ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 003.
Câu 1.
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng (tham khảo hình vẽ)

.
Biết diện tích xung quanh của hình chóp đó gấpđơi diện tích đáy, thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Gọi chiều cao của mặt bên là

.

D.

.

.

Ta có diện tích xung quanh bằng

, suy ra

:

Khi đó thể tích khối chóp
Câu 2. Trong khơng gian với hệ tọa độ
,

. Gọi

trình tiếp diện của mặt cầu
A.
C.
Đáp án đúng: A

là điểm thuộc mặt cầu
tại

và hai điểm

sao cho

đạt giá trị lớn nhất. Viết phương


.

.

B.

.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu
Gọi

, cho mặt cầu

là trung điểm của

có tâm
tọa độ của

và bán kính
là

.
,


nên

nằm ngồi mặt cầu

.
1


Ta có:

,

Xét tam giác

và

.

áp dụng cơng thức đường trung tuyến ta có:

Ta lại có:

.

Bởi vậy
MNEKI
Do

đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi
lớn nhất nên


thuộc đường thẳng

Phương trình đường thẳng
Tọa độ giao điểm

là:

và

lớn nhất.

.

.

của đường thẳng

với mặt cầu

ứng với

là nghiệm phương trình:

.
Như vậy

hoặc

.


Ta có
,
. Suy ra
tại
có phương trình:

, nên phương trình tiếp diện của mặt cầu
hay

.

Câu 3. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
hai vectơ

và

, cho ba điểm

.

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

C.


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ
Tính góc giữa hai vectơ
A.
. B.
Lời giải
T a có:

. Tính góc giữa

. C.

và
. D.

,

.

D.

.

, cho ba điểm

.

.
.
.


Nên
Câu 4. Cho hình bình hành

và điểm

A.
C.
Đáp án đúng: A
Câu 5. Lăng trụ có 2020 đỉnh có số mặt là

bất kỳ nằm trên đường chéo

Mệnh đề nào sau đây sai?

B.
D.

2


A. 1010 .
Đáp án đúng: D

B. 1009 .

C. 1011 .

Câu 6. Trong khơng gian


cho điểm

trình
nhất.

. Tìm tọa độ điểm

A.

,

D. 1012 .

,
trên mặt cầu

.

và mặt cầu
sao cho tứ diện

B.

C.
.
Đáp án đúng: B
qua

.


, mà

làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt cầu

có tâm

Gọi
.

là đường thẳng qua

Gọi

là điểm thuộc mặt cầu

, bán kính

.

.

và vng góc với

có vectơ chỉ phương

sao cho thể tích tứ diện

Xét hệ


lớn nhất

.

Vậy
là điểm cần tìm.
Câu 7. Cho hình túr giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh
. Hãy tính thế tích

, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng

của khối chóp S.ABCD.

A.
.
B.
.
C.
.
D.
Đáp án đúng: A
Câu 8. Phương trình nào khơng phải là phương trình mặt cầu, chọn đáp án đúng nhất:
A.
B.
C. B và C.
D.

.

.


và

đáy và

có thể tích lớn

.

D.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

có phương

.

.
.
.
3


Đáp án đúng: B
Câu

9.

Cho


hàm

số

.

số

. Khi biểu thức

.
A.
.
Đáp án đúng: C
Câu 10.

B.

.

. Một khối cầu

tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với
 ;… ;

thoả

.

B.


và

.

mãn

D.

và

.

nội tiếp trong khối nối nón. Gọi

là khối cầu

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của khối

là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với

lần lượt là thể tích của khối cầu

A.
.
Đáp án đúng: C

 ;

thực


đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị của
C.

Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là
nón và với

Các

. Gọi

,…

là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh . Do đó bán kính đường trịn nội tiếp tam giác cũng
chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chọp là
Áp dụng định lí Ta-Let ta có:

Tương tự ta tìm được


.
4


Tiếp tục như vậy ta có

Ta có

Do đó
Đặt

Đây là tổng của CSN lùi vô hạn với công bội

Vậy
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ
. Tập hợp các giá trị của
A.
.
Đáp án đúng: B

B.

, cho

để bớn điểm
.

Giải thích chi tiết: Ta có

;


,

,

C.
,

,

;

;

đồng phẳng là tập con của tập nào sau?
.

D.

,

.

.

.
Để bốn điểm

,


,

,

đồng phẳng:

.
Câu 12. Trong không gian
tiếp tứ diện
là
A.
C.
Đáp án đúng: D

, cho ba điểm

,

,

. Phương trình mặt cầu ngoại

.

B.

.

.


D.

.
5


Câu 13. Khối đa diện đều loại
A. .
Đáp án đúng: B

có bao nhiêu mặt?
B.

.

Giải thích chi tiết: Khối đa diện đều loại
A. . B. . C. .
Lời giải
Theo lí thuyết,

D.

C. .

D.

.

có bao nhiêu mặt?


.

Chọn phương án D.
Câu 14.
Một chiếc ly dạng hình nón ( như hình vẽ với chiều cao ly là

). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho

chiều cao của lượng nước trong ly bằng
chiều cao của ly. Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỷ
lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng bao nhiêu?

6


A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

.

D.

.


Giải thích chi tiết:

Giả sử ly có chiều cao

và đáy là đường trịn có bán kính

Khối nước trong ly có chiều cao bằng
và bán kính đáy

, nên có thể tích

chiều cao của ly nên khối nước tạo thành khối nón có chiều cao bằng

thể tích nước bằng

Do đó thể tích khoảng khơng bằng

.

.
.

Nên khi úp ngược ly lại thì ta có các tỉ lệ:

.

Suy ra: thể tích khoảng không bằng:

.

.

Nên chiều cao mực nước bằng:

.

Vậy tỷ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước bây giờ bằng
Câu 15. Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng
của đường trịn đáy tâm . Gọi
của khối tứ diện
là:

cạnh bằng

là điểm thuộc cung

.
với

của đường trịn đáy sao cho

A.

B.

C.

D.

là đường kính

. Thể tích

7


Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết:
Ta có:
Gọi

vng tại
là hình chiếu của

có
lên

nên

.

, suy ra

và

Vậy
Câu 16.
Cho

. Tọa độ M là


A.

B.

C.
Đáp án đúng: D
Câu 17.

D.

Trong khơng gian
A.

, hình chiếu vng góc của điểm
.

C.
.
Đáp án đúng: B
Câu 18. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy

trên trục

B.

.

D.


.

và chiều cao

là

.

B. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy
và chiều cao là
C. Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.
D. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy
Đáp án đúng: B
Câu 19. Trong không gian
A.
.
Đáp án đúng: A

, cho
B.

,

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

C.

có đáy

.

D.

bằng

.

C.

?

.

,

.
.

là tam giác vng cân tại

và mặt phẳng

Câu 21. Cho tam giác
vng tại
có
tạo thành khi quay tam giác quanh đường thẳng


là

.

. Tính diện tích tam giác

.

Câu 20. Cho khối lăng trụ đứng
), góc giữa đường thẳng

và chiều cao

có tọa độ là

,

(với

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
.

D.

.

. Diện tích xung quanh của hình nón trịn xoay

8



A.

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: C

D.

Giải thích chi tiết: Khi quay tam giác
.
Ta có:

.

quanh cạnh

.
ta thu được hình nón có:

;

.

Câu 22. Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là
Dựng một hình lập phương có cạnh bằng tổng 3 kích

thước của hình hộp chữ nhật trên. Biết rằng thể tích hình lập phương ln gấp
lần thể tích hình hộp chữ
nhật. Gọi
là tỉ số giữa diện tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình hộp chữ nhật.
Tìm giá trị lớn nhất của

của

A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Theo giả thiết ta có cạnh của hình lập phương là
Hình hộp chữ nhật có

và

Hình lập phương có

Vậy
Ta có

Đặt

Vậy
Đặt
Ta có

Kết hợp điều kiện

ta có

Khi đó
9


Xét hàm số

trện đoạn

Ta có
Suy ra,

Khi đó,

Câu 23. Cho khối trụ có thể tích là

và chiều cao bằng


A. .
Đáp án đúng: B

B.

Câu 24. Trong không gian
A.
C.
Đáp án đúng: C

.

.

D.

.

, cho mặt cầu

B.

thuộc tia

.

, với tung độ là số nguyên, mà từ
C.

.


D.

kẻ được đến

.

, cho mặt cầu

. Có bao nhiêu điểm
hai tiếp tuyến cùng vng góc với

thuộc tia

và đường thẳng
, với tung độ là số nguyên, mà từ

kẻ được đến

?

.

có tâm

và bán kính

Ta có

Khi đó


và đường thẳng

?

Giải thích chi tiết: Trong không gian

Gọi

.
và

B.

A. .
Đáp án đúng: D

Mặt cầu

D.

.

hai tiếp tuyến cùng vng góc với

. D.

.

, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm


. Có bao nhiêu điểm

. C.

. Bán kính đáy của khối trụ đã cho bằng:
C.

Câu 25. Trong không gian

A. . B.
Lời giải

.

.

với
là mặt phẳng chứa hai tiếp tuyến từ
qua điểm

đến

và vng góc đường thẳng

.
, vì vậy phương trình mặt phẳng

là:


.
Ta có

nằm ngồi mặt cầu
.
10


Mặt khác

Từ

.

và

Do

suy ra

.

nên

. Vậy có

Câu 26. Trong khơng gian
hai điểm
của


,
bằng

, cho hai mặt phẳng

B.

Giải thích chi tiết: Nhận xét:
Xét

và

Ta có

. Suy ra

Gọi
Khi đó

,
là điểm sao cho

thỏa mãn bài tốn.
,

. Xét hai điểm thay đổi

A.
.
Đáp án đúng: A


Ta có

điểm

và

và

.

C.
;

và

sao cho
.

. Giá trị nhỏ nhất
D.

.

cùng là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.
.
và

.


suy ra

.
.
.
11


Do đó

.

Xét

với

Đường thẳng

đi qua

Suy ra hình chiếu của
Gọi

. Ta thấy

và

nằm về cùng một phía so với

và vng góc với


có phương trình là:

trên

là điểm đối xứng với

là
qua

, suy ra

Ta có

.

.

là trung điểm

, suy ra

.

.

Đẳng thức xảy ra khi

là giao diểm của


Vậy giá trị nhỏ nhất của

là

và

.

.

Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa độ
. Khoảng cách từ điểm
A.
B.

.

, cho điểm

đến mặt phẳng

và mặt phẳng

là

.
.

C.
.

D. 3.
PHẦN TỰ LUẬN
Đáp án đúng: D
Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ

, cho hai điểm

và

chứa giao tuyến của hai mặt cầu
hai điểm

,

sao cho

. Xét

. Giá trị nhỏ nhất của

.

B.

.

C.
.
Đáp án đúng: C


D.

.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

là mặt phẳng

và

là hai điểm bất kì thuộc

A.

. Gọi

là giao tuyến của hai mặt cầu

và

bằng

nên ta có hệ:

.
Gọi
.

và


lần lượt là hình chiếu của

và

lên

. Khi đó

,

,

12


Ta có:
Mặt khác:

.

Suy ra
Vậy
Câu

đạt giá trị nhỏ nhất bằng
29.

Trong

khơng


, dấu

gian

xảy ra khi

thẳng hàng.

,

cắt

mặt

cầu

theo thiết diện là một đường trịn có bán kính bằng
A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

Câu 30. Trong khơng gian với hệ trục
A. .
Đáp án đúng: B


B.

C.

.

D.

, cho mặt cầu
.

.

. Bán kính của
C.

.

D.

là

.

Câu 31. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

, mặt phẳng

cắt mặt cầu


theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất. Gọi
là một véctơ pháp tuyến của

A. .
Đáp án đúng: B

Gọi

. Tính giá trị biểu thức

B. .

Giải thích chi tiết: Mặt cầu

có tâm

đi qua hai điểm

C.

.

,

và

?
D.

.


.

.
đi qua điểm
đi qua điểm

.
.
13


Mặt phẳng
nhất.

cắt mặt cầu

theo giao tuyến là đường trịn có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi

lớn

.
.
Trừ từng vế

và

ta được

.


Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được

.
.

Dấu = xảy ra
.
Câu 32. Cho một hình nón đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy. Nếu tam giác SAB đều thì góc
ở đỉnh của hình nón bằng
A. 90 ° .
B. 60 ° .
C. 120 °.
D. 30 ° .
Đáp án đúng: B

Giải thích chi tiết:
Hình nón có đỉnh S và AB là một đường kính của đường trịn đáy nên góc ở đỉnh của hình nón là góc ^
ASB. Lại
0
có tam giác ΔSAB là tam giác đều nên ^
ASB=6 0 . Vậy góc ở đỉnh hình nón bằng 60 ° .
Câu 33. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=2a, BC =
bằng 3a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
.
A.
Đáp án đúng: C

B.


Câu 34. Trong không gian với hệ trục tọa độ
A.
C.
Đáp án đúng: D

.

C.
, cho hai vectơ
B.

.

D.

cạnh bên

D.
,

. Tính

.

.
.

14



Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

, cho hai vectơ

,

. Tính

.
A.
Lời giải

. B.

.

C.

. D.

.

Ta có

.

Câu 35. Trong không gian
tại , ,
sao cho
phẳng


, cho điểm
là trực tâm tam giác

. Mặt phẳng
đi qua
và cắt các trục
,
,
. Viết phương trình mặt cầu tâm
và tiếp xúc với mặt

?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: B

D.

Giải thích chi tiết:
• Ta có

là trực tâm tam giác

.


Thật vậy :
Mà

(1)
(vì

là trực tâm tam giác

) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

(*)

Tương tự

. (**)

Từ (*) và (**)

.

• Khi đó mặt cầu tâm
Vậy mặt cầu tâm
Câu 36.

tiếp xúc mặt phẳng

và tiếp xúc với mặt phẳng


Thể tích của khối nón có chiều cao
A.

.

có bán kính

.

là

.

và bán kính đáy

là
B.

.

15


C.
.
Đáp án đúng: B
Câu 37.

D.


Trong không gian

, cho hai điểm

.

và

. Trung điểm của đoạn thẳng

là điểm
A.

.

C.
Đáp án đúng: D

.

Giải thích chi tiết: Trong không gian
thẳng
là điểm

B.

.

D.


.

, cho hai điểm

và

. Trung điểm của đoạn

A.
. B.
. C.
. D.
.
Lời giải
Câu 38.
Cho hình vng
nội tiếp đường trịn
bán kính tam giác đều
nội tiếp đường trịn đó và
song song
(như hình vẽ). Cho mơ hình trên quay quanh đường thẳng
Kí hiệu
là thể tích khối
trịn xoay do hình vng, hình trịn và tam giác đều tạo thành. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A.
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết:
Lời giải.


Gọi

B.

C.

D.

lần lượt là trung điểm của

16


Thể tích khối cầu (tạo bởi khi quay hình trịn quanh trục
Ta có

cạnh hình vng bằng

Ta có

) là

nên

cạnh tam giác đều bằng

nên

Vậy
Câu 39.

Trong không gian
A.

, cho hai vectơ

và

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: D

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
là
A.
Lời giải

. B.

. C.

Ta có
Câu 40.

. D.


, cho hai vectơ

. Tọa độ của vectơ

là

.
.
và

. Tọa độ của vectơ

.

.

Nếu hai điểm

thoả mãn

A.

thì độ dài đoạn thẳng

;

B.

C.

Đáp án đúng: B

D.

Giải thích chi tiết: Nếu hai điểm
bao nhiêu?

bằng bao nhiêu?

thoả mãn

.
thì độ dài đoạn thẳng

bằng

A.
B.
C.
D.
Lời giải

;
.
----HẾT---

17