ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 009.
Câu 1. Trong không gian
điểm

,
bằng

, cho hai mặt phẳng
. Xét hai điểm thay đổi

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

Giải thích chi tiết: Nhận xét:
Xét

và

Ta có

. Suy ra

Ta có
Gọi

,
là điểm sao cho

,

và

và

.

C.
;

và hai

sao cho

. Giá trị nhỏ nhất của

.

D.


.

cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
.
và

.

suy ra

.
.
1


Khi đó

.

Do đó

.

Xét

với

Đường thẳng

. Ta thấy


đi qua

Suy ra hình chiếu của
Gọi

và

nằm về cùng một phía so với

và vng góc với

có phương trình là:

trên

là điểm đối xứng với

là
qua

, suy ra

Ta có

.

.

.


là trung điểm

, suy ra

.

.

Đẳng thức xảy ra khi

là giao diểm của

Vậy giá trị nhỏ nhất của

là

và
.

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ
A.

.

, cho hai vectơ

.

,


B.

C.
Đáp án đúng: C

.

. Tính
.

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

.

.
, cho hai vectơ

,

. Tính

.
A.
Lời giải

. B.


.

C.

. D.

.

Ta có

.

Câu 3. Trong khơng gian

cho điểm

trình
nhất.

. Tìm tọa độ điểm

A.
C.
Đáp án đúng: B

.
.

,


,
trên mặt cầu

và mặt cầu
sao cho tứ diện

B.
D.

có phương
có thể tích lớn

.
.

2


Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

qua

, mà

làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt cầu

có tâm

, bán kính


Gọi
.

là đường thẳng qua

Gọi

là điểm thuộc mặt cầu

.

.

và vng góc với

có vectơ chỉ phương

sao cho thể tích tứ diện

lớn nhất

Xét hệ

.

.

và


.

Vậy
là điểm cần tìm.
Câu 4. Phương trình nào khơng phải là phương trình mặt cầu, chọn đáp án đúng nhất:
A. B và C.
B.

.

C.

.

D.
Đáp án đúng: B

.

Câu 5. Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu

có tâm I và bán kính R là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: D


D.

Câu 6. Trong khơng gian Oxyz, cho
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

Giải thích chi tiết: Ta có:
Vậy
Câu 7.

. Giá trị của
C.

.

bằng
D.

.

.

.

3



Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính
, người thợ thủ cơng mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó
thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã
hồn thiện.

A.

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

Câu 8. Trong không gian với hệ trục tọa độ

, mặt phẳng

cắt mặt cầu

đi qua hai điểm

,

và

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất. Gọi
là một véctơ pháp tuyến của

A. .

Đáp án đúng: D

B.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

. Tính giá trị biểu thức

.

C.

có tâm

?

.

D. .

.

.
đi qua điểm

.

đi qua điểm
Mặt phẳng

nhất.

.

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn

.
.
Trừ từng vế

và

ta được

.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

.
.

Dấu = xảy ra
.
Câu 9. Cho lăng trụ có đáy là hình vng cạnh a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A. 2 a3.
B. 4 a3 .

C. 3 a3 .
D. a 3.
4


Đáp án đúng: B
Câu 10. Cho hình lăng trụ đứng
Thể tích khối lăng trụ
A.
Đáp án đúng: C

có đáy là tam giác vng cân tại

,

và

.

là

B.

C.

D.

Giải thích chi tiết:

Ta có


,

.

Thể tích khối lăng trụ là

.

Câu 11. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng
của đường trịn đáy tâm . Gọi
của khối tứ diện
là:

cạnh bằng

là điểm thuộc cung

A.

với

là đường kính

của đường trịn đáy sao cho

. Thể tích

B.


C.
Đáp án đúng: B

D.

Giải thích chi tiết:
Ta có:
Gọi

vng tại
là hình chiếu của

có
lên

nên

.

, suy ra

và

Vậy
Câu 12.
Trong không gian
A.
C.
.
Đáp án đúng: B


, cho hai vectơ
.

và

. Tọa độ của vectơ

B.

.

D.

.

là

5


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
là
A.
Lời giải

. B.

. C.


Ta có

, cho hai vectơ

. D.

và

. Tọa độ của vectơ

.

.

Câu 13. Trong khơng gian

cho mặt cầu

.
sao cho
nhất.

,

,

có tâm

, bán kính


là một điểm di động trên
là các tiếp tuyến của

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

. Ba điểm phân biệt

. Tính tổng

.

và mặt phẳng
,

khi

C.

.

,

thuộc
đạt giá trị lớn

D.


.

Giải thích chi tiết:

Vì

nên điểm

được các tiếp tuyến với mặt cầu
Gọi

là giao điểm của đường thẳng

luôn kẻ

và mặt phẳng

, ta có

. Xét tam giác

vng tại

.

Do đó

lớn nhất khi


Đường thẳng

Vì

. Do đó qua điểm

.

ta có

thẳng

ln nằm ngồi mặt cầu

là

đi qua

nhỏ nhất hay

là hình chiếu của

và nhận vectơ pháp tuyến của

trên mặt phẳng

làm vectơ chỉ phương. Phương trình đường

.
nên


hay

.
6


Vậy

.

Câu 14. Cho lăng trụ tam giác
giác
của

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

, góc giữa đường thẳng

. Hình chiếu vng góc của điểm

theo bằng
.

C.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ tam giác
bằng
, tam giác
trùng với trọng tâm của
A.
.
B.
Hướng dẫn giải:
Gọi
và

có

vuông tại
và góc
. Thể tích của khối tứ diện

.

C.

.

D.


.

và
lên

bằng

, tam

trùng với trọng tâm

D.

.

, góc giữa đường thẳng

và

. Hình chiếu vuông góc của điểm
theo bằng

lên

.

là trung điểm của
là trọng tâm của

.

.

Xét

vuông tại

, có

. (nửa tam giác đều)
Đặt

. Trong

tam giác
Do
Trong

Vậy,

vuông tại

có

là nữa tam giác đều

là trọng tâm
vuông tại

.
:


.

Câu 15.
7


Một cái khối gỗ có hình dạng như hình bên (gồm 1 khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi
trên hình, chu vi đáy là

A.

. Thể tích của khối gỗ bằng

.

C.
Đáp án đúng: A

B.

.

.

D.

Câu 16. Cho hình bình hành

và điểm


.

bất kỳ nằm trên đường chéo

A.

Mệnh đề nào sau đây sai?

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ
. Tập hợp các giá trị của
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

, cho

để bớn điểm

.


;

,

,

C.

Giải thích chi tiết: Ta có

,

,

;

đồng phẳng là tập con của tập nào sau?
.

,

;

D.

.

.

.

8


Để bớn điểm

,

,

,

đồng phẳng:

.
Câu 18. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có BD=3 a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối
chóp đã cho bằng
A. 6 a 3 .
B. 6 a 3 .
C. 3 a3 .
D. 12 a3 .
Đáp án đúng: A
Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ
hai vectơ

và

, cho ba điểm

.


A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ
A.
. B.
Lời giải

. C.

T a có:

. Tính góc giữa

và
. D.

D.

, cho ba điểm


.
.

.
.

,

.

Nên
Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình chữ nhật,

. SA vng góc với mp

. Cạnh SB tạo với mp đáy góc 60°. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A.
Đáp án đúng: B

B.

C.

D.

x +5 y−7 z
=
= và điểm M (4 ;1; 6). Đường
2

−2 1
thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB=6 . Viết phương trình của mặt cầu (S).
A. ¿
B. ¿
C. ¿
D. ¿
Đáp án đúng: C

Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ
Gọi

là điểm thuộc mặt phẳng

đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng
A.
Đáp án đúng: A

cho 3 điểm

hỏi
B.

và mặt phẳng

sao cho biểu thức

thuộc khoảng nào trong các khoảng sau.
C.


Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
trình đường trung trực của cạnh
.

D.
. Viết phương

9


A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
Viết phương trình đường trung trực của cạnh
.


A.
Lời giải
Gọi
Gọi

.B.

.

C.

là đường trung trực của cạnh

Mặt phẳng

Đường thẳng

. Suy ra

và vng góc với

nhận

Ta có, đường thẳng

Phương trình của đường thẳng

.
.


.
. Mặt phẳng

nhận

làm làm một vectơ

làm một vectơ pháp tuyến.

là giao tuyến của mặt phẳng

đi qua

D.

trong tam giác

là trung điểm của đoạn thẳng

Gọi
là mặt phẳng qua
pháp tuyến.

.

.

và mặt phẳng


và nhận

là:

.
. Chọn

.
u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
u
Câu 24. Cho dãy số ( n) xác định bởi
1
un+1 = ( un +1 )
3
5
2
14
A. u 4= .
B. u 4= .
C. u 4= .
9
3
27
Đáp án đúng: A
u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
u
Giải thích chi tiết: Cho dãy số ( n) xác định bởi
1

un+1 = ( un +1 )
3
5
2
14
A. u 4= .
B. u 4=1.
C. u 4= .
D. u 4= .
9
3
27
Lời giải
Ta có
1
1
1
2
1
1 2
5
u2= ( u1+ 1 )= ( 2+1 ) =1;u3 = ( u2 +1 )= ;u 4= ( u3 +1 )=
+1 = .
3
3
3
3
3
3 3
9

Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.

.

{

D. u 4=1.

{

( )

10


Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ

, cho hai điểm

và

chứa giao tuyến của hai mặt cầu
hai điểm

,

sao cho

. Xét


. Giá trị nhỏ nhất của

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: B

bằng

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

là mặt phẳng

và

là hai điểm bất kì thuộc

A.

. Gọi

.


là giao tuyến của hai mặt cầu

và

nên ta có hệ:

.
Gọi
.

và

lần lượt là hình chiếu của

và

lên

. Khi đó

,

,

Ta có:
Mặt khác:

.

Suy ra

Vậy

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Câu 26. Trong không gian
tại , ,
sao cho
phẳng

, cho điểm
là trực tâm tam giác

, dấu

xảy ra khi

thẳng hàng.

. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt

?

A.
C.

Đáp án đúng: B

B.
D.

11


Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

.

Thật vậy :

(1)

Mà

(vì

là trực tâm tam giác

) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

(*)


Tương tự

. (**)

Từ (*) và (**)

.

• Khi đó mặt cầu tâm
Vậy mặt cầu tâm

tiếp xúc mặt phẳng

và tiếp xúc với mặt phẳng

Câu 27. Cho khối trụ có thể tích là
A.
Đáp án đúng: A

B.

Câu 28. Trong khơng gian
là
A.

có bán kính
là

.


và chiều cao bằng
.

. Bán kính đáy của khối trụ đã cho bằng:
C.

, cho hai điểm

, cho hai điểm

A.
Lời giải

. D.

. C.

.

. Tọa độ trọng tâm của tam giác
.

D.

Giải thích chi tiết: Trong không gian
tam giác
là

là trọng tâm


D.

B.

C.
.
Đáp án đúng: D

Gọi

.
và

.

. B.

.

.
và

. Tọa độ trọng tâm của

.

.
12



Câu 29. Trong không gian với hệ trục
A.
.
Đáp án đúng: B
Câu 30.

B.

, cho mặt cầu
.

. Bán kính của
C.

.

Một chiếc ly dạng hình nón ( như hình vẽ với chiều cao ly là

là

D. .

). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho

chiều cao của lượng nước trong ly bằng
chiều cao của ly. Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỷ
lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng bao nhiêu?

A. .

Đáp án đúng: C

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:

Giả sử ly có chiều cao

và đáy là đường trịn có bán kính

Khối nước trong ly có chiều cao bằng
và bán kính đáy

, nên có thể tích

chiều cao của ly nên khối nước tạo thành khối nón có chiều cao bằng

thể tích nước bằng

Do đó thể tích khoảng khơng bằng

Nên khi úp ngược ly lại thì ta có các tỉ lệ:

.

.
.
.

Suy ra: thể tích khoảng khơng bằng:

.
.

Nên chiều cao mực nước bằng:

.
13


Vậy tỷ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng
Câu

31.

Trong

không

gian


.

,

cắt

mặt

cầu

theo thiết diện là một đường trịn có bán kính bằng
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

Câu 32. Cho tam giác
vng tại
có
tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng
A.

?

.


C.
Đáp án đúng: B

,

.

D.

. Diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay
B.

.

.

D.

Giải thích chi tiết: Khi quay tam giác
.

.

.

quanh cạnh

ta thu được hình nón có:


;

Ta có:
.
′
Câu 33. Mặt phẳng ( A BC ) chia khối lăng trụ ABC . A′ B ′ C′ thành hai khối chóp.
A. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
B. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .
C. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
D. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .
Đáp án đúng: B
Câu 34.
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng (tham khảo hình vẽ)

.
Biết diện tích xung quanh của hình chóp đó gấpđơi diện tích đáy, thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

Giải thích chi tiết: Gọi chiều cao của mặt bên là

C.

.


D.

.

.

14


Ta có diện tích xung quanh bằng

, suy ra

:

Khi đó thể tích khối chóp
Câu 35. Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là
Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng 3 kích
thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương ln gấp
lần thể tích hình hộp chữ
nhật. Gọi
là tỉ số giữa diện tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật.
Tìm giá trị lớn nhất của

của

A.
.
Đáp án đúng: D


B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương là
Hình hộp chữ nhật có

và

Hình lập phương có
Vậy
Ta có

Đặt

Vậy
Đặt
Ta có

Kết hợp điều kiện

ta có


Khi đó
Xét hàm số

trện đoạn

15


Ta có
Suy ra,
Câu 36.

Khi đó,

Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là

. Một khối cầu

tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
nón và với

 ;… ;

 ;

nội tiếp trong khối nối nón. Gọi

B.


và

.

là khối cầu

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của khối

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với

lần lượt là thể tích của khối cầu

A.
.
Đáp án đúng: D

.

. Gọi

,…

là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức

C.

.

D.


.

Giải thích chi tiết:
Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh . Do đó bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cũng
chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chọp là
Áp dụng định lí Ta-Let ta có:

Tương tự ta tìm được

.

Tiếp tục như vậy ta có
16


Ta có

Do đó
Đặt

Đây là tổng của CSN lùi vơ hạn với cơng bội

Vậy
Câu 37. Có một bể hình hộp chữ nhật chứa đầy nước. Người ta cho ba khối nón giống nhau có thiết diện qua
trục là một tam giác vng cân vào bể sao cho ba đường trịn đáy của ba khối nón đơi một tiếp xúc với nhau,
một khối nón có đường trịn đáy chỉ tiếp xúc với một cạnh của đáy bể và hai khối nón cịn lại có đường trịn đáy
tiếp xúc với hai cạnh của đáy bể. Sau đó người ta đặt lên đỉnh của ba khối nón một khối cầu có bán kính bằng
lần bán kính đáy của khối nón. Biết khối cầu vừa đủ ngập trong nước và tổng lượng nước trào ra là
(lít). Thể tích nước ban đầu ở trong bể thuộc khoảng nào dưới đây (đơn vị tính: lít)?
A.

.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
+) Gọi
cân).

là bán kính đáy của hình nón suy ra chiều cao nón là

+) Chiều dài của khối hộp là

bán kính của khối cầu là

(do thiết diện là tam giác vuông

.
17



+) Thể tích nước bị tràn là
+) Gọi

.

là tâm của 3 đáy của khối nón suy ra

+) Chiều rộng khối hộp là

đều cạnh

.

(dm).

+) Ba đỉnh nón chạm mặt cầu tại các điếm
( với

I

là tâm mặt cầu), do đó

. Suy ra chiều cao của khối trụ là

.
+) Thể tích nước ban đầu là
Câu 38.
Trong khơng gian


(lít).
, cho hai điểm

và

. Trung điểm của đoạn thẳng

là điểm
A.

.

C.
Đáp án đúng: D

Câu 39.
cho

. B.

. C.

Trong khơng gian
có dạng

D.

.

, cho hai điểm


và

. D.

C.
Đáp án đúng: A
Câu 40. Cho hình lập phương
và đáy là hình trịn nội tiếp hình vng
A.

.
.

. Trung điểm của đoạn

.

, phương trình mặt cầu

A.

C.
Đáp án đúng: C

.

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian

thẳng
là điểm
A.
Lời giải

B.

có tâm

và cắt trục

tại

.

B.

.

.

D.

.

sao

có cạnh . Một khối nón có đỉnh là tâm của hình vng
. Diện tích tồn phần của khối nón đó là
B.

D.

.
.

18


Giải thích chi tiết:

Bán kính của đường trịn đáy là

.

Diện tích đáy nón là:

.

Độ dài đường sinh là

.

Diện tích xung quanh của khối nón là:

.

Vây, diện tích tồn phần của khối nón đó là:

.
----HẾT---


19