ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP HINH HỌC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 028.
Câu 1. : Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 4. Một mặt phẳng khơng vng góc với đáy và cắt hai đáy của hình
trụ theo hai dây cung song song MN , M N  thỏa mãn MN M N  6 . Biết rằng tứ giác MNN M  có diện tích
bằng 60 . Tính chiều cao h của hình trụ.
A. h 4 5 .
Đáp án đúng: B
Câu 2.

B. h 6 2 .

Trong không gian với hệ tọa độ

, cho đường thẳng

và
và

sao cho
A.

. Đường thẳng

là trung điểm của đoạn thẳng
.

C.
Đáp án đúng: B

.

mặt phẳng

và

lần lượt tại

. Phương trình đường thẳng

sao cho

là

.

D.

.

, cho đường thẳng

và
và


cắt

, mặt phẳng

B.

Giải thích chi tiết: Trong không gian với hệ tọa độ

tại
là

D. h 6 5 .

C. h 4 2 .

. Đường thẳng

là trung điểm của đoạn thẳng

A.

. B.

.

C.
Lời giải

. D.


.

cắt

,
và

lần lượt

. Phương trình đường thẳng

1


Ta có

. Do đó

Vì

.

là trung điểm

.

Mặt khác
là một vectơ chỉ phương của
Vậy


.

đi qua

và nhận

làm VTCP nên có phương trình:

.
Câu 3. : Khối trụ ngoại tiếp khối lập phương cạnh a có thể tích là :
a 3
A. 4 .
Đáp án đúng: B

a 3
B. 2 .

a 3
C. 3 .

3
D. a  .

Câu 4. Cho khối nón có bán kính đáy r 6 , chiều cao h 3 . Tính thể tích V của khối nón.
A. V 9 2
B. V 108
C. V 3
D. V 36
Đáp án đúng: B

Câu 5.
Cho hình nón có bán kính đáy r và độ dài đường sinh l . Diện tích xung quanh
được tính theo cơng thức nào dưới đây?
A.

.

C.
Đáp án đúng: A

.

B.

.

D.

.

của hình nón đã cho

A  2;  2;  1 , B  2; 4;  1
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm
. Mặt cầu đường kính AB
có phương trình là

 x  2
A.


2

2

2

2

2

2

  y  1   z  1 9

.

 x  2
B.

2

2

2

2

2

2


  y  1   z  1 3

.

 x  2    y  1   z  1 9 .
 x  2    y  1   z  1 3 .
C.
D.
Đáp án đúng: A
Câu 7. Số mặt đối xứng của hình lăng trụ đứng có đáy là hình vng là:
A. 3
B. 5
C. 7
D. 1
Đáp án đúng: B
Câu 8. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh 2 a, SA=a √3 và SA ⊥( ABCD ). Tính thể tích
hình chóp S . ABCD ?
a3 √ 3
4 a3 √ 3
2 a3 √ 3
A.
.
B.
.
C.
.
D. 4 a3 √3 .
3
3

3
Đáp án đúng: D

2


2

2

S : x  1  y 2   z  3 1
Câu 9. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt cầu   
và đường thẳng
 x 1  2t

d :  y mt
 t  
z  1 m t
 P  và  Q  là hai mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với  S  tại M , N . Khi m thay

 
. Gọi
đổi, độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ nhất là
1
3
A. 3 .
B. 2 .
C. 2 .
D. 2 .
Đáp án đúng: A

2

2

S : x  1  y 2   z  3 1
Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt cầu   
và
 x 1  2t

d :  y mt
 t  
z  1 m t
 P  và  Q  là hai mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với  S  tại M , N .

 
đường thẳng
. Gọi
Khi m thay đổi, độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ nhất là
1
3
3
2
A.
.
B.
.
C. 2 .
D. 2 .

Lời giải


 S  có tâm I  1;0;3 và bán kính R 1 .
Mặt cầu
K  1  2t ; mt ;(1  m)t 
Gọi
là một điểm thuộc d và H là giao điểm của KI và MN .
1
1
1
1
 2
1  2
2
2
MI
MK
IK  1 .
Ta có MN 2 MH và xét tam giác MKI vng tại M có MH
Vậy độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ nhất  độ dài đoạn thẳng IK đạt giá trị nhỏ nhất.

IK  2t ; mt ;  1  m  t  3
Lại có
 IK 2 4t 2  m 2t 2    1  m  t  3

2

 IK 2 4t 2  m 2t 2   1  2m  m 2  t 2  6  1  m  t  9

3



  2m 2  2m  5  t 2  6  1  m  t  9  IK 2 0

.

Điều kiện để phương trình có nghiệm
2

 9  1  m    9  IK 2   2m 2  2m  5  0
9m 2  36
2m 2  2 m  5
9m 2  36
f  m  2
2m  2 m  5
Xét hàm số
 IK 2 

18m  2m 2  2m  5    4m  2   9m 2  36   18m 2  54m  72
 f (m) 

2
2
2
2
m

2
m

5



 2m 2  2 m  5 
 m 1
f  m  0  
 m  4 .
Bảng biến thiên

2
Suy ra IK 4 .

Vậy độ dài đoạn thẳng IK đạt giá trị nhỏ nhất là 2  Độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ nhất là 3 .
 x 1  t

1  x  y  1 0
 2   y t


Oxy
Câu 10. Trong hệ tọa độ
, cho hai đường thẳng
:
và
:
. Khi đó hai đường
thẳng này
A. cắt nhau nhưng khơng vng góc.
B. vng góc nhau.
C. song song với nhau.
D. trùng nhau.

Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết: FB tác giả: Lê Đức Hiền
 x 1  t


 x  y  1 0
+ Từ  2  :  y t
 x  y  1 0

+ Xét hệ phương trình:  x  y  1 0 , hệ vô nghiệm. Vậy 1 //  2 .
4


Câu 11.
Trong không gian

, cho điểm

qua

và song song với

, cắt trục

A.

.

C.
Đáp án đúng: C


.

và mặt phẳng

. Đường thẳng đi

có phương trình là:
B.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Ta có

Do

nên

Vậy đường thẳng cần tìm
Câu 12. Cho lăng trụ ABCD. ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  6 , AD  3 , AC 3 và
 AAC C  vng góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng  AAC C  ,  AABB  tạo với nhau góc  có
mặt phẳng
3
tan  
4 . Thể tích của khối lăng trụ ABCD. ABC D là
A. V 12 .

Đáp án đúng: D

B. V 10 .

C. V 6 .

D. V 8 .

Giải thích chi tiết:
Gọi M là trung điểm của AA . Kẻ AH vng góc với AC tại H , BK vng góc với AC tại K , KN vng
góc với AA tại N .
 AAC C    ABCD  suy ra AH   ABCD  và BK   AAC C   BK  AA
Do

AAC C  ,  AABB  KNB


 AA   BKN   AA  NB
suy ra
.





Ta có: ABCD là hình chữ nhật với AB  6 , AD  3 suy ra BD 3  AC
Suy ra ACA cân tại C . Suy ra CM  AA  KN // CM




AK AN NK


AC AM MC .

5


Xét ABC vng tại B có BK là đường cao suy ra

AB 2  AK . AC  AK 

BK 

BA.BC
 2
AC
và

AB 2
2
AC

3
KB 3
4 2

tan  tan KNB
 
  KN 

4
KN 4
3 .
Xét NKB vng tại K có
Xét ANK vng tại N có

KN 

2
4 2
AN 
3 , AK 2 suy ra
3.

2
4 2
 AM 1  AA 2
2
  3  3  
3 AM MC
CM 2 2
.
Ta lại có:

AH . AC CM . AA  AH 

Suy ra thể tích khối lăng trụ cần tìm là:
Câu 13.

CM . AA 2 2.2 4 2



AC
3
3

V  AH . AB. AD 

4 2
. 6. 3 8
3
.

Một tấm tơn hình trịn tâm O, bán kính R được chia thành hai hình ( H1) và ( H 2 ) như hình vẽ. Cho biết góc
·
AOB
= 90°. Từ hình ( H1 ) gị tấm tơn để được hình nón ( N 1 ) khơng đáy và từ hình ( H 2 ) gị tấm tơn để được hình
nón ( N 2 ) khơng đáy. Ký hiệu V1, V2 lần lượt là thể tích của hình nón ( N1) , ( N 2 ) . Tỉ số

A. 3.
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

B.

3 105
.
5


C.

7 105
.
9

V1
V2

bằng

D. 2.

Hai hình nón có độ dài đường sinh bằng nhau: l 1 = l 2 = R.
Gọi r1, r2 lần lượt là bán kính đáy của hình nón ( N1) , ( N 2 ) .
ìï
3R
ïï 2pr1 = 3.2pR ắắ
đ r1 =
4
4.
ùùớ
ùù
1
R
đ r2 =
ùù 2pr2 = .2pR ắắ
4
4
ùợ


1 2 2
pr1 l 1 - r12
V1
3 105
3
=
=
.
1
V2
5
pr22 l 22 - r22
3

Ta có
Khi đó
Câu 14. Khối tứ diện đều là khối đa diện đều loại
A.

.

B.

.
6


C.
.

Đáp án đúng: B
Câu 15.

D.

Viết phương trình đường thẳng

.

đi qua

nằm trong mặt phẳng

, tiếp xúc với mặt cầu
A.

.

.

B.

C.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết: Viết phương trình đường thẳng

.

đi qua


nằm trong mặt phẳng

, tiếp xúc với mặt cầu

A.

. B.

C.
Lời giải

. D.

Mặt cầu

tâm

Ta thấy điểm
Gọi

.

D.

:

.
.

và bán kính


.

, và

là tiếp điểm của

phẳng

:

.
với mặt cầu

, khi đó

là hình chiếu của

lên mặt

.

Đường thẳng qua

Khi đó tọa độ
Vậy đường thẳng

vng góc với

có phương trình


là nghiệm của hệ
là đường thẳng đi qua

, giải hệ này ta được
và nhận

.
làm VTCP có phương

trình

7


M  2;0;4 
Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có AB 2 AC và điểm
. Biết
điểm B thuộc đường thẳng

d:

x y z
 
1 1 1 , điểm C thuộc mặt phẳng

 P  : 2 x  y  z  2 0

và AM là phân


A  M  BC 
giác trong của tam giác ABC kẻ từ
. Phương trình đường thẳng BC là
 x 2  t
 x  2  2t


 y t
 y  2  t
 z 4  t
 z  2  3t
A. 
.
B. 
.
 x 2
 x 2


 y t
 y 2  t
 z 4  t
 z 2  t
C. 
.
D. 
.
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có AB 2 AC và điểm


M  2;0;4 

. Biết điểm B thuộc đường thẳng

d:

x y z
 
1 1 1 , điểm C thuộc mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  2 0 và

AM là phân giác trong của tam giác ABC kẻ từ A  M  BC  . Phương trình đường thẳng BC là

A.

 x 2  t

 y t
 z 4  t


. B.

 x 2

 y t
 z 4  t


. C.


 x  2  2t

 y  2  t
 z  2  3t


.

D.

 x 2

 y 2  t
 z 2  t


.
A  0; 1; 1 B  3; 0;  1 C  0; 21;  19 
Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm
,
,
và mặt cầu
2
2
2
 S  :  x  1   y  1   z  1 1 . M  a; b; c  là điểm thuộc mặt cầu  S  sao cho biểu thức
T 3MA2  2MB 2  MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a  b  c .
14
a b c 
5 .

A.
12
a b c 
5 .
C.

B. a  b  c 12 .
D. a  b  c 0 .

Đáp án đúng: A
S : x  1
Giải thích chi tiết:   
Gọi

G  x; y; z 

2

2

2

  y  1   z  1 1

có tâm

I  1; 1; 1


  

là điểm thỏa 3GA  2GB  GC 0 , khi đó

3  0  x   2  3  x    0  x  0

3  1  y   2  0  y    21  y  0 

3  1  z   2   1  z     19  z  0
Lúc này ta có

 x 1

 y 4
 z  3
 G  1; 4;  3


8


T 3MA2  2 MB 2  MC 2
 
 
 
3MG 2  6 MG.GA  3GA2  2 MG 2  4 MG.GB  2GB 2  MG 2  2MG.GC  GC 2
   
6 MG 2  2 MG 3GA  2GB  GC






6 MG 2
T đạt giá trị nhỏ nhất khi M là một trong hai giao điểm của đường thẳng IG và mặt cầu  S  .
 x 1

IG :  y 1  3t
 z 1  4t

Phương trình đường thẳng

M IG   S 

nên tọa độ M là nghiệm của hệ

 x 1
 y 1  3t


 z 1  4t

 x  1 2   y  1 2   z  1 2 1


1

 t 5

 t  1
5



  8 1
 M 1  1; 5 ; 5 

 

 2 9
 M 2  1; ; 
 5 5
. Khi đó: 
 8 1
M M 1  1; ; 
 5 5
Vì M 1G  M 2G nên điểm
14
a b c 
5 .
Vậy

Câu 18. Một người thợ thủ cơng làm mơ hình lồng đèn bát diện đều, mỗi cạnh của bát diện đó được làm từ các
que tre độ dài 8cm . Hỏi người đó cần ít nhất bao nhiêu mét que tre để làm 100 cái đèn (giả sử mối nối giữa các
que tre có độ dài khơng đáng kể)?
A. 64 .
B. 96 .

C. 6400 .

D. 9600 .

Đáp án đúng: B

Câu 19.
Cho tứ diện

có

trong mặt phẳng vng góc với
A.

là tam giác đều cạnh bằng a , BCD vng cân tại
. Tính theo

.

C.
.
Đáp án đúng: C

thể tích của tứ diện
B.
D.

và nằm

.

.
.

Câu 20. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vng góc đáy, I là tâm
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. I là trung điểm SA .
B. I là giao điểm của AC và BD .
C. I là trung điểm SC .
D. I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBD .
Đáp án đúng: C
9


Giải thích chi tiết: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vng góc
đáy, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. I là trung điểm SA .
B. I là giao điểm của AC và BD .
C. I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBD .
D. I là trung điểm SC .
Lời giải

 BC  SB
 BC   SAB 
 

CD   SAD 
CD  SD .
Dễ thấy 
Khi đó A , B , D cùng nhìn SC dưới góc 90 do đó trung điểm I của SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S . ABCD .
Câu 21.
Hình chiếu vng góc của điểm

xuống mặt phẳng (Oxy) là?


A.

B.

C.
D.
Đáp án đúng: A
Câu 22. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra đối với thứ tự giữa các đội trong một giải bóng có 5 đội bóng?
(giả sử rằng khơng có hai đội nào có điểm trùng nhau)
A. 120.
B. 80.
C. 100.
D. 60.
Đáp án đúng: A
Câu 23.
Trong

khơng

gian

,

cho

đường

thẳng

. Phương trình đường thẳng

và vng góc với đường thẳng
A.
C.
Đáp án đúng: D

.
.

và
đi qua

mặt

phẳng

, song song với mặt phẳng

là
B.
D.

.
.

10


Giải thích chi tiết: Trong khơng gian

, cho đường thẳng


. Phương trình đường thẳng
và vng góc với đường thẳng
A.

.

C.
Lời giải

.

có vectơ chỉ phương

và mặt phẳng

đi qua

, song song với mặt phẳng

là

B.

.

D.

.


và đi qua

nên có phương trình:

.
Câu 24. Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A( 3;0;0) , B(0; 2;0) , C (0;0;  4) . Phương trình nào dưới đây là
phương trình mặt phẳng ( ABC ) ?
x y z
 
0
A.  3 2  4
.
x y
z


1
C. 2  3  4
.
Đáp án đúng: D

x y z
 
1
B. 2 3  4
.
x y z
 
1
D.  3 2  4

.

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian Oxyz cho ba điểm A( 3;0;0) , B(0; 2;0) , C (0;0;  4) . Phương trình nào
dưới đây là phương trình mặt phẳng ( ABC ) ?
x y z
x y
z
x y z
 
0


1
 
1
A.  3 2  4
. B. 2  3  4
. C. 2 3  4
.
Lời giải

x y z
 
1
D.  3 2  4
.

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua 3 điểm A( 3;0;0) , B(0; 2;0) , C (0;0;  4) là:
x y z
 

1
3 2 4
.
2

2

2

A  0;1;9 
S : x  3   y  4    z  4  25
Câu 25. Trong không gian Oxyz , cho điểm
và mặt cầu   
. Gọi
 C  là giao tuyến của  S  với mặt phẳng  Oxy  . Lấy hai điểm M , N trên  C  sao cho MN 2 5 . Khi tứ
diện OAMN có thể tích lớn nhất thì đường thẳng MN đi qua điểm nào trong số các điểm dưới đây?
 1

 12

;  3;0  .
  ; 4;0  .

5;5;
0
.


 4;6; 0  .



A.  5
B.
C.  5
D.
Đáp án đúng: B

 S  có tâm I  3; 4; 4  , bán kính R 5 . Gọi rC là bán kính đường trịn  C  .
Giải thích chi tiết: Mặt cầu
 C   H  3; 4;0  , IH   Oxy  , d  I ,  Oxy   4 .
Gọi H là tâm đường tròn
rC  52  42 3 , OH 5  O nằm ngồi đường trịn  C  , d  A,  Oxy   9

11


1
1
VOAMN  d  A,  Oxy   .SOMN  3SOMN 3. d  O, MN  .MN 3 5.d  O, MN 
3
2
V  d  O, MN  max
Suy ra max

Mà

2
d  O, MN  OH  HK 5  3 

 5


2

7

Dấu bằng xảy ra khi OH  MN .
 


 OH ; k   4;  3;0  , OH  3; 4;0  , k  0;0;1





. (Với K là trung điểm MN )
MN
Khi đó
có 1 véc

tơ

chỉ

phương

là

 và đi qua trung điểm K của MN .



7
 21 28 
OK  OH  K  ; ;0 
5
 5 5 
21

x

 4t

5

28

MN :  y   3t
5

 z 0
1
t
5



 5;5; 0 

Phương trình đường thẳng
Câu 26. Tam giác ABC có a 14, b 18, c 20 . Khẳng định nào sau đây đúng?



A. B 119 04 ' .

C. B 60 56 ' .
Đáp án đúng: C


B. B 90 .

D. B 42 50 ' .

Giải thích chi tiết: Tam giác ABC có a 14, b 18, c 20 . Khẳng định nào sau đây đúng?




A. B 42 50 ' . B. B 60 56 ' . C. B 119 04 ' . D. B 90 .
Câu 27. Cho hình chữ nhật ABCD có AB 4a; BC a.  Tính thể tích khối trịn xoay khi quay hình phẳng
ABCD quanh trục AD.
3

3
B. 32 a

A. 16 a
Đáp án đúng: A
Câu 28.

Cho hình nón trịn xoay có bán kính đường trịn đáy

Kết luận nào sau đây sai?
A.
C.

.
.

3
C. 4 a

3
D. 8 a

, chiều cao

và đường sinh

B.

.

D.

.

.
12


Đáp án đúng: D



 
A  1;1;1 , B  2;  1; 2 
Câu 29. Trong không gian Oxyz cho hai điểm
. Tọa độ điểm M thỏa mãn MA  2 MB 0
là.
 3;  3;3 .
  3;3;3 .
  3;  3;3 .
 3;  3;  3 .
A.
B.
C.
D.
Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết:
M  x; y; z 
Gọi


MA  1  x;1  y;1  z  , MB  2  x;  1  y; 2  z 
Ta có:
Từ giả thiết suy ra:
 1  x;1  y;1  z   2.  2  x;  1  y; 2  z   0;0; 0 

  1  x;1  y;1  z    4  2 x;  2  2 y; 4  2 z   0;0;0 
 1  x    4  2 x  0

  1  y     2  2 y  0 


 1  z    4  2 z  0
Vậy

M  3;  3;3

 x  3 0

 y  3 0 
 z  3 0


 x 3

 y  3
 z 3


.

A(1;  2; 0) có vetơ
Câu 30. Trong
 khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
pháp tuyến n (2;  1; 3) là

A. x  2 y  4 0 .
C. 2 x  y  3 z  4 0 .

B. 2 x  y  3z 0 .
D. 2 x  y  3z  4 0 .


Đáp án đúng: D
Câu 31. Trong không gian

(Oxz ) có tọa độ là
M   2;0;  3 .
A.

Oxyz , cho điểm M   2;1;  3 . Hình chiếu vng góc của M lên mặt phẳng

M 0;1;  3 .


C.
Đáp án đúng: A

Câu 32. Cho hình nón
đúng?
2

2

2

 N

B.

M  2;  1;0  .


D.

M   2;1;0  .

có chiều cao h , độ dài đường sinh l , bán kính đáy r . Cơng thức nào sau đây là
2

2

2

A. r h  l .
B. l h  r .
Đáp án đúng: B
Câu 33.
Hình đa diện sau có bao nhiêu cạnh?

2

2

2

C. h l  r .

2

2

2


D. l h  r .

13


A.
B.
C.
D.
Đáp án đúng: C
Câu 34. Cho hình vng ABCD có cạnh a; Gọi I, H lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho hình vng đó
quay quanh trục IH thì tạo nên một hình trụ. Tìm kết luận sai.
A. l = a.
C.
Đáp án đúng: C

.

B.

.

D.

.
 x  1  t

d 2 :  y  1
 z  t



x  1 y 1 z


2
 1 1 và
Câu 35. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng
 P  : x  y  z  1 0 . Đường thẳng vng góc với  P  cắt d1 và d 2 có phương trình là
7
2
1
3
2
x
z
x
y
z
5  y 1  5 .
5
5  5.
1
1
1
1
1
1
A.
B.

13
9
4
x
y
z
x y z
5 
5  5.
  .
1
1
C. 1 1 1
D. 1
d1 :

và mặt phẳng

Đáp án đúng: B
 x  1  t

d 2 :  y  1
 z  t


x  1 y 1 z


2
 1 1 và

Giải thích chi tiết: Trong khơng gian Oxyz , cho hai đường thẳng
 P  : x  y  z  1 0 . Đường thẳng vng góc với  P  cắt d1 và d 2 có phương trình là
mặt phẳng
1
3
2
x
y
z
x y z
5
5  5.
  .
1
1
1
1
1
1
A.
B.
d1 :

13
9
4
y
z
5 
5  5.

1
1
1

x

C.
Lời giải

PTTS

và

7
2
z
y

1
5
 5.
1
1
1

x
D.

 x 1  2t


d1 :  y  1  t
 z t


Gọi d là đường thẳng cần tìm và giả sử d cắt d1 , d 2 lần lượt tại A, B khi đó
14



A  1  2a;  1  a; a  , B   1  b;  1;  b   AB   2  b  2a; a;  b  a  .
4

b  5



2
2

 2 2 2
d   P   AB k n p  a   AB   ;  ;     1;1;1 .
5
5
 5 5 5

2

 k  5

Do

1
3
2
x

y

z

1 3 2

5
5  5.
A ;  ;  
u
 1;1;1
5
5
5


d
1
1
1
Đường thẳng đi qua
nhận
là VTCP là:

E  1;1;1

 S  : x 2  y 2  z 2 4 và mặt
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm
, mặt cầu
 P  : x  3 y  5z  3 0 . Gọi  là đường thẳng đi qua E , nằm trong  P  và cắt mặt cầu  S  tại hai điểm
phẳng
A , B sao cho tam giác OAB là tam giác đều. Phương trình của đường thẳng  là
x 1 y 1 z 1


1
1 .
A.  2
x 1 y 1 z 1


1
1 .
C. 2
Đáp án đúng: B

x 1 y 1 z 1


1
1 .
B. 2
x 1 y 1 z 1


1

1 .
D. 2

Giải thích chi tiết:
Mặt cầu

 S

có tâm

trung điểm AB ta có

O  0; 0;0 
OM 

bán kính R 2 . Tam giác OAB là tam giác đều có cạnh bằng 2. Gọi M là

2 3


 3
OE  1;1;1  OE  3
u
2
, mặt khác
. Vậy điểm M trùng điểm E . Gọi

 

 


là vectơ chỉ phương của  ta có: u  OE và u  n .

 
1  
u   n , OE   2;  1;  1
 n , OE    8; 4; 4 


4
, chọn
.
15


Vậy đường thẳng  đi qua E , có vectơ chỉ phương
Câu 37.
Cho khối nón có chiều cao


u  2;  1;  1

và bán kính đáy

A.
.
Đáp án đúng: C
Câu 38.

B.


x 1 y 1 z 1


1
1 .
có phương trình là: 2

. Thể tích của khối nón đã cho là

.

C.

Người ta thả một viên bi hình cầu với bán kính bằng

.

D.

vào một cái ly dạng hình trụ đang chứa nước.

Người ta thấy viên bi bị chìm xuống đáy ly và nước dâng lên thêm
ban đầu trong ly bằng
A.

. Tính thể tích

. Biết rằng chiều cao của mực nước


của khối nước ban đầu trong ly.

.

C.
Đáp án đúng: D

.

.

B.

.

D.

.

Giải thích chi tiết: Người ta thả một viên bi hình cầu với bán kính bằng

vào một cái ly dạng hình trụ

đang chứa nước. Người ta thấy viên bi bị chìm xuống đáy ly và nước dâng lên thêm
cao của mực nước ban đầu trong ly bằng
A.

.

C.

Lời giải

.

. Tính thể tích

B.

.

D.

.

. Biết rằng chiều

của khối nước ban đầu trong ly.

4
V1 = p33 = 36p
3
Thể tích viên vi là
.
Gọi R là bán kính đáy của ly nước.
Do khi thả viên bi vào trong ly nước, thì tương ứng ta có thể tích nước dâng lên ứng với chiều cao 1cm đó là
2
chính là thể tích viên bi, nên ta có 1.p.R = 36p Þ R = 6 .
2
3
Thể tích lúc đầu của ly nước là V = 7,5.p.6 = 270p » 848, 23cm .

Câu 39.

Số điểm chung của

và

A.
.
Đáp án đúng: D

B.

.

là:
C.

.

D. 4.

 x 2t

d1 :  y t
 z 4


Câu 40. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
phương trình mặt cầu
S : x  2

A.   

2

2

 S

có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng
2

2

  y  1   z  2  16.
2

S : x  2
B.   

2

S : x  2    y  1   z  2  4.
C.   
Đáp án đúng: D

D.

2

 S  :  x  2


2

và

 x 3  t '

d 2 :  y t '
 z 0


. Viết

d1 và d 2 .

 ( y  1) 2  ( z  2) 2 16.
2

  y  1  ( z  2) 2 4.
16




d
u (2;1;0) .
Giải thích chi tiết: Đường thẳng 1 có vectơ chỉ phương 1

d
u ( 1;1;0) .

Đường thẳng 2 có vectơ chỉ phương 2
Để phương trình mặt cầu
và chỉ khi:

 S

có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với cả hai đường thẳng

 S

Tâm mặt cầu
nằm trên đoạn thẳng vng góc chung của 2 đường thẳng
của đoạn thẳng vng góc chung.
Gọi điểm

d2 .
Ta có

M  2t ; t; 4 

thuộc

d1 ; gọi điểm

N (3  t '; t ';0) thuộc

d1 và d 2 khi

d1 và d 2 , đồng thời là trung điểm


d 2 với MN là đoạn vng góc chung của d1 và



MN  3  t ' 2t ; t ' t ;  4 

.

 
 MN .u1 0
2.  3  t   2t   t   t 0
  

  1 .  3  t   2t   t   t 0
 MN .u2 0
MN là đoạn thẳng vng góc chung 
t   5t 6
t 1
 M (2;1; 4)
 

 
2t   t 3
t  1  N (2;1;0) .

 S  , do đó điểm I là trung điểm MN .
Gọi điểm I là tâm mặt cầu
 I  2;1; 2   R  IM  IN 2
.
2

 S   x  2    y  1 2   z  2  2 4

Suy ra mặt cầu

:

.
----HẾT---

17