VËt lý chuyÓn pha
Gi¸o viªn: Hoµng Ngäc Thµnh
Häc viªn: Hoµng Thanh Cao
Ch¬ng 6: tÝnh siªu ch¶y cña hªli
6.2. Mét sè lý thuyÕt siªu ch¶y cña hªli 4
6.3 TÝnh siªu ch¶y cña hªli 3
6.2. Một số lý thuyết siêu chảy của hêli 4

Sự ngng tụ Bose Einstein là một hiệu ứng lợng tử.

Trong cơ học lợng tử, hệ các hạt không tơng tác với
nhau chia làm hai nhóm dựa theo giá trị spin của
chúng:

Các hạt tự do với spin một nửa (các hạt fermion) tuân theo
phân bố Fermi Dirac.

Các hạt có spin nguyên ( các hạt boson) tuân theo phân bố
Bose Einstein.
6.2. 1. Sự ng)ng tụ Bose Einstein và tính siêu chảy
6.2. Một số lý thuyết siêu chảy của hêli 4
Lý thuyết lợng tử chỉ đợc áp dụng khi bớc sóng
de Broglie nhỏ hơn khoảng các d trung bình giữa các hạt.
Biết rằng:
Từ điều kiện trên ta có:
6.2. 1. Sự ng)ng tụ Bose Einstein và tính siêu chảy
mkT
h

2
2

2
=
m: khối lợng của hạt.
h: hằng số Plank.
1
2
2
2
<
mkTd
h

6.2. Một số lý thuyết siêu chảy của hêli 4
Đối với chất lỏng hêli 4, d = 3,76.10-10 m, khối l
ợng m = 0,665.10-26 kg, nên ở T = 2K
thì
Do vậy, cơ học lợng tử có thể áp dụng đợc.
6.2. 1. Sự ng)ng tụ Bose Einstein và tính siêu chảy
68,2
2
2
2

mkTd
h

6.2. Một số lý thuyết siêu chảy của hêli 4
Hêli 4 là một boson vì có spin bằng không. Khi bỏ
qua tơng tác giữa các hạt, phân bố Boson Einstein có
thể áp dụng.

Nếu chọn mức năng lợng cơ bản của một hạt là 0,
số hạt trong một trạng thái năng lợng ở nhiệt độ T là:
6.2. 1. Sự ng)ng tụ Bose Einstein và tính siêu chảy
( )
1
1
,
/

=

Tk
B
e
Tf
à

(6.1)
6.2. Một số lý thuyết siêu chảy của hêli 4
Vì hêli có thể tích phân tử rất lớn, khoản cách trung
bình giữa các nguyên tử rất lớn đối với chất lỏng là Lp =
3,67 . Các nguyên tử có thể chuyển động tự do trên một
khoản cách đáng kể. Vì nhiệt độ tới hạn Tc = 4,2K là thấp
nên năng lợng liên kết gữa các nguyên tử lân cận (Tc ) rất
nhỏ.
6.2. 1. Sự ng)ng tụ Bose Einstein và tính siêu chảy
o
A
6.2. Một số lý thuyết siêu chảy của hêli 4
Mật độ trạng thái ở năng lợng của một hạt tự do

đợc tính theo công thức:
ở nhiệt độ T, số nguyên tử hêli 4 tổng cộng trong thể
tích V là: N = No(T) + Ne(T).
6.2. 1. Sự ng)ng tụ Bose Einstein và tính siêu chảy
( )
1/2
2/3
22

2m
4
V
N






=

(6.2)
6.2. Một số lý thuyết siêu chảy của hêli 4
Số nguyên tử trong trạng thái kích thích nhận đợc
từ biểu thức:
Công thức (6.3) chỉ cho số hạt ở trạng thái kích thích
vì khi = 0 thì từ công thức (6.1) N() = 0. Do đó, số hạt ở
trạng thái cơ bản N0(T), cần phải đợc tính riêng.
6.2. 1. Sự ng)ng tụ Bose Einstein và tính siêu chảy
( ) ( ) ( )

T,Nf dTN
0
e


=

(6.3)
6.2. Một số lý thuyết siêu chảy của hêli 4
Thay (6.1) và (6.2) vào biểu thức (6.3), ta đợc:

Trong đó VQ là thể tích lợng tử đợc định nghĩa
bởi:
6.2. 1. Sự ng)ng tụ Bose Einstein và tính siêu chảy
(6.4)
( )
Q
3/2
2
B
e
V
2,612V

T2
4
1,306
TN =







=

k
3/2
B
2
Q
Tmk
2
V








=

6.2. Một số lý thuyết siêu chảy của hêli 4
Chúng ta thu đợc tỉ phần của các nguyên tử kích
thích:
với n = N/V là mật độ nguyên tử.
Gọi T0 là nhiệt độ ngng tụ Bose Einstein, T0 đ
ợc xác định từ điều kiện Ne(T) = N. Kết quả nhận đợc là:

6.2. 1. Sự ng)ng tụ Bose Einstein và tính siêu chảy
(6.5)
( )
QQ
e
nV
2,612
NV
V
2,612
N
TN
==
3/2
B
2
0
V2,612
N
mk
2
T






=


(6.6)
6.2. Một số lý thuyết siêu chảy của hêli 4
Khi T < T0 , phơng trình (6.6) đợc viết dới dạng:
Số nguyên tử trong trạng thái cơ bản sẽ là:
Khi đó , nhiệt dung riêng đẳng tích CV bằng:
6.2. 1. Sự ng)ng tụ Bose Einstein và tính siêu chảy
(6.7)
( )
2/3
0
e
T
T
N
TN








=
(6.8)
( ) ( )

















==
2/3
0
e0
T
T
1NTNNTN
2/3
0
BV
T
T
Nk1,92C









=
(6.9)
6.2. Một số lý thuyết siêu chảy của hêli 4
Từ công thức (6.6) ta thu đợc T0 = 3,14K gần với
nhiệt độ chuyển pha hêli I hêli II quan sát đợc bằng
thực nghiệm T = 2,17K. Do đó có thể giả thiết rằng
chuyển pha là một ngng tụ BoseEinstein của nguyên
tử hêli 4 có tơng tác với nhau.

Hêli II tơng ứng với N0(T) > 0 khi T < T0

Hêli I tơng ứng với N0(T) = 0 khi T > T0
6.2. 1. Sự ng)ng tụ Bose Einstein và tính siêu chảy
6.2. Một số lý thuyết siêu chảy của hêli 4
6.2. 1. Sự ng)ng tụ Bose Einstein và tính siêu chảy
CV/NKB
0 1 2 3 4 5 6
1
2
3
Hêli 4
Các hạt boson
không tơng tác
T0 = 3,14K
T = 2,2K
0
T(K)

Hình 6.5. Sự phụ thuộc nhiệt độ của CV /NkB ở lân cận điểm
chuyển pha lamđa
6.2. Một số lý thuyết siêu chảy của hêli 4
Tơng tác giữa các hạt có các vai trò quan trọng đối
với các hiệu ứng sau đây:

Làm cho nhiệt độ chuyển pha hạ thấp xuống đến 0,97K và có phụ
thuộc vào áp suất (Hình 6.2).

Chỉ có 10% nguyên tử đợc ngng tụ ở nhiệt độ không tuyệt đối.

Cực đại của CV xảy ra tại T = T (Hình 6.5).

CV tuân theo quy luật T3 ở nhiệt độ thấp (không phải quy luật
T3/2)

Các kích thích cơ bản là các kiểu tập thể có vận tốc nhóm cực tiểu.
Các kiểu kích thích tập thể này là nguồn gốc của tính siêu chảy.
6.2. 1. Sự ng)ng tụ Bose Einstein và tính siêu chảy
6.2. Một số lý thuyết siêu chảy của hêli 4
Mô hình cho phéo giải thích tính chất của hêli II.
Với giả thiết rằng pha hêli II bao gồm hai thành phần gọi là
chất lỏng thờng và chất lỏng siêu chảy, chúng không
tách biệt nhng có thể dịch chuyển một cách độc lập. Mật
độ và động lợng của chất lỏng với hai thành phần là:

=

n +


s và

v =

nvn +

svs
trong đó

n, vn và

s, vs là mật độ và vận tốc của chất
lỏng thờng và chất lỏng siêu chảy.
6.2. 2. Mô hình hai giọt n)ớc của Tisza
(6.10)
6.2. Một số lý thuyết siêu chảy của hêli 4
Chất lỏng thờng có độ nhớt khác không, chất lỏng
siêu chảy có entropy bằng không và nó chảy không bị cản
trở qua các ống có đờng kính bé.
Cần chú ý rằng chúng ta đã giả thiết cả hai thành
phần chất lỏng đều tuân theo mô hình Boso Einstein và
đại lợng s/ chỉ là một khái niệm hỗ trợ để mô tả tính
chất của hêli 4 siêu chảy.
Trong khuôn khổ mô hình hai chất lỏng, E. L.
Andronkashvili đã đề xuất phơng pháp xác định đợc mật
độ n trong hêli 4 theo sự thay đổi của nhiệt độ.
6.2. 2. Mô hình hai giọt n)ớc của Tisza
6.2. Một số lý thuyết siêu chảy của hêli 4
Trong mô hình hai chất lỏng, quá trình truyền sóng
âm trong chất lỏng siêu chảy cũng đợc xem xét:


Một sóng hình sin trong đó n và s dao động cùng pha. Khi
đó, mật độ tổng cộng cũng theo quy luật hình sin và ta thấy mô
hình cổ điển của sự truyền sóng. Ta gọi đó là sóng âm thứ nhất.

Một kiểu dao động trong đó n và s dao động ngợc pha nhau
nhng cùng biên độ sao cho mật độ tổng cộng là hằng số.
Trong kiểu dao động này, entropy khối lợng của chất lỏng th
ờng dao động, entropy của chất lỏng siêu chảy bằng không. Các
nhiễu loạn đợc sinh ra có tính chất địa phơng không lan
truyền đợc bởi cơ chế khuếch tán, mà bởi sự lan truyền nh
một sóng với vận tốc đặc trng. Hiện tợng này gọi là sóng âm
thứ hai.
6.2. 2. Mô hình hai giọt n)ớc của Tisza
6.2. Một số lý thuyết siêu chảy của hêli 4

Khi Hêli bị giam trong một vật có nhiều lỗ rất nhỏ thông nhau,
âm thứ hai bị thay đổi vì sự chuyển dịch của chất lỏng thờng
sẽ bị tắc lại do độ nhớt của nó. Đó là sóng âm thứ t.

Khi truyền sóng âm dọc theo bề mặt của màng chất lỏng siêu
chảy, các hiện tợng bốc bay ngựng tụ bao giờ cũng kéo
theo sự biến đổi áp suất. Vận tốc của sự lan truyền khác với vận
tốc của âm thứ nhất. Đó là kiểu sóng âm thứ ba.
6.2. 2. Mô hình hai giọt n)ớc của Tisza
6.2. Một số lý thuyết siêu chảy của hêli 4
Trong hơ học lợng tử, các thành phần siêu chảy là
nghiệm của phơng trình Shrửdinger. Ta có mômen động l
ợng của thành phần siêu chảy:
đợc xác định bởi phơng trình:

Vận tốc của thành phần siêu chảy vs tỉ lệ với
gradient của pha ( ):
với m4 là khối lợng của He 4. Do đó, rotvs =0
6.2. 3. Các xoáy l)ợng tử
P

=
p
(6.11)
=
ip
(6.12)
r

=
4
m
v
s

(6.13)
6.2. Một số lý thuyết siêu chảy của hêli 4
Xét thành phần siêu chảy trong phần thể tích nằm
giữa hai hình trụ đồng trục. Lu số dọc theo một vòng tròn
đồng tâm trên trục có giá trị là:
Vì hàm sóng đơn trị, nên đờng đi trên một vòng
tròn khép kín giữ nguyên giá trị. Có nghĩa là ()C =n2
hay k =nh/m4 với n là số nguyên.
6.2. 3. Các xoáy l)ợng tử
(6.14)

( )
C
44
s

m
dl
m
dlvk


===

6.2. Một số lý thuyết siêu chảy của hêli 4
Một dòng siêu chảy ổn định (các vortex) đợc hình
thành rất dễ dàng trong thành phần siêu chảy. Chúng rất
quan trọng trong việc giải thích một số tính chất của hiện t
ợng siêu chảy.
Khi chúng ta làm quay một cái bình có chứa hê li II,
thành phần siêu chảy sẽ đứng yên khi vận tốc quay của bình
nhỏ. Khi vận tốc tăng lên, các đờng xoáy lợng tử xuất
hiện đa chất lỏng về trạng thái thờng.
6.2. 3. Các xoáy l)ợng tử
6.3. Tính siêu chảy của hêli 3
Tính siêu chảy của hêli 3 đợc phát hiện vào năm
1972 bởi D.D Osheroff, R.C. Richardson và D.M. Lee: ở
nhiệt độ T < 2,7x10-3 K, hêli 3 tồn tại ở nhiều pha siêu chảy
khác biệt nhau. Các pha này có dị hớng và có tính từ.
Hêli 3 có spin bằng 1/2 nên chúng là các fermion,
trong một vài điều kiện cụ thể chúng lại tơng tác và kết cặp

lại với nhau. Vậy, sự ngng tụ Bose Einstein có thể sẩy
ra.
6.3. Tính siêu chảy của hêli 3
Lý thuyết siêu chảy của hêli 3 phức tạp và đợc chia
thành hai thành phần:

Pha siêu chảy A xuất hiện ở áp suất hơn 20 atm.

Pha siêu chảy B xuất hiện ở áp suất thờng nhng nhiệt độ rất
thấp. Nó cũng có thể nhận đợc ở áp suất cao (p = 20ữ30 atm).
6.3. Tính siêu chảy của hêli 3
Hình 6.6. là giản đồ pha của hêli 3 ở nhiệt độ siêu thấp
trong không gian p-T-B. Chuyển pha siêu chảy A chất lỏng
thờng và siêu chảy A siêu chảy B có đặc trng loại hai.
Hình 6.6. Giản đồ pha của hêli 3 ở nhiệt độ rất thấp trong không gian áp suất (p) nhiệt độ (T)
từ trờng (B): các pha A, B và A1 là các pha siêu chảy, pha rắn tồn tại ở p > 34 atm.