TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 1

CHƯƠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

I.PHƯƠNG TRÌNH MŨ












Bài 1: Giải phương trình: 8 . 3
x
+ 3 . 2
x
= 24 + 6
x
(1)
Giải
Ta có:
(1)

Û
3
x
(8 – 2
x
) +(2
x
– 8)= 0

Û
(8 – 2
x
)( 3
x
-3) = 0
2 8 3 3
x x
Û = Ú =


Û
x = 3
Ú
x = 1

Bài 2: Giải

phương trình:
2
2

x x
+
- 4 .
2
2
x x
-
-
2
2
x
+ 4 = 0 (2)
Đề thi tuyển sinh đại học khối D – 2006
Giải
Ta có:
2
2
2
2 2
2
2 0
2
(2) 2 (2 4) (2 4) 0
(2 4)(2 1) 0
2 4 2 2
2 2 0
1 0
x x x x
x x x
x x x

x x x
x x
-
-
-
Û - - - =
Û - - =
Û = Ú =
Û = Ú - =
Û = Ú =

Bài 3: Giải

phương trình:
2
3x+2
4
x -
+
2
+6x+5
4
x
=
2
2 +3x+7
4
x
+ 1 (3)
Giải

Ta có:
(3)
Û

2
3x+2
4
x -
+
2
+6x+5
4
x
=
2
3x+2
4
x -
.
2
+6x+5
4
x
+ 1

Û
2
3x+2
4
x -

(1 -
2
+6x+5
4
x
) +
2
+6x+5
4
x
- 1 = 0

Û
(
2
+6x+5
4
x
- 1)(1-
2
3x+2
4
x -
) = 0

Û
2
+6x+5
4
x

= 1
Ú
2
3x+2
4
x -
= 1

Û
x
2
+ 6x + 5 = 0
Ú
x
2
– 3x + 2 = 0

Û
x =
±
1
Ú
x = -5
Ú
x = 2
Cách 1:
· Nếu a>0
Ù
a
¹

1 thì
a
f(x)
= a
g(x)
Û
f(x) = g(x)

a
f(x)
= b
Û

( ) log
0
a
f x b
b
=
ì
í
>
î

· Nếu a thay đổi thì
a
f(x)
= a
g(x)
Û


0
( 1)[ ( ) ( )] 0
a
a f x g x
>
ì
í
- - =
î

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 2








Bài 4: Giải phương trình:
2
2
x x
-
-
2

2
2
x x
+ +
= 3 (4)
Đề thi tuyển sinh đại học khối D – 2003
Giải
Ta có:
(4)
Û
2
2
x x
-
- 4.
2
2
x x
- +
= 3
Đặt t =
2
2
x x
- +

Ta được phương trình : t -
4
t
= 3

Û
t
2
– 3t – 4 = 0
Û
t = - 1 (loại)
Ú
t=4
Do đó :
2
2
x x
-
= 2
2
Û
x
2
– x = 2

Û
x
2
– x – 2 = 0

Û
x = -1
Ú
x = 2.


Bài 5: Giải phương trình : 3 . 8
x
+ 4. 12
x
– 18
x
– 2. 27
x
= 0 (5)
Đề thi tuyển sinh đại học khối D – 2006
Giải
Ta có: (5)
Û
3 + 4
12
8
x
æ ö
ç ÷
è ø
-

18
8
x
æ ö
ç ÷
è ø
2
-


27
8
x
æ ö
ç ÷
è ø
= 0


Û
3 + 4
3
2
x
æ ö
ç ÷
è ø
-

2
3
2
x
æ ö
ç ÷
è ø
-
2
3

3
2
x
æ ö
ç ÷
è ø
= 0
Đặt t =
3
2
x
æ ö
ç ÷
è ø
với t > 0
Ta có phương trình:
2t
3
+ t
2
– 4t – 3 = 0

Û
t = -1(loại)
Ú
t =
3
2

Vậy

3
2
x
æ ö
ç ÷
è ø
=
3
2

Û
x= 1.

Bài 6: Giải phương trình :
-
2
4
x
+ 16 = 10 .
-
2
2
x
(6)
Giải
Đặt t =
-
2
2
x

(Điều kiện t>0)

(6) trở thành: t
2
+ 16 = 10t

Û
t
2
– 10t + 16 = 0
Cách 2: Đặt ẩn số phụ t = a
x
với t > 0( a>0
Ù

a
"
1
Chú ý các cặp cơ số nghịch đảo:
2
±
1, 2
±

3
, 3
±

8
…

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 3


Û
t = 2
Ú
t = 8
Do đó :
-
2
2
x
= 2
Û

-
2
x = 1
Û
x= 3
-
2
2
x
= 2
3


Û

-
2
x = 3

Û
x – 2 = 9
Û
x = 11.

Bài 7 : Giải phương trình : 125
x
+ 50
x
= 2
3x+1
(7)

Giải

Ta có:
(7)
Û

125
50
x
æ ö
ç ÷

è ø
+ 1 = 2
8
50
x
æ ö
ç ÷
è ø

Û
5
2
x
æ ö
ç ÷
è ø
+ 1 = 2
4
25
x
æ ö
ç ÷
è ø


Û

2
2
0

5
1
1 2
x
t
t
t
ì
æ ö
= >
ï
ç ÷
ï
è ø
í
ï
+ =
ï
î

Û
3
2
0
5
2 1 0
x
t
t t
ì

æ ö
= >
ï
ç ÷
í
è ø
ï
- - =
î


Û

2
2
0
5
( 1)(2 2 1) 0
x
t
t t t
ì
æ ö
= >
ï
ç ÷
í
è ø
ï
- + + =

î

Û
2
0
5
1
x
t
t
ì
æ ö
= >
ï
ç ÷
í
è ø
ï
=
î


Û
2
5
x
æ ö
ç ÷
è ø
= 1 =

0
2
5
æ ö
ç ÷
è ø

Û
x = 0

Bài 8: Giải phương trình : 2
3x
– 6.2
x
-
3( 1)
1
2
x
-
+
12
2
x
= 1 (8)


Giải
Đặt t = 2
x

, điều kiện t > 0
Phương trình (8) trở thành : t
3
– 6t
-

3
8
t
+
12
t
= 1

Û
3
3
8
t
t
æ ö
-
ç ÷
è ø
-
6
2
t
t
æ ö

-
ç ÷
è ø
= 1

Û
2
t
t
æ ö
-
ç ÷
è ø
2
2
4
2t
t
æ ö
+ -
ç ÷
è ø
-
6
2
t
t
æ ö
-
ç ÷

è ø
= 1

Û
2
t
t
æ ö
-
ç ÷
è ø
2
2
4
4t
t
æ ö
- +
ç ÷
è ø
= 1

Û
3
2
t
t
æ ö
-
ç ÷

è ø
= 1

Û
t -
2
t
= 1
Û
t
2
– t – 2 = 0

Û
t = -1(loại)
Ú
t = 2
Vậy 2
x
= 2
Û
x = 1

TRNG THCS V THPT LC HNG CH BIấN: T. TRNG QUANG NGC-T.HONG HU VINH


Trang 4

Bi 9: Gii phng trỡnh :
(

)
2 1
x
-
+
(
)
2 1
x
+
- 2
2
= 0 (9)
thi tuyn sinh i hc khi B 2007
Gii
t t =
(
)
2 1
x
+
vi t > 0 thỡ
1
t
=
( )
1
2 1
x
+

=
2
( 2 1)
( 2 1) ( 2 1)
x x
-
+ -
=
(
)
2 1
x
-

Phng trỡnh (9) tr thnh :
1
t
+ t
-
w 2
2
= 0

t
2

-
2
2
t + 1 = 0



t =
2


1
Do ú: (9)


(
)
( ) ( )
1
2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
x
x
-
ộ
+ = +
ờ
ờ
+ = - = +
ờ
ở



x =


1

Bi 10: Gii phng trỡnh :
(
)
5 21
x
- + 7
(
)
5 21
x
+ = 2
x+3
(10)

Gii

Ta cú:
5 21
2
-
.
5 21
2
+
= 1
Do ú (10)


5 21
2
x
ổ ử
-
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
+ 7
5 21
2
x
ổ ử
+
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
= 8



5 21
0
2
1
7 8
x
t
t
t

ỡ
ổ ử
+
ù
= >
ỗ ữ
ỗ ữ
ù
ố ứ
ớ
ù
+ =
ù
ợ

2
5 21
2
7 8 1 0
x
t
t t
ỡ
ổ ử
+
ù
=
ù
ỗ ữ
ỗ ữ

ớ
ố ứ
ù
- + =
ù
ợ



5 21
2
x
ổ ử
+
ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
=1

x =
5 27
2
log 7
+
- .







Bi 11: Gii phng trỡnh : 8
x
+ 18
x
= 2.27
x
(11)

Gii

Cỏch 3:
-Nhm nghim ca phng trỡnh
-S dng tớnh cht n iu ca hm s, kt lun phng trỡnh cú nghim duy nht
TRNG THCS V THPT LC HNG CH BIấN: T. TRNG QUANG NGC-T.HONG HU VINH


Trang 5

Ta cú: (1)

8
27
x
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
+
2
3

x
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
= 2
Nhm thy x = 0 l nghim ca phng trỡnh (1)
Mt khỏc : v trỏi y =
8
27
x
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
+
2
3
x
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
l hm gim trờn R
M v phi y = 2 lm hng
Do ú x = 0 l nghim duy nht ca phng trỡnh

Bi 12: Gii phng trỡnh : 25
x
2(3-x)5
x
+ 2x 7 = 0 (12)



Gii

Ta cú: (1)

(5
2x
6.5
x
7) + (2.5
x
+ 2)x = 0


(5
x
+ 1)( 5
x
- 7)+ 2(5
x
+ 1)x = 0


(5
x
+ 1)( 5
x
- 7+2x) = 0



5
x
+ 2x = 7( do 5
x
+ 1>0 vi
"
x)
Nhm thy x = 1 l nghim ca phng trỡnh
M y = 5
x
+ 2x l hm tng trờn R( do y = 5
x
ln5 + 2 > 0
"
x)
V y = 7 l hng
Do ú x= 1 l nghim duy nht ca phng trỡnh (1)

Bi 13: Gii phng trỡnh: 9
x
+2(x-2)3
x
+ 2x 5 = 0 (13)
Gii
t t =3
x
(iu kin t>0)
Phng trỡnh ó cho thnh t
2
+ 2(x-2)t +2x 5 = 0

Ta cú:
D
'
t
=(x-2)
2
(2x 5) = (x-3)
2

Vy t =2
-
x

(x - 3) =
1(loaùi)
2x+5
ộ
-
ờ
-
ở

Do ú: 3
x
= 5 2x(vi x<
5
2
)
Nhm thy x = 0 l nghim
Ta cú: y = 3

x
l hm tng trờn
5
,
2
ổ ử
-Ơ
ỗ ữ
ố ứ

y = 5 2x l hm gim trờn
5
,
2
ổ ử
-Ơ
ỗ ữ
ố ứ

Vy x = 0 l nghim duy nht ca phng trỡnh.

Bi 14: Gii phng trỡnh :
1
2
x
+
- 4
x
= x 1 (14)



Gii

Ta cú: (14)

2
x
(2 - 2
x
) = x 1
Đ Nhm thy x = 1 l nghim ca phng trỡnh
Đ Mt khỏc do y = 2
x
l

hm tng trờn R nờn
"
x: x>1 thỡ v trỏi 2
x
(2 - 2
x
) < 0 m v
phi x 1 > 0
ị
phng trỡnh (1) khụng nghim ỳng
TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 6


§
"
x mà x<1 thì vế trái 2
x
(2 - 2
x
)> 0 Mà vế phải x – 1< 0 Phương trình (1) không
thỏa
Do đó x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 15: Giải phương trình :3
x
+ 5
x
= 6x +2 (15)
Nhẩm thấy phương trình (1) có hai nghiệm là x = 0 , x=1
Xét y = 3
x
+ 5
x
– 6x – 2 (C)
Miền xác định D =R
Ta có y’ = 3
x
ln3 + 5
x
ln5 – 6
y’ là hàm liên tục trên R và
y’(0) = ln3 + ln5 – 6 < 0
y’(1) =3ln3 + 5ln5 – 6 >0

Do đó
$
a
Î
( 0, 1) mà y’(
a
) = 0

x -
¥
0
a
1 +
¥


y’
-
0 + +

y
0 0
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (C): y = 3
x
+ 5
x
– 6x – 2 chỉ cắt trục hoành tại đúng 2
điểm.Vậy (14) có túng 2 nghiệm x = 0, x = 1.

Bài 16: Cho phương trình:

(
)
2 3
x
+ +
(
)
2 3
x
- = m (1)
a) Giải (1) khi m = 4
b) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt
Giải
Đặt t =
(
)
2 3
x
+ > 0
Do
(
)
2 3
x
+
(
)
2 3
x
- = 1 nên

(
)
2 3
x
- =
1
t

Lúc đó (1) thành: t +
1
t
= m (2)
a) Khi m = 4 ta có phương trình : t
2
– 4t + 1 = 0

Þ
t =
2 3
±
Vậy
(
)
2 3
x
+ = 2 +
3

Û
x = 1


(
)
2 3
x
- = 2 -
3
= (2 +
3
)
-1

Û
x = -1
b) Xét hàm số y = t +
1
t
với t > 0
TRNG THCS V THPT LC HNG CH BIấN: T. TRNG QUANG NGC-T.HONG HU VINH


Trang 7

Thỡ y = 1-
2
1
t
=
2
2

1
t
t
-

t -
Ơ
-1 0 1 +
Ơ


y + 0 0 +

y +
Ơ
+
Ơ



2

Yờu cu bi toỏn

(d) : y = m ct (C) ti hai im phõn bit

m > 2

Bi 17: Cho phng trỡnh: m16
x

+ 2.81
x
= 5.36
x
(1)
a)Tỡm phng trỡnh khi m = 3
b)Tỡm m phng trỡnh cú nghim duy nht.
Gii
Ta cú :
(1)

m + 2
81
16
x
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
= 5
36
16
x
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ

m +
2
9
4

x
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
= 5
9
4
x
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ

t t =
9
4
x
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
> 0 ta c phng trỡnh: m + 2t
2
= 5t
a) Khi m = 3 ta cú phng trỡnh : 2t
2
- 5t + 3 = 0

t = 1

t =
3

2

Vy
9
4
x
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
= 1 =
ổ ử
=
ỗ ữ
ố ứ
0
9
0
4
x

9
4
x
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
=
2
3
2

x
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
=
ổ ử

ỗ ữ
ố ứ
1
3
2
x =
1
2

b) Xột phng trỡnh cú: m = -2t
2
+ 5t
t f (t) =
-
2t
2
+ 5t vi t > 0
Thỡ f(t) =
-
4t + 5

t -
Ơ

0
5
4
+
Ơ


f(t) + 0 -

f(t) 0
25
8

C
+
Ơ

TRNG THCS V THPT LC HNG CH BIấN: T. TRNG QUANG NGC-T.HONG HU VINH


Trang 8



Yờu cu bi toỏn

(d): y = m ct (C) ti 1 im


m =

25
8


m
Ê
0
II.H PHNG TRèNH M
Bi 1 : Gii h phng trỡnh:
3x 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x x
x
y y
y
+
ỡ
= -
ù
ớ
+
=
ù
+ợ

thi tuyn sinh i hc khi D - 2002
Gii

iu kin :
2
5 4 0
0
y y
y
ỡ
- >
ù
ớ
>
ù
ợ


4
0
5
0
y y
y
ỡ
< >
ù
ớ
ù
>
ợ




4
5
y
>

Lỳc ú h ó cho


ỡ
= -
ù
ớ
+
=
ù
+ợ
3x 2
2 5 4
2 (2 2)
2 2
x x
x
y y
y



ỡ
= -

ù
ớ
=
ù
ợ
3x 2
2 5 4
2
x
y y
y


ỡ
=
ù
ớ
- + =
ù
ợ
3 2
2
5 4 0
x
y
y y y



2

0(loaùi) y = 4 y = 1
x
y
y
ỡ
=
ù
ớ
=
ù
ợ




2 1 2 4
1 4
x x
y y
ỡ ỡ
= =
ù ù

ớ ớ
= =
ù ù
ợ ợ

0 2
1 4

x x
y y
ỡ ỡ
= =

ớ ớ
= =
ợ ợ


Bi 2: Tỡm cỏc cp s dng x, y tha:
ổ ử
-
ỗ ữ
+
ố ứ
-
ỡ
ù
=
ớ
ù
=
ợ
5
3
4x
3 1
(1)
(2)

x
y
y
x y
x y

Gii
T (2)
ị
3
1
y
x
=
Thay vo (1)
ị

+ -
-
=
3 3
1 5 5
4
3
3
( )
x
x
x x
x x


-
+ +
=
3 3
1 15
4 5
x a
x x
x x


ộ
=
ờ
ờ
+ = - +
ờ
ở
3 3
1
1 15
4x 5
x
x
x x

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH



Trang 9


Û
3
1
16
0
x
x
x
é
=
ê
ê
- =
ê
ë
Û
x = 1
Ú
x
4
= 16


Û
x = 1
Ú
x = 2

Ú
x = -2(loại do x >0 )
Vậy hệ có nghiệm
2
1
1
1
8
x
x
y
y
ì
=
ì
=
ï
Ú
í í
=
=
î
ï
î


Bài 3:Giải hệ phương trình:
(
)
( )

4
4
4
4
3 1
8 6 0
y x
x y
x y
x y
-
-
ì
+ =
ï
í
+ - =
ï
î

Giải
Hệ đã cho
Û
( )
-
-
ì
+ =
ï
í

+ =
ï
î
4
4
4
4
3 (1)
8 6 (2)
x y
x y
x y
x y


- - -
-
Þ =
Þ =
Þ = -
4 4 4
4
3
4
(1),(2) 8.3 3 .2
2 2
3
x y x y x y
x y
x y


Vậy:

Û
-
ì
+ =
ï
í
- =
ï
î
4
4
4
3
3
x y
x y
x y


Û
ì
+ =
ï
í
- =
ï
î

4 6
4
3
3
x y
x y
Û
ì
=
ï
í
=
ï
î
4
2 3 0
2 24
x
y


Û
4
15
12
x
y
ì
ï
=

í
=
ï
î

Ú

4
15
12
x
y
ì
ï
= -
í
=
ï
î


Bài 4: Giải hệ phương trình:
(
)
( )
ì
- = - +
ï
í
+ =

ï
î
2 2
2 2 ( )( 2) 1
2 2
x y
y x xy
x y

Giải
Từ (2): x
2
+ y
2
= 2 thay vào (1) ta được
2
x
-2
y
= (y – x)
2 2
xy (x y )
é ù
+ +
ë û
=y
3
- x
3
(*)

Xét phương trình (*)
+ Nếu x > y thì 2
x
> 2
y
nên
x y
2 -2 0
>
mà
3 3
y x
-
>0
Nên phương trình (*) không thỏa
+ Nếu x < y thì 2
x
<2
y
nên 2
x
-2
y
<0 mà
3 3
y x
-
>0
TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH



Trang 10

Nên phương trình (*) không thỏa
+ Nếu x=y thì phương trình (*) nghiệm đúng
Thay vào (2) ta được x
2
= 1
Û
x =
±
1
Vậy nghiệm hệ là
1
1
x
y
ì
=
í
=
î

Ú
1
1
x
y
ì
= -

í
= -
î


III.BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Cách 1: Sử dụng tính đơn điệu của hàm mũ:
· Nếu a > 1 thì a
u(x)
> a
v(x)

Û
u(x) > v(x)
· Nếu 0 < a <1 thì a
u(x)
> a
v(x)

Û
u(x) < v(x)
· Nếu a > 0 thì a
u(x)
> a
v(x)

Û
(a – 1)[u(x) – v(x)] > 0
Bài 1: Giải bất phương trình : 4x
2

+ x.
2
1
2
x
+
+ 3.
2
2
x
> 8x +12 (*)
Giải
Ta có (*)
Û
4(x
2
– 2x – 3) -
2
2
x
. (x
2
– 2x – 3) > 0

Û
(x
2
– 2x – 3)(4 –
2
2

x
) > 0

Û

ì
>
ï
í
-
ï
î
2
2
x - 2x -3 0
4 2 >0
x
Ú
ì
ï
í
-
ï
î
2
2
x 2x 3<0
4 2 <0
- -
x



Û
2
2
1 3
2 2
x
x x
ì
< - Ú >
ï
í
<
ï
î
Ú
2
2
1 3
2 2
x
x
ì
- < <
ï
í
>
ï
î



Û
1 3
2 2
x x
x
ì
< - Ú >
ï
í
- < <
ï
î
Ú
1 3
2 2
x
x x
ì
- < <
ï
í
< - Ú >
ï
î


Û
2 1 2 3

x x
- < < - Ú < <


Bài 2: Giải bất phương trình: 3
2x
– 8.
4
3
x x
+ +
-9.
4
9
x
+
> 0 (*)
Giải
Điều kiện: x
³
4
Ta có : (*)
Û
(
)
2
3
x
-8.3
x

.
4
3
x
+
- 9(
4
3
x
+
)
2
> 0
Û

(
)
2
3
x
+ 8.3
x
.
4
3
x
+
- 9.3
x
.

4
3
x
+
– 9(
4
3
x
+
)
2
> 0
Û
3
x
(3
x
+
4
3
x
+
) – 9.
4
3
x
+
(3
x
+

4
3
x
+
) > 0
Û
(3
x
+
4
3
x
+
)(3
x
– 9.
4
3
x
+
) > 0
Û
3
x
– 3
2
.
4
3
x

+
> 0
Û
3
x
>
2 4
3
x
+ +

Û
4
x
+
< x – 2
Û
ì
+ ³
ï
- >
í
ï
+ < - +
î
2
4 0
2 0
4 4x 4
x

x
x x
Û
2
2
5x 0
x
x
ì
>
ï
í
- >
ï
î

TRNG THCS V THPT LC HNG CH BIấN: T. TRNG QUANG NGC-T.HONG HU VINH


Trang 11


2
0 5
x
x x
ỡ
>
ớ
< >

ợ

x > 5

Bi 3: Gii bt phng trỡnh:
2
1
2x
1
3
3
x x
x
- -
-
ổ ử

ỗ ữ
ố ứ
(*)
Gii
Ta cú (*)

2
2x
3
x -

- + -
1

3
x x



2
2x 1
x x x
- - + -
(**)
iu kin:
2
2x
x
-

0

x
Ê
0

x

2
Ta cú:


x 0 1 2



2
2x
x
-
+ 0
-

-
0 +

x 1
-

-
0 +

ã Khi x
Ê
0 thỡ x 1 < 0 nờn
(*)

2
2x
x
-
-x+ (1-x)= 1 2x

2
2x

x -


(
)
2
1 2x
- (do x
Ê
0 nờn 1 2x > 0)

3x
2
2x + 1
Ê
0 vụ nghim
ã Khi x

2 thỡ x- 1 > 0 nờn
(*)

2
2x
x
-
-x+ (x - 1) = -1 luụn ỳng
Do ú tp nghim ca bt phng trỡnh l S = [2,
Ơ
)


Bi 5: Gii bt phng trỡnh:x
4
8.e
x-1
>x(x
2
e
x-1
-8) (*)
Gii
Ta cú:
(*)

x
4
+ 8x 8e
x-1
x
3
.e
x-1
> 0


x(x
3
+ 8) - e
x-1
( 8+x
3

) > 0


(x
3
+ 8)(x- e
x-1)
> 0

Xột y = f(x) = x e
x-1
Min xỏc nh D = R
y = 1 e
x-1

Vy y = 0
1 0
x
e e
-
=


1
x
=

x
-Ơ
1

+Ơ


y + 0
-

TRNG THCS V THPT LC HNG CH BIấN: T. TRNG QUANG NGC-T.HONG HU VINH


Trang 12

y 0
C
Do ú: y = x - e
x-1
< 0
1
x
" ạ

Vy (*)

(x
3
+ 8)(x- e
x-1)
> 0


x

3
+ 8 < 0 v x
ạ
1


x < -2

Cỏch 2: T N PH
Bi 5: Gii bt phng trỡnh:
1
2 2 1
0
2 1
x x
x
-
- +
Ê
-

Gii
t t =
2
x
(iu kin t > 0)
Ta c bt phng trỡnh
2
1
0

1
t
t
t
- +
Ê
-

( )
- +
Ê
-
2
2
0
1
t t
t t


Ê - Ê
1 0
t t
<1

2
t

M t>0 nờn 0<t<1
2

t


Do ú: 0<2
x
<2
0
1
2 2
x



x<0
1
x



Bi 6: Gii bt phng trỡnh:
1 2x 1
2
3 2 12
x
x+ +
- -
< 0 (*)
Gii
Ta cú: (*)


3.3
x
-2.4
x
-
2
12
x
< 0

3.
2
9
x
- 2.
2
16
x
-
2
12
x
< 0

3 - 2
4
3
x
ổ ử
ỗ ữ

ố ứ
-
2
4
3
x
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
< 0
t t =
2
4
3
x
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
vi t > 0
Vy ta c bt phng trỡnh: 3-2t
2
t <0
ị
2t
2
+ t 3 > 0
ộ
< -
ờ


ờ
>
ờ
ở
3
(loaùi do t>0)
2
1
t
t

Do ú
2
4
3
x
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
>
0
4
3
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ

x > 0

Bi 7: : Gii bt phng trỡnh:8.

+
4
3
x x
+
+
4
1
9
x

9
x
(*)
Gii
TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 13

Ta có: (*)
Û
8.
4 4
1
2
3 9.9
1
3 9
x x x

x x
+ +
+ ³


Û

4 4
8.3 9.9 1
x x x x- + -
+ ³

Đặt t =
4
3
x x
-
( điều kiện t>0)
Ta được bất phương trình 8t + 9t
2
1
³

Û
9t
2
+8t-1
³
0
Û

t
1
£ -
(loại)
1
9
t
Ú ³

Do đó:
4
3
x x
-
³
3
-2

Û
4
2
x x
- ³ -

Û
(
)
2
4
x

-
4
x
- 2
£
0
Û
0
£

4
x

£
2
Û
0
£
x
£
16

Bài 8: Tìm tất cả giá trị a để bất phương trình

.9
x
a
+ (a-1)3
x+2
+ a -1 > 0 (1) nghiệm đúng

x R
" Î

Giải
Đặt t = 3
x
(điều kiện t>0)
Bất phương trình đã cho thành: at
2
+(a-1)9t + a – 1> 0 (2)
(1)nghiệm đúng
x R
" Î

Û
at
2
+9(a-1)t + a-1 > 0 với
"
t> 0
Û
a(t
2
+ 9t +1) > 9t +1 với
"
t> 0
Û
a >
2
9 1

9 1
t
t t
+
+ +
với
"
t> 0
Đặt g(t)=
2
9 1
()
9 1
t
t t
+
+ +

Ta có: g’(t) =
2
2 2
9 2
( 9 )
t t
t t t
- -
+ +
< 0
"
t> 0


t
-¥
0
+¥


g’(t)
__

g(t) 1

-¥

Yêu cầu bài toán
Û
Đường thẳng (d)y = a nằm hoàn toàn phía trên (C)
Û
a
³
1

Bài 9: Cho bất phương trình:
4
x
-m2
x
+m+3
0
£

(1)
Tìm m để (1) có nghiệm
Giải
TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HỒNG HỮU VINH


Trang 14

Đặt t = 2
x
> 0 thì (1) thành
t
2
–mt +m+3
£
0 với t> 0
Û
t
2
+3
£
m(t-1) với t>0
Û
ì
+
£ >
ï
ï
-
í

+
ï
³ < <
ï
-
ỵ
2
2
3
( 1)
1
3
( 0 1)
1
t
m vớit
t
t
m với t
t

Do t=1 thì bất phương trình (*) trở thành 4
£
0(vơ nghiệm)
Xét y =
2
3
1
t
t

+
-
( C ) và (d): y = m
Ta có y’=
( )
2
2
2 3
1
t t
t
- -
-

y’=0
Û
t = -1
Ú
t =3
t -1 0 1 3 +
+¥


y’ + 0 - - - 0 +
y
+¥

+¥
(d)
6

-3
(d)

-¥

u cầu bài tốn
Û
(
)
(
)
(
)
( )
( )
0 0 0,
0 1 1, 1
(1, ) :
(0,1) ( ):
o
t đểM t y C nằmdưới d y m
t đểM t y C nằmtrên d y m
é
$ Ỵ +¥ Ỵ =
ê
ê
$ Ỵ Ỵ =
ë

Û

6
3
m
m
é
³
ê
< -
ë


Bài 11: Tìm tất cả các giá trị a để bất phương trình nghiệm đúng
0
x
" £

a.2
x+1
+ (2a +1)(3 -
5
)
x
+
(
)
3 5
x
+ < 0 (*)
Giải
Chia 2 vế bất phương trình cho 2

x
ta được:
(*)
Û
2a +(2a +1)
-
3 5
( )
2
x
+
+
3 5
( )
2
x
< 0
Do
3 5
2
ỉ ư
-
ç ÷
ç ÷
è ø
3 5
2
ỉ ư
+
ç ÷

ç ÷
è ø
= 1
Đặt t =
ỉ ư
+
ç ÷
ç ÷
è ø
3 5
2
x
thì
ỉ ư
-
ç ÷
ç ÷
è ø
3 5
2
x
=
1
t

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 15


Do
3 5
2
+
> 1 nên x
£
0
Þ
0 <
+
3 5
( )
2
x

£
1
Lúc đó (*) trở thành : 2a + (2a + 1)
1
t
- t < 0
Û
f(t) = t
2
+ 2at + 2a +1 < 0 (**)
Yêu cầu bài toán
Û
(*) nghiệm đúng
0
x

" £

Û
(**) có nghiệm đúng
(0,1]
t
" Î

Ta có
D
'
= a
2
– 2a – 1
· Nếu
D £
' 0
thì f(t)
³
0
t
"
,(**) vô nghiệm (loại)
· Nếu
D
'
> 0 , gọi
1, 2
t t
là hai nghiệm của f(t)

t
1
t
0 1
2
t


f(t) + 0
-
0 +

Yêu cầu bài toán :
Û
1
t

£
0 < 1 <
2
t

Û
(0) 2a 1 0
(1) 2 4a 0
f
f
ì
= + £
í

= + <
î
Û
1
2
1
2
a
a
ì
£ -
ï
ï
í
ï
< -
ï
î
Û
1
2
a
< -


BÀI TẬP
BT1.Giải các phương trình:
a) 12.3
x
+ 3.15

x
– 5
x+1
= 20 b)
(
)
(
)
x x
2 3 2 3 14
- + + =

c)
(
)
(
)
tanx tanx
8 3 7 8 3 7 16
+ + - =
d) 2.5
x
+10
x
= 2
2x+1
e)4
x+1
+ 2
x+4

= 2
x+2
+ 16 f)
(
)
x
2 3
+ +
(
)
(
)
(
)
7 4 3 2 3 4 2 3
x
+ - = +
h)
2 2
1 2
9 10.3 1 0
x x x x+ - + -
- + =
(DB/B06)
BT2. Giải các phương trình:
a)3.25
x-2
+ (3x – 10)5
x-2
+3 – x = 0 b)2

x
=
2
3
x
+1
c)3
x
– 4 =
2
5
x
d)
(
)
(
)
(
)
3 2 3 2 5
x x x
- + + =
e) 8
x
+ 18
x
= 2.27
x
f)4
x

–2
x+1
+2(2
x
–1)sin(2
x
+y–1) + 2= 0(DB/B06)
g)
(
)
(
)
x x
2 3 2 3 4
x
- + + =
h)
(
)
(
)
5 1 2 5 1 3.2
x x
x
+ + - =
BT3.Cho phương trình: 4
x
– 4m(2
x
– 1) = 0

a)Giải phương trình khi m = 1
b) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm (ĐS: m < 0
Ú
m
1
¹
)
BT4.Cho phương trình:
(
)
5 1
x
+
+ a
(
)
5 1
x
-
= 2
x

TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 16

a) Giải phương trình khi a =
1
4


b)Tìm a để phương trình có 1 nghiệm duy nhất (ĐS: a =
1
4
Ú
a
£

BT5.Cho phương trình :
- +
2
2x 2
25
x
+
2
2x 2
9
x
- +
=
2
( 1)
15
x-

a) Giải phương trình khi m = 34
b)Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình
BT6 (DBA/02). Cho phương trình:
(

)
2 2
1 1 1 1
9 2 3 2 1 0
t t
m m
+ - + -
- + + + =

Tìm m để phương trình có nghiệm
BT7.Cho phương trình: 4
x
+ 4m.2
x
+ 2 = 0
a) Giải phương trình khi m = 1
b) Giải và biện luận phương trình sau theo m
BT8.Giải các hệ phương trình sau:
a)
1
2 2 2
x y
x y
ì
+ -
ï
í
- =
ï
î

b)
2 2 12
5
x y
x y
ì
- =
ï
í
+ =
ï
î

c)
( )
+
-
-
ì
=
ï
í
=
ï
î
2
1
5 125
4 1
x y

x y
d)
2x
2
3 2 77
3 2 7
y
y
x
ì
- =
ï
í
ï
- =
î

e)(DB/D04)
2 2
1
2 2
x y x
x y y x
x y
+ -
ì
+ = +
ï
í
- = -

ï
î
f)
2 9.3 7
8
2 .3
9
x y
x y
ì
- =
ï
í
=
ï
î

BT9.Cho hệ phương trình:
(
)
ì
- + =
ï
í
+ + =
ï
î
5 5
x 4 2
1 1

( 1)
b
a x y
e a y b a

Tìm a để hệ phương trình có nghiệm (x,y) với mọi b
(ĐS: a = -1)
BT10.Giải các bất phương trình sau:
a)
1
1
2
1 1
3 12
2 3
x
x
+
æ ö æ ö
+ >
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
b)(x
2
+x+1)
x
< 1
c)
( ) ( )
1

1
2 1 2 1
x
x
x
+
-
+ ³ - d)
2
2.3 2
1
3 2
x x
x x
+
-
£
-

e)
(
)
2
4 2 2
3 4 3 1
x x
x
- -
+ - ³
f)2.2

x
+ 3.3
x
> 6
x
-1
g)
2 2 2 2
2 1 1 2
25 9 34.15
x x x x x x
- + - + -
+ ³ h)
2
1 2
4 .3 4.3 1 0
x x x+
- + £

k)(DBA03)
+ +
+ ³ - +
1 1
15.2 1 2 1 2
x x x
l)
2 2
2 4 2 2 1
2 16.2 2 0
x x x x- - - -

- - £

m)3
2x+1
– 2
2x+1
– 5.6
x

£
0

BT11.Cho bất phương trình: (3m+1)12
x
+ (2-m)6
x
+3
x
< 0
Tìm a sao cho bất phương trình nghiệm đúng
"
x>0 (ĐS: m
£
-
2)
TRƯỜNG THCS VÀ THPT LẠC HỒNG CHỦ BIÊN: T. TRƯƠNG QUANG NGỌC-T.HOÀNG HỮU VINH


Trang 17


BT12.Tìm m để bất phương trình 9
x
–m3
x
+ m + 3
£
0 có nghiệm
(ĐS: m
£
-3
Ú
m
³
6)
BT13.Cho bất phương trình (m-1)4
x
+ 2
x+1
+ m + 1> 0
a) Giải bất phương trình khi m = -1
b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng
"
x
Î
R (ĐS: m
³
1)
BT14. Cho bất phương trình
2 2 2
sin os sin

2 3 3
x c x x
m+ ³
Tìm m sao cho bất phương trình có nghiệm (ĐS: m
£
4)
BT15.Cho f(x) = (m-1)6
x
-
2
6
x
+ 2m+1
a) Giải bất phương trình f(x)
³
0 với m =
2
3

b)Tìm m để (x-6
1-x
) f(x)
³
0 với
[0,1]
x
" Î
ĐS m
1
2

£

BT16. Cho bất phương trình 4
x
– m2
x+1
+ 3 – 2m > 0.
Tìm m để bất phương trình có nghiệm
BT17. Cho bất phương trình: 2
2x+1
– 9.2
x
+ 4
£
0 (1)
Tìm m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của: (m
2
+1)x
2
+ m(x+3)+1 > 0
(ĐS: 0<m<2)
BT18(DB/D05)Tìm m để hệ sau có nghiệm:
2x 1 1
2
7 7 2005x 2005
( 2) 2 3 0
x x x
x m x m
+ + + +
ì

- + £
ï
í
- + + + ³
ï
î