ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HÌNH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 060.
Câu 1. Vậy

Trong không gian
. Đường thẳng

. Khi
bằng bao nhiêu?

tạo với

A. .
Đáp án đúng: D

B.

.

. Đường thẳng

B.

Ta có
Vì

C.

tạo với

. C.

D.

D.

và mặt phẳng

.

, cho mặt phẳng

song song với mặt phẳng

và
, có một vectơ chỉ phương

một góc lớn nhất thì sin của góc tạo bởi đường thẳng

.

và


, có một vectơ chỉ phương

.

Trong khơng gian

mặt phẳng

A.
.
Lời giải

song song với mặt phẳng

và mặt phẳng

một góc lớn nhất thì sin của góc tạo bởi đường thẳng

Giải thích chi tiết: Vậy

. Khi
bằng bao nhiêu?

, cho mặt phẳng

và mặt phẳng

.

.


nên

.

Mặt khác:
.
Vì

Xét hàm số
BBT

nên

lớn nhất khi

lớn nhất.

.

1


Dựa vào BBT ta có

tại

.

Do đó

lớn nhất khi
. Suy ra
.
Câu 2. Cho một khối lập phương biết rằng khi giảm độ dài cạnh của khối lập phương thêm 4cm thì thể tích của
nó giảm bớt 604cm3. Hỏi cạnh của khối lập phương đã cho bằng
A. 7 cm
B. 9 cm
C. 10 cm
D. 8 cm
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết: chọn B
Gọi hình lập phương có cạnh là x

Ta có
Câu 3.
Cho hàm số

Trong các số

có bảng biến thiên như sau:

và

có bao nhiêu số dương?

A. .
Đáp án đúng: B
Câu 4. Cho hình chóp
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp?


B.

.

C.

.

có ABCD là hình vng cạnh bằng

D.
.

.
Tính bán kính

2


A.
Đáp án đúng: D

B.

C.

D.

Giải thích chi tiết:
Gọi

Dựng

Dựng ( ) đi qua
là đường trung trực của cạnh

và vng góc với
cắt

tại

.

.

là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

=> Bán kính là:

.

Ta có
Câu 5.
Cho một tấm nhơm hình chữ nhật ABCD có
. Ta gấp tấm nhôm theo hai cạnh MN, QP vào phía
trong đến khi AB, CD trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Tìm x để thể
tích khối lăng trụ lớn nhất?

A.
B.
Đáp án đúng: B

Giải thích chi tiết: Phương pháp:

C.

D.

, sử dụng BĐT Cơ-si.
Cách giải:
Đáy là tam giác cân có cạnh bên là x (cm) và cạnh đáy là
Gọi H là trung điểm của NP
Xét tam giác vng ANH có:

(ĐK:

)

3


(Do AB khơng đổi).
Ta có:

Dấu “=” xảy ra
Câu 6.
Cho hình lăng trụ tam giác đều

có cạnh đáy bằng

hợp với mặt phẳng


một góc

(tham khảo hình vẽ).

Thể tích của khối lăng trụ
A.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết:

Ta có:

bằng
B.

Xét tam giác

vng cân tại

vuông tại

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ

A.

D.

Dựng
Suy ra

là:

thẳng

C.

Vậy
, cho tam giác

có phương trình đường phân giác trong góc

. Biết rằng điểm
thuộc đường thẳng
. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng
.
.

B.

và điểm

thuộc đường

.
4


C.
Đáp án đúng: B

.


D.

.

Giải thích chi tiết: Phương trình tham số của đường phân giác trong góc
Gọi

là điểm đối xứng với

.
* Ta xác định điểm
Gọi

với

đường thẳng

. Ta có

với

.

. Khi đó

.
có một vectơ chỉ phương là

.


là giao điểm

Ta có

qua

:

;

.

nên

là trung điểm

.

nên

Một vectơ chỉ phương của

hay

là

. Hay

là vectơ chỉ phương.


Câu 8. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
hình chiếu vng góc của M lên d là
A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

.

và đường thẳng
C.

.

. Tọa độ

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

.
và đường thẳng

. Tọa độ hình chiếu vng góc của M lên d là
A.
. B.
. C.

.
D.
Lời giải
⬩ Gọi H là hình chiếu vng góc của M lên d.
Suy ra

nên

.

Đường thẳng d có một VTCP là
Ta có

.

nên

Câu 9. Trong khơng gian

.

.
, cho mặt phẳng

đây là một véc tơ pháp tuyến của

. Véc tơ nào dưới

?
5



A.
C.
Đáp án đúng: D

.

B.

.

D.

Giải thích chi tiết: Ta có một véc tơ pháp tuyến của
Câu 10. Trong không gian

đường thẳng

là

, gọi

.
.

là

.


là đường thẳng đi qua điểm

, song song với mặt phẳng

, đồng thời tạo với đường thẳng

A.

.

C.
Đáp án đúng: A

.

một góc lớn nhất. Phương trình

B.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Măt phẳng
Gọi

có một vectơ pháp tuyến


là mặt phẳng đi qua

Phương trình mp
Gọi
thẳng

.

và song song với

nằm trong

là:

.

là đường thẳng đi qua

và song song với

có phương trình là

Đường thẳng
vng góc của

đi qua điểm

Ta có:


và có một vectơ chỉ phương

. Đường

. Gọi

là hình chiếu

.
. Suy ra:

đi qua

, với

.

trên đường thẳng

Khi đó: đường thẳng

.

đạt được khi

và có một vectơ chỉ phương

.
.


Vậy phương trình đường thẳng là
.
Câu 11. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=6 , AD=4 . Thể tích V của khối trụ tạo thành khi quay hình chữ nhật
ABCD quanh cạnh AB là
A. V =96 π .
B. V =24 π .
C. V =144 π .
D. V =32 π .
Đáp án đúng: B
6


Câu 12. Cho tứ diện đều
phẳng

có cạnh bằng 1. Hai điểm

vng góc mặt phẳng

giác

. Tính

. Gọi

,

,

di động trên các cạnh


,

sao cho mặt

lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam

.

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Gọi

là hình chiếu của


trên

.

và
Mà
giác đều

là tứ diện đều nên
.

Đặt

,

.

là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều

là

là trọng tâm tam

.

là trung điểm của

.

Mà


.

Suy ra

.

Đặt
.
Nếu

hay

.

Diện tích tam giác
Gọi

. Do đó

,

,

Nếu
, thì
Bảng biến thiên:

trở thành


trở thành

là nghiệm của phương trình

, với

(vơ lí).

.

7


Để tồn tại hai điểm
Vậy

,

khi
khi

Vậy

thỏa mãn bài tốn thì
hay

có hai nghiệm thuộc tập

.


;

hay

.

.

Câu 13. Cho hình chóp
. Tìm
A.

, có đáy

theo

để tích

là hình thoi cạnh

,

. Đặt

đạt giá trị lớn nhất.

.

B.


C.
.
Đáp án đúng: C

.

D. Đáp án khác.

Giải thích chi tiết:
Gọi

là tâm hình thoi

Theo đề bài

nên

Ta có
Mà

ta có
cân tại

do

, do đó

chung,

nên


.
,

do đó

Ta có

Suy ra

.

vuông tại

nên

.

.

;

.
8


Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có
Dấu

xảy ra khi


Vậy
Câu 14.

.

thì tích

Trong khơng gian

đạt giá trị lớn nhất.

, cho vectơ

A. .
Đáp án đúng: D

. Độ dài của vectơ

B. .

C.

Giải thích chi tiết: Trong không gian
A. . B. . C.
Lời giải

. D.

D. .


. Độ dài của vectơ

bằng

.

A.
.
Đáp án đúng: B

B.

và chiều cao

.

. C.

bằng

C.

Giải thích chi tiết: Thể tích của khối trụ trịn xoay có bán kính
. B.

.

, cho vectơ


Câu 15. Thể tích của khối trụ trịn xoay có bán kính

A.
Lời giải

bằng

. D.

.
và chiều cao

D.

.

bằng

.

Ta có
.
Câu 16. Một cốc nước có dạng hình trụ đựng nước chiều cao 12cm, đường kính đáy 4cm, lượng nước trong cốc
cao 10cm. Thả vào cốc nước 4 viên bi có cùng đường kính 2cm. Hỏi nước dâng cao cách mép cốc bao nhiêu
xăng-ti-mét? (Làm tròn sau dấu phẩy 2 chữ số thập phân)
A. 0,33cm.
B. 0,75cm.
C. 0,25cm.
D. 0,67cm.
Đáp án đúng: A

Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ
phẳng

chứa đường thẳng

tuyến của mặt phẳng
A.
.
Đáp án đúng: C

, cho đường thẳng

sao cho khoảng cách từ

:

đến

và điểm

. Mặt

là lớn nhất. Khi đó, tọa độ của vectơ pháp

là:
B.

.

C.


.

D.

.

9


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ
. Mặt phẳng

chứa đường thẳng

độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
A.
.
Lời giải
Gọi

,

B.

. D.

lần lượt là hình chiếu của

là lớn nhất. Khi đó, tọa


.

. Khi đó:

.

.

là

.
. Vậy

Khi đó tọa độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Câu 18. Cho khối lăng trụ
cạnh

đến

và đường thẳng

lớn nhất khi

;

Vectơ chỉ phương của

và điểm


.

trên mặt phẳng

. Vậy
nên

sao cho khoảng cách từ

:

là:

. C.

Ta có:

, cho đường thẳng

là:

có đáy

và khoảng cách từ điểm

A.
Đáp án đúng: D

;


.

.
là tam giác cân tại

đến đường thẳng

bằng

B.

, mặt bên

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

C.

Câu 19. Cho khối lăng trụ đứng

là hình vng

D.

có đáy

là tam giác vng tại

, cạnh

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A.
.
Đáp án đúng: C

B.

.

C.

.

Giải thích chi tiết: Cho khối lăng trụ đứng

D.

có đáy

.

là tam giác vng tại

, cạnh

. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A. . B.
Lời giải

.


C.

.

D.

.

Ta có:

.

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ
Đường thẳng
Điểm
dài

.

đi qua

và mặt phẳng

và vng góc với mặt phẳng

nằm trong mặt phẳng

A.
.
Đáp án đúng: D


cho điểm

B.

sao cho

.

cắt mặt phẳng

ln nhìn

.

:

dưới góc vng và độ dài

C.

.

D.

tại

.

lớn nhất. Tính độ


.

10


Giải

thích

+ Đường thẳng

đi qua

chi

và có vectơ chỉ phương

tiết:

có phương trình là

.
+ Ta có:

. Do đó

+ Gọi là hình chiếu của
lên
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Khi đó
+ Ta có:

và

qua

khi và chỉ khi
. Ta có:
.
nhận

nên

.

.
làm vectơ chỉ phương.

mà

suy ra:
.

+ Đường thẳng

qua

Suy ra
Mặt khác,


, nhận

làm vectơ chỉ phương có phương trình là

.

.
nên

.

Khi đó
Câu 21.
Hình bát diện đều (tham khảo hình vẽ bên) có số cạnh là
11


A. .
Đáp án đúng: A

B.

Câu 22. Cho hình chóp

.

có cạnh

Tính góc giữa hai mặt phẳng


C.

B.

vng góc với mặt phẳng

.

C.

Giải thích chi tiết: Cho hình chóp

có cạnh

Tính góc giữa hai mặt phẳng
. C.

. D.

Ta có
và
.
Xét tam giác

D.
, biết

.


D.

vng góc với mặt phẳng

.
, biết

và

.

, do đó góc giữa hai mặt phẳng

và

có

Suy ra góc giữa

.

và

A.
.
Đáp án đúng: A

A.
. B.
Lời giải


.

là góc giữa hai đường thẳng

do đó

và

bằng

.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng
và
là
.
Câu 23. Cho hình trụ có đường cao bằng
. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục hình trụ
hình trụ theo thiết diện là hình vng. Diện tích xung quanh và thể tích khối trụ bằng.
A.

.

B.

, cắt

.


C.
.
D.
.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết: Cho hình trụ có đường cao bằng
. Một mặt phẳng song song với trục và cách trục hình trụ
, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vng. Diện tích xung quanh và thể tích khối trụ bằng.
A.
.
Hướng dẫn giải

B.

.

C.

.

D.

.
12


.
Thiết diện

là hình vng có cạnh là


.

Khoảng cách từ trục đến mặt phẳng

là

Suy ra bán kính đường trịn đáy
Vậy

.

,

.

Câu 24. Cho hình chóp tứ giác đều
dài

có

để hai mặt phẳng

A.
.
Đáp án đúng: B

.

lần lượt là trung điểm


. Tìm tỉ số độ

vng góc.
B.

.

C.

.

D.

.

Giải thích chi tiết:
Đặt
Đồng thời

. Gọi

lần lượt là trọng tâm của
,

.

là trung điểm
13



Khi đó
Theo giả thiết ta có:
Và
Do đó:
Câu 25.
Một hình cầu có diện tích bằng

. Khi đó thể tích của khối cầu đó là:

A.

B.

C.
D.
Đáp án đúng: B
Câu 26.
Cho hai hình vng ABCD và BEFG như hình vẽ. Tìm ảnh của tam giác ABG qua phép quay tâm B, góc
quay − 90° .

A. Δ BCD .
B. Δ DCG .
C. Δ ABD .
D. Δ CBE .
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết: Cho hai hình vng ABCDvà BEFG như hình vẽ. Tìm ảnh của tam giác ABG qua phép
quay tâm B, góc quay − 90° .

A. Δ BCD . B. Δ ABD . C. Δ CBE . D. Δ DCG .

Lời giải
FB tác giả: Phạm Đình Huấn

14


Ta thấy

BA=BC
0.
( BA , BC )=− 90
Q( B ;− 90 ) (B)=B vì Blà tâm quay.
BG=BE
Q( B ;− 90 ) (G)=E vì \{
0 .
( BG , BE)=−90
Suy ra Q ( B ;− 90 ) (ΔABG )=ΔCBE .
Câu 27.
Q( B ;− 90 ) ( A )=C vì \{
0

0

0

0

Trong khơng gian, cho tam giác

vng tại


quanh cạnh góc vng
xung quanh hình nón đó bằng
A.

và

thì đường gấp khúc

.

.

D.

Cho mặt cầu

tâm

đường trịn

, bán kính

sao cho khoảng cách từ điểm
.

C.
.
Đáp án đúng: D


.

. Một mặt phẳng
dến

. Khi quay tam giác

tạo thành một hình nón. Diện tích

B.

C.
.
Đáp án đúng: D
Câu 28.

A.

,

cắt

theo giao tuyến là

bằng 1. Chu vi đường trịn

B.

.


D.

.

bằng

Câu 29. Cho hình chóp
có đáy
là hình vng cạnh , tam giác
đều và nằm trong mặt
phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích
của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A.
C.
Đáp án đúng: B

.
.

B.
D.

.
.

Giải thích chi tiết:
15


*) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Gọi

là trọng tâm tam giác

Do

,

:

là tâm của hình vng

,

là trung điểm của

.

đều

Mà
là đường trung bình của
.
Dựng các đường thẳng qua

lần lượt song song với

Ta có:

, mà


Ta có:

, mà

Từ, suy ra:

, hai đường thẳng này cắt nhau tại
là tâm của hình vng

là trọng tâm tam giác đều

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

.

*) Tính bán kính, thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp

:

Ta có:
đều cạnh bằng a có

là trọng tâm

Do

vng tại

Bán kính khối cầu ngoại tiếp hình chóp


là:

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp

là:

.

Câu 30. Trong khơng gian
thẳng

, cho ba đường thẳng

thay đổi cắt các đường thẳng

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

Giải thích chi tiết: Đường thẳng
Đường thẳng

đi qua điểm

,

,


,

lần lượt tại

.
đi qua điểm
và có vectơ

,

,

,
. Tìm giá trị nhỏ nhất của

C.

.

và có vectơ
.

. Đường

D.

.
.


.
16


Hai vectơ

,

cùng phương và điểm

Ta có:

,

thì

. Gọi

là một vectơ pháp tuyến của

Đường thẳng

cắt đường thẳng

Suy ra

nên

Do đường thẳng


,

là mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song

thì

tại

nên

là

nằm trong mặt phẳng
là giao điểm của

nên

và

.
.

và

. Vậy

nằm trong mặt phẳng
hay

Gọi


.

,

.

và cắt các đường thẳng

lần lượt trùng với hình chiếu

,

,

,

tại

của

lên

,
,

nên

.


.

Ta có

.

Suy ra

và

Gọi

.
,

.

Ta có

.

Suy ra

và

.

Vậy
Câu 31.


.

Trong khơng gian tọa độ

, cho mặt cầu

. Viết phương trình mặt phẳng
A.
C.
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết: Gọi

Mặt phẳng

song song.

.

thuộc mặt phẳng

Mặt cầu

và

. Phương trình mặt phẳng

thay đổi cắt các đường thẳng

Mặt khác đường thẳng


Vì

khơng thuộc

có đường kính
tiếp xúc với mặt cầu

với
tại

.

.

B.

.

.

D.

.

là trung điểm của

có đường kính

.


nên có tâm là điểm

tiếp xúc với mặt cầu

,

tại

.
nên mặt phẳng

đi qua

và nhận

là vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng

:

17


.
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ
mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
Đáp án đúng: A

, cho ba véctơ


B.

C.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A.
B.
Lời giải

C.

. Trong các
D.

, cho ba véctơ

.

D.

Ta có
Câu 33.
Trong khơng gian
mặt cầu

có tâm

, cho điểm


và mặt phẳng

và tiếp xúc với mặt phẳng

A.

là

.

B.

.

C.

.

D.
Đáp án đúng: D

.

Giải thích chi tiết: Gọi bán kính của mặt cầu
Mặt cầu

. Phương trình

có tâm


là

.

và tiếp xúc với mặt phẳng
.

Vậy phương trình mặt cầu

tâm

và tiếp xúc với mặt phẳng

là:

.
Câu 34. Một hình nón có đường cao
nón đó?
A.
.
Đáp án đúng: D

B.

, bán kính đáy
.

C.


. Tính diện tích xung quanh của hình
.

D.

.

18


Giải thích chi tiết:
Ta có:
. Diện tích xung quanh:
Câu 35.
Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?

A. H 2.
Đáp án đúng: C
Câu 36.

B. H 1.

.

C. H 3.

D. H 4 .

Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một hình vng có cạnh bằng
Tính diện tích tồn phần của khối trụ.

A.
C.
Đáp án đúng: A
Câu 37.
Cho hình chóp

.

B.

.

.

D.

.

có đáy

và
bằng
A.
C.

là tam giác vng tại

,

. Biết sin của góc giữa đường thẳng


. Thể tích của khối chóp
.
.

,

.

,

và mặt phẳng

bằng
B.

.

D.

.
19


Đáp án đúng: B

Giải thích chi tiết:

Dựng


tại

. Ta có:

.

Tương tự ta cũng có
20