ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HINH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 031.
Câu 1. Cho khối chóp
mặt phẳng

bằng

có đáy là hình vng cạnh

và

. Khoảng cách từ điểm

. Biết thể tích nhỏ nhất của khối chóp

là

đến
. Tính

.
A. .
Đáp án đúng: D

B.

.

Giải thích chi tiết: Cho khối chóp
điểm
Tính

đến mặt phẳng
.

bằng

C.

.

D.

có đáy là hình vng cạnh

.

và

. Biết thể tích nhỏ nhất của khối chóp

. Khoảng cách từ
là


.

A. . B. . C. . D. .
Lời giải
FB tác giả: Phong Huynh
Ta có

Kẻ

.

Ta có
Từ
Xét

và

ta có

suy ra

.

ta có

1


.

Diên tích tam giác

là

Vậy thể tích của khối chóp
Xét hàm số

là
với

.
.

,

.

BXD

Vậy ta có
Câu 2.

.

Hình chiếu vng góc của điểm

xuống mặt phẳng (Oxy) là?

A.


B.

C.
Đáp án đúng: C
Câu 3.
Cho hình chóp
cách từ

đến

A.
Đáp án đúng: D

D.

có đáy là tam giác vng cân tại

Khoảng

bằng
B.

Câu 4. Trong khơng gian với hệ tọa độ
trình mặt cầu

và

C.

D.


, cho hai đường thẳng

có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng

và

. Viết phương

và
2


A.

B.

C.
Đáp án đúng: D

D.

Giải thích chi tiết: Đường thẳng
Đường thẳng

có vectơ chỉ phương

có vectơ chỉ phương

Để phương trình mặt cầu

và chỉ khi:

.

.

có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng

Tâm mặt cầu
nằm trên đoạn thẳng vng góc chung của 2 đường thẳng
của đoạn thẳng vng góc chung.
Gọi điểm

thuộc

; gọi điểm

thuộc

với

và

và

khi

, đồng thời là trung điểm

là đoạn vng góc chung của


và

.
Ta có

.

là đoạn thẳng vng góc chung
.
Gọi điểm

là tâm mặt cầu

, do đó điểm

là trung điểm

.

.
Suy ra mặt cầu

:

.

Câu 5. Tìm diện tích xung quanh của khối nón có chiều cao bằng
A.


.

B.

.

C.

.

, thể tích bằng

.

D.
.
Đáp án đúng: C
Câu 6.
Cho hình lăng trụ đều

Biết khoảng cách từ điểm

giữa hai mặt phẳng

và

bằng

với


đến mặt phẳng

bằng

góc

Thể tích khối lăng trụ

bằng
A.
Đáp án đúng: A

B.

C.

D.
3


Giải thích chi tiết:
Lời giải.

Gọi

là trung điểm của

Suy ra
Gọi


là hình chiếu của

lên

và
là hình chiếu của

lên

khi đó

Đặt
Trong tam giác vng
Trong hai tam giác vng

Từ đó ta tính được

có
và

lần lượt có

và

Vậy
Câu 7. Trong khơng gian
và

, cho mặt phẳng


và

. Góc giữa

là:

A.
B.
C.
D.
Đáp án đúng: B
Câu 8. Cho hình vng ABCD có cạnh a; Gọi I, H lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho hình vng đó
quay quanh trục IH thì tạo nên một hình trụ. Tìm kết luận sai.
A. l = a.
C.
Đáp án đúng: D

B.
.

D.

.
.
4


Câu 9. Trong khơng gian

, cho mặt phẳng


. Phương trình mặt phẳng
A.

B.

.

.

D.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
. B.

.

C.
Lời giải

. D.

.
có dạng

Vậy

.

Câu 10. Cho khối nón có bán kính đáy


đi qua điểm

, chiều cao

. Tính thể tích

A.
B.
C.
Đáp án đúng: A
Câu 11. Thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng
B.

và có một vectơ pháp

là

A.

Phương trình mặt phẳng

.

, cho mặt phẳng

. Phương trình mặt phẳng

A.
.

Đáp án đúng: C

và có một vectơ pháp tuyến

là

.

C.
Đáp án đúng: D

tuyến

đi qua điểm

.

C.

của khối nón.
D.

là

.

D.

Câu 12. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
pháp tuyến của mặt phẳng


. Vectơ nào sau đây là vectơ

?

A.

B.

C.
Đáp án đúng: C

D.

Câu 13. Trong khơng gian
phương trình mặt phẳng
A.
C.
Đáp án đúng: D

.

cho ba điểm

,

,

. Phương trình nào dưới đây là


?

.
.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
dưới đây là phương trình mặt phẳng

cho ba điểm

B.

.

D.

.
,

,

. Phương trình nào

?
5


A.
Lời giải


. B.

.

C.

.

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua 3 điểm

D.
,

.
,

là:

.
Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
pháp tuyến
A.

có vetơ

là
.

C.
.

Đáp án đúng: C
Câu 15.
Cho một đồng hồ cát gồm

B.
D.

.
.

hình nón chung đỉnh ghép lại, trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy

một góc
như hình bên. Biết rằng chiều cao của đồng hồ là
và tổng thể tích của đồng hồ là
Hỏi nếu cho đầy lượng cát vào phần trên thì khi chảy hết xuống dưới, khi đó tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ
và thể tích phần dưới là bao nhiêu ?

A.
B.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết:
Lời giải.
Gọi bán kính của hình nón lớn và nón nhỏ lần lượt là

C.

D.

Suy ra chiều cao của hình nón lớn và nón nhỏ lần lượt là


Theo giả thiết, ta có

Do hai hình nón đồng dạng nên tỉ số cần tính bằng
Câu 16. Cho khối đa diện đều loại {p; q } với
A. p là số đỉnh và q l à số mặt của khối đa diện đều.

Chọn phát biểu đúng.
6


B. p là số cạnh của mỗi mặt; q là số mặt đồng quy tại cùng một đỉnh của khối đa diện đều.
C. p là số mặt và q là số đỉnh của khối đa diện đều.
D. p là số mặt đồng quy tại cùng một đỉnh và q là số đỉnh của khối đa diện đều.
Đáp án đúng: B
Câu 17. Tam giác
A.

có

. Khẳng định nào sau đây đúng?

.

C.
.
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết: Tam giác
A.


. B.

.

D.

.

có

. Khẳng định nào sau đây đúng?

. C.

Câu 18. Cho hình chóp

. D.

.

có đáy

. Thể tích khối chóp
A.
.
Đáp án đúng: C

B.

là hình vng cạnh bằng


.

C.

Câu 19. Trong không gian với hệ trục toạ độ

.

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ

.

C.

.

D.

.
và đường thẳng

và tiếp xúc với


.

tại

D.

. Khi

thay

.

, cho mặt cầu

đường thẳng
. Gọi
và
là hai mặt phẳng chứa
Khi
thay đổi, độ dài đoạn thẳng
đạt giá trị nhỏ nhất là
B.

D.

, cho mặt cầu

. Gọi
và
là hai mặt phẳng chứa

đổi, độ dài đoạn thẳng
đạt giá trị nhỏ nhất là

A.
.
Lời giải

vng góc với đáy,

bằng

B.

A.
.
Đáp án đúng: A

,

và

và tiếp xúc với

tại

.

.

7



Mặt cầu

có tâm

và bán kính

Gọi
Ta có

.

là một điểm thuộc
và xét tam giác

Vậy độ dài đoạn thẳng

và

vuông tại

đạt giá trị nhỏ nhất

là giao điểm của
có
độ dài đoạn thẳng

và


.
.

đạt giá trị nhỏ nhất.

Lại có

.
Điều kiện để phương trình có nghiệm

Xét hàm số

.
Bảng biến thiên

8


Suy ra

.

Vậy độ dài đoạn thẳng

đạt giá trị nhỏ nhất là

Độ dài đoạn thẳng

Câu 20. Trong không gian với hệ trục tọa độ
,


. Mặt phẳng

A.
.
Đáp án đúng: C

B.

Giải thích chi tiết: Mặt cầu

, cho mặt cầu

đi qua

là lớn nhất. Tính khoảng cách từ điểm

và

.

là hình chiếu của

đi qua

.

D.

và bán kính


.

.

.

lên đường thẳng

Phương trình mặt phẳng

và hai điểm

.

C.

có tâm

.

sao cho khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng

đến mặt phẳng

. Khi đó đường thẳng
Gọi

đạt giá trị nhỏ nhất là


.

và vng góc đường thẳng

có dạng:

.
Khi đó:

.

Ta có:
Do

.
có khoảng cách từ

đến

là lớn nhất nên một vectơ pháp tuyến của

là

.
Khi đó:

.
9



Suy ra:
Câu 21.

.

Trong không gian

, cho điểm

qua

và song song với

, cắt trục

A.

và mặt phẳng
có phương trình là:

.

C.
Đáp án đúng: A

. Đường thẳng đi

.

B.


.

D.

.

Giải thích chi tiết: Ta có

Do

nên

Vậy đường thẳng cần tìm
Câu 22. Cho hình chóp
có đáy
có đáy
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

là trung điểm

B.

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

C.

là trung điểm


là hình chữ nhật,

là tâm

.
.

.

D. là giao điểm của
Đáp án đúng: A

và

.

Giải thích chi tiết: Cho hình chóp
có đáy
có đáy
đáy, là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

là trung điểm

B.

là giao điểm của

C.


là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác

D. là trung điểm
Lời giải

vng góc đáy,

là hình chữ nhật,

vng góc

.
và

.
.

.

10


Dễ thấy
Khi đó

.
,
.

,


cùng nhìn

dưới góc

do đó trung điểm

của

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Câu 23.
Người ta thả một viên bi hình cầu với bán kính bằng

vào một cái ly dạng hình trụ đang chứa nước.

Người ta thấy viên bi bị chìm xuống đáy ly và nước dâng lên thêm
ban đầu trong ly bằng
A.

. Tính thể tích

của khối nước ban đầu trong ly.

.

C.
Đáp án đúng: C

. Biết rằng chiều cao của mực nước


.

B.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Người ta thả một viên bi hình cầu với bán kính bằng

vào một cái ly dạng hình trụ

đang chứa nước. Người ta thấy viên bi bị chìm xuống đáy ly và nước dâng lên thêm
cao của mực nước ban đầu trong ly bằng
A.
C.
Lời giải

.
.

. Tính thể tích

B.

.


D.

.

Thể tích viên vi là

. Biết rằng chiều

của khối nước ban đầu trong ly.

.

Gọi
là bán kính đáy của ly nước.
Do khi thả viên bi vào trong ly nước, thì tương ứng ta có thể tích nước dâng lên ứng với chiều cao 1cm đó là
chính là thể tích viên bi, nên ta có

.

Thể tích lúc đầu của ly nước là

.

Câu 24. Cho tứ diện đều
có
là điểm thuộc cạnh
sao cho
Một đường thẳng thay đổi qua cắt các cạnh
,
lần lượt tại

,
thể tích khối chóp
A.
.
Đáp án đúng: B

nhỏ nhất bằng
B.

, với
.

,
C.

,

,
. Biết

là trung điểm của
.
. Khi thay đổi,

. Tính
.

.
D.


.

11


Giải thích chi tiết:
Gọi

là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác
,

là trọng tâm tam giác đều

. Vì
và

.

Vậy

Ta có:

nên suy ra

.

Từ đó suy ra

Đặt


là tứ diện đều và

.
,

,

,

.

.

Mặt khác
12


Nên ta có

.

Vì

nên

.

Ta có:
Từ


.
,

,

ta có
.

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si với hai số dương, ta có:
.
Dấu

xảy ra

( do

Vậy

).

.

Theo đề bài, thể tích khối chóp
nhỏ nhất bằng
, với ,
,
nên ta có
;
, suy ra
.

Câu 25. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng có 5 đội bóng?
(giả sử rằng khơng có hai đội nào có điểm trùng nhau)
A.
B.
C.
D.
Đáp án đúng: D
Câu 26.
Một tấm tơn hình trịn tâm
Từ hình
nón

A.

bán kính

được chia thành hai hình

gị tấm tơn để được hình nón

khơng đáy. Ký hiệu

như hình vẽ. Cho biết góc

khơng đáy và từ hình

lần lượt là thể tích của hình nón

B.


và

C.

gị tấm tơn để được hình

Tỉ số

bằng

D.
13


Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết:
Lời giải.
Hai hình nón có độ dài đường sinh bằng nhau:
Gọi

lần lượt là bán kính đáy của hình nón

Ta có
Khi đó
Câu 27. : Khối trụ ngoại tiếp khối lập phương cạnh a có thể tích là :
A.
.
Đáp án đúng: C

B.


.

C.

Câu 28. Trong hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng
thẳng này
A. song song với nhau.
C. cắt nhau nhưng khơng vng góc.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết: FB tác giả: Lê Đức Hiền
+ Từ

.

D.

:

và

.

:

. Khi đó hai đường

và


cùng vng góc

B. trùng nhau.
D. vng góc nhau.

:

+ Xét hệ phương trình:
Câu 29.

, hệ vơ nghiệm. Vậy

Cho khối chóp đều
có
với nhau. Thể tích khối chóp đã cho bằng
A.
C.
.
Đáp án đúng: A

.

.

, hai mặt phẳng

B.
D.

.

.

14


Giải thích chi tiết:
Gọi

là tâm hình vng suy ra

Ta có
Gọi

là trung điểm của

Đặt

, suy ra

. Ta có hệ thức

được

Từ đó ta tính

.

Vậy
Câu 30. Trong khơng gian
là.

A.
.
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết:

cho hai điểm
B.

.

. Tọa độ điểm
C.

.

thỏa mãn
D.

.

Gọi
Ta có:
Từ giả thiết suy ra:

Vậy

.
15



Câu 31.
Trong không gian với hệ tọa độ
giác trong của góc
A.
C.
Đáp án đúng: C

, cho hai điểm

của tam giác

,

là

.

B.

.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ
Phương trình đường phân giác trong của góc
A.

Lời giải

.

B.

.

, cho hai điểm

của tam giác
C.

.

Ta có:
của tam giác

là

D.

.

cũng là một VTCP của đường phân giác trong của góc

Câu 32. Cho hình chữ nhật
quanh trục

.


có

Tính thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng

B.

Số điểm chung của
A.
.
Đáp án đúng: B

.

có một véctơ chỉ phương:

Vậy phương trình đường phân giác trong góc

A.
Đáp án đúng: B
Câu 33.

,

.

Đường phân giác trong của góc

Dễ thấy


. Phương trình đường phân

C.

và
B. 4.

D.

là:
C.

.

D.

.

Câu 34. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng
. Gọi S là diện tích xung quanh của hình trụ
có hai đường trịn đáy ngoại tiếp hai hình vng ABCD và A’B’C’D’. Diện tích S là :
A.
Đáp án đúng: A

B.

C.

D.


Câu 35. Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
phẳng đáy và
Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
Đáp án đúng: B

B.

C.

vng góc với mặt
D.
16


Giải thích chi tiết: Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
với mặt phẳng đáy và
Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.
B.
Lời giải

C.

vng góc


D.

Ta có:
Câu 36.
Cho khối nón có chiều cao

và bán kính đáy

A.
.
Đáp án đúng: A

B.

.

. Thể tích của khối nón đã cho là
C.

Câu 37. Trong khơng gian với hệ tọa độ

.

và mặt cầu

;

.

, cho hai mặt cầu


và mặt phẳng
nằm mặt phẳng

D.

,
Gọi

sao cho

lần lượt là các điểm

đạt giá trị nhỏ nhất. Giả sử

, khi đó

là
A. .
Đáp án đúng: D

B.

.

C.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ
,


và mặt phẳng

nằm mặt phẳng

và mặt cầu

;

sao cho

.

D.

.

, cho hai mặt cầu
Gọi

lần lượt là các điểm

đạt giá trị nhỏ nhất. Giả sử

, khi đó

là
A.
. B.
Lời giải


.C.

. D.

.

17


Mặt cầu

có tâm

Mặt cầu

.

có tâm

.

Ta có:

.

Mặt khác có
Gọi

nằm cùng phía so với mặt phẳng


là điểm đối xứng với

qua

,

ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Phương trình đường thẳng
Tọa

độ

.

đi qua

điểm

vng góc với mặt phẳng
ứng

với

giá

trị


là

là
nghiệm

.
phương

trình

phương

trình

.
Mà

là trung điểm

Do đó
Tọa

nên tọa độ

.

nên phương trình đường thẳng
độ

điểm


ứng

là

.

với

giá

trị

là

nghiệm

.
Do đó

.

Câu 38. Trong khơng gian

, cho hai đường thẳng

. Đường thẳng vng góc với

A.


C.
Đáp án đúng: B

và

cắt

và

và mặt phẳng

có phương trình là

B.

D.

18


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian
mặt phẳng

A.

, cho hai đường thẳng

. Đường thẳng vng góc với

cắt


và
và

và

có phương trình là

B.

C.
Lời giải

D.

PTTS
Gọi

là đường thẳng cần tìm và giả sử

cắt

lần lượt tại

khi đó

Do

Đường thẳng


đi qua

nhận

Câu 39. Trong khơng gian với hệ tọa độ

C.
Đáp án đúng: B

cho hai đường thẳng chéo nhau

. Phương trình đường thẳng vng góc với

phương trình là
A.

là VTCP là:

.

B.

.

D.

và

đồng thời cắt cả hai đường này có


.
.

19


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ

. Phương trình đường thẳng vng góc với

phương trình là
A.

. B.

C.
Lời giải

. D.

Véc tơ chỉ phương của

đồng thời cắt cả hai đường này có

.

và

lần lượt là:


Gọi đường vng góc chung của
Khi đó

và

.

Phương trình tham số của đường thẳng

.

và

là

và giao điểm của

.
với

lần lượt là

.

;

suy ra
Ta có

Đường thẳng


cho hai đường thẳng chéo nhau

.

qua điểm

nhận

làm véc tơ chỉ phương nên

có phương trình

là:
.
Câu 40. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 a, SA=a √3 và SA ⊥( ABCD ) . Tính thể tích
hình chóp S . ABCD ?
4 a3 √ 3
2 a3 √ 3
a3 √ 3
3
A. 4 a √ 3 .
B.
.
C.
.
D.
.
3
3

3
Đáp án đúng: A
----HẾT---

20