ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HINH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 055.
 x  1  t

d 2 :  y  1
 z  t


x  1 y 1 z


2
 1 1 và
Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng
 P  : x  y  z  1 0 . Đường thẳng vng góc với  P  cắt d1 và d 2 có phương trình là
7
2
x
z
x y z
5  y 1  5 .
  .
1

1
A. 1 1 1
B. 1
d1 :

13
9
4
y
z
5 
5  5.
1
1
1

x

và mặt phẳng

1
3
2
y
z
5
5  5.
1
1
1


x

C.
Đáp án đúng: D

D.

 x  1  t

d 2 :  y  1
 z  t


x  1 y 1 z


2
 1 1 và
Giải thích chi tiết: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng
 P  : x  y  z  1 0 . Đường thẳng vng góc với  P  cắt d1 và d 2 có phương trình là
mặt phẳng
1
3
2
x
y
z
x y z
5

5  5.
  .
1
1
A. 1 1 1 B. 1
d1 :

13
9
4
y
z
5 
5  5.
1
1
1

x

C.
Lời giải

PTTS

và

7
2
z

y

1
5
 5.
1
1
1

x
D.

 x 1  2t

d1 :  y  1  t
 z t


Gọi d là đường thẳng cần tìm và giả sử d cắt d1 , d 2 lần lượt tại A, B khi đó

A  1  2a;  1  a; a  , B   1  b;  1;  b   AB   2  b  2a; a;  b  a  .

1


4

b  5




2
2

 2 2 2
d   P   AB k n p  a   AB   ;  ;     1;1;1 .
5
5
 5 5 5

2

 k  5

Do
1
3
2
x
y
z
1 3 2

5
5  5.
A ;  ;  
u  1;1;1
5
5
5



d
1
1
Đường thẳng đi qua
nhận
là VTCP là: 1
Câu 2. Cho hình nón
đúng?
2

2

2

A. l h  r .
Đáp án đúng: A

 N

có chiều cao h , độ dài đường sinh l , bán kính đáy r . Công thức nào sau đây là
2

2

2

B. l h  r .


2

2

2

2

C. r h  l .

2

2

D. h l  r .

Câu 3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a 5 , SA vng góc với đáy,
SA 2a 2 . Thể tích khối chóp S . ABC bằng

5 2 3
a
A. 3
.
Đáp án đúng: A

10 2 3
a
B. 3
.


a3 2
C. 3 .

2a 3 10
3
D.
.
2

2

 S  :  x  4    y  1  z 2 25 và hai điểm
Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
A  0;1;3 B   1;5; 0 
   đi qua A và B sao cho khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng
,
. Mặt phẳng
 

  .
là lớn nhất. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng
4
4
13
13
A. 37 .
B. 74 .
C. 14 .
D. 74 .
Đáp án đúng: D

 S  có tâm I   4;1;0  và bán kính R 5 .
Giải thích chi tiết: Mặt cầu
 x  t

AB  :  y 1  4t , t  


 z 3  3t
AB   1; 4;  3

. Khi đó đường thẳng
.
 AB  .
Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng
 Q  đi qua I và vng góc đường thẳng  AB  có dạng:
Phương trình mặt phẳng
  x  4   4  y  1  3z 0   x  4 y  3 z  8 0
.
1
3
 1
H  AB   Q      t   4  1  4t   3  3  3t   8 0  t   H   ;3; 
2
2.
 2
Khi đó:
Ta có:

d  I ,     d  I , AB  IH


.

2


   có khoảng cách từ I
Do

3 1
7
IH  ; 2;    7;4;3
2 2
2
.

 

là lớn nhất nên một vectơ pháp tuyến của

 

là

   : 7  x  0   4  y  1  3  z  3 0  7 x  4 y  3z  13 0 .

Khi đó:
Suy ra:

đến


d  O,     

 13
2

2

7  4 3

2



13
74 .

E  1;1;1
 S  : x 2  y 2  z 2 4 và mặt phẳng
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
, mặt cầu
 P  : x  3 y  5z  3 0 . Gọi  là đường thẳng đi qua E , nằm trong  P  và cắt mặt cầu  S  tại hai điểm A , B
sao cho tam giác OAB là tam giác đều. Phương trình của đường thẳng  là
x 1 y 1 z 1
x 1 y 1 z 1




1
1 .

1
1 .
A. 2
B. 2
x 1 y 1 z 1


1
1 .
C. 2
Đáp án đúng: C

x 1 y 1 z 1


1
1 .
D.  2

Giải thích chi tiết:
Mặt cầu

 S

có tâm

trung điểm AB ta có

O  0; 0;0 
OM 


bán kính R 2 . Tam giác OAB là tam giác đều có cạnh bằng 2. Gọi M là

2 3


 3
OE
1;1;1

OE

3


u
2
, mặt khác
. Vậy điểm M trùng điểm E . Gọi

 

 

là vectơ chỉ phương của  ta có: u  OE và u  n .

 
1  
u   n , OE   2;  1;  1
 n , OE    8; 4; 4 



4
, chọn
.
x 1 y 1 z 1

u
2;

1;

1

 có phương trình là: 2   1   1 .
Vậy đường thẳng  đi qua E , có vectơ chỉ phương
Câu 6.
3


Người ta thả một viên bi hình cầu với bán kính bằng

vào một cái ly dạng hình trụ đang chứa nước.

Người ta thấy viên bi bị chìm xuống đáy ly và nước dâng lên thêm
ban đầu trong ly bằng
A.
C.
Đáp án đúng: C


. Tính thể tích

. Biết rằng chiều cao của mực nước

của khối nước ban đầu trong ly.

.

B.

.

D.

.
.

Giải thích chi tiết: Người ta thả một viên bi hình cầu với bán kính bằng

vào một cái ly dạng hình trụ

đang chứa nước. Người ta thấy viên bi bị chìm xuống đáy ly và nước dâng lên thêm
cao của mực nước ban đầu trong ly bằng
A.

.

C.
Lời giải


.

. Tính thể tích

B.

.

D.

.

. Biết rằng chiều

của khối nước ban đầu trong ly.

4
V1 = p33 = 36p
3
Thể tích viên vi là
.
Gọi R là bán kính đáy của ly nước.
Do khi thả viên bi vào trong ly nước, thì tương ứng ta có thể tích nước dâng lên ứng với chiều cao 1cm đó là
2
chính là thể tích viên bi, nên ta có 1.p.R = 36p Þ R = 6 .
2
3
Thể tích lúc đầu của ly nước là V = 7,5.p.6 = 270p » 848, 23cm .
Câu 7. Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 8 .

B. 2.
C. 6 .

D. 4 .

Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết: Đó là các mặt phẳng
của các cạnh AB, CB, CD, AD .

 SAC  ,  SBD  ,  SHJ  ,  SGI 

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
nhận AB làm đường kính là:
A.

 x  6

x  1
B. 

2

2

2

và

B  5; 4;7 


. Phương trình mặt cầu

2

  y  2    z  10  17
2

2

  y  2    z  3 17

 x  5

2

  y  4    z  7  17

x  3
D. 

2

  y  1   z  5  17

C.

A  1;  2;3

với G , H , I , J là các trung điểm


2

2

2

2

Đáp án đúng: D
Câu 9.
Số điểm chung của
A. 4.

và
B.

.

là:
C.

.

D.

.
4


Đáp án đúng: A

Câu 10. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng có 5 đội bóng?
(giả sử rằng khơng có hai đội nào có điểm trùng nhau)
A. 120.
B. 60.
C. 80.
D. 100.
Đáp án đúng: A
2

2

2

A  0;1;9 
S : x  3   y  4    z  4  25
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm
và mặt cầu   
. Gọi
 C  là giao tuyến của  S  với mặt phẳng  Oxy  . Lấy hai điểm M , N trên  C  sao cho MN 2 5 . Khi tứ
diện OAMN có thể tích lớn nhất thì đường thẳng MN đi qua điểm nào trong số các điểm dưới đây?
 1

 12

 ; 4;0  .
;  3;0  .


 4;6;0  .
 5;5; 0  .



A.
B.
C.  5
D.  5
Đáp án đúng: B

 S  có tâm I  3; 4; 4  , bán kính R 5 . Gọi rC là bán kính đường trịn  C  .
Giải thích chi tiết: Mặt cầu
 C   H  3; 4;0  , IH   Oxy  , d  I ,  Oxy   4 .
Gọi H là tâm đường tròn
rC  52  42 3 , OH 5  O nằm ngồi đường trịn  C  , d  A,  Oxy   9
1
1
VOAMN  d  A,  Oxy   .SOMN  3SOMN 3. d  O, MN  .MN 3 5.d  O, MN 
3
2
V  d  O, MN  max
Suy ra max

Mà

2
d  O, MN  OH  HK 5  3 

 5

2


7

Dấu bằng xảy ra khi OH  MN .
 


 OH ; k   4;  3;0  , OH  3; 4;0  , k  0;0;1





. (Với K là trung điểm MN )
MN
Khi đó
có 1 véc

tơ

chỉ

phương

là

 và đi qua trung điểm K của MN .


7
 21 28 

OK  OH  K  ; ;0 
5
 5 5 
21

 x  5  4t

28

MN :  y   3t
5

 z 0
1
t
5



 5;5; 0 

Phương trình đường thẳng

5


A  0; 1; 1 B  3; 0;  1 C  0; 21;  19 
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
,
,

và mặt cầu
2
2
2
 S  :  x  1   y  1   z  1 1 . M  a; b; c  là điểm thuộc mặt cầu  S  sao cho biểu thức
T 3MA2  2MB 2  MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a  b  c .
14
a b c 
5 .
B.

A. a  b  c 0 .
12
a b c 
5 .
C.

D. a  b  c 12 .

Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết:

 S  :  x  1

2

2

2


  y  1   z  1 1

có tâm

I  1; 1; 1


  
3
GA

2GB  GC 0 , khi đó
Gọi
là điểm thỏa
3  0  x   2  3  x    0  x  0
 x 1


3  1  y   2  0  y    21  y  0   y 4

 z  3
 G  1; 4;  3 

3  1  z   2   1  z     19  z  0
Lúc này ta có
T 3MA2  2 MB 2  MC 2
 
 
 
3MG 2  6 MG.GA  3GA2  2 MG 2  4 MG.GB  2GB 2  MG 2  2MG.GC  GC 2

   
6 MG 2  2 MG 3GA  2GB  GC

G  x; y; z 





6 MG 2
T đạt giá trị nhỏ nhất khi M là một trong hai giao điểm của đường thẳng IG và mặt cầu  S  .

 x 1

IG :  y 1  3t
 z 1  4t


Phương trình đường thẳng
M IG   S 
nên tọa độ M là nghiệm của hệ
 x 1
1

 y 1  3t
t


5
 

 z 1  4t
 t  1

2
2
2
 x  1   y  1   z  1 1 
5

. Khi đó:
 8 1
M M 1  1; ; 
M
G

M
G
 5 5
2
Vì 1
nên điểm

  8 1
 M 1  1; 5 ; 5 

 

 2 9
 M 2  1; ; 
 5 5



14
a b c 
5 .
Vậy

Câu 13. Khối mười hai mặt đều có số cạnh là
A. 8 .
B. 20 .

C. 12 .

D. 30 .

Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết: Khối mười hai mặt đều có số cạnh là
A. 20 . B. 12 . C. 30 . D. 8 .
6


Câu 14. Trong không gian Oxyz , điểm đối xứng với điểm

 3;1;4  .
 3;  1;  4  .
C.

B  3;  1;4 

qua mặt phẳng


 xOz  có tọa độ là

  3;  1;  4  .
  3;  1;4  .
D.

A.

B.

Đáp án đúng: A
Câu 15.
Trong không gian với hệ tọa độ

, cho đường thẳng

và
và

sao cho
A.

C.
Đáp án đúng: B

. Đường thẳng

là trung điểm của đoạn thẳng


lần lượt tại

. Phương trình đường thẳng
.

.

D.

.

và
sao cho

. Đường thẳng

là trung điểm của đoạn thẳng

. B.

.

C.
Lời giải

. D.

.

Ta có


cắt

,
và

lần lượt

. Phương trình đường thẳng

. Do đó
là trung điểm

là

, cho đường thẳng

A.

Vì

và

B.

mặt phẳng
và

cắt


.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ

tại
là

, mặt phẳng

.
.

7


Mặt khác
là một vectơ chỉ phương của
Vậy

.

đi qua

và nhận

làm VTCP nên có phương trình:

.
Câu 16. Cho lăng trụ ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  6 , AD  3 , AC 3 và
 AAC C  vng góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng  AAC C  ,  AABB  tạo với nhau góc  có

mặt phẳng
3
tan  
4 . Thể tích của khối lăng trụ ABCD. ABC D là
A. V 8 .
Đáp án đúng: A

B. V 12 .

C. V 6 .

D. V 10 .

Giải thích chi tiết:
Gọi M là trung điểm của AA . Kẻ AH vng góc với AC tại H , BK vng góc với AC tại K , KN vng
góc với AA tại N .
 AAC C    ABCD  suy ra AH   ABCD  và BK   AAC C   BK  AA
Do

AAC C  ,  AABB  KNB


 AA   BKN   AA  NB
suy ra
.






Ta có: ABCD là hình chữ nhật với AB  6 , AD  3 suy ra BD 3  AC
Suy ra ACA cân tại C . Suy ra CM  AA  KN // CM



AK AN NK


AC AM MC .

Xét ABC vng tại B có BK là đường cao suy ra

AB 2  AK . AC  AK 

BK 

BA.BC
 2
AC
và

AB 2
2
AC

3
KB 3
4 2

tan  tan KNB

 
  KN 
4
KN 4
3 .
Xét NKB vng tại K có
Xét ANK vng tại N có

KN 

2
4 2
AN 
3 , AK 2 suy ra
3.

8


2
4 2
 AM 1  AA 2
2
  3  3  
3 AM MC
CM 2 2
.
Ta lại có:

AH . AC CM . AA  AH 


Suy ra thể tích khối lăng trụ cần tìm là:
Câu 17.
Tìm trên trục

điểm

A.
C.
Đáp án đúng: C

CM . AA 2 2.2 4 2


AC
3
3

V  AH . AB. AD 

4 2
. 6. 3 8
3
.

cách đều điểm

và mặt phẳng

.


B.

.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Vì

.

. Ta có:

;

.
cách đều điểm

và mặt phẳng

khi và chỉ khi
. Vậy

.

Câu 18.

Cho khối chóp đều
có
với nhau. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A.

.

C.
.
Đáp án đúng: C

, hai mặt phẳng

B.
D.

và

cùng vng góc

.
.

9


Giải thích chi tiết:
Gọi

là tâm hình vng suy ra


Ta có
Gọi

là trung điểm của

Đặt

, suy ra

. Ta có hệ thức

được

Từ đó ta tính

.

Vậy

SA ^ ( ABCD )
Câu 19. Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh x và
. Khoảng cách từ điểm
mặt phẳng

 SCD 

P = m +n .

bằng a 2 . Biết thể tích nhỏ nhất của khối chóp S . ACD là


A. 10 .
Đáp án đúng: C

B. 11 .

C. 8 .

A

đến

m 3
a , ( m, n ẻ Â )
n
. Tớnh
D. 9 .

SA ^ ( ABCD )
Giải thích chi tiết: Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh x và
. Khoảng cách t
m 3
a , ( m, n ẻ Â )
SCD


im A đến mặt phẳng
bằng a 2 . Biết thể tích nhỏ nhất của khối chóp S . ACD là n
.
P

=
m
+
n
Tính
.
A. 10 . B. 9 . C. 8 . D. 11 .
Lời giải
FB tác giả: Phong Huynh
Ta có

10


( 1) .
Kẻ AH ^ SD
ìï CD ^ ( SAD )
ï
Þ AH ^ CD
í
ïï AH Ì ( SAD )
( 2)
Ta có ỵ
Từ

( 1) và ( 2) ta có AH ^ ( SCD) suy ra d ( A, ( SCD) ) = AH = a

2

.


Xét D SAD ta có
2
2
2ax
1
1
1
1
1
1 Þ AS = AD . AH =
=
+
Þ
=
2
2
2
AD - AH
x - 2a 2 .
AH 2 AS 2 AD 2
AS 2 AH 2 AD 2

Diên tích tam giác D ACD là

SD ACD =

1
x2
AD.CD =

2
2

1
1 1
ax 2
a 2
x3
VS . ACD  .SA.S ACD  . x 2 .

.
3
3 2
6
x 2  2a 2
x 2  2a 2 .
Vậy thể tích của khối chóp S . ACD là
x3
f  x 
x 2  2a 2 với x  a 2 .
Xét hàm số
 x 0 ( KTM )

4
2 2
2x  6x a
 x  0   x  a 3  KTM 
f
f  x  


 x 2  2 a 2   x 2  2a 2  ,
 x a 3
.
BXD

Vậy ta có P m  n 8 .

11


M  2;0;4 
Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có AB 2 AC và điểm
. Biết
điểm B thuộc đường thẳng

d:

x y z
 
1 1 1 , điểm C thuộc mặt phẳng

 P  : 2 x  y  z  2 0

và AM là phân

A  M  BC 
giác trong của tam giác ABC kẻ từ
. Phương trình đường thẳng BC là
 x  2  2t
 x 2



 y 2  t
 y  2  t
 z 2  t
 z  2  3t
A. 
.
B. 
.
 x 2  t
 x 2


 y t
 y t
 z 4  t
 z 4  t
C. 
.
D. 
.
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có AB 2 AC và điểm

M  2;0;4 

. Biết điểm B thuộc đường thẳng

d:


x y z
 
1 1 1 , điểm C thuộc mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  2 0 và

AM là phân giác trong của tam giác ABC kẻ từ A  M  BC  . Phương trình đường thẳng BC là

A.

 x 2  t

 y t
 z 4  t


. B.

 x 2

 y t
 z 4  t


. C.

 x  2  2t

 y  2  t
 z  2  3t



.

D.

 x 2

 y 2  t
 z 2  t


.

Câu 21. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A( 3;0;0) , B(0; 2;0) , C (0;0;  4) . Phương trình nào dưới đây là
phương trình mặt phẳng ( ABC ) ?
x y z
 
0
A.  3 2  4
.
x y z
 
1
C. 2 3  4
.
Đáp án đúng: B

x y z
 
1

B.  3 2  4
.
x y
z


1
D. 2  3  4
.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A( 3;0;0) , B(0; 2;0) , C (0;0;  4) . Phương trình nào
dưới đây là phương trình mặt phẳng ( ABC ) ?
x y z
x y
z
x y z
 
0


1
 
1
A.  3 2  4
. B. 2  3  4
. C. 2 3  4
.
Lời giải

x y z

 
1
D.  3 2  4
.

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua 3 điểm A( 3;0;0) , B(0; 2;0) , C (0;0;  4) là:
x y z
 
1
3 2 4
.
Câu 22.
Hình đa diện sau có bao nhiêu cạnh?

12


A.
Đáp án đúng: A

B.

C.

D.


Câu 23. Cho 5 điểm trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu véc tơ khác 0 đươc tạo từ 5
điểm trên?
A. 25 .

B. 10 .
C. 15 .
D. 20 .
Đáp án đúng: D
Câu 24. Cho một khối trụ có độ dài đường cao bằng 10 , biết thể tích của khối trụ bằng 90 . Diện tích xumg
quanh của khối trụ là
A. 60 .
B. 81 .
C. 20 .
D. 30 .
Đáp án đúng: D
A(1;  2; 0) có vetơ
Câu 25. Trong
 khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
pháp tuyến n (2;  1; 3) là
A. 2 x  y  3 z  4 0 .
B. x  2 y  4 0 .
C. 2 x  y  3z 0 .
Đáp án đúng: A
Câu 26. Khối tứ diện đều là khối đa diện đều loại
A.

D. 2 x  y  3z  4 0 .

.

B.

.


C.
.
Đáp án đúng: C

D.

.

*

Câu 27. Cho khối đa diện đều loi {p; q } vi p, q ẻ Ơ ; p ³ 3; q ³ 3. Chọn phát biểu đúng.
A. p là số mặt đồng quy tại cùng một đỉnh và q là số đỉnh của khối đa diện đều.
B. p là số đỉnh và q l à số mặt của khối đa diện đều.
C. p là số mặt và q là số đỉnh của khối đa diện đều.
D. p là số cạnh của mỗi mặt; q là số mặt đồng quy tại cùng một đỉnh của khối đa diện đều.
Đáp án đúng: D

 
A  1;1;1 , B  2;  1; 2 
Câu 28. Trong không gian Oxyz cho hai điểm
. Tọa độ điểm M thỏa mãn MA  2 MB 0
là.
 3;  3;  3 .
  3;  3;3 .
  3;3;3 .
 3;  3;3 .
A.
B.
C.
D.

Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết:
M  x; y; z 
Gọi


MA  1  x;1  y;1  z  , MB  2  x;  1  y; 2  z 
Ta có:
Từ giả thiết suy ra:
13


 1  x;1  y;1  z   2.  2  x;  1  y; 2  z   0;0;0 
  1  x;1  y;1  z    4  2 x;  2  2 y; 4  2 z   0; 0; 0 
 1  x    4  2 x  0
 x  3 0
 x 3



  1  y     2  2 y  0   y  3 0   y  3

 z  3 0
 z 3


 1  z    4  2 z  0
M  3;  3;3
Vậy
.

Câu 29.
Trong khơng gian

, cho ba điểm

,

và

. Mặt phẳng

có phương trình là
A.

.

C.
Đáp án đúng: D

.

B.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Mặt phẳng

có phương trình là
Câu 30. Số mặt đối xứng của hình lăng trụ đứng có đáy là hình vng là:
A. 7
B. 1
C. 5

.
D. 3

Đáp án đúng: C
2

S : x 2  y 2   z  3 1
 S  tại M , N sao cho
Câu 31. Trong không gian Oxyz ,  
. Đường thẳng  thay đổi cắt
a
d  O,   
2
2
MN 1 , P OM  ON . Khi P đạt giá trị nhỏ nhất thì
b với a, b  ¥ , a 10 . Giá trị của a  b
bằng
A. 11 .
B. 5 .
C. 3 .
D. 8 .

Đáp án đúng: B
2


S : x 2  y 2   z  3 1
 S  tại
Giải thích chi tiết: Trong khơng gian Oxyz ,  
. Đường thẳng  thay đổi cắt
M , N sao cho MN 1 , P OM  ON . Khi P đạt giá trị nhỏ nhất thì
2

2

d  O,   

a
b với a, b  ¥ , a 10 . Giá

trị của a  b bằng
A. 5 . B. 3 . C. 11 . D. 8 .
Lời giải

 S  có tâm I  0;0;3

và bán kính R 1

OI 3 và I nằm ngoài mặt cầu  S 
uur uuu
r 2 uur uur 2
P OM 2  ON 2  OI  IM  OI  IN
uur uuu
r uur
uur uuur

uur uuur
2.OI . IM  IN 2.OI .NM 2OI .MN .cos OI , NM







 






14


uuur
uur
Pmin  2OI .MN  6  NM và OI ngược hướng
2

 MN 
2
d  O,   d  I ,    R  
  1 
2



Khi đó:
Vậy: a 3; b 2 và a  b 5 .
2

2

3
 1
  
2
 2

Câu 32. Một người thợ thủ cơng làm mơ hình lồng đèn bát diện đều, mỗi cạnh của bát diện đó được làm từ các
que tre độ dài 8cm . Hỏi người đó cần ít nhất bao nhiêu mét que tre để làm 100 cái đèn (giả sử mối nối giữa các
que tre có độ dài không đáng kể)?
A. 96 .
B. 64 .

C. 9600 .

D. 6400 .

Đáp án đúng: A
Câu 33. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh 2 a, SA=a √3 và SA ⊥( ABCD ). Tính thể tích
hình chóp S . ABCD ?
4 a3 √ 3
a3 √ 3
2 a3 √ 3
A. 4 a3 √3 .

B.
.
C.
.
D.
.
3
3
3
Đáp án đúng: A
Câu 34.
Cho tứ diện

có

trong mặt phẳng vng góc với
A.
C.
.
Đáp án đúng: D

.

là tam giác đều cạnh bằng a , BCD vuông cân tại
. Tính theo

thể tích của tứ diện
B.
D.


và nằm

.

.
.
2

2

S : x  1  y 2   z  3 1
Câu 35. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt cầu   
và đường thẳng
 x 1  2t

d :  y mt
 t  
z  1 m t
 P  và  Q  là hai mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với  S  tại M , N . Khi m thay

 
. Gọi
đổi, độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ nhất là
1
3
3
2
A.
.
B. 2 .

C.
.
D. 2 .
Đáp án đúng: C
2

2

S : x  1  y 2   z  3 1
Giải thích chi tiết: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt cầu   
và
 x 1  2t

d :  y mt
 t  
z  1 m t
 P  và  Q  là hai mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với  S  tại M , N .

 
đường thẳng
. Gọi
Khi m thay đổi, độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ nhất là
1
3
A. 2 .
B. 3 .
C. 2 .
D. 2 .

Lời giải

15


 S  có tâm I  1;0;3 và bán kính R 1 .
Mặt cầu
K  1  2t ; mt ;(1  m)t 
Gọi
là một điểm thuộc d và H là giao điểm của KI và MN .
1
1
1
1
 2
1  2
2
2
MI
MK
IK  1 .
Ta có MN 2 MH và xét tam giác MKI vng tại M có MH
Vậy độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ nhất  độ dài đoạn thẳng IK đạt giá trị nhỏ nhất.

IK  2t ; mt ;  1  m  t  3
Lại có
 IK 2 4t 2  m 2t 2    1  m  t  3

2

 IK 2 4t 2  m 2t 2   1  2m  m 2  t 2  6  1  m  t  9


  2m 2  2m  5  t 2  6  1  m  t  9  IK 2 0

.

Điều kiện để phương trình có nghiệm
2

 9  1  m    9  IK 2   2m 2  2m  5  0
9m 2  36
2m 2  2 m  5
9m 2  36
f  m  2
2m  2 m  5
Xét hàm số
 IK 2 

18m  2m 2  2m  5    4m  2   9m 2  36   18m 2  54m  72
 f (m) 

2
2
 2 m 2  2m  5 
 2m 2  2 m  5 
 m 1
f  m  0  
 m  4 .
Bảng biến thiên

16



2
Suy ra IK 4 .

Vậy độ dài đoạn thẳng IK đạt giá trị nhỏ nhất là 2  Độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ nhất là 3 .
Câu 36.
Cho một đồng hồ cát gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép lại, trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy

( )
một góc 60 như hình bên. Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của đồng hồ là
Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, khi đó tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ
và thể tích phần dưới là bao nhiêu ?

1000p cm3 .

o

1
.
27

1
.
64

A.
B.
C.
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết:

Lời giải.
Gọi bán kính của hình nón lớn và nón nhỏ lần lượt là x, y.

1
.
8

1

D. 3 3

.

Suy ra chiều cao của hình nón lớn và nón nhỏ lần lượt là x 3, y 3.

Theo giả thiết, ta có

ìï x 3 + y 3 = 30
ïï
í1 2
ïï px .x 3 + 1 p y2. y 3 = 1000p
ïïỵ 3
3

ìï x + y = 10 3
20 3
10 3
Û ïí
Û x=
,y=

.
ïï x3 + y3 = 1000 3
3
3
ỵ

17


3

ổyữ
ử 1
ỗ
= .
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốx ứ 8

Do hai hỡnh nún ng dng nên tỉ số cần tính bằng
Câu 37. Tam giác ABC có a 14, b 18, c 20 . Khẳng định nào sau đây đúng?


A. B 60 56 ' .

C. B 119 04 ' .
Đáp án đúng: A



B. B 90 .

D. B 42 50 ' .

Giải thích chi tiết: Tam giác ABC có a 14, b 18, c 20 . Khẳng định nào sau đây đúng?




A. B 42 50 ' . B. B 60 56 ' . C. B 119 04 ' . D. B 90 .
Câu 38.
Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện lồi là

A. 1.
Đáp án đúng: B
Câu 39.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Gọi n là số hình đa diện lồi trong bốn hình trên. Tìm n.

18


A. n=3.

Đáp án đúng: A

B. n=2.

C. n=1.

D. n=4.

A  2;  2;  1 , B  2; 4;  1
Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
. Mặt cầu đường kính AB
có phương trình là
B.

 x  2

2

.

 x  2    y  1   z  1 3 .
C.
Đáp án đúng: D

 x  2

2

D.


A.

 x  2

2

2

2

2

  y  1   z  1 9
2

2

2

2

  y  1   z  1 3
2

.

2

  y  1   z  1 9


.

----HẾT---

19