ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 100.
Câu 1. Cho khối lăng trụ đứng

có đáy

là tam giác vng tại

, cạnh

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

.

Giải thích chi tiết: Cho khối lăng trụ đứng

D.

có đáy

.

là tam giác vng tại

, cạnh

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. . B.
Lời giải

.

C.

.

D.

.

Ta có:

.


Câu 2. Cho hình lăng trụ
, hình chiếu của
mặt phẳng

lên mặt phẳng

là tam giác đều cạnh bằng ,

trùng với trung điểm

của cạnh

tạo với đáy một góc
. Tính khoảng cách từ

đến

.

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

Câu 3. Cho hình chóp
. Tìm
A.

có đáy


theo

.

C.

, có đáy
để tích

.

D.

là hình thoi cạnh

,

.
. Đặt

đạt giá trị lớn nhất.

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: C


.

D. Đáp án khác.

Giải thích chi tiết:
Gọi

là tâm hình thoi

ta có

.
1


Theo đề bài

nên

Ta có

cân tại

do

Mà

, do đó


chung,

nên

.
,

do đó

Ta có

nên

vng tại

.

.

;

Suy ra

.

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có
Dấu

xảy ra khi


Vậy

.

thì tích

đạt giá trị lớn nhất.

Câu 4. Trong khơng gian với hệ trục tọa độ

, góc giữa mặt phẳng

và mặt phẳng

là?
A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

Câu 5. Cho khối cầu thể tích

, bán kính

.


D.

của khối cầu trên theo

.

là

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Đáp án đúng: D
Câu 6. Cho hình trụ có đường cao bằng
. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục hình trụ
hình trụ theo thiết diện là hình vng. Diện tích xung quanh và thể tích khối trụ bằng.
A.

.

B.

, cắt

.


C.
.
D.
.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết: Cho hình trụ có đường cao bằng
. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục hình trụ
, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vng. Diện tích xung quanh và thể tích khối trụ bằng.
A.
.
Hướng dẫn giải

B.

.

C.

.

D.

.

.
2


Thiết diện


là hình vng có cạnh là

.

Khoảng cách từ trục đến mặt phẳng

là

Suy ra bán kính đường trịn đáy
Vậy
Câu 7.

.

,

Trong khơng gian
mặt cầu

.

.
, cho điểm

có tâm

và mặt phẳng

và tiếp xúc với mặt phẳng


A.

. Phương trình

là

.

B.

.

C.

.

D.
Đáp án đúng: D

.

Giải thích chi tiết: Gọi bán kính của mặt cầu
Mặt cầu

có tâm

là

.


và tiếp xúc với mặt phẳng
.

Vậy phương trình mặt cầu

tâm

và tiếp xúc với mặt phẳng

là:

.
Câu 8. Cho hình lập phương

cạnh a. Tính góc giữa hai vectơ

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Cho hình lập phương
A.
.

Lời giải

B.

.C.

.

D.

.

và
D.

cạnh a. Tính góc giữa hai vectơ

.
.
và

.

.

3


Ta có:
*

là hình vuông nên
* Tam giác DAC vuông cân tại

.
D.

Khi đó:
Kết luận:

.

Câu 9. Trong không gian
mặt cầu

, cho hai điểm

đi qua hai điểm

A.
.
Đáp án đúng: D

,

,

và có tâm thuộc

B.


.

Giải thích chi tiết: Gọi

. Bán kính mặt cầu
C.

là trung điểm của đoại

trình:
Gọi

và mặt phẳng

. Xét

nhỏ nhất bằng

.

D.

.

, mặt phẳng trung trực của đoạn

có phương

.
là tâm mặt cấu


Vậy tâm

,

cách đều

,

nên

thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng

.
và

, có tọa độ thỏa mãn:

.
Bán kính mặt cầu:
.
Vậy
Câu 10.

.

Trong khơng gian tọa độ

, cho mặt cầu


. Viết phương trình mặt phẳng
A.

.

có đường kính
tiếp xúc với mặt cầu
B.

với
tại

,
.

.
4


C.
Đáp án đúng: A

.

Giải thích chi tiết: Gọi
Mặt cầu

D.

là trung điểm của


có đường kính

Mặt phẳng

.
.

nên có tâm là điểm

tiếp xúc với mặt cầu

tại

.
nên mặt phẳng

đi qua

và nhận

là vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng

:
.

Câu 11.
Trong hệ trục toạ độ


, cho điểm

xuống mặt phẳng
A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

.

là
D.

có một vectơ pháp tuyến là
là góc giữa hai mặt phẳng

.

xuống mặt phẳng

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

nên

.


.
.

Ta có

.

Vây góc giữa hai mặt phẳng

là

Câu 12. Cho khối lăng trụ

có đáy

cạnh

và mặt phẳng

là hình chiếu vng góc của

. Do đó

Gọi

là hình chiếu vng góc của gốc toạ độ

, số đo góc giữa mặt phẳng


Giải thích chi tiết: Ta có

Mặt phẳng

. Điểm

và khoảng cách từ điểm

A.
Đáp án đúng: C

.

đến đường thẳng

B.

bằng

, mặt bên

, cho

điểm

là hình vng

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

C.


Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ
dưới dây là phương trình mặt phẳng

là tam giác cân tại

D.
;

;

. Phương trình nào

?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

5


Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ

, cho

trình nào dưới dây là phương trình mặt phẳng
A.
Lời giải

. B.

. D.

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua 3 điểm

thẳng

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

Giải thích chi tiết: Đường thẳng

Hai vectơ


cùng phương và điểm

thì

lần lượt tại

D.

,

thì

tại

.

.

nên

và

song song.

là mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song

nên

nên


là

nằm trong mặt phẳng
là giao điểm của

và

.
.

và

. Vậy

nằm trong mặt phẳng
hay

Gọi

.

,

.

và cắt các đường thẳng

lần lượt trùng với hình chiếu

,


,

,
của

tại
lên

,
,

nên

.

.

Ta có

Ta có

.

.

.

Do đường thẳng


Gọi

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

. Phương trình mặt phẳng

thay đổi cắt các đường thẳng

thuộc mặt phẳng

Suy ra

,

. Đường

.

. Gọi

Suy ra

,

,

và có vectơ

khơng thuộc


cắt đường thẳng

. Phương

là

C.

và có vectơ

,

Mặt khác đường thẳng

Vì

,

là một vectơ pháp tuyến của

Đường thẳng

,

,

đi qua điểm

đi qua điểm


Ta có:

,

.

Đường thẳng
,

,

;

.

, cho ba đường thẳng

thay đổi cắt các đường thẳng

;

?

. C.

Câu 14. Trong không gian

điểm

.

và

.
,

.
.
6


Suy ra

và

.

Vậy

.

Câu 15. Cho hình chóp
đáy, cạnh

có

hợp đáy một góc

A.
.
Đáp án đúng: D


là hình chữ nhật với
. Thể tích khối chóp

B.

.

Giải thích chi tiết: Cho hình chóp
góc với mặt đáy, cạnh
A.
Giải:

. B.

. D.

tính theo
C.

có

hợp đáy một góc
. C.

,

.

là hình chữ nhật với

. Thể tích khối chóp

,

vng góc với mặt

là
D.

.

,
tính theo

,

vng

là

.

7


Câu 16.
Cho hình lăng trụ
thoi, góc
. Gọi
thể tích khối đa diện


có thể tích
,

. Biết tam giác

là tam giác đểu cạnh

lần lượt là trọng tâm của tam giác

và tam giác

các mặt bên là hình
. Tính theo

8


A.

.

B.

.

C.
.
Đáp án đúng: D


D.

.

Giải thích chi tiết:
Ta có

là hình thoi và

nên tam giác

đều. Gọi

là trung điểm của

, ta có:

Khi đó
.
Câu 17.
Cho hình lăng trụ tam giác đều

có cạnh đáy bằng

hợp với mặt phẳng

một góc

(tham khảo hình vẽ).


Thể tích của khối lăng trụ

bằng

9


A.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết:

Ta có:

B.

C.

D.

Dựng
Suy ra

Xét tam giác

vuông cân tại

vuông tại

Câu 18. Biết


Vậy

là khoảng chứa tất cả các giá trị của tham số thực
có đúng hai nghiệm thực phân biệt. Giá trị của

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ
,

. Mặt phẳng

A.
.
Đáp án đúng: C

B.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu

và


là hình chiếu của

Phương trình mặt phẳng

.

.
và hai điểm

.

C.

có tâm

.

và bán kính

D.

.

.

.

lên đường thẳng
đi qua


D.

sao cho khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng

đến mặt phẳng

. Khi đó đường thẳng
Gọi

‘bằng

, cho mặt cầu

đi qua

là lớn nhất. Tính khoảng cách từ điểm

.

để phương trình

.

và vng góc đường thẳng

có dạng:

.

10



Khi đó:

.

Ta có:
Do

.
có khoảng cách từ

đến

là lớn nhất nên một vectơ pháp tuyến của

là

.
Khi đó:

.

Suy ra:

.

Câu 20. Cho tam giác ABC vng tại A có
hình nón có độ dài đường sinh bằng:
A. 10

B. 6
Đáp án đúng: A

. Quay tam giác ABC quanh trục AB ta nhận được
C. 7

D. 8

Giải thích chi tiết: Phương pháp:
Cách giải:
Khi quay tam giác vuông ABC quanh cạnh AB ta được khối nón có
Câu 21. Trong khơng gian với hệ tọa độ
là:
thẳng

, cho tam giác

có phương trình đường phân giác trong góc

. Biết rằng điểm
thuộc đường thẳng
. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng
.

A.

.

B.


C.
.
Đáp án đúng: C

D.

là điểm đối xứng với

.
* Ta xác định điểm
Gọi

là giao điểm

Ta có

.

. Khi đó

:

.

đường thẳng

có một vectơ chỉ phương là

.
với


với

.

qua

thuộc đường

.

Giải thích chi tiết: Phương trình tham số của đường phân giác trong góc
Gọi

và điểm

là trung điểm

. Ta có

;

.

nên

nên

.


hay

.
11


Một vectơ chỉ phương của

là

. Hay

là vectơ chỉ phương.

Câu 22. Tổng diện tích các mặt của một khối lập phương bằng

. Thể tích của khối lập phương đó là

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Đáp án đúng: C
Câu 23. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=6 , AD=4 . Thể tích V của khối trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật
ABCD quanh cạnh AB là
A. V =144 π .

B. V =24 π .
C. V =96 π .
D. V =32 π .
Đáp án đúng: B
Câu 24. Trong khơng gian
, cho hai điểm
đoạn thẳng
có phương trình là
A.

. Phương trình mặt phẳng trung trực của

.

B.

.

.

D.

.

C.
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết: Gọi

là trung điểm của đoạn thẳng


.

là vecto pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng trung trực đi qua

và nhận

làm vecto pháp tuyến là:

.
Câu 25. Vậy

Trong không gian
. Đường thẳng

. Khi
bằng bao nhiêu?

tạo với

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

. Đường thẳng


B.

Ta có
Vì

C.
Trong không gian

mặt phẳng

A.
.
Lời giải

song song với mặt phẳng

tạo với

. C.
và

nên

và mặt phẳng
, có một vectơ chỉ phương

một góc lớn nhất thì sin của góc tạo bởi đường thẳng

Giải thích chi tiết: Vậy


. Khi
bằng bao nhiêu?

, cho mặt phẳng

.

D. .
, cho mặt phẳng

song song với mặt phẳng

và
, có một vectơ chỉ phương

một góc lớn nhất thì sin của góc tạo bởi đường thẳng

.

D.

và mặt phẳng

và mặt phẳng

.

.
.


12


Mặt khác:
.
Vì

nên

lớn nhất khi

lớn nhất.

Xét hàm số
BBT

.

Dựa vào BBT ta có

tại

Do đó
Câu 26.

lớn nhất khi

. Suy ra

Cho góc


với

. Giá trị của

A.
.
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết: Cho góc
A.
B.

.

với

.

là
C.

.

. Giá trị của

D.

.

là


.
.

C.
D.

B.

.

.
.

Câu 27. Cho hình chóp
Tính góc giữa hai mặt phẳng

có cạnh

vng góc với mặt phẳng

, biết

và
13


A.
.
Đáp án đúng: A


B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Cho hình chóp

có cạnh

Tính góc giữa hai mặt phẳng
A.
. B.
Lời giải

. C.

. D.

và

bằng
và

chứa đường thẳng

tuyến của mặt phẳng

là


.

, cho đường thẳng

sao cho khoảng cách từ

đến

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ
chứa đường thẳng

độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
B.

. C.

lần lượt là hình chiếu của

Ta có:

. Vậy
nên


:

và điểm

. Mặt

là lớn nhất. Khi đó, tọa độ của vectơ pháp

là:

A.
.
Đáp án đúng: C

. Mặt phẳng

là góc giữa hai đường thẳng

.

Câu 28. Trong khơng gian với hệ tọa độ

A.
.
Lời giải

và

do đó


Vậy góc giữa hai mặt phẳng

phẳng

, biết

và

có

Suy ra góc giữa

.

vng góc với mặt phẳng

, do đó góc giữa hai mặt phẳng

Xét tam giác

,

D.

.

Ta có
và
.


Gọi

.

;

.

D.

, cho đường thẳng

sao cho khoảng cách từ

đến

.

:

và điểm
là lớn nhất. Khi đó, tọa

là:
. D.

.

trên mặt phẳng


và đường thẳng

lớn nhất khi

. Khi đó:

.
.

.
14


Vectơ chỉ phương của

là

.
. Vậy

;

.

Khi đó tọa độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là:
.
Câu 29. Cho một khối lập phương biết rằng khi giảm độ dài cạnh của khối lập phương thêm 4cm thì thể tích của
nó giảm bớt 604cm3. Hỏi cạnh của khối lập phương đã cho bằng
A. 7 cm

B. 10 cm
C. 8 cm
D. 9 cm
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết: chọn B
Gọi hình lập phương có cạnh là x

Ta có
Câu 30. Cho hình chóp
cách từ điểm

có

đều cạnh

đến mặt phẳng

A. .
Đáp án đúng: C

.

C.

Giải thích chi tiết: Cho hình chóp

A.
. B.
. C.
Lời giải

Gọi
là trung điểm

. D.

. Khoảng

có

đến mặt phẳng

.

đều cạnh

D.

.

. Cạnh bên

và vng góc với

bằng

.

.

Ta có


.

Trong mặt phẳng

kẻ

.

Vậy khoảng cách từ điểm

đến

Ta có

.

Sử dụng hệ thức

là

Đường thẳng
.

.

ta được

Câu 31. Trong khơng gian với hệ tọa độ


Điểm
dài

và vng góc với

bằng

B.

. Khoảng cách từ điểm

. Cạnh bên

đi qua

.
cho điểm

và vuông góc với mặt phẳng

nằm trong mặt phẳng

sao cho

ln nhìn

và mặt phẳng

:


.

cắt mặt phẳng
dưới góc vng và độ dài

tại

.

lớn nhất. Tính độ
15


A.
.
Đáp án đúng: D
Giải

+ Đường thẳng

B.

.

C.

.

thích


đi qua

D.

chi

và có vectơ chỉ phương

.
tiết:

có phương trình là

.
+ Ta có:

. Do đó

+ Gọi là hình chiếu của
lên
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Khi đó
+ Ta có:

và

qua

khi và chỉ khi
. Ta có:

.
nhận

nên

.

.
làm vectơ chỉ phương.

mà

suy ra:
.

+ Đường thẳng

qua

Suy ra
Mặt khác,

, nhận

làm vectơ chỉ phương có phương trình là

.

.
nên


.
16


Khi đó
Câu 32.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

, cho hai điểm

. Biết rằng khoảng cách từ
và

. giá trị của biểu thức

A.
.
Đáp án đúng: D

đến mặt phẳng

B.

.

C.
suy ra

lần lượt là hình chiếu của


Ta có

.

D.

.

nằm cùng phía đối với mặt phẳng

xuống mặt phẳng

. Do đó

Từ đó suy ra

lần lượt bằng

bằng

Giải thích chi tiết: Ta có
Gọi

, mặt phẳng

.

thẳng hàng.


và B là trung điểm của AH nên

,

.

Phương trình mặt phẳng
Vậy
Câu 33.

.

.

.

Cho khối lăng trụ đứng tam giác
,

có đáy

. Cạnh bên

là tam giác vng tại

. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho (tham khảo hình bên).

A.

B.


C.
Đáp án đúng: B

D.

Câu 34. Trong khơng gian cho tam giác
vng cân tại đỉnh
và
cạnh
ta được khối trịn xoay. Thể tích của khối trịn xoay đó bằng
A.
.
Đáp án đúng: B
Câu 35.
Một hình cầu có diện tích bằng
A.
C.
Đáp án đúng: B

, cạnh

B.

.

C.

.


. Quay tam giác

D.

quanh

.

. Khi đó thể tích của khối cầu đó là:
B.
D.
17


Câu 36.
Cho hình chóp
bằng

có đáy là tam giác đều cạnh

. Tính độ dài cạnh bên

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

là


vng góc với đáy và thể tích khối chóp

.

Câu 37. Trong khơng gian

đường thẳng

, cạnh bên

.
, gọi

C.

.

D.

là đường thẳng đi qua điểm

, song song với mặt phẳng

, đồng thời tạo với đường thẳng

A.

.

C.

Đáp án đúng: C

.

.

một góc lớn nhất. Phương trình

B.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Măt phẳng
Gọi

có một vectơ pháp tuyến

là mặt phẳng đi qua

Phương trình mp
Gọi
thẳng

và song song với


nằm trong

là:

là đường thẳng đi qua

vng góc của

đi qua điểm

.
.

và song song với

có phương trình là

Đường thẳng

Ta có:

.

, với

. Đường

.
và có một vectơ chỉ phương


trên đường thẳng

. Gọi

là hình chiếu

.
. Suy ra:

đạt được khi

.
18


Khi đó: đường thẳng

đi qua

Vậy phương trình đường thẳng
Câu 38.

và có một vectơ chỉ phương
là

.

.

Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một hình vng có cạnh bằng

Tính diện tích tồn phần của khối trụ.
A.

.

B.

.

C.
.
D.
Đáp án đúng: B
Câu 39. Viết công thức tính V của khối cầu có bán kính r.

.

A.
B.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết: Phương pháp:
Sử dụng cơng thức tính thể tích khối cầu.
Cách giải:

C.

.

D.


Cơng thức tính V của khối cầu có bán kính r:
Câu 40. Trong khơng gian với hệ toạ độ

, gọi

và cách điểm
A.

một khoảng

.

C.
Đáp án đúng: C

hoặc

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ toạ độ
và cách điểm
A.

hoặc

B.

.

C.

D.
Hướng dẫn giải

là mặt phẳng song song với mặt phẳng
. Phương trình của mặt phẳng

B.

hoặc

D.

.

, gọi

một khoảng

là:
.

là mặt phẳng song song với mặt phẳng
. Phương trình của mặt phẳng

là:

.

.
hoặc


.

Vì
Giả thiết có
Vậy

,
----HẾT--19


20