ĐỀ MẪU CĨ ĐÁP ÁN

ƠN TẬP KIẾN THỨC
TỐN 12
Thời gian làm bài: 40 phút (Không kể thời gian giao đề)
-------------------------

Họ tên thí sinh: .................................................................
Số báo danh: ......................................................................
Mã Đề: 097.
x

f  x  t t 2  1.dt  4 x 2  1  1

Câu 1. Biết giá trị nhỏ nhất của hàm số:
phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức T a  5b .
A. 2 .
B.  2 .
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết: Ta có:
x

x

0

a
a
;  a, b  ; b  0 
bằng b
với b là

C. 1 .

x

D.  1 .

x

1
3
3
1
1
1 2
2
2
2
1 2
1
2 .d t 2  1 
2
t
t

1.
dt

t


1.
d
t

1

t

1
t

1
2 









x

1



2
2

3
0
0
0
3
3
0
2

Khi đó



f  x 



3
1
1 2
2
2  4 x 2 1 2 
x

1




3

3

1
2
f  u   u 3  4u 
3
3
Đặt
. Hàm số trở thành:
 u 2
1
f '  u  u 2  4 0  
 u
u 2
 u  2
1

u  x 2  1 2 ; u 1

 min f  u   f  2  

 u 1

14
3

a  14
 
 T 1
b 3

.

A   2;  1;3 B  2;3;1 C  1; 2;3 D   4;1;3
Câu 2. Cho 4 điểm
,
,
,
. Hỏi có bao nhiêu điểm trong bốn điểm đã
   : x  y  3z  6 0 ?
cho thuộc mặt phẳng
A. 4 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Đáp án đúng: C
1


p

Câu 3. Cho hàm số
tích phân

- p

là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [- p;p], thỏa mãn

dx
2018x +1


A.
Đáp ỏn ỳng: A
Gii thớch chi tit:
Li gii.

B.

x =- t ắắ
đ dx =- dt.

Khi đó

Đổi cận

f ( - t)

I = 0.

C.

I = 4036.

Vỡ

1
.
2018

ỡùù x =- p đ t = p
.

ớ
ùùợ x = p ® t =- p

p

p

p

- t

p

y = f ( x)

D.

I =

f ( - t)
2018t f ( - t)
2018x f ( - x)
d
t
=
d
t
=
d
t

=
t
t
ò 2018 +1 ò 2018 +1 ò 1+ 2018
ò 1+ 2018x dx.
p
- p
- p
- p
- p

I =-

Giá trị của

bằng

I = 2018.

Đặt

0

f ( x)

p

I =ò

y = f ( x)


ò f ( x) dx = 2018.

là hàm số chẵn trên đoạn
f ( x)

p

p

2018x f ( x)

[- p;p]

nên

p

f ( - x) = f ( x) ắắ
đI = ũ
- p

2018x f ( x)
2018x +1

dx.

p

dx + ò

dx = ò f ( x) dx = 2ị f ( x) dx = 2.2018 ® I = 2018.
2018x +1
2018x +1
- p
- p
- p
0

2I = ò

Vậy

5

Câu 4. Cho hàm số
A. 6

f  x

liên tục trên  và
B. 1

2

f  x  dx 4
2

,

I x 3 f  x 2  1 dx


f  5  3 f  2  2
1
,
. Tính
C. 4
D. 3

Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết:
Lời giải
2
2
2

1 2
1 2
2
2
2
2
I x f  x  1 dx  x f  x  1 d  x  1   x . f x  1 1  2xf  x  1 dx 
2
21
1

1
2
5
 1


1
  4 f  5  f  2   f x 2  1 d x 2  1    10  f  x  dx  3
2
1
2
 2

.
M  x; y; z 
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm
xét các khẳng định
 Oxy  là điểm có tọa độ  x; y;0  .
(1) Hình chiếu vng góc của M lên mặt phẳng
2

3



2



 










Khoảng cách từ điểm M lên trục Oz bằng

x2  y 2 .

 0; y; 0  .
Hình chiếu vng góc của M trên trục Oy là điểm có tọa độ
 x;  y;  z  .
Điểm đối xứng của M qua trục Ox là điểm có tọa độ
  x;  y;  z 
Điểm đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ O là điểm có tọa độ

2
2
2
OM
Độ dài của vec-tơ
bằng x  y  z .
Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là
A. 3 .
B. 3 .
C. 6 .
D. 1 .
Đáp án đúng: C
Giải thích chi tiết: Tất cả các khẳng định trên đều đúng.
2



f '  x  x  x 2  1 x 2  3
có đạo hàm xác định trên  là
. Giả sử a , b là hai số thực
f  a  f  b
thay đổi sao cho a  b 1 . Giá trị nhỏ nhất của
bằng

Câu 6. Cho hàm số

f  x

3  64
15 .

A.
Đáp án đúng: D

B.



3
5 .

C.
b

Giải thích chi tiết: Ta có
Đặt




11 3
5 .

33 3  64
15
D.
.

b

f  b   f  a  f  x dx x  x 2  1 x 2  3dx
a

a

.

2

x  3 t  x 2  3 t 2  xdx tdt .
b 2 3

f  b  f  a 
Suy ra:

 t


2

 4  .t.tdt

2

a 3

b 2 3

 t 5 4t 3 
   t  4t dt  

5
3
2


a 3
4

b 2 3

2

a 2 3

  b 2  3 2 b 2  3 4  b 2  3 b 2  3 






5
3



  a 2  3 2 a 2  3 4  a 2  3 a 2  3 





5
3

.

Như vậy:
  a 2  3  2 a 2  3 4  a 2  3 a 2  3 

f  a   f  b  



5
3




Xét hàm

g  u 

  b 2  3 2 b 2  3 4  b 2  3 b 2  3 





5
3

.

u 5 4u 3

5
3 .

2
+ Với u  a  3 . Vì a  1 nên u  3 .
 3; 
g u
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của   trên 
.
 u 0
4
2

g  u  u  4u 0   u  2
 u 2
Ta có:
.
Bảng biến thiên:



min g  u   g  2   64
 3; 
15 . Khi u 2 
Suy ra 

 a 1

a  3 2  a 1
 a  1 . Vì a  1 nên a  1 .
2

2

3


2
Với a  1 ta có  1  b 1 , suy ra 3  b  3 2 .

g  u

max g  u  g

 3; 2 
 3;2 


trên
. Dựa vào bảng biến thiên trên ta thấy  

Ta tìm giá trị lớn nhất của
11 3

2
5 . Khi đó b  3  3  b 0 .



 3



64    11 3  33 3  64

5   15
15 
khi a  1 ; b 0 .

f  a  f  b
Vậy
đạt giá trị nhỏ nhất là
Câu 7.
f ( x)

Cho hàm số
liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây

p
2

( A) , ( B) lần lượt bằng a và b . Tính
Biết diện tích các miền phẳng
b- a
A. 5 .
Đáp án đúng: C

- a- b
5 .
B.

Giải thích chi tiết: Cho hàm số

f ( x)

a- b
C. 5 .

ò cos x. f ( 5sin x - 1)dx
0

.
a +b
D. 5 .


liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây

4


p
2

( A) , ( B) lần lượt bằng a và b . Tính
Biết rằng diện tích các miền phẳng
b- a
A. 5 .
Lời giải
Đặt

a +b
B. 5 .

- a- b
5 .
C.

Đổi cận x = 0 Þ t =- 1 ,

0

.

a- b
D. 5 .


t = 5sin x - 1 Þ dt = 5cos xdx Û cos xdx =
x=

ò cos x. f ( 5sin x - 1)dx

dt
5

p
ị t =4
2
.

1
4
ử
1
1ổ
a- b
ữ
ỗ
ữ
I = ũ f ( t ) dt = ỗ
f
t
dt
+
f
t

dt
=
(
)
(
)
ữ
ũ
ũ
ỗ
ữ
5
5ỗ
5
ố- 1
ứ
- 1
1
4

Suy ra
Cõu 8.
Cho bỡnh chứa nước được tạo bởi hìnhnón khơng đáy và hình bán cầu và đặt thẳng đứng trên mặt bàn như hình
vẽ. bình được đổ một lượng nước bằng 70% dung tích của bình. Coi kích thước vỏ bình khơng đáng kể, tính
chiều cao củamực nước so với mặt bàn ( làm tròn kết quả đến hang đơn vị).

A. 14cm .
Đáp án đúng: C

B. 13cm .


C. 12cm .

D. 15cm

Giải thích chi tiết: + Gọi hình bán cầu có bán kính r nên r 8cm .
2
1024
Vbc   r 3 

3
3
Thể tích hình bán cầu:
+ Hình nón như giả thiết có bán kính đáy r 8 , chiều cao h 20cm .
1
1280
Vr   .r 2 .20 

3
3
Thể tích khối nón
 1024 1280 
Vbinh 

  768 .
3
3


Vậy thể tích bình chứa nước đã cho:

2688
768 .0, 7 
.
70% dung tích của bình có thể tích là:
5

1152
768 .0,3 
.
30% dung tích của bình có thể tích là:
5
+ Ta thấy phần cịn lại của bình khơng chứa nước là hình nón có đỉnh trùng đỉnh hình nón bài ra và bán kính đáy
1152
Vr ' 

5
r ' , chiều cao h ' , thể tích
.
5


3

3

3

Vr '  r '   h ' 
 h '  1152 1280
       

:
 h ' 16, 287cm
V
r
h
20
5
3






r
Ta có
Chiều cao của mực nước so với mặt bàn cần tìm là: 28  16, 287 11, 713 . Làm tròn 12cm. .
ln 2021
x

 e dx

Câu 9. Tích phân ln 2020
A. ln 2021  ln 2020.

bằng
B. 4.
D. 1.

C. 3.

Đáp án đúng: D
ln 2021
x

 e dx

Giải thích chi tiết: [2D3-2.1-1] Tích phân
A. 4. B. 3. C. ln 2021  ln 2020. D. 1.

ln 2020

bằng

Lời giải
ln 2021
x

Ta có
Câu 10.

 e dx e

x ln 2021
ln 2020

ln 2020

2021  2020 1
.


Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên đoạn

thỏa mãn

. Giá trị lớn nhất của hàm số
3

A. 2 15 .
Đáp án đúng: C

3

B. 2 42 .

 f  x 
Giải thích chi tiết: Ta có:

2

C.

. f  x  3x 2  4 x  2

trên đoạn
3

42 .


và
là

D.

3

15 .

(*)

Lấy nguyên hàm 2 vế của phương trình trên ta được
2

2

 f  x   . f  x dx  3x  4 x  2 dx   f  x   d  f  x   x  2 x
 f  x   x  2 x  2 x  C  f x 3 x  2 x  2 x  C 1

   
 
3
2

3

2

 2x  C


3

3

Theo đề bài

3

2

f  0  3

3

 f  0 
nên từ (1) ta có

3

2

3  03  2.02  2.0  C   27 3C  C 9

3

  f  x   3  x 3  2 x 2  2 x  9   f ( x )  3 3  x 3  2 x 2  2 x  9  .
Tiếp theo chúng ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số
CÁCH 1:
Vì


y  f  x

trên đoạn

x3  2 x 2  2 x  9 x 2  x  2   2  x  2   5  0, x    2;1
3  3x  4 x  2 
2

f  x  

Hàm số

nên

có đạo hàm trên

và

2

3  3  x3  2 x 2  2 x  9  
3

  2;1 .

2

3x  4 x  2



3

 3  x3  2 x 2  2 x  9  



đồng biến trên

  2;1 

2

 0,

x    2;1 .

max f  x   f  1  3 42.
  2;1

6


max f  x   f  1  3 42

Vậy   2;1
CÁCH 2:

.
3


2
2  223


f  x   3 3 x  2x  2x  9  3 3  x    2  x   
.
3
3 9


3

2

3

2
2  223


y 3  x   , y 2  x   
3
3
9 đồng biến trên


Vì các hàm số

nên hàm số


3

2
2  223


y 3 3 x    2  x   
3
3  9 cũng đồng biến trên


  2;1 .

max f  x   f  1  3 42

Vậy   2;1

đồng biến trên

.

Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số y sin 2 x là
1
 cos 2 x  C
A. 2
.



Do đó, hàm số


B.  cos 2x  C .
1
cos 2 x  C
D. 2
.

1
cos 2 x
2
.

C.
Đáp án đúng: D

1
1
1
sin 2 x d  2 x   sin 2 xd  2 x   cos 2 x  C
sin
2
x
d
x
2
2
2
Giải thích chi tiết: Ta cú
.
Cõu 12.

ổ
pử
ữ
ữ
fỗ
= 4.
ỗ
ữ
ỗ
ữ
2ứ
ố
f
(
x
)
Cho hm s
tha món
v
Mnh no ỳng?
A.
B.
C.
D.
ỏp án đúng: B
2

 x 1

2


e

x

1
x

p
q

dx me  n

Câu 13. Biết 1
Tính T m  n  p  q .
A. T 7 .
Đáp án đúng: C

C. T 10 .

B. T 11 .
2

Giải thích chi tiết: Ta có:

p
, trong đó m , n , p , q là các số nguyên dương và q là phân số tối giản.

2


I  x  1 e
1

x

1
x

2

dx  x  2 x  1 e
2

1

x

1
x

D. T 8 .
2

dx  x  1 e
2

1

x


1
x

2

dx  2 x.e
1

x

1
x

dx
.
7


2

I1  x  1 e
2

Xét

x

1
x


1

u  x 2

 x  1x  

dv d  e 


Đặt 

2
2

dx x e

2

x

1
x

1
x

1

du 2 xdx
1


x
v e x

2
 x 1 
 I1 x 2 d  e x  x 2 e


1

 I1  2 xe

x

1 2
x
x
1

1 2
x
2
x

dx  x e

1

2

1
2
1
x 
x
x2 1
1
2 
2
x 
. 2 dx x e d  x   x d  e x 
x
x 1


.
1

.

2

 2 xe

x

1
x

dx

.

1

3

4.e 2  1
.

1

3
2

Vậy I 4e  1 suy ra m 1, n 1, p 3, q 2 .
Do đó: T m  n  p  q 10 .
4

2

ò f (x)dx = 16.

Câu 14. Cho
A. I = 16.
Đáp án đúng: C
0

Câu 15. Cho các điểm
A. M(-9;-10;-9)
C. M(4;5;3)

Đáp án đúng: D
Câu 16.

I = ị f (2x)dx.

0
Tính
B. I = 32.

A  1;2;3 , B  2;3;5  , C   2;  1;2 

D. I = 4.




AB

2
CM
3MB . Tọa độ của M là:
và điểm M thỏa
B. M(3;4;5)
D. M(9;10;9)

3
với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính P = ac + b.

Biết
A. P = 2.

Đáp án đúng: A
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

C. I = 8.

B.

3
P= .
2

C.

5
P= .
4

D. P = 3.

Ta có

8


ỡù
ùù a = 1
ùù
8
ù

ắắ
đ ớ b = 1 ắắ
đ P = ac3 + b = 2.
ïï
ïï c = 2
ïï
ïỵ

Câu 17.
Trong không gian với hệ trục tọa độ
hợp các điểm
A.

, cho ba điểm

thỏa mãn

,

. Tập

là mặt cầu có bán kính là:

.

B.

C.
.
Đáp án đúng: C


.

D.

Giải thích chi tiết: Giả sử

.

Ta

;

có:

,

.

;

.

.
Vậy tập hợp các điểm

thỏa mãn

là mặt cầu có bán kính là
.

2
2
f  x
 0;  , thỏa mãn 3xf  x  x f  x   2 f  x  , x  0 và
Câu 18. Cho hàm số
liên tục và dương trên
2
f  x
1
dx
f  1 
2

2 . Giá trị của tích phân 1 x

1 5
.ln
A. 3 2 .
Đáp án đúng: B

1 5
.ln
B. 2 2 .

1 5
ln
C. 4 2 .

D.


ln

5
2.

3 xf  x   x 2 f  x   2 f 2  x  , x  0
Giải thích chi tiết: Ta có
 3x 2 f  x   x 3 f  x  2 xf 2  x 

.

f  x
1
x3
x
1  C  2 1  C  C 1  f  x   2

 2
2
f  1
x 1
x
x 1

Thay x 0 ta được
2
2
f  x
x
1

dx  2
dx
t  x 2  1  dx 2 xdx  xdx  dt
2

x
x

1
2 .
1
Khi đó 1
. Đặt
 x 1  t 2


x

2

t

5

Đổi cận
Câu 19.

.

2


5
5
f  x
1 1
1
1 5
dx   dt   ln t   .ln
2

2
x
22t
2
2 2.
1

9


Trong

khơng

gian

với

hệ


tọa

độ

,

cho

mặt

cầu

có

. Trong các số dưới đây, số nào là diện tích của mặt cầu
A.
Đáp án đúng: C

B.

C.

phương

trình

?

D. 36


Câu 20. Cho hàm số f ( x) liên tục và có đạo hàm đến cấp 2 trên [ 0;2] thỏa ff( 0) - 2 f ( 1) + ( 2) = 1. Giá trị nhỏ
2

nhất của tích phân

2

ị éëf ''( x) ùû dx

5
.
4

A.
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết:
Lời giải.
1

Ta có

bằng

0

B.

2

1


1

0

0

3
.
2

C.

Holder

2

2
ị éëf ''( x) ùû dx = 3ò x dx.ò éëf ''( x) ùû dx ³
0

2

=

2

2

2


1

1

2

Holder

2
ò éëf ''( x) ùû dx = 3ò( x - 2) dx.ò éëf ''( x) ùû dx
1

Suy ra

2

0

3ộ
ởff'( 1) + ff( 0) -

( 1) ự
ỷ;

ổ2
ử
ữ
ữ
ỗ

3ỗ
x
2
.
f
''
x
d
x
2
(
)
(
)
ữ
ỗ
ũ
ữ
ỗ1
ữ
ố
ứ
=

ũ ộởf ''( x) ùû dx ³

2

3é
ëff'( 1) + f ( 0) -


{ ud=v=x-f ''2( x) dx
2

D.

4
.
5

ổ1
ử
ữ
ữ
ỗ
3ỗ
x
.
f
''
x
d
x
(
)
ữ
ỗ
ũ
ữ
ỗ

ữ
ố0
ứ

{ ud=v=xf ''( x) dx
2

2
.
3

2

3ộ
ở- ff'( 1) + f ( 2) -

2

( 1) ù
û.

2

é
( 1) ù
ûff+ 3ë- '( 1) + ( 2) -

( 1) ù
û


2

éff( 0) - 2 f ( 1) + ( 2) ù 3
û= .
³ 3. ë
2
2

Nhận xét: Lời giải trên sử dụng bất đẳng thức ở bước cuối là
Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f (x)=2e x −1 là
A. e x −1+C .
b. e^(kx)
1 x 1 2
e − x +C .
B.
x+1
2
1 2
x
C. e − x +C .
2
x
D. 2 e −x +C .
Đáp án đúng: D
1
f  x 
3x  1 ?
Câu 22. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
A.


ln  3 x  1  c

.

1
ln 3x  1  c
C. 3
.

B.

a2 + b2 ³

( a+ b)
2

ln 3x  1  c

2

.

.

1
ln  3x  1  c
D. 3
.
10



Đáp án đúng: C

1
F  x   f  x  dx  ln 3 x  1  c
3
Giải thích chi tiết:
Câu 23.
Cho ba điểm A, B, C nằm trên một mặt cầu, biết rằng góc
. Trong các khẳng định sau, khẳng
định nào sai?
A. AB là một đường kính của mặt cầu.
B. Ln có một đường trịn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC.
C. Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường trịn lớn.
D. Tam giác ABC vng cân tại C.
Đáp án đúng: D
2
2
2
Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x  1)  y  ( z  2) 5 . Tâm của ( S ) có tọa độ là

 1;0;  2  .
A.
Đáp án đúng: A
Câu 25. Cho hàm số
2x
A. y e  x  2 .

B.


f  x

  1;0;  2  .

C.

  1;0; 2  .

D.

 1; 0; 2  .

f  x  2e 2 x  1, x f  0  2
f  x
có đạo hàm liên tục trên  và
,
. Hàm số
là
x
B. y 2e  2 x .

2x
C. y e  x  1
Đáp án đúng: C

x
D. y 2e  2 .

f  x


f  x  2e 2 x  1, x f  0  2

có đạo hàm liên tục trên
và
,
. Hàm số

Giải thích chi tiết: Cho hàm số
f  x
là
x
x
2x
A. y 2e  2 x .
B. y 2e  2 .
C. y e  x  2 .
f  x  dx  2e 2 x  1 dx e2 x  x  C

Ta có:
.
2x
f  x  e  x  C
Suy ra
.
f  0  2  1  C 2  C 1
Theo bài ra ta có:
.
2x
f  x  e  x  1
Vậy:

.

2x
D. y e  x  1 Lời giải

x4 1
1
dx  arctan  x 3   n arctan x  C
2
2
6

m
Câu 26. Biết x  1
. Tính m  n .
A. 5.
B. 10.
C. 52.
Đáp án đúng: B

x4 1
I


x6 1 dx

2
 J  x dx
x6  1
Giải thích chi tiết: Đặt 


D. 25.

11



x4  x2 1
x 4  x 2 1
dx
I

J

d
x


 x6 1
 x 2 1  x 4  x2  1 dx x 2 1 arctan x  C1

 
3
2
 J  x dx 1 d  x  1 arctan x 3  C
  2
1
x6 1 3  x3 2 1 3

 I  arctan  x 3   arctan x  C

 

3
.
2
2
Vậy m 3 , n 1 , m  n 10 .

( P ) đi qua điểm M ( - 2;2;0) và có VTPT
Câu 27. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng
uur
nP = ( 1;0;- 5)
có phương trình là:
(P ) :x (P ) :x C.
A.

(P ) :x(P ) :x D.

5z - 3 = 0.

B.

5z + 4 = 0.

5y + 4 = 0.
5z + 2 = 0

.

Đáp án đúng: D

Câu 28.

Biết
A. P = 41.
Đáp án đúng: B
Giải thích chi tiết:
Lời giải.

với a, b, c là các số nguyên. Tính P = a- b+ c.
B. P = 35.
C. P = - 35.
D. P = - 37.

Ta có

Lại có

Suy ra

Tích phân từng phần hai lần ta được

I = 2+

p2
3p
+
- 36 - 3

ìï a = 2
ùù

ắắ
đ ùớ b = - 36 ắắ
đ P = a- b+ c = 35.
ïï
ïïỵ c = - 3

12


Câu 29. Giá trị của
A. P 3  ln 5 .

2 x2 - 5x - 2
dx
- 1
x- 3
là

P=ò

2

B. P  6  ln 4 .
D. P 3  ln 5 .

C. P 6  ln 4 .
Đáp án đúng: C

 C  : y  f  x  , trục Ox , đường thẳng x a; x b  a  b  . Thể tích
giới hạn bởi

 H  quay quanh trục Ox tính bởi cơng thức nào sau đây?
khối tròn xoay tạo thành khi cho
Câu 30. Cho hình phẳng

H

b

A.

b

V  f  x  .dx
a

.

B.

b

V  .f 2  x  .dx
a

.

b

V  . f  x  .dx


a
C.
Đáp án đúng: B

.

D.

F  x

Câu 31. Cho
là nguyên hàm của hàm số
x
3F  x   ln  e  3 2
trình
là
S  1; 2
A.
.
S   2; 2
C.
.
Đáp án đúng: D

f  x 

V f 2  x  .dx
a

.


1
1
F  0   ln 4
e  3 và
3
. Tập nghiệm S của phương
x

B.

S   2;1

D.

S  2

.

.

ex
1
x
1  1
1 
1
x

F  x   x

dx e x  e x  3 dx e x  e x  3 d  e    x  x
 d e 
3
e
e

3


e 3
Giải thích chi tiết: Ta có:
.
Vì

F  0  

Ta có:

1
ln 4
3
nên C 0 . Do đó

.

3F  x   ln  e x  3 2

 x 2.

3F  x   ln  e x  3 2

S  2
Vậy tập nghiệm S của phương trình
là
.
Câu 32. Cho hình nón tròn xoay đường sinh l 4a . Thiết diện qua trục của nó là một tam giác cân có một góc
bằng 120 . Thể tích V của khối nón đó là:
 a3
V

3
3 .
A. V 8 a .
B.
3

C. V  a 3 .
Đáp án đúng: A
Câu 33.

 a3 3
V
3 .
D.

13


Nếu

,


liên tục và
B. 15 .

A.
.
Đáp án đúng: D

. Giá trị của
C. 19 .

4

Giải thích chi tiết: Ta có
Câu 34. Biết
A.

f  x  e
3
2

f  2  e  1

f  x  dx  f  x 
1

1
x
x


4
1

 f  4   f  1

bằng.
D. 29 .

 f  4   12 17  f  4  29

.

1 

 1  2  dx
f  1 0
f  2
 x 
và
. Tính
.

.

B.

3
2

f  2  e  1

C.
.
Đáp án đúng: C

D.

f  x  e

x

1
x

1
2

f  2  e  1
1
2

.

f  2  e  1

.

1 

 1  2  dx
 x  .


Giải thích chi tiết: Tính
1 

1
u  x    1  2  dx du
f  x  g  u  eu du eu  C
x 

x
Đặt
. Nên
.

 f  x  e

x

1
x

C

. Do

f  1 0

3
2


 f  2  e  1
nên C  1
.

2

3

3

f  x  dx  2

 f  x   2 x  dx 1

f  x  dx

Câu 35. Nếu
A. 2 .
Đáp án đúng: D
1

và

2

B.  2 .
3

Giải thích chi tiết:
3


thì

1

?

3

3

3

1  f  x   2 x  dx f  x  dx  2 xdx f  x  dx  x
2

2

D.  6 .

C.  1 .

2

2

2

2 3
2


3

f  x  dx  5 
2

3

f  x  dx  4
2

3

f  x  dx  f  x  dx  2    4   6
f  x  dx 
1
2
. Do đó: 1
.
Câu 36. Cho hàm số y=f ( x ) không âm và liên tục trên khoảng ( 0 ;+ ∞ ) . Biết f ( x ) là một nguyên hàm của hàm
e x . √ f 2 ( x )+ 1
số
và f ( ln2 )=√ 3 , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số e 2 x . f ( x ) là
f (x)
3
3
1
1
( e 2 x − 1 ) +C .
( e 2 x − 1 ) − √ e2 x −1+C .

A.
B.
3
3
3
5
3
1
2
( e x −1 ) +C .
( e x +1 ) + 2 ( e x +1 ) +C .
C.
D.
3
5
3
Đáp án đúng: A

√
√

Giải thích chi tiết: Ta có f ' ( x )=

√
√

√

e x . √ f 2 ( x ) +1 f ' ( x ) . f ( x ) x
⇔ 2

=e
f (x )
√ f ( x ) +1

⇔ √ f 2 ( x ) +1=e x +C
Vì f ( ln2 )=√ 3⇒ C=0 ⇒ f 2 ( x )+ 1=e 2 x ⇒ f ( x )=√ e 2 x − 1
14


❑

❑

2x

⇒ I = ❑e . f ( x ) dx= ❑e 2 x . √ e 2 x − 1 dx
❑

❑
❑

⇔ I=

3
1
1
❑ √ e 2 x − 1d ( e 2 x − 1 ) ⇔ I = ( e 2 x − 1 ) +C.

2❑
3


√

1

Câu 37. Biết
A. 193 .

x ln  x
0

2

 1dx a ln 2 

b
c

. Tính P 13a  10b  84c .
B. 190 .
C. 189 .

D. 191 .

Đáp án đúng: D
2x

du  x 2  1 dx
u ln  x 2  1  
2

v  x  1

dv  xdx

2 2
Giải thích chi tiết: Đặt: 
1

1
 x2 1 
2
x ln  x  1dx 
 ln  x 1  xdx ln 2  1

2


0
2
0
Khi đó: 0
 a 1, b 1, c 2 . Vậy P 13a  10b  84c 191 .
1

2

A  0;0;3
B  2;  3;  5 
P
Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho các điểm

và
. Gọi   là mặt phẳng chứa đường
2
2
2
S1  :  x  1   y  1   z  3 25
S : x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  14 0

tròn giao tuyến của hai mặt cầu
với  2 
.
P
M , N là hai điểm thuộc   sao cho MN 1 . Giá trị nhỏ nhất của AM  BN là
A. 8 2 .
C. 78  13 .
Đáp án đúng: B

B.

78  2 13 .

D. 34 .

Giải thích chi tiết:
Các điểm trên đường trịn giao tuyến có tọa độ là nghiệm của hệ
2
2
2

 S1  :  x  1   y  1   z  3  25  1


2
2
2

 S 2  : x  y  z  2 x  2 y  14 0  2 
1
2
P : z 0
P  Oxy  .
Lấy   trừ   , ta được 6 z 0 hay đường tròn giao tuyến nằm trên mặt phẳng  
tức là   
P
P
P
Dễ thấy A , B nằm khác phía đối với   , hình chiếu của A trên   là O , hình chiếu của B trên   là

H  2;  3;0  .
15


 
Lấy A ' sao cho AA MN . Ta có:

 AA/ MN 1

/
 AM  A N
 AA/ (Oxy )



.

   : z  3 0 là mp qua A song song với mp  Oxy  .Suy ra
A  0;0;3
có tâm
bán kính R 1 .
Gọi

A/ thuộc đường tròn  C  nằm trong mp   

Khi đó AM  BN  AN  BN  AB .
Cách 1
/

BH / BH  d   oxy  ,     5  3 8

H
B
Gọi
là hình chiếu vng góc của điểm trên mp
. Ta có
.

Có

A/ B  BH /2  A/ H /2  82   AH /  R 

2


AH /  AB 2  BH /2  77  64  13 . Vậy A/ B  78  2 13 .
Hay AM  BN  78  2 13 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của AM  BN là 78  2 13 .
Cách 2:


Dấu bằng xảy ra khi MN cùng phương OH .


OH
3
 2

MN   
;
;0  .
13 
OH  13
Do MN 1 nên chọn
3
 2

A
;
;3  .

13 
Khi đó vì AA MN nên  13




Suy ra AM  BN  AN  BN  AB  78  2 13 .
   
 
Oxyz
a

2
i

3
j

k
,
Câu 39. Trong
cho véctơ
với i, j , k là các vectơ đơn vị trên các trụ C. Tọa độ
 không gian
của vectơ a là
2;  3;1
A. 
.
Đáp án đúng: A

B.

 2;3;1 .

C.


 1; 2;  3 .

D.

 1;  3; 2  .

   
 
Oxyz cho véctơ a 2i  3 j  k , với i, j , k là các vectơ đơn vị trên các trụ
Giải thích chi tiết: Trong
khơng
gian

C. Tọa độ của vectơ a là
2;  3;1
2;3;1
 1; 2;  3 . D.  1;  3; 2  .
A. 
. B. 
. C.
Lời giải
   

a 2i  3 j  k  a  2;  3;1 .
Vectơ

  2
 
F 

F 
F  x
f  x  cos 3 x
Câu 40. Biết
là một nguyên hàm của hàm
và  2  3 . Tính  9  .
3 2
 
F  
6
A.  9 

3 2
 
F  
6
B.  9 
16


3 6
 
F  
6
C.  9 
Đáp án đúng: D
Giải thích chi tiết:

F  x  cos 3 xdx 


3 6
 
F  
6
D.  9 
sin 3 x
C
3


sin

2

 
 
sin 3 x
3 1  3  6
F  
 F  x 
1  F   
3
6 .
 2  3  C 1
9
3
----HẾT---

17