, cho ba điểm


A.
C.
Đáp án đúng: C
Câu 12. Cho hình trụ có trục
một khoảng bằng
cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: D

,

,

. Phương trình mặt cầu ngoại

.

B.

.

.

D.

.

và có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng song song với trục


và cách

cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vng. Diện tích xung quanh của hình trụ đã
B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:

6


Mặt phẳng

song song với trục và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vng
, trong đó

là bán kính đáy và

. Cạnh hình vng là


là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng

.
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là

.

Câu 13. Cho hình lập phương
và đáy là hình trịn nội tiếp hình vng
A.
C.
Đáp án đúng: C

có cạnh . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vng
. Diện tích tồn phần của khối nón đó là

.

B.

.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:


Bán kính của đường trịn đáy là

.

Diện tích đáy nón là:

.

Độ dài đường sinh là

.

Diện tích xung quanh của khối nón là:

.

Vây, diện tích tồn phần của khối nón đó là:
.
Câu 14. Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua
trục là một tam giác vng cân vào bể sao cho ba đường tròn đáy của ba khối nón đơi một tiếp xúc với nhau,
một khối nón có đường trịn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón cịn lại có đường tròn đáy
tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng
lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là
(lít). Thể tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?
A.
.
Đáp án đúng: D

B.


.

C.

.

D.

.

7


Giải thích chi tiết:
+) Gọi
cân).

là bán kính đáy của hình nón suy ra chiều cao nón là

+) Chiều dài của khối hộp là

(do thiết diện là tam giác vng

bán kính của khối cầu là

.

+) Thể tích nước bị tràn là
+) Gọi


.

là tâm của 3 đáy của khối nón suy ra

+) Chiều rộng khối hộp là

đều cạnh

.

(dm).

+) Ba đỉnh nón chạm mặt cầu tại các điếm
( với

I

là tâm mặt cầu), do đó

. Suy ra chiều cao của khối trụ là

.
+) Thể tích nước ban đầu là
Câu 15.
Trong khơng gian

(lít).
, cho mặt phẳng

đến mặt phẳng


. Khoảng cách từ điểm

bằng

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Ta có
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

D.

.

có bao nhiêu mặt?
.

Giải thích chi tiết: Khối đa diện đều loại

. C. .

D.

.

Câu 16. Khối đa diện đều loại

A. . B.

.

C. .

D.

.

có bao nhiêu mặt?

.
8


Lời giải
Theo lí thuyết,

Chọn phương án D.
Câu 17. Cho lăng trụ tam giác
giác

của

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

, góc giữa đường thẳng

. Hình chiếu vng góc của điểm
theo bằng
.

C.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ tam giác
bằng
, tam giác
trùng với trọng tâm của
A.
.
B.
Hướng dẫn giải:


.

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện
C.

.

D.

.

và
lên

bằng

, tam

trùng với trọng tâm

D.

.

, góc giữa đường thẳng


và

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

lên

.
9


Gọi
và

là trung điểm của
là trọng tâm của

.
.

Xét

vuông tại

, có

. (nửa tam giác đều)
Đặt


. Trong

tam giác
Do
Trong

vuông tại

có

là nữa tam giác đều

là trọng tâm

.

vng tại

:

Vậy,

.

Câu 18. Cho một hình nón đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy. Nếu tam giác SAB đều thì góc
ở đỉnh của hình nón bằng
A. 30 ° .
B. 120 °.
C. 60 ° .
D. 90 ° .

Đáp án đúng: C

Giải thích chi tiết:
Hình nón có đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy nên góc ở đỉnh của hình nón là góc ^
ASB. Lại
0
^
có tam giác ΔSAB là tam giác đều nên ASB=6 0 . Vậy góc ở đỉnh hình nón bằng 60 ° .
Câu 19. Trong khơng gian với hệ tọa độ
Gọi
đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng

cho 3 điểm

là điểm thuộc mặt phẳng
hỏi

và mặt phẳng

sao cho biểu thức

thuộc khoảng nào trong các khoảng sau.
10


A.
Đáp án đúng: C
Câu 20.

B.


Nếu hai điểm

C.

thoả mãn

D.

thì độ dài đoạn thẳng

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

;

D.

Giải thích chi tiết: Nếu hai điểm
bao nhiêu?

bằng bao nhiêu?
.

thoả mãn


thì độ dài đoạn thẳng

bằng

A.
B.
C.

;

D.
Lời giải
Câu 21.

.

Trong khơng gian
A.

, hình chiếu vng góc của điểm

trên trục

.

B.

.

C.

.
Đáp án đúng: B

D.

.

có tọa độ là

Câu 22. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

, mặt phẳng

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất. Gọi
là một véctơ pháp tuyến của

A. .
Đáp án đúng: A

B.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

. Tính giá trị biểu thức

.


có tâm

C. .

đi qua hai điểm

,

và

?
D.

.

.

.
đi qua điểm

.

đi qua điểm
Mặt phẳng
nhất.

.

cắt mặt cầu


theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn

.

11


.
Trừ từng vế

và

ta được

.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

.
.

Dấu = xảy ra
Câu 23. Lăng trụ có 2020 đỉnh có số mặt là
A. 1012 .
B. 1010 .
Đáp án đúng: A
Câu 24. Trong không gian với hệ trục tọa độ


.
C. 1009 .
, cho

D. 1011 .
. Gọi

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất

trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp

. Tính bán kính mặt cầu

.

A.
.
Đáp án đúng: D

C.

D.

B. .

Giải thích chi tiết: Gọi H là hình chiếu của

.

.


lên mp

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp
đường kính là

có

, suy ra

Câu 25. Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu
A.

có tâm I và bán kính R là:
B.

C.
Đáp án đúng: D

D.

Câu 26. Cho khối trụ có thể tích là
A. .
Đáp án đúng: C
Câu 27.

nên

B.


và chiều cao bằng
.

. Bán kính đáy của khối trụ đã cho bằng:
C.

D.

.

Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính
, người thợ thủ cơng mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó
thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã
hoàn thiện.

A.

B.
12


C.
Đáp án đúng: A
Câu 28.

D.

Cho

. Tọa độ M là


A.

B.

C.
Đáp án đúng: D

D.

x +5 y−7 z
=
= và điểm M (4 ;1; 6). Đường
2
−2 1
thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB=6 . Viết phương trình của mặt cầu (S).
A. ¿
B. ¿
C. ¿
D. ¿
Đáp án đúng: D
Câu 30.
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng (tham khảo hình vẽ)

Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

.
Biết diện tích xung quanh của hình chóp đó gấpđơi diện tích đáy, thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
.

Đáp án đúng: A

B.

.

Giải thích chi tiết: Gọi chiều cao của mặt bên là
Ta có diện tích xung quanh bằng

C.

.

D.

.

.
, suy ra

:

Khi đó thể tích khối chóp
Câu 31. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
hai vectơ

và

A.
.

Đáp án đúng: A

, cho ba điểm

. Tính góc giữa

.
B.

.

C.

.

D.

.
13


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ
A.
. B.
Lời giải

và

. C.


.

.

. D.

T a có:

, cho ba điểm

.

,

.

Nên
Câu 32. Trong khơng gian

, cho mặt cầu

. Có bao nhiêu điểm
hai tiếp tuyến cùng vng góc với
A. .
Đáp án đúng: D

B.

.


Mặt cầu

kẻ được đến

D.

.

thuộc tia

và đường thẳng
, với tung độ là số nguyên, mà từ

kẻ được đến

?

.

có tâm

và bán kính

Ta có
Gọi

.

, cho mặt cầu


hai tiếp tuyến cùng vng góc với
. D.

, với tung độ là số nguyên, mà từ
C.

. Có bao nhiêu điểm
. C.

thuộc tia

?

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian

A. . B.
Lời giải

và đường thẳng

.

với
là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ

Khi đó

qua điểm


đến

và vng góc đường thẳng

.
, vì vậy phương trình mặt phẳng

là:

.
Ta có

nằm ngồi mặt cầu
.

Mặt khác

Từ
Do

.

và

suy ra
nên

.
. Vậy có


Câu 33. Trong khơng gian Oxyz, cho

điểm

thỏa mãn bài tốn.
. Giá trị của

bằng
14


A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

Giải thích chi tiết: Ta có:
Vậy
Câu

C.

D.

.

.


.
34.

Cho

hàm

số

.

Các

số

thực

. Khi biểu thức

.
A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

thoả


và

đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị của
C.

.

D.

Câu 35. Trong không gian
, cho ba điểm
Đường thẳng
có phương trình là.

. Gọi

A.

mãn

.

là trực tâm tam giác

.

B.

C.

Đáp án đúng: C

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
, cho ba điểm
tam giác
. Đường thẳng
có phương trình là.
A.

. Gọi

là trực tâm

B.

C.
D.
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Như Trình ; Fb: Như Trình Nguyễn
Phương trình mặt phẳng (ABC):
Dễ thấy,

.

nên đường thẳng OH nhận vectơ

làm VTCP.


Vậy phương trình đường thẳng OH là:
Câu 36.
Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là

. Một khối cầu

tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
nón và với

 ;… ;

 ;

nội tiếp trong khối nối nón. Gọi

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của khối

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với

lần lượt là thể tích của khối cầu

và

là khối cầu

. Gọi

,…

là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức


15


A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh . Do đó bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cũng
chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chọp là
Áp dụng định lí Ta-Let ta có:

Tương tự ta tìm được

.

Tiếp tục như vậy ta có


Ta có

Do đó
Đặt

Đây là tổng của CSN lùi vô hạn với công bội
16


Vậy
Câu 37. Cho khối nón có bán kính đáy r =a và chiều cao h=2 a. Độ dài đường sinh của hình nón đó bằng
A. 10 a.
B. 5 a.
C. 3 a .
D. a √ 5
Đáp án đúng: D
Câu 38.
Trong không gian

, cho ba điểm

tam giác

là

A.

.


. Tọa độ trọng tâm

B.

C.
.
Đáp án đúng: D
Câu 39.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh
của khối nón được tạo thành:
A.
Đáp án đúng: D
Câu 40.
Trong

khơng

với

hệ

.

D.

.

. Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Tính thể tích

B.


gian

C.

tọa

độ

D.

cho

và

hai

. Phương trình đường thẳng qua
với

và cắt

của

đường

thẳng

, vng góc


là

A.
C.
Đáp án đúng: A

.

B.

.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Gọi

là đường thẳng qua

và

cắt

tại

. Khi đó


.
Ta có

.
17


Đường
Do đó
Vậy phương trình đường thẳng

, với

là một vectơ chỉ phương của

, suy ra

.

.
.
----HẾT---

18