ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 004.
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
trình đường trung trực của cạnh
.

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

. Viết phương

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết
Viết phương trình đường trung trực của cạnh
.

A.
Lời giải
Gọi
Gọi

.B.

.

C.

là đường trung trực của cạnh

Mặt phẳng

Đường thẳng

. Suy ra

và vng góc với

nhận

Ta có, đường thẳng


Phương trình của đường thẳng

.
.

. Mặt phẳng

A.
C.
Đáp án đúng: B

nhận

và mặt phẳng

và nhận

là:

làm làm một vectơ

.
. Chọn

.

cạnh bằng

với


.

Câu 2. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng
của đường trịn đáy tâm . Gọi
của khối tứ diện
là:

.

làm một vectơ pháp tuyến.

là giao tuyến của mặt phẳng

đi qua

D.

trong tam giác

là trung điểm của đoạn thẳng

Gọi
là mặt phẳng qua
pháp tuyến.

.

.

là điểm thuộc cung


của đường tròn đáy sao cho

là đường kính
. Thể tích

B.
D.
1


Giải thích chi tiết:
Ta có:
Gọi

vng tại
là hình chiếu của

có
lên

nên

.

, suy ra

và

Vậy

Câu 3. Trong không gian

, cho véctơ

A. .
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết:
Lời giải

B.

. Độ dài của

.

Ta có

C.

và điểm

D.

bất kỳ nằm trên đường chéo

A.

.

Mệnh đề nào sau đây sai?


B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ
và

, cho ba điểm

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ
. C.

T a có:

. Tính góc giữa

.

A.

.
Đáp án đúng: A

A.
. B.
Lời giải

.

.

Câu 4. Cho hình bình hành

hai vectơ

bằng

và
. D.

,

.

D.

.

, cho ba điểm


.

.
.
.

Nên
Câu 6. Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu

có tâm I và bán kính R là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Câu 7. Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao nhiêu?
A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

. Để ít

.
2



B. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
và cạnh bên bằng
.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết: Một người cần làm một hình lăng trụ tam giác đều từ tấm nhựa phẳng để có thể tích là
. Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này bằng bao

nhiêu?

A. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

B. Cạnh đáy bằng


và cạnh bên bằng

.

C. Cạnh đáy bằng

và cạnh bên bằng

.

D. Cạnh đáy bằng
Lời giải

và cạnh bên bằng

.

Giả sử hình lăng trụ tam giác đều cần làm là
Khi đó

có độ dài

và

.

.

Theo giả thiết


.

Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần của khối lăng trụ
Gọi

,

là tổng diện tích các mặt của khối lăng trụ

là nhỏ nhất.
, ta có:

.
Khảo sát

trên

, ta được

nhỏ nhất khi

.

Với
.
Câu 8. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng có BD=3 a và chiều cao bằng 4 a. Thể tích khối
chóp đã cho bằng
A. 6 a 3 .
B. 6 a 3 .

C. 12 a3 .
D. 3 a3 .
Đáp án đúng: B

3


Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ

, cho

. Gọi

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất

trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp

. Tính bán kính mặt cầu

.

A. .
Đáp án đúng: D

C.

D.

B.


.

Giải thích chi tiết: Gọi H là hình chiếu của

.

.

lên mp

là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong tất cả các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với mp
đường kính là

A.
.
Đáp án đúng: C

có đáy

. B.

B.

. C.

vng cân tại

là tam giác vng cân tại

,


. Tính thể tích

.
.

Giải thích chi tiết: Cho lăng trụ đứng
Tính thể tích khối lăng trụ biết rằng

Tam giác

có

, suy ra

Câu 10. Cho lăng trụ đứng
khối lăng trụ biết rằng

A.
Lời giải

nên

C.
có đáy

D.

là tam giác vng cân tại


.
,

.

.

. D.

.

, mà

Xét
vng tại , có
Vậy thể tích hình lăng trụ đã cho là

.

.

,

,

.

4



Câu 11.
Trong khơng gian

cho ba điểm

phương trình mặt phẳng

và

Phương trình nào sau đây là

?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Câu 12. Cho khối lăng trụ đứng
), góc giữa đường thẳng
A.
.
Đáp án đúng: D

có đáy


là tam giác vng cân tại

và mặt phẳng

B.

bằng

.

,

(với

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

C.

.

D.

.

Câu 13. Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
,
. Tam giác
cân tại

và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Đường thẳng
tạo với đáy một góc
. Khi đó thể tích của
khối chóp
bằng
A.
.
B.
.
Đáp án đúng: D
Câu 14.
Cho tam giác ABC vng cân tại A có cạnh
của khối nón được tạo thành:
A.
Đáp án đúng: C

C.

.

B.

C.
cho điểm

,

trình
nhất.


. Tìm tọa độ điểm

trên mặt cầu

.

C.
Đáp án đúng: C

.

D.
qua

làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt cầu

có tâm

, bán kính

D.
,

B.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

.


. Quay tam giác này xung quanh cạnh AB. Tính thể tích

Câu 15. Trong khơng gian

A.

D.

và mặt cầu
sao cho tứ diện

có phương
có thể tích lớn

.
.

, mà
.

.
5


Gọi
.

là đường thẳng qua

Gọi


là điểm thuộc mặt cầu

và vng góc với

có vectơ chỉ phương

sao cho thể tích tứ diện

lớn nhất

Xét hệ

.

.

và

.

Vậy
là điểm cần tìm.
Câu 16.
Nếu hai điểm

thoả mãn

thì độ dài đoạn thẳng


A.

B.

C.
Đáp án đúng: A

.

D.

Giải thích chi tiết: Nếu hai điểm
bao nhiêu?

bằng bao nhiêu?

;

thoả mãn

thì độ dài đoạn thẳng

bằng

A.
B.
C.

;


D.
.
Lời giải
Câu 17. Mặt phẳng ( A′ BC ) chia khối lăng trụ ABC . A′ B ′ C′ thành hai khối chóp.
A. A . A ′ B′ C ′ và A . BC C ′ B′ .
B. A . A ′ B′ C ′ và A′ . BC C ′ B ′ .
C. A . A ′ BC và A′ . BC C ′ B ′ .
D. A′ . ABC và A . BC C ′ B′ .
Đáp án đúng: C
Câu 18. Trong không gian
hai điểm
của

,
bằng

,

. Xét hai điểm thay đổi

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

Giải thích chi tiết: Nhận xét:
Xét

, cho hai mặt phẳng


và

.

và
C.

;

và

sao cho
.

. Giá trị nhỏ nhất
D.

.

cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
.
6


Ta có

. Suy ra

Ta có

Gọi

,

và

và

.

suy ra

.

là điểm sao cho

.

Khi đó

.

Do đó

.

Xét

với


Đường thẳng

đi qua

Suy ra hình chiếu của
Gọi

. Ta thấy

và

nằm về cùng một phía so với

và vng góc với
trên

là điểm đối xứng với

có phương trình là:
là

qua

, suy ra

Ta có

là trung điểm

.


.

.
, suy ra

.

.

Đẳng thức xảy ra khi

là giao diểm của

và

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của

là

Câu 19.
cho

, phương trình mặt cầu

Trong khơng gian
có dạng


.
có tâm

và cắt trục

tại

sao
7


A.

.

B.

.

C.
.
D.
.
Đáp án đúng: A
Câu 20.
Một cái khối gỗ có hình dạng như hình bên (gồm 1 khối nón và một khối trụ ghép lại). Chiều cao đo được ghi
trên hình, chu vi đáy là

A.


. Thể tích của khối gỗ bằng

.

C.
Đáp án đúng: D
Câu 21.

B.
.

Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là

D.

. Một khối cầu

tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
nón và với

 ;… ;

 ;

.
.

nội tiếp trong khối nối nón. Gọi

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của khối


là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với

lần lượt là thể tích của khối cầu

và

là khối cầu

. Gọi

,…

là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức

8


A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

.


D.

.

Giải thích chi tiết:
Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh . Do đó bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cũng
chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chọp là
Áp dụng định lí Ta-Let ta có:

Tương tự ta tìm được

.

Tiếp tục như vậy ta có

Ta có

Do đó
Đặt

Đây là tổng của CSN lùi vô hạn với công bội
9


Vậy
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ
A.
.
Đáp án đúng: B


B.

Câu 23. Trong không gian
A.
.
Đáp án đúng: A

.

, cho
B.

,

,

A.
.
Đáp án đúng: B

,

.

B.

.

.


.

, bán kính

và mặt phẳng

. Ba điểm phân biệt

. Tính tổng

C.

.
.

D.

có tâm

là một điểm di động trên
là các tiếp tuyến của

D.

. Tính diện tích tam giác
C.

cho mặt cầu

.


có tọa độ là
C.

.

Câu 24. Trong không gian

sao cho
nhất.

, vectơ

,

,

khi

.

thuộc
đạt giá trị lớn

D.

.

Giải thích chi tiết:


Vì
được các tiếp tuyến với mặt cầu

nên điểm

ln nằm ngồi mặt cầu

. Do đó qua điểm

ln kẻ

.
10


Gọi

là giao điểm của đường thẳng

và mặt phẳng

ta có
lớn nhất khi

Đường thẳng

Vì

. Xét tam giác


vng tại

.

Do đó

thẳng

, ta có

đi qua

là

nhỏ nhất hay

là hình chiếu của

và nhận vectơ pháp tuyến của

trên mặt phẳng

làm vectơ chỉ phương. Phương trình đường

.
nên

hay

.


Vậy
.
Câu 25.
Cho hình vng
nội tiếp đường trịn
bán kính tam giác đều
nội tiếp đường trịn đó và
song song
(như hình vẽ). Cho mơ hình trên quay quanh đường thẳng
Kí hiệu
là thể tích khối
trịn xoay do hình vng, hình trịn và tam giác đều tạo thành. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

Gọi

B.

C.

lần lượt là trung điểm của

Thể tích khối cầu (tạo bởi khi quay hình trịn quanh trục
Ta có


D.

cạnh hình vng bằng

) là

nên
11


Ta có

cạnh tam giác đều bằng

nên

Vậy
Câu 26. Cho khối trụ có thể tích là
A.
Đáp án đúng: A

B.

và chiều cao bằng
.

Câu 27. Trong khơng gian với hệ tọa độ

. Bán kính đáy của khối trụ đã cho bằng:
C.


.

, cho hai điểm

và

chứa giao tuyến của hai mặt cầu
hai điểm

,

. Gọi

là mặt phẳng

sao cho

. Xét

. Giá trị nhỏ nhất của

.

B.

.

C.
.

Đáp án đúng: A

D.

.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

.

và

là hai điểm bất kì thuộc

A.

D.

là giao tuyến của hai mặt cầu

và

bằng

nên ta có hệ:

.
Gọi
.


và

lần lượt là hình chiếu của

và

lên

. Khi đó

,

,

Ta có:
Mặt khác:

.
12


Suy ra
Vậy
Câu 28.

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Trong không gian

, dấu


, cho tam giác

có trọng tâm

. Tọa độ điểm

thẳng hàng.

. Biết

là:

A.

B.

C.
Đáp án đúng: A

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
. Tọa độ điểm
A.
Lời giải
Vì

xảy ra khi


B.

, cho tam giác

có trọng tâm

. Biết

là:

C.

D.

là trọng tâm tam giác

nên ta có:

.
Câu 29. Trong khơng gian
A.

và

.

C.
Đáp án đúng: B
Câu 30.
Trong


, cho

khơng

B.

.

gian

. Tính tọa độ

D.

với

hệ

tọa

độ

cho

.
.
.

và


hai

. Phương trình đường thẳng qua
với

và cắt

A.
C.
Đáp án đúng: D

đường

thẳng

, vng góc

là
.

B.

.

.

D.

.


13


Giải thích chi tiết: Gọi

là đường thẳng qua

và

cắt

tại

. Khi đó

.
Ta có

.

Đường

, với

Do đó

là một vectơ chỉ phương của

, suy ra


Vậy phương trình đường thẳng
Câu 31.
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng

.

.
.
(tham khảo hình vẽ)

.
Biết diện tích xung quanh của hình chóp đó gấpđơi diện tích đáy, thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Gọi chiều cao của mặt bên là
Ta có diện tích xung quanh bằng
Khi đó thể tích khối chóp

.

D.


.

.
, suy ra

:

{

u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
Câu 32. Cho dãy số ( u n) xác định bởi
1
un+1 = ( un +1 )
3
2
5
A. u 4=1.
B. u 4= .
C. u 4= .
3
9
Đáp án đúng: C
u1 =2
. Tìm số hạng u 4 .
1
Giải thích chi tiết: Cho dãy số ( u n) xác định bởi
un+1 = ( un +1 )
3


D. u 4=

14
.
27

{

14


5
2
14
A. u 4= .
B. u 4=1.
C. u 4= .
D. u 4= .
9
3
27
Lời giải
Ta có
1
1
1
2
1
1 2

5
u2= ( u1+ 1 )= ( 2+1 ) =1;u3 = ( u2 +1 )= ;u 4= ( u3 +1 )=
+1 = .
3
3
3
3
3
3 3
9
Nhận xét: Có thể dùng chức năng “lặp” trong MTCT để tính nhanh.
Câu 33.

( )

Trong khơng gian
A.

, hình chiếu vng góc của điểm
.

trên trục

B.

có tọa độ là

.

C.

.
D.
.
Đáp án đúng: D
Câu 34. Cho khối nón có bán kính đáy r =a và chiều cao h=2 a. Độ dài đường sinh của hình nón đó bằng
A. 3 a .
B. a √ 5
C. 10 a.
D. 5 a.
Đáp án đúng: B
x +5 y−7 z
=
= và điểm M (4 ;1; 6). Đường
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :
2
−2 1
thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB=6 . Viết phương trình của mặt cầu (S).
A. ¿
B. ¿
C. ¿
D. ¿
Đáp án đúng: B
Câu 36. Trong khơng gian Oxyz, cho
A.
.
Đáp án đúng: D

B.

C.


Giải thích chi tiết: Ta có:
Vậy
Câu 37.

. Giá trị của
D.

.

.

.

Thể tích của khối nón có chiều cao
A.

và bán kính đáy

.

C.
.
Đáp án đúng: B
Câu 38. Trong khơng gian với hệ tọa độ
,

. Gọi

trình tiếp diện của mặt cầu

A.

.

bằng

.

B.

.

D.

.

, cho mặt cầu

là điểm thuộc mặt cầu
tại

là

sao cho

và hai điểm
đạt giá trị lớn nhất. Viết phương

.
B.


.
15


C.
Đáp án đúng: D

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

có tâm

là trung điểm của

Ta có:

và bán kính

tọa độ của

là

,

Xét tam giác


.
.
,

và

nên

.

.

áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta có:

Ta lại có:

.

Bởi vậy
MNEKI
Do

nằm ngoài mặt cầu

đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
lớn nhất nên

thuộc đường thẳng


Phương trình đường thẳng
Tọa độ giao điểm

là:

và

lớn nhất.

.

.

của đường thẳng

với mặt cầu

ứng với

là nghiệm phương trình:

.
Như vậy

hoặc

.

Ta có
,

. Suy ra
tại
có phương trình:

, nên phương trình tiếp diện của mặt cầu
hay

Câu 39. Cho hình nón
Biết rằng

đỉnh

.

có thiết diện qua trục là tam giác đều

nội tiếp trong mặt cầu

so với khối cầu
A.
.
Đáp án đúng: C

tâm

, bán kính

có diện tích là

.


. Tính tỉ lệ thể tích của khối nón

.
B.

.

C.

.

D.

.

16


Giải thích chi tiết:
Vì tam giác
Gọi

đều có diện tích

là trung điểm của

Hình nón
Mặt cầu


nên các cạnh

ta có

.
.

có đường cao

và bán kính đáy

có bán kính

.

.

.
Câu 40. Trong khơng gian với hệ trục
A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

, cho mặt cầu

. Bán kính của

C.

.

D.

là

.

----HẾT---

17