ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 010.
Câu 1. Cho khối lăng trụ đứng
), góc giữa đường thẳng

có đáy

và mặt phẳng

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

Câu 2. Khối đa diện đều loại
A. .
Đáp án đúng: B

,

(với

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
C.

.

D.

.

có bao nhiêu mặt?
B.

D.

bằng

.

.

Giải thích chi tiết: Khối đa diện đều loại
A. . B. . C. .
Lời giải
Theo lí thuyết,

là tam giác vng cân tại

C.

.


D. .

có bao nhiêu mặt?

.

1


Chọn phương án D.
Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ
hai vectơ

và

, cho ba điểm

.

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ
A.
. B.
Lời giải
T a có:

. Tính góc giữa

. C.

và
. D.

.

D.

.

, cho ba điểm

.

.
.

,

.


Nên
Câu 4. Trong khơng gian

, cho

,

. Tính diện tích tam giác

.
2


A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

Câu 5. Trong không gian với hệ trục

C.

A.

.


là

D. .

. Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Tính thể tích
C.

D.

, hình chiếu vng góc của điểm

trên trục

.

B.

.

C.
.
Đáp án đúng: D

D.

.

Câu 8. Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu

có tọa độ là


có tâm I và bán kính R là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: D

D.

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ
,

. Gọi

trình tiếp diện của mặt cầu
A.
C.
Đáp án đúng: C

Xét tam giác

Ta lại có:

,

là điểm thuộc mặt cầu
tại


và hai điểm

sao cho

đạt giá trị lớn nhất. Viết phương

.
B.

.

.

D.

.

là trung điểm của

Ta có:

, cho mặt cầu

.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

.


. Bán kính của
C.

B.

Trong khơng gian

D.

, cho mặt cầu

A.
.
B. .
Đáp án đúng: C
Câu 6.
Cho tam giác ABC vng cân tại A có cạnh
của khối nón được tạo thành:
A.
Đáp án đúng: A
Câu 7.

.

có tâm
tọa độ của

và bán kính
là


.
,

và

nên

nằm ngồi mặt cầu

.

.

áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta có:

.
3


Bởi vậy
MNEKI
Do

đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
lớn nhất nên

thuộc đường thẳng

Phương trình đường thẳng

Tọa độ giao điểm

và

lớn nhất.

.

là:

.

của đường thẳng

với mặt cầu

ứng với

là nghiệm phương trình:

.
Như vậy

hoặc

.

Ta có
,
. Suy ra

tại
có phương trình:

, nên phương trình tiếp diện của mặt cầu

hay
.
Câu 10. Cho khối nón có bán kính đáy r =a và chiều cao h=2 a. Độ dài đường sinh của hình nón đó bằng
A. a √ 5
B. 3 a .
C. 10 a.
D. 5 a.
Đáp án đúng: A
Câu 11. Trong khơng gian

cho điểm

,

trình
nhất.

. Tìm tọa độ điểm

trên mặt cầu

A.

,


.

C.
Đáp án đúng: C

B.
.

và mặt cầu
sao cho tứ diện

qua

.

, mà

làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt cầu

có tâm

Gọi
.

là đường thẳng qua

Gọi

là điểm thuộc mặt cầu


Xét hệ

, bán kính

và vng góc với

có thể tích lớn

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

có phương

.

.

có vectơ chỉ phương

sao cho thể tích tứ diện

lớn nhất

.

.

4


và

.

Vậy
là điểm cần tìm.
Câu 12. Cho lăng trụ có đáy là hình vng cạnh a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. 4 a3.
B. 2 a3.
C. 3 a3 .
D. a 3.
Đáp án đúng: A
Câu 13.
Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính
, người thợ thủ cơng mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó
thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã
hồn thiện.

A.

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.


Câu 14. Cho hình lập phương
và đáy là hình trịn nội tiếp hình vng
A.
C.
Đáp án đúng: A

có cạnh . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vng
. Diện tích tồn phần của khối nón đó là

.

B.

.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:

Bán kính của đường trịn đáy là

.

Diện tích đáy nón là:

.


Độ dài đường sinh là

.
5


Diện tích xung quanh của khối nón là:

.

Vây, diện tích tồn phần của khối nón đó là:
Câu 15.
Cho

.

. Tọa độ M là

A.

B.

C.
Đáp án đúng: D

D.

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ
Gọi


cho 3 điểm

là điểm thuộc mặt phẳng

đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng

hỏi

A.
Đáp án đúng: C

sao cho biểu thức

thuộc khoảng nào trong các khoảng sau.

B.

Câu 17. Trong không gian
tiếp tứ diện
là

và mặt phẳng

C.
, cho ba điểm

A.
C.
Đáp án đúng: B


D.

,

,

. Phương trình mặt cầu ngoại

.

B.

.

.

D.

.

Câu 18. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

, mặt phẳng

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất. Gọi
là một véctơ pháp tuyến của


A. .
Đáp án đúng: D

B.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

. Tính giá trị biểu thức

.

có tâm

đi qua hai điểm

C.

.

,

và

?
D. .

.

.

đi qua điểm

.

đi qua điểm
Mặt phẳng
nhất.

.

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn

.

6


.
Trừ từng vế

và

ta được

.


Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

.
.

Dấu = xảy ra

.

Câu 19. Trong không gian
hai điểm
của

,
bằng

, cho hai mặt phẳng

,

. Xét hai điểm thay đổi

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

Giải thích chi tiết: Nhận xét:
Xét


và

Ta có

. Suy ra

.

và
C.

;

và

sao cho
.

. Giá trị nhỏ nhất
D.

.

cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
.
và

.


7


Ta có
Gọi

,

và

suy ra

.

là điểm sao cho

.

Khi đó

.

Do đó

.

Xét

với


Đường thẳng

đi qua

Suy ra hình chiếu của
Gọi

. Ta thấy

và

và vng góc với
trên

là điểm đối xứng với

có phương trình là:
là

qua

, suy ra

Ta có
Đẳng thức xảy ra khi

nằm về cùng một phía so với

.


.

.

là trung điểm

, suy ra

.

.
là giao diểm của

Vậy giá trị nhỏ nhất của

là

và

.

.

x +5 y−7 z
=
= và điểm M (4 ;1; 6). Đường
2
−2 1
thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB=6 . Viết phương trình của mặt cầu (S).
A. ¿

B. ¿
C. ¿
D. ¿
Đáp án đúng: D
Câu 21.

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Một chiếc ly dạng hình nón ( như hình vẽ với chiều cao ly là

). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho

chiều cao của lượng nước trong ly bằng
chiều cao của ly. Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỷ
lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng bao nhiêu?

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

C.

.

D.


.

Giải thích chi tiết:
8


Giả sử ly có chiều cao

và đáy là đường trịn có bán kính

Khối nước trong ly có chiều cao bằng
và bán kính đáy

, nên có thể tích

.

chiều cao của ly nên khối nước tạo thành khối nón có chiều cao bằng

thể tích nước bằng

.

Do đó thể tích khoảng khơng bằng

.

Nên khi úp ngược ly lại thì ta có các tỉ lệ:

.


Suy ra: thể tích khoảng khơng bằng:

.
.

Nên chiều cao mực nước bằng:

.

Vậy tỷ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng
.
u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
Câu 22. Cho dãy số ( u n) xác định bởi
1
un+1 = ( un +1 )
3
14
2
5
A. u 4= .
B. u 4= .
C. u 4=1.
D. u 4= .
27
3
9
Đáp án đúng: D
u1 =2

. Tìm số hạng u 4 .
Giải thích chi tiết: Cho dãy số ( u n) xác định bởi
1
un+1 = ( un +1 )
3
5
2
14
A. u 4= .
B. u 4=1.
C. u 4= .
D. u 4= .
9
3
27
Lời giải
Ta có
1
1
1
2
1
1 2
5
u2= ( u1+ 1 )= ( 2+1 ) =1;u3 = ( u2 +1 )= ;u 4= ( u3 +1 )=
+1 = .
3
3
3
3

3
3 3
9
Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.
Câu 23. Cho một hình nón đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy. Nếu tam giác SAB đều thì góc
ở đỉnh của hình nón bằng
A. 60 ° .
B. 90 ° .
C. 120 °.
D. 30 ° .
Đáp án đúng: A

{

{

( )

9


Giải thích chi tiết:
Hình nón có đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy nên góc ở đỉnh của hình nón là góc ^
ASB. Lại
0
60
°
có tam giác ΔSAB là tam giác đều nên ^
.
Vậy

góc
ở
đỉnh
hình
nón
bằng
.
ASB=6 0
Câu 24. Cho hình bình hành

và điểm

bất kỳ nằm trên đường chéo

A.

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

Câu 25. Trong không gian
tại , ,
sao cho
phẳng

Mệnh đề nào sau đây sai?


, cho điểm
là trực tâm tam giác

. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt

?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

.

Thật vậy :

Mà

(1)
(vì

là trực tâm tam giác

Từ (1) và (2) suy ra

(*)

Tương tự

. (**)

Từ (*) và (**)

.

• Khi đó mặt cầu tâm
Vậy mặt cầu tâm

) (2)

tiếp xúc mặt phẳng

và tiếp xúc với mặt phẳng

có bán kính
là


.
.
10


Câu 26. Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là
Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng 3 kích
thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương ln gấp
lần thể tích hình hộp chữ
nhật. Gọi
là tỉ số giữa diện tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật.
Tìm giá trị lớn nhất của

của

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

.

D.


.

Giải thích chi tiết: Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương là
Hình hộp chữ nhật có

và

Hình lập phương có
Vậy
Ta có

Đặt

Vậy
Đặt
Ta có

Kết hợp điều kiện

ta có

Khi đó
Xét hàm số

trện đoạn

Ta có
Suy ra,
Câu 27.


Khi đó,

.
11


Cho hình nón có bán kính đường trịn đáy là
đúng?

, chiều cao

B.

C.
Đáp án đúng: D

D.

Câu 28. Cho lăng trụ đứng
khối lăng trụ biết rằng
A.
.
Đáp án đúng: A

có đáy

. B.

B.


. C.

vng cân tại

là tam giác vng cân tại

,

. Tính thể tích

.
.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ đứng
Tính thể tích khối lăng trụ biết rằng

Tam giác

. Gọi

lần lượt là diện tích xung quanh và thể tích của khối nón. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào

A.

A.
Lời giải

và độ dài đường sinh là

C.

có đáy

là tam giác vng cân tại

.
,

.

.

, mà

Câu 29. Cho khối trụ có thể tích là

D.

.

. D.

Xét
vng tại , có
Vậy thể tích hình lăng trụ đã cho là

.

.

,


,

và chiều cao bằng

.

. Bán kính đáy của khối trụ đã cho bằng:
12


A.
B. .
C. .
D. .
Đáp án đúng: A
Câu 30. Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua
trục là một tam giác vuông cân vào bể sao cho ba đường trịn đáy của ba khối nón đơi một tiếp xúc với nhau,
một khối nón có đường trịn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón cịn lại có đường trịn đáy
tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng
lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là
(lít). Thể tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?
A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.


C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
+) Gọi
cân).

là bán kính đáy của hình nón suy ra chiều cao nón là

+) Chiều dài của khối hộp là

bán kính của khối cầu là

(do thiết diện là tam giác vng

.

+) Thể tích nước bị tràn là
+) Gọi

.

là tâm của 3 đáy của khối nón suy ra

+) Chiều rộng khối hộp là


đều cạnh

.

(dm).

+) Ba đỉnh nón chạm mặt cầu tại các điếm
( với

I

là tâm mặt cầu), do đó

. Suy ra chiều cao của khối trụ là

.
+) Thể tích nước ban đầu là
Câu 31. Trong khơng gian

(lít).
, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

A.

.

B.

C.


.

D.

và
.
.
13


Đáp án đúng: C
Câu 32.
Trong không gian

, cho ba điểm

tam giác

là

A.

.

. Tọa độ trọng tâm

B.

của


.

C.
.
D.
.
Đáp án đúng: D
Câu 33.
Cho hình vng
nội tiếp đường trịn
bán kính tam giác đều
nội tiếp đường trịn đó và
song song
(như hình vẽ). Cho mơ hình trên quay quanh đường thẳng
Kí hiệu
là thể tích khối
trịn xoay do hình vng, hình trịn và tam giác đều tạo thành. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

Gọi

B.

C.


lần lượt là trung điểm của

Thể tích khối cầu (tạo bởi khi quay hình trịn quanh trục
Ta có

Ta có

D.

cạnh hình vng bằng

) là

nên

cạnh tam giác đều bằng

nên

14


Vậy
Câu 34.
Trong khơng gian

, cho tam giác

có trọng tâm


. Tọa độ điểm

là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
. Tọa độ điểm
A.
Lời giải
Vì

. Biết

B.

C.

là trọng tâm tam giác

, cho tam giác

có trọng tâm


. Biết

là:
D.

nên ta có:

.
Câu 35. Trong không gian với hệ trục tọa độ
. Khoảng cách từ điểm
A.

, cho điểm

đến mặt phẳng

và mặt phẳng

là

.

B.
.
C. 3.
PHẦN TỰ LUẬN
D.
.
Đáp án đúng: C

Câu 36. Cho hình lăng trụ đứng
Thể tích khối lăng trụ
A.
Đáp án đúng: A

B.

có đáy là tam giác vuông cân tại

,

và

.

là
C.

D.

15


Giải thích chi tiết:

Ta có

,

.


Thể tích khối lăng trụ là
Câu 37.

.

Trong không gian

, cho mặt phẳng

đến mặt phẳng

. Khoảng cách từ điểm

bằng

A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

.

Giải thích chi tiết: Ta có
, cho mặt cầu


. Có bao nhiêu điểm
hai tiếp tuyến cùng vng góc với
A. .
Đáp án đúng: B

B.

hai tiếp tuyến cùng vng góc với

Mặt cầu

Gọi
Khi đó

, với tung độ là số nguyên, mà từ

kẻ được đến

C.

.

D.

.

, cho mặt cầu
thuộc tia


và đường thẳng
, với tung độ là số nguyên, mà từ

kẻ được đến

?

.

có tâm

Ta có

thuộc tia

.

. Có bao nhiêu điểm
. D.

và đường thẳng

?

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian

. C.

.


.

Câu 38. Trong khơng gian

A. . B.
Lời giải

D.

và bán kính

.

với
là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ
qua điểm

đến

và vng góc đường thẳng

.
, vì vậy phương trình mặt phẳng

là:

.
16



Ta có

nằm ngồi mặt cầu
.

Mặt khác

Từ

.

và

Do

suy ra

.

nên

. Vậy có

điểm

Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ
. Tập hợp các giá trị của
A.
.
Đáp án đúng: B


B.

thỏa mãn bài toán.
, cho

để bốn điểm
.

;

,

,

,

,

;

đồng phẳng là tập con của tập nào sau?

C.

Giải thích chi tiết: Ta có

;

.

,

D.

.

.

.
Để bớn điểm

,

,

,

đồng phẳng:

.
Câu 40. Trong khơng gian

cho mặt cầu

.
sao cho
nhất.

,


,

A.
.
Đáp án đúng: A

có tâm

, bán kính

là một điểm di động trên
là các tiếp tuyến của

B.

.

. Ba điểm phân biệt

. Tính tổng

C.

và mặt phẳng

khi

.

,


,

thuộc
đạt giá trị lớn

D.

.

Giải thích chi tiết:
17


Vì

nên điểm

được các tiếp tuyến với mặt cầu
Gọi

ln nằm ngồi mặt cầu

là giao điểm của đường thẳng

và mặt phẳng

lớn nhất khi

Đường thẳng


Vậy

, ta có

. Xét tam giác

vng tại

.

Do đó

Vì

ln kẻ

.

ta có

thẳng

. Do đó qua điểm

là

đi qua

nhỏ nhất hay


là hình chiếu của

và nhận vectơ pháp tuyến của

trên mặt phẳng

làm vectơ chỉ phương. Phương trình đường

.
nên

hay

.

.
----HẾT---

18