ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 012.
Câu 1.
Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính
, người thợ thủ cơng mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó
thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã
hồn thiện.

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ
hai vectơ

và

, cho ba điểm

.

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ
A.
. B.
Lời giải

. Tính góc giữa

. C.

T a có:

và
. D.

.


D.

, cho ba điểm

.

,

.

. Hãy tính thế tích

A.
.
Đáp án đúng: D
Câu 4.
Trong không gian
đến mặt phẳng

.

.

Nên
Câu 3. Cho hình túr giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh
đáy và

.

B.


của khối chóp S.ABCD.
.

, cho mặt phẳng
bằng

, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng

C.

.

D.

.

. Khoảng cách từ điểm
1


A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.


Giải thích chi tiết: Ta có
Câu 5.
. Một khối cầu

tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
 ;… ;

.

 ;

nội tiếp trong khối nối nón. Gọi

B.

và

.

là khối cầu

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của khối

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với

lần lượt là thể tích của khối cầu

A.
.

Đáp án đúng: D

D.

.

Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là
nón và với

.

. Gọi

,…

là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh . Do đó bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cũng
chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chọp là
Áp dụng định lí Ta-Let ta có:


Tương tự ta tìm được

.
2


Tiếp tục như vậy ta có

Ta có

Do đó
Đặt

Đây là tổng của CSN lùi vô hạn với công bội

Vậy
Câu 6. Mặt phẳng ( A′ BC ) chia khối lăng trụ ABC . A′ B ′ C′ thành hai khối chóp.
A. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
B. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .
C. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
D. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .
Đáp án đúng: D
Câu 7. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.


B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

. Để ít

D. Cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng
.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
nhiêu?

. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao

A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.
3



B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
Lời giải

và cạnh bên bằng

.

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
Khi đó

có độ dài

và

.

.


Theo giả thiết

.

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ
Gọi

,

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

là nhỏ nhất.
, ta có:

.
Khảo sát
Với

trên

, ta được

nhỏ nhất khi

.

.

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình chữ nhật,

Cạnh SB tạo với mp đáy góc 60°. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:

. SA vng góc với mp

.

A.
B.
C.
D.
Đáp án đúng: D
Câu 9.
Một cái khối gỗ có hình dạng như hình bên (gồm 1 khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi
trên hình, chu vi đáy là

. Thể tích của khối gỗ bằng

4


A.
C.
Đáp án đúng: A

.

B.

.


D.

Câu 10. Trong không gian
A.
.
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết:
Lời giải

, cho véctơ
B.

Ta có

.

. Độ dài của

.

C.

.

bằng
D.

.

.


Câu 11. Trong khơng gian

, cho mặt cầu

. Có bao nhiêu điểm
hai tiếp tuyến cùng vng góc với
A. .
Đáp án đúng: D

.

B.

.

và đường thẳng

thuộc tia

, với tung độ là số nguyên, mà từ

kẻ được đến

?
C.

.

D.


.

5


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian

, cho mặt cầu

. Có bao nhiêu điểm
hai tiếp tuyến cùng vng góc với
A. . B.
Lời giải

. C.

Mặt cầu

. D.

thuộc tia

, với tung độ là số ngun, mà từ

kẻ được đến

?

.


có tâm

và bán kính

Ta có
Gọi

và đường thẳng

.

với
là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ

Khi đó

qua điểm

đến

.

và vng góc đường thẳng

, vì vậy phương trình mặt phẳng

là:

.

Ta có

nằm ngồi mặt cầu
.

Mặt khác

Từ

.

và

Do

suy ra
nên

Câu

12.

.
. Vậy có

Trong

khơng

điểm


gian

thỏa mãn bài tốn.
,

cắt

mặt

cầu

theo thiết diện là một đường trịn có bán kính bằng
A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

C.

.

D.

.

x +5 y−7 z

=
= và điểm M (4 ;1; 6). Đường
2
−2 1
thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB=6 . Viết phương trình của mặt cầu (S).
A. ¿
B. ¿
C. ¿
D. ¿
Đáp án đúng: C
Câu 14.

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Trong không gian

, cho tam giác
. Tọa độ điểm

có trọng tâm

. Biết

là:

A.

B.

C.


D.
6


Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
. Tọa độ điểm
A.
Lời giải
Vì

B.

, cho tam giác

có trọng tâm

. Biết

là:

C.

D.

là trọng tâm tam giác

nên ta có:


.
Câu 15. Phương trình nào khơng phải là phương trình mặt cầu, chọn đáp án đúng nhất:
A. B và C.
B.

.

C.

.

D.
Đáp án đúng: D

.

2
A. u 4= .
3
Đáp án đúng: C

{

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
un+1 = ( un +1 )
3
14
5

B. u 4= .
C. u 4= .
27
9

Câu 16. Cho dãy số ( u n) xác định bởi

D. u 4=1.

{

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
Giải thích chi tiết: Cho dãy số ( u n) xác định bởi
un+1 = ( un +1 )
3
5
2
14
A. u 4= .
B. u 4=1.
C. u 4= .
D. u 4= .
9
3
27
Lời giải
Ta có
1

1
1
2
1
1 2
5
u2= ( u1+ 1 )= ( 2+1 ) =1;u3 = ( u2 +1 )= ;u 4= ( u3 +1 )=
+1 = .
3
3
3
3
3
3 3
9
Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.

( )

Câu 17. Trong khơng gian Oxyz, cho
A. .
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết: Ta có:

B.

. Giá trị của
.

C.


.

bằng
D.

.
7


Vậy

.

Câu 18. Cho lăng trụ đứng
khối lăng trụ biết rằng
A.
.
Đáp án đúng: B

có đáy

Tam giác

. B.

B.

. C.


vng cân tại

,

. Tính thể tích

.
.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ đứng
Tính thể tích khối lăng trụ biết rằng
A.
Lời giải

là tam giác vng cân tại

C.
có đáy

D.

là tam giác vng cân tại

.
,

.

.


. D.

.

, mà

Xét
vng tại , có
Vậy thể tích hình lăng trụ đã cho là

.

.

,

,

.

Câu 19. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có BD=3 a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối
chóp đã cho bằng
A. 6 a 3 .
B. 6 a 3 .
C. 3 a3 .
D. 12 a3 .
Đáp án đúng: A
Câu 20. Cho một hình nón đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy. Nếu tam giác SAB đều thì góc
ở đỉnh của hình nón bằng
A. 60 ° .

B. 30 ° .
C. 90 ° .
D. 120 °.
Đáp án đúng: A
8


Giải thích chi tiết:
Hình nón có đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy nên góc ở đỉnh của hình nón là góc ^
ASB. Lại
0
60
°
có tam giác ΔSAB là tam giác đều nên ^
.
Vậy
góc
ở
đỉnh
hình
nón
bằng
.
ASB=6 0
Câu 21. Cho khối nón có bán kính đáy r =a và chiều cao h=2 a. Độ dài đường sinh của hình nón đó bằng
A. 3 a .
B. 10 a.
C. a √ 5
D. 5 a.
Đáp án đúng: C

Câu 22. Cho hình bình hành

và điểm

bất kỳ nằm trên đường chéo

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Câu 23. Trong không gian với hệ trục
A.
.
Đáp án đúng: B
Câu 24.

B.

Trong không gian
A.

Mệnh đề nào sau đây sai?

, cho mặt cầu
.


. Bán kính của
C.

.

D. .

, hình chiếu vng góc của điểm

.

B.

là

trên trục

có tọa độ là

.

C.
.
D.
.
Đáp án đúng: C
Câu 25.
Cho hình vng
nội tiếp đường trịn

bán kính tam giác đều
nội tiếp đường trịn đó và
song song
(như hình vẽ). Cho mơ hình trên quay quanh đường thẳng
Kí hiệu
là thể tích khối
trịn xoay do hình vng, hình trịn và tam giác đều tạo thành. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

B.

C.

D.

9


Gọi

lần lượt là trung điểm của

Thể tích khối cầu (tạo bởi khi quay hình trịn quanh trục
Ta có

cạnh hình vng bằng


Ta có

) là

nên

cạnh tam giác đều bằng

nên

Vậy
Câu 26. Cho hình lập phương
và đáy là hình trịn nội tiếp hình vng
A.
C.
Đáp án đúng: B

có cạnh . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vng
. Diện tích tồn phần của khối nón đó là

.

B.
.

D.

.
.


Giải thích chi tiết:

Bán kính của đường trịn đáy là

.

Diện tích đáy nón là:

.

Độ dài đường sinh là

.
10


Diện tích xung quanh của khối nón là:

.

Vây, diện tích tồn phần của khối nón đó là:

.

Câu 27. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng
của đường tròn đáy tâm . Gọi
của khối tứ diện
là:


cạnh bằng

là điểm thuộc cung

A.

với

là đường kính

của đường trịn đáy sao cho

. Thể tích

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Giải thích chi tiết:
Ta có:
Gọi

vng tại

có

là hình chiếu của


lên

nên

.

, suy ra

và

Vậy
Câu 28. Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
,
. Tam giác
cân tại
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng
tạo với đáy một góc
. Khi đó thể tích của
khối chóp
bằng
A.
.
Đáp án đúng: B

B.

Câu 29. Trong khơng gian

A.

C.

, cho

và

.

C.
Đáp án đúng: D

.

A.
.
Đáp án đúng: C

,

D.

. Tính tọa độ

cho mặt cầu

.

.


có tâm

, bán kính

là một điểm di động trên
là các tiếp tuyến của

B.

.

và mặt phẳng

. Ba điểm phân biệt

. Tính tổng

C.

.

.

D.

.
,

.


B.

Câu 30. Trong khơng gian

sao cho
nhất.

.

khi

.

,

,

thuộc
đạt giá trị lớn

D.

.

11


Giải thích chi tiết:


Vì

nên điểm

được các tiếp tuyến với mặt cầu
Gọi

là giao điểm của đường thẳng

luôn kẻ

và mặt phẳng

, ta có

. Xét tam giác

vng tại

.

Do đó

lớn nhất khi

Đường thẳng

Vì

. Do đó qua điểm


.

ta có

thẳng

ln nằm ngồi mặt cầu

đi qua

là

nhỏ nhất hay

là hình chiếu của

và nhận vectơ pháp tuyến của

trên mặt phẳng

làm vectơ chỉ phương. Phương trình đường

.
nên

Vậy

hay
.


Câu 31. Cho hình trụ có trục
một khoảng bằng
cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: C

.

và có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng song song với trục

và cách

cắt hình trụ theo thiết diện là một hình vng. Diện tích xung quanh của hình trụ đã
B.

.

C.

.

D.

.

12



Giải thích chi tiết:
Mặt phẳng

song song với trục và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vng
, trong đó

là bán kính đáy và

. Cạnh hình vng là

là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng

.
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là

.

Câu 32. Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là
Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng 3 kích
thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương ln gấp
lần thể tích hình hộp chữ
nhật. Gọi
là tỉ số giữa diện tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật.
Tìm giá trị lớn nhất của
A.
.
Đáp án đúng: D

của
B.


.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương là
Hình hộp chữ nhật có

và

Hình lập phương có
Vậy
Ta có
13


Đặt

Vậy
Đặt
Ta có

Kết hợp điều kiện


ta có

Khi đó
Xét hàm số

trện đoạn

Ta có
Suy ra,
Câu 33.

Khi đó,

Trong khơng gian

.

, cho hai điểm

và

. Trung điểm của đoạn thẳng

là điểm
A.

.

C.
Đáp án đúng: C


B.
.

D.

Giải thích chi tiết: Trong không gian
thẳng
là điểm
A.
Lời giải

. B.

. C.

Gọi

. D.

hỏi
B.

và

. Trung điểm của đoạn

.
cho 3 điểm


là điểm thuộc mặt phẳng

đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng

.

, cho hai điểm

Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ

A.

.

và mặt phẳng

sao cho biểu thức

thuộc khoảng nào trong các khoảng sau.
C.

D.
14


Đáp án đúng: D
Câu 35. Trong không gian
hai điểm
của


, cho hai mặt phẳng

,
bằng

. Xét hai điểm thay đổi

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

và

Ta có

. Suy ra

Gọi

,

sao cho
.

. Giá trị nhỏ nhất
D.

.


.
và

và

.

suy ra

.
.

Khi đó

.

Do đó

Đường thẳng

và

cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.

là điểm sao cho

Xét

C.


;

Xét

và

.

Giải thích chi tiết: Nhận xét:

Ta có

,

.
với

đi qua

. Ta thấy

và

nằm về cùng một phía so với

và vng góc với

có phương trình là:


.

.

15


Suy ra hình chiếu của
Gọi

trên

là điểm đối xứng với

là
qua

, suy ra

Ta có

.

là trung điểm

.

.

Đẳng thức xảy ra khi


là giao diểm của

Vậy giá trị nhỏ nhất của

và

là

có đáy

), góc giữa đường thẳng
A.
.
Đáp án đúng: C

.

.

Câu 36. Cho khối lăng trụ đứng

là tam giác vuông cân tại

và mặt phẳng

B.

.


bằng
C.

Câu 37. Trong không gian với hệ trục tọa độ
. Khoảng cách từ điểm
A.

, suy ra

,

(với

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
.

D.

, cho điểm

đến mặt phẳng

.
và mặt phẳng

là

.

B.

.
C. 3.
PHẦN TỰ LUẬN
D.
.
Đáp án đúng: C
Câu 38.
Trong không gian
A.

, cho hai vectơ

và

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: A

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
là
A.
Lời giải

. B.


Ta có

. C.

. D.

là

.
.

, cho hai vectơ

và

. Tọa độ của vectơ

.

.

Câu 39. Cho hình trụ có đường kính đáy bằng
song với trục và cách trục một khoảng bằng
được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: D

. Tọa độ của vectơ


B.

.

. Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song
, thiết diện thu được là một hình vng. Thể tích của khối trụ
C.

.

D.

.
16


Giải thích chi tiết:
Theo giả thiết, bán kính hình trụ là:

.

Giả sử thiết diện là hình vng MNPQ, ta có,
Suy ra

;

.

.


Thiết diện ta thu được là hình vng MNPQ có cạnh bằng
Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là:
Câu 40. Lăng trụ có 2020 đỉnh có số mặt là
A. 1010 .
B. 1009 .
Đáp án đúng: D

. Suy ra chiều cao hình trụ là
.
C. 1011 .

D. 1012 .

----HẾT---

17