Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 1
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT & VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT & CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Vấn đề 1: Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
Cho hàm số
( )
y f x
=
xác định trên khoảng
( ; )
a b
.
- Nếu
'( ) 0, ( ; )
f x x a b
≥ ∀ ∈
thì hàm số đồng biến trên khoảng
( ; )
a b
.
- Nếu
'( ) 0, ( ; )
f x x a b
≤ ∀ ∈
thì hàm số nghịch biến trên khoảng
( ; )
a b
.
Lưu ý:

-
'( ) 0
f x
=
chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc
( ; )
a b
còn nếu
'( ) 0
f x
=
,
( ; )
x a b
∀ ∈
thì
( )
y f x
=
là hàm số không đổi (hàm hằng) trên
( ; )
a b
.
- Nếu hàm số
( )
y f x
=
đơn điệu trên
( ; )
a b

và liên tục trên
[ ; ]
a b
(hoặc
[ ; ),( ; ]
a b a b
) thì hàm số
( )
y f x
=
đơn điệu trên
[ ; ]
a b
(hoặc
[ ; ),( ; ]
a b a b
).
- Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng
( ; )
a b
thì
( ; )
x a b
∀ ∈
ta có:
( ) ( ) ( )
f a f x f b
< <
; nếu hàm
số f(x) nghịch biến trên khoảng

( ; )
a b
thì
( ; )
x a b
∀ ∈
ta có:
( ) ( ) ( )
f a f x f b
> >
.
- Chiều biến thiên của hàm số thường được tổng kết trong bảng biến thiên.
Ví dụ:
x a
1
x


2
x

b

'
y

+ 0
−

0 +

y
Lưu ý: ta phải sắp xếp theo thứ tự
1 2
a x x b
< < <
.
Từ bảng biến thiên trên ta có:
• Hàm số đồng biến trên các khoảng:
1 2
( ; ),( ; )
a x x b

• Hàm số nghịch biến trên khoảng:
1 2
( ; )
x x

Các Dạng Toán Cơ Bản
Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số:
Phương pháp:
• Tìm tập xác định
D
.
• Tính đạo hàm
' '( )
y f x
=
.
• Tìm các giá trị
i

x
∈
D
mà tại đó
'( ) 0
=
i
f x
hoặc
'( )
i
f x
không xác định.
• Lập bảng biến thiên. Suy ra kết luận.
Lưu ý:
- Cách xác định dấu của đa thức
1
1
( )
n n
n n
P x a x a x
−
−
= + +
với
0
n
a
≠

như sau:
• Tìm nghiệm của phương trình
( ) 0
P x
=
(chú ý đến bậc của nghiệm).
• Giả sử
1 2
, , ,
k
x x x
là các nghiệm (với
1 2

< < <
k
x x x
), thì dấu của P(x) trên khoảng tận
cùng bên phải
( ; )
+∞
k
x
cùng dấu với a.
• Qua nghiệm bậc lẻ thì P(x) đổi dấu, qua nghiệm bậc chẵn thì P(x) không đổi dấu.
- Chiều biến thiên của hàm số thường được tổng kết trong bảng biến thiên. Ví dụ:
x a
1
x



2
x

b

'
y

+ 0
−

0 +
y






Lưu ý: ta phải sắp xếp theo thứ tự
1 2
a x x b
< < <
.
Từ bảng biến thiên trên ta có:
• Hàm số đồng biến trên các khoảng:
1 2
( ; ),( ; )
a x x b


• Hàm số nghịch biến trên khoảng:
1 2
( ; )
x x

Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 2
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) thỏa mãn điều kiện nào đó:
 Đối với hàm bậc ba
3 2
y ax bx cx d
= + + +
ta thường gặp các bài toán sau:
Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên
ℝ

Ta có:
2
'
= + +
y Ax Bx C
do đó:
• Hàm số đồng biến trên
0
' 0,
0
= =


⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔

>

ℝ ℝ
A B
y x
C
hoặc
2
'
0
4 0
>



∆ = − ≤


y
A
B AC

• Hàm số nghịch biến trên
0
' 0,
0
= =


⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔

<

ℝ ℝ
A B
y x
C
hoặc
2
'
0
4 0
<



∆ = − ≤


y
A
B AC

Bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên
(a;b)
:
Ta thực hiện các bước sau
 Tính đạo hàm
2

'
= + +
y Ax Bx C
.
 Lập bảng biến thiên ra giấy nháp, sau đó tùy theo yêu cầu của bài toán mà điền các
thông số thích hợp vào bảng biến thiên.
 Ghi điều kiện cần thiết vào bài làm.
Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) bằng d:
Ta thực hiện các bước sau
 Tính đạo hàm
2
'
= + +
y Ax Bx C
.
 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến (nghịch biến) (1).
 Biến đổi
'
1 2 '
(2)
∆
− = ⇔ = ⇔ ∆ =
y
y
x x d d d A
A

 Giải phương trình (2), so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
 Đối với hàm
ax b

y
cx d
+
=
+
với
0, 0
c ad bc
≠ − ≠
ta thường gặp bài toán sau:
Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên mỗi khoảng mà hàm số
xác định.
Tập xác định:
\
d
D
c
 
= −
 
 
ℝ
. Ta có:
2
'
( )
ad bc
y
cx d
−

=
+
do đó:
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng mà hàm số xác định khi và chỉ khi:
' 0, 0
y x D ad bc
> ∀ ∈ ⇔ − >

• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng mà hàm số xác định khi và chỉ khi:
' 0, 0
y x D ad bc
< ∀ ∈ ⇔ − <

 Đối với hàm
2
ax bx c
y
mx n
+ +
=
+
với
0
am
≠
ta thường gặp bài toán sau:
Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên mỗi khoảng mà
hàm số xác định.
Tập xác định:
\

m
D
n
 
= −
 
 
ℝ
. Ta có:
2
2
2
'
( )
amx anx bn mc
y
mx n
+ + −
=
+
do đó:
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng mà hàm số xác định khi và chỉ khi:
2
' 0, 2 0,
≥ ∀ ∈ ⇔ + + − ≥ ∀ ∈
y x D amx anx bn mc x D

• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng mà hàm số xác định khi và chỉ khi:
2
' 0, 2 0,

≤ ∀ ∈ ⇔ + + − ≤ ∀ ∈
y x D amx anx bn mc x D

Dạng 3: Ứng dụng tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số để chứng minh bất đẳng thức:
Bài toán 1: Chứng minh rằng
( ) ( ), ( ; )
f x g x x a b
> ∀ ∈
.
Ta thực hiện các bước sau
 Xét hàm số
( ) ( ) ( )
h x f x g x
= −
liên tục trên
[ ; )
a b

 Xét dấu
'( )
h x
suy ra hàm số
( )
y h x
=
đồng biến trên khoảng
( ; )
a b
.
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa

Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 3
 Dựa vào tính chất của hàm số đồng biến để kết luận.
Lưu ý: Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của
'( )
h x
thì ta đặt
1
( ) '( )
h x h x
=
và quay lại tiếp tục xét
dấu
1
'( )
h x
… cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.
Bài toán 2: Chứng minh rằng
( ) ( )
f u f v
>
với
, ( ; );
u v a b u v
∈ >

• Ta chứng minh hàm số
( )
y f x
=

đồng biến trên
( ; )
a b
.
Dạng 4: Ứng dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để giải phương trình, bất phương trình:
Để chứng minh phương trình
( ) ( ) (*)
f x g x
=
có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:
 Nhẩm được nghiệm
0
x
của phương trình tức là
0 0
( ) ( )
=
f x g x
.
 Xét các hàm số
1
( ) ( )
y f x C
=
và
2
( ) ( )
y g x C
=
.

 Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến. Khi đó
1
( )
C
và
2
( )
C
giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ
0
x
. Đó chính là nghiệm duy nhất
của phương trình (*).
Chú ý:
 Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.
 Hàm số f(x) đơn điệu trên
(a;b)
thì
1 2
, ( ; )
∀ ∈
x x a b
ta có:
1 2 1 2
( ) ( )
= ⇔ =
f x f x x x
.
Vấn đề 2: Cực Trị Của Hàm Số
Định nghĩa: Cho hàm số

( )
y f x
=
xác định trên tập hợp
⊂
ℝ
D
và
0
x
∈
D
.
•
0
x
được gọi là một điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại một khoảng
( ; )
a b
thỏa
0
( ; )
x a b
∈
và
( ; )a b
⊂
D
sao cho:
0 0

( ) ( ), ( ; ) \{ }
f x f x x a b x
< ∀ ∈
.
Khi đó:
0
( )
f x
được gọi là giá trị cực đại của hàm số.
•
0
x
được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoảng
( ; )
a b
thỏa
0
( ; )
x a b
∈
và
( ; )a b
⊂
D
sao cho:
0 0
( ) ( ), ( ; ) \{ }
f x f x x a b x
> ∀ ∈
.

Khi đó:
0
( )
f x
được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
• Người ta gọi chung cực đại và cực tiểu là cực trị.
Các định lý:
Định lý 1: Nếu hàm số
( )
y f x
=
đạt cực trị tại
0
x
và tồn tại
0
'( )
f x
thì
0
'( ) 0
f x
=
.
Định lý 2: Cho hàm số
( )
y f x
=
có đạo hàm trong khoảng
( ; )

a b
.
• Nếu
0
'( ) 0, ( ; )
> ∀ ∈
f x x a x
và
0
'( ) 0, ( ; )
< ∀ ∈
f x x x b
thì hàm số đạt cực đại tại
0
x
.
• Nếu
0
'( ) 0, ( ; )
< ∀ ∈
f x x a x
và
0
'( ) 0, ( ; )
> ∀ ∈
f x x x b
thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x
.

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm
0
x
mà tại đó
0
'( ) 0
f x
=
hoặc
0
'( )
f x
không xác
định.
Định lý 3: Cho hàm số
( )
y f x
=
có đạo hàm cấp hai tại
0
x
.
• Nếu
0
'( ) 0
f x
=
và
0
"( ) 0

f x
<
thì y đạt cực đại tại
0
x
.
• Nếu
0
'( ) 0
f x
=
và
0
"( ) 0
f x
>
thì y đạt cực tiểu tại
0
x
.
Các Dạng Toán Cơ Bản
Dạng 1: Tìm Các Điểm Cực Trị Của Hàm Số
( )
y f x
=
:
Phương pháp 1: Ta thực hiện theo các bước:
 Tìm tập xác định
D
.

 Tính
'( )
f x
.
 Tìm các điểm
( 1,2, )
∈ =
i
x i
D
mà tại đó
'( ) 0
=
i
f x
hoặc hàm số liên tục nhưng
'( )
i
f x
không có đạo hàm.
 Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Lưu ý: Nếu
'( )
f x
đổi dấu khi x qua điểm
i
x
thì hàm số đạt cực trị tại điểm
i
x

.
Phương pháp 2: Ta thực hiện theo các bước:
 Tìm tập xác định
D
.
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 4
 Tính
'( )
f x
.
 Tìm các điểm
( 1,2, )
∈ =
i
x i
D
mà tại đó
'( ) 0
=
i
f x
.
 Tính
"( )
f x
và
"( )
i

f x
. Kết luận các điểm cực trị của hàm số.
Lưu ý:
- Nếu
"( ) 0
i
f x
<
thì hàm số đạt cực đại tại điểm
i
x
.
- Nếu
"( ) 0
i
f x
>
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
i
x
.
- Nếu
"( ) 0
=
i
f x
thì ta cần dùng đến bảng biến thiên để kiểm tra.
Dạng 2: Xác Lập Hàm Số Khi Biết Cực Trị:
Bài toán: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số
( , )

=
y f x m
đạt cực trị (đạt cực đại hoặc đạt cực tiểu)
tại
0
x
:
 Tính
' '( )
y f x
=
.
 Giải phương trình:
0
'( ) 0
f x
=
suy ra giá trị của tham số.
 Thay giá trị của tham số vừa tìm được vào
0
"( )
f x
để kiểm tra yêu cầu bài toán.
 Kết luận.
Lưu ý: Nếu
0
"( ) 0
f x
=
thì ta cần dùng đến bảng biến thiên để kiểm tra.

- Hàm số f xác định trên
D
có cực trị
0
x
⇔ ∃ ∈
D
thỏa mãn hai điều kiện:
•
0
'( ) 0
f x
=
hoặc
0
'( )
f x
không xác định.
•
0
'( )
f x
phải đổi dấu khi x đi qua
0
x
hoặc
0
"( ) 0
f x
≠

.
- Nếu
0
'( )
f x
là một tam thức bậc hai thì hàm số f có cực trị khi và chỉ khi
0
'( ) 0
f x
=
có hai
nghiệm phân biệt và không có cực trị khi và chỉ khi
0
'( ) 0
f x
=
vô nghiệm.
Dạng 3: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số có cực trị thỏa mãn một tính chất nào đó:
- Đối với hàm bậc ba (
3 2
y ax bx cx d
= + + +
với
0
a
≠
), hàm phân thức bậc 2 / bậc 1
2
ax bx c
y

mx n
+ +
=
+
(hoặc hàm có đạo hàm là một tam thức bậc hai) thì hàm số có cực trị (hay có
cực đại và cực tiểu) khi và chỉ khi
y' 0
=
có hai nghiệm phân biệt
'
( 0)
y
∆ >
; và không có cực trị
khi
y' 0
=
vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
'
( 0)
y
∆ ≤
.
- Đối với hàm bậc 4 (
4 3 2
y ax bx cx dx e
= + + + +
với
0
a

≠
) thì hàm số có 1 cực trị khi và chỉ khi
y' 0
=
có nhiều nhất 2 nghiệm; và có 3 cực trị khi và chỉ khi
y' 0
=
có 3 nghiệm phân biệt. Đặc
biệt nếu
4 2
y ax bx c
= + +
thì hàm số có 1 cực trị
0
ab
⇔ ≥
và có 3 cực trị
0
ab
⇔ <
.
- Hàm số
ax b
y
mx n
+
=
+
với
0, 0

m an bm
≠ − ≠
, không có cực trị.
Dạng 4: Phương Trình Đường Thẳng Đi Qua Các Điểm Cực Trị:
a) Nếu hàm số
3 2
( )
y f x ax bx cx d
= = + + +
có cực đại và cực tiểu thì đường thẳng đi qua các
điểm cực trị có phương trình
( )
y r x
=
với
( ) '( ). ( ) ( )
f x f x q x r x
= +
.
Nhận xét: Ta dùng kết quả này để tính các giá trị y cực đại, cực tiểu khi mà hoành độ các điểm cực trị này
phức tạp.
b) Hàm số hữu tỉ
( )
( )
u x
y
v x
=
thoả điều kiện
'( ) 0

v x
≠
và
0
'( ) 0
v x
≠
. Nếu
0
x
là điểm cực trị thì giá
trị cực trị
0 0
( )
y f x
=
được tính như sau:
0 0
0 0
0 0
( ) '( )
( )
( ) '( )
u x u x
y f x
v x v x
= = =
.
Nhận xét: Ta dùng kết quả này để tính các giá trị y cực đại, cực tiểu khi mà hoành độ các điểm cực trị này
phức tạp.

Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 5
Áp dụng: đối với hàm số
2
ax bx c
y
mx n
+ +
=
+
có cực đại và cực tiểu thì đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị là
2
( )' 2
:
( )'
ax bx c ax b
d y
mx n m
+ + +
= =
+
.
Vấn đề 3: Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số
Định nghĩa: Cho hàm số
( )
y f x
=
xác định trên tập

D

• Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
0 0
, ( )
( )
, ( )
∀ ∈ ≤

⇔

∃ ∈ =

x f x M
f x
x f x M
D
D

Kí hiệu:
max ( )
=
M f x
D

• Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
0 0
, ( )
( )
, ( )

∀ ∈ ≥

⇔

∃ ∈ =

x f x m
f x
x f x m
D
D

Kí hiệu:
min ( )
=
m f x
D

Các Dạng Toán Cơ Bản
Dạng 1: Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số:
Cách 1: (áp dụng chung)
- Tính đạo hàm
' '( )
=
y f x

- Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
=
y f x

trên
D
.
- Từ bảng bến thiên suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Cách 2: (nếu hàm số
( )
=
y f x
liên tục trên
[a;b]
=
D
)
- Tính đạo hàm
' '( )
=
y f x

- Tìm các điểm
1 2 n
x ,x , ,x
trên khoảng
(a;b)
mà tại đó
f '(x)
bằng 0 hoặc không tồn tại.
- Tính các giá trị:
1 2 n
f (a),f (b),f (x ),f (x ), ,f (x )


- Kết luận:
•
1 2 n
maxf (x) max{f (a),f (b),f (x ),f (x ), ,f (x )}
=
D

•
1 2 n
min f (x) min{f (a),f (b),f (x ),f (x ), ,f (x )}
=
D

Cách 3: (dùng tính chất bất đẳng thức)
• Nếu
m f (x) M
≤ ≤
và tồn tại
1
f (x ) m
=
với
1
x D
∈
và
2
f (x ) M
=
với

2
x D
∈
thì:

D
min f (x) m
=
khi
1
x x
=


D
maxf (x) M
=
khi
2
x x
=

Chú ý:
• Nếu hàm số
( )
y f x
=
đồng biến trên
[
]

a;b
thì
[ ]
[ ]
a;b
a;b
minf (x) f (a);maxf (x) f (b)
= =
.
• Nếu hàm số
( )
y f x
=
nghịch biến trên
[
]
a;b
thì
[ ]
[ ]
a;b
a;b
min f (x) f (b);max f (x) f (a)
= =
.
• Nếu đề bài không chỉ rõ tập D thì D được hiểu là tập xác định của hàm số.
Dạng 2: Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Dựa Vào Đặt Ẩn Phụ:
Phương pháp: Giả sử ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y f(x)
=

trên D. Khi đó ta
thực hiện theo các bước sau:
 Đặt
t (x)
= ϕ

 Tìm miền giá trị của t với x thuộc D (giả sử
t
∈Ω
)
 Thay
t (x)
= ϕ
vào hàm số
y f(x)
=
ta được hàm số:
y g(t)
=

 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y g(t)
=
trên
Ω

 Kết luận:
D
D
min f (x) min g(t);maxf (x) max g(t)

Ω
Ω
= =

Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 6
Dạng 3: Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Bằng Phương Pháp Sử Dụng Miền
Giá Trị:
Phương pháp:
Giả sử hàm số
y f(x)
=
xác định trên D. Gọi G là miền giá trị của hàm số trên D.
Khi đó:
G {y / y f (x) x D}
= ∈ = ∈
ℝ
phöông trình: coù nghieäm
như vậy nếu coi y là tham số, tìm
điều kiện cần và đủ của y để phương trình
y f(x)
=
có nghiệm trên D, từ đó ta tìm được tập giá trị G.
Dạng 4: Ứng Dụng Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Vào Giải Và Biện Luận Phương Trình,
Bất Phương Trình:
Bài toán 1: Tìm m để phương trình
(
)
f x m

=
có nghiệm trên D.
Cách giải:
(
)
f x m
=
có nghiệm trên
(
)
(
)
D
D
D min f x m maxf x
⇔ ≤ ≤

Bài toán 2: Tìm m để
(
)
f x m
≤
với mọi x thuộc D
Cách giải:
(
)
(
)
D
f x m, x D maxf x m

≤ ∀ ∈ ⇔ ≤
.
Bài toán 3: Tìm m để
(
)
f x m
≥
với mọi x thuộc D
Cách giải:
(
)
(
)
D
f x m, x D min f x m
≥ ∀ ∈ ⇔ ≥

Bài toán 4: Tìm m để bất phương trình
(
)
f x m
≥
có nghiệm x thuộc D
Cách giải: Bất phương trình
(
)
f x m
≥
có nghiệm trên
(

)
D
D max f x m
⇔ ≥
.
Bài toán 5: Tìm m để bất phương trình
(
)
f x m
≤
có nghiệm x thuộc D
Cách giải: Bất phương trình
(
)
f x m
≤
có nghiệm trên
(
)
D
D min f x m
⇔ ≤

Bài toán 6: Tìm m để bất phương trình
(
)
f x m
≥
vô nghiệm
x D

∀ ∈
.
Cách giải: Để bất phương trình
(
)
f x m
≥
vô nghiệm
(
)
x D f x m
∀ ∈ ⇔ <
có nghiệm
(
)
D
x D maxf x m
∀ ∈ ⇔ <
.
Bài toán 7: Tìm m để bất phương trình
(
)
f x m
≤
vô nghiệm
x D
∀ ∈
.
Cách giải: Để bất phương trình
(

)
f x m
≤
vô nghiệm
(
)
x D f x m
∀ ∈ ⇔ >
có nghiệm
(
)
D
x D min f x m
∀ ∈ ⇔ >
.
Vấn đề 4: Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số:
Hàm bậc ba:
3 2
( ): ( 0)
C y ax bx cx d a
= + + + ≠

• Tập xác định:
D
=
ℝ

• Sự biến thiên:
- Giới hạn tại vô cực:
x x

lim y ; lim y
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞
nếu
a 0
>
;
x x
lim y ; lim y
→+∞ →−∞
= −∞ = +∞
nếu
a 0
<
.
Hàm số không có tiệm cận.
- Đạo hàm:
2
y' 3ax 2bx c
= + +
. Giải phương trình
' 0
=
y
.
- Lập bảng biến thiên (phải điền đầy đủ các giá trị đặc biệt)
- Nêu các khoảng mà hàm số đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số (nếu có).
• Vẽ đồ thị:
- Tìm một vài điểm mà đồ thị đi qua (đặc biệt là giao điểm của đồ thị (C) với các trục tọa độ).
- Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị.

- Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Nhận xét:
• Điểm uốn: hoành độ điểm uốn là nghiệm của phương trình:
" 0
=
y
.
• Nếu hàm số có cực đại và cực tiểu thì điểm uốn của đồ thị hàm số chính là trung điểm của
điểm cực đại và cực tiểu.
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 7
• Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất khi
0
a
>
và là
tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất khi
0
a
<
.
Lưu ý: Đồ thị hàm số có 6 dạng:

'
0
y
∆ >

'

0
y
∆ =

'
0
y
∆ <

0
a
>

x
y

x
y

x
y


'
0
y
∆ >

'
0

y
∆ =

'
0
y
∆ <

0
a
<

x
y

x
y

x
y

Hàm bậc bốn trùng phương
4 2
( 0)
y ax bx c a
= + + ≠

• Tập xác định:
D
=

ℝ

• Sự biến thiên:
- Giới hạn tại vô cực:
x x
lim y ; lim y
→+∞ →−∞
= +∞ = +∞
nếu
a 0
>
;
x x
lim y ; lim y
→+∞ →−∞
= −∞ = −∞
nếu
a 0
<

- Đạo hàm:
3 2
' 4 2 2 (2 )
y ax bx x ax b
= + = +

- Lập bảng biến thiên (phải điền đầy đủ các giá trị đặc biệt)
- Nêu các khoảng mà hàm số đồng biến, nghịch biến và cực trị của hàm số (nếu có).
• Vẽ đồ thị:
- Giao điểm với các trục tọa độ. Tìm thêm một vài điểm mà đồ thị đi qua.

- Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị.
- Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
Lưu ý: Đồ thị của hàm bậc 4 trùng phương có 4 dạng:

0
ab
<

0
ab
>

0
a
>

x
y

x
y


0
ab
<

0
ab
>


0
a
<

x
y

x
y


Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 8
Hàm số
( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+

Sơ đồ các bước khảo sát
• Tập xác định:
\
d
D
c

 
= −
 
 
ℝ

• Sự biến thiên:
- Đạo hàm:
2
'
( )
ad bc
y
cx d
−
=
+

Ta có
' 0,
y x D
> ∀ ∈
(hoặc
' 0,
y x D
< ∀ ∈
) nên hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến)
trên các khoảng mà hàm số xác định.
Hàm số không có cực trị.
- Giới hạn và tiệm cận:

( ) ( )
lim ; lim
d d
x x
c c
y y
− +
→ − → −
= +∞ = −∞
nếu
' 0
y
>
hoặc
( ) ( )
lim ; lim
d d
x x
c c
y y
− +
→ − → −
= −∞ = +∞
nếu
' 0
y
<

Suy ra
d

x
c
= −
là tiệm cận đứng.
lim ; lim
x x
a a a
y y y
c c c
→+∞ →−∞
= = ⇒ =
là tiệm cận ngang.
- Lập bảng biến thiên (phải điền đầy đủ các giá trị đặc biệt).
• Đồ thị:
- Giao điểm với các trục tọa độ (hoặc một vài điểm đặc biệt).
- Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị.
- Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
Lưu ý: Đồ thị hàm số có 2 dạng:
0
ad bc
− <

0
ad bc
− >

x
y

x

y

Vấn đề 5: Sự Tương Giao Của Hai Đồ Thị:
Cho hàm số
( )
y f x
=
có đồ thị
( )
C
và hàm số
( )
y g x
=
có đồ thị
( ')
C
. Hai đồ thị
( )
C
và
( ')
C
cắt
nhau tại điểm
0 0
( ; )
M x y
khi và chỉ khi
0 0

( )
y f x
=
và
0 0
( )
y g x
=
, tức là
0 0
( ; )
x y
là nghiệm của hệ
phương trình:
( )
( ) ( ) (*)
( )
y f x
f x g x
y g x
=

⇒ =

=

.
Phương trình (*) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị
( )
C

và
( ')
C
.
Lưu ý: Số nghiệm của phương trình (*) cũng chính là số giao điểm của đồ thị
( )
C
và
( ')
C
.
Các Dạng Toán Cơ Bản
Dạng 1: Xác định số giao điểm của đồ thị hàm số
( )
y f x
=
và
( )
y g x
=
:
Ta thực hiện như sau:
- Lập phương trình hoành độ giao điểm:
( ) ( ) (1)
f x g x
=

- Xác định số nghiệm của phương trình (1) từ đó suy ra số giao điểm của
( )
C

và
( ')
C
.
Dạng 2: Xác định số nghiệm của phương trình:
( ) ( )
f x g x
=

- Ta dựa vào số giao điểm của đồ thị hàm số
( )
y f x
=
và
( )
y g x
=
để suy ra số nghiệm của
phương trình.
ng Dng Ca o Hm KSHS Giỏo Viờn: Lờ Hu Hũa
Lu Hnh Ni B
09/12 Trang 9
Dng 3: Cỏc bi toỏn v s tng giao ca th hm s bc 3:
3 2
( ): ( ) ( 0)
= = + + +
C y f x ax bx cx d a

Bi toỏn 1. Tỡm iu kin th (C) v trc honh cú 1 im chung duy nht:


Cẹ CT
f khoõng coự cửùc trũ
f coự cửùc trũ
y y
2
. 0





>



Phng trỡnh (1) cú 1 nghim duy nht


Bi toỏn 2. Tỡm iu kin th (C) v trc honh cú 2 im chung phõn bit:
(C) tip xỳc vi Ox
Cẹ CT
f coự cửùc trũ
y y
2
. 0


=

Phng trỡnh (1) cú ỳng 2 nghim


Bi toỏn 3. Tỡm iu kin th (C) v trc honh cú 3 im chung phõn bit:

Cẹ CT
f coự cửùc trũ
y y
2
. 0


<

Phng trỡnh (1) cú 3 nghim phõn bit
Bi toỏn 4. Tỡm iu kin th (C) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh dng:

Cẹ CT
Cẹ CT
f coự cửùc trũ
y y
x x
a f hay ad
2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)


<



> >

< <


Phng trỡnh (1) cú 3 nghim dng phõn bit.

Bi toỏn 5. Tỡm iu kin th (C) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh õm:

Cẹ CT
Cẹ CT
f coự cửùc trũ
y y
x x
a f hay ad
2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)


<


< <

> >


Phng trỡnh (1) cú 3 nghim õm phõn bit.


Bi toỏn 6. Tỡm iu kin th (C) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh to thnh
mt cp s cng:
Gi s (1) cú 3 nghim
x x x
1 2 3
, ,
lp thnh cp s cng.
Vit (1) di dng:
ax bx cx d
3 2
0
+ + + =

a x x x x x x
1 2 3
( )( )( ) 0
=

Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 10
⇔
a x x x x x x x x x x x x x x x
3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
( ) ( ) 0
 
− + + + + + − =
 


–
x x x
1 2 3
, ,
lập thành cấp số cộng ⇔
x x x
1 3 2
2
+ =
⇒
b
x
a
2
3
= −
là 1 nghiệm của (1).
– Thế
b
x
a
2
3
= −
vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm.
Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được.
Bài toán 7. Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ tạo thành
một cấp số nhân.
– Giả sử (1) có 3 nghiệm

x x x
1 2 3
, ,
lập thành cấp số nhân.
– Viết (1) dưới dạng:
ax bx cx d
3 2
0
+ + + =
⇔
a x x x x x x
1 2 3
( )( )( ) 0
− − − =

⇔
a x x x x x x x x x x x x x x x
3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
( ) ( ) 0
 
− + + + + + − =
 

–
x x x
1 2 3
, ,
lập thành cấp số nhân ⇔
x x x

2
1 3 2
=
⇒
d
x
a
3
2
= −
là 1 nghiệm của (1).
– Thế
d
x
a
3
2
= −
vào (1) để suy ra điều kiện cần tìm.
Chú ý: Đây chỉ là điều kiện cần nên phải thử lại kết quả tìm được
Bài tập:
1. (TNPT – 2008) Cho hàm số
3 2
y 2x 3x 1
= + −
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình:
3 2
2x 3x 1 m

+ − =
.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y

2. Cho hàm số
y f x x mx m
3 2
( ) 2
= = − +
có đồ thị
( )
m
C
(m là tham số).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số khi
3
=

m
.
b) Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
•
Ta có:
y x mx x x m
2
3 2 (3 2 )
′
= − = −

+ Khi m = 0 thì
y x
2
3 0
′
= ≥
⇒
(1) đồng biến trên
R
⇒
thoả yêu cầu bài toán.
+ Khi
m
0
≠
thì (1) có 2 cực trị
m

x x
1 2
2
0 ,
3
= =
.
Do đó đồ thị cắt Ox tại duy nhất 1 điểm khi
(
)
f x f x
1 2
( ). 0
>
m m
m m m
3 2
2
4 2
2 2 0 4 1 0
27 27
   
⇔ − > ⇔ − >
   
   
3 6 3 6
0
2 2
⇔ − < ≠ <m


Kết luận: khi
m
3 6 3 6
;
2 2
 
∈ −
 
 
thì đồ thị (Cm) cắt Ox tại duy nhất một điểm
3. Cho hàm số
3 2
y x 3m x 2m
= − + có đồ thị (C
m
).
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 11

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
b) Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.
Để (C
m
) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt thì (C
m
) phải có 2 điểm cực trị
⇒

y
0
′
=
có 2 nghiệm phân biệt
x m
2 2
3 3 0
⇔ − =
có
2 nghiệm phân biệt
⇔

m
0
≠

Khi đó
y x m

' 0
= ⇔ = ±
.
(C
m
) cắt Ox tại đúng 2 điểm phân biệt
⇔
y
CĐ
= 0
hoặc y
CT
= 0Ta có:
+
y m m m m
3
( ) 0 2 2 0 0
− = ⇔ + = ⇔ =
(loại)
+
y m m m m m
3
( ) 0 2 2 0 0 1
= ⇔ − + = ⇔ = ∨ = ±

Vậy:
m
1
= ±


4. Cho hàm số
y x x
3 2
3 1
= − +
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng (∆):
y ( m x m
2 1) 4 1
= − − −
cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt.
•
Phương trình hoành độ giao của (C) và (
∆
):
x x ( m x m
3 2
3 2 1) 4 2 0
− − − + + =

⇔

x x x m
2
( 2)( 2 1) 0
− − − − =


x
f x x x m
2
2
( ) 2 1 0 (1)

=
⇔

= − − − =


(
∆
) cắt (C) tại đúng 2 điểm phân biệt
⇔
(1) phải có
nghiệm
x x
1 2
,
thỏa mãn:
x x
x x
1 2
1 2
2
2


≠ =

= ≠


⇔

b
a
f
0
2
2
0
(2) 0
∆
∆


=




− ≠






>


=



⇔

m
m
m
8 5 0
1
2
2
8 5 0
2 1 0


+ =




≠





+ >


− + =



⇔

m
m
5
8
1
2

= −



=


.
Vậy:
m
5
8
= −
;

m
1
2
=
.
5. Cho hàm số
y x mx m x m
3 2 2 2
3 3( 1) ( 1)
= − + − − −
(
m
là tham số) (1).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m
0.
=

b) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ
dương.
•
Đồ thị (1) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ dương
⇔

CÑ CT
CÑ CT
coù cöïc trò
y y
x x

a y
(1) 2
. 0
0, 0
. (0) 0


<


> >

<


(*)
+
y x mx m
2 2
3 6 3( 1)
′
= − + −

+
y
m m m
2 2
9( 1) 9 0,
∆
′

= − + = > ∀

+
CÑ
CT
x m x
y
x m x
1
0
1

= − =
′
= ⇔

= + =


Suy ra: (*)
m
m
m
m m m m
m
2 2 2
2
1 0
1 0
3 1 2

( 1)( 3)( 2 1) 0
( 1) 0

− >

+ >

⇔ ⇔ < < +

− − − − <


− − <


6. Cho hàm số
y x x x m
3 2
3 9
= − − +
, trong đó
m
là tham số thực.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2

3
4
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 12
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi

m
0
=
.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân
biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
•
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ lập thành cấp số cộng
⇔
Phương trình
x x x m
3 2
3 9 0
− − + =
có 3 nghiệm
phân biệt lập thành cấp số cộng
⇔
Phương trình
x x x m
3 2
3 9
− − = −
có 3 nghiệm
phân biệt lập thành cấp số cộng
⇔
Đường thẳng
y m

= −
đi qua điểm uốn của đồ thị
(C)
m m
11 11.
⇔ − = − ⇔ =

7. Cho hàm số
y x x
3 2
2 6 1
= − + +
(C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
hàm số (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng
d y mx
: 1
= +
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho B là
trung điểm của đoạn thẳng AC.
•
PT hoành độ giao điểm của (C) và d:
x x mx
3 2
2 6 1 1
− + + = +

⇔


x y
x x m
2
0 ( 1)
2 6 0 (1)

= =

− + =


d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C
⇔
(1) có 2 nghiệm phân biệt
x x
1 2
, 0
≠

⇔

m m
m
9
0
; 0
0
2
∆


′

>
⇔ < ≠


≠


. Khi đó
B x mx C x mx
1 1 2 2
( ; 1), ( ; 1)
+ +
.
Vì B là trung điểm của AC nên
x x
2 1
2
=
(2). Mặt khác:
x x
m
x x
1 2
1 2
3
2

+ =



=


(3)
Từ (2) và (3) suy ra
m
4
=
.
8. Cho hàm số
y x m x m x
3 2
(3 1) (5 4) 8
= − + + + −
có đồ thị (C
m
), trong đó
m
là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi
0
=
m
.
b) Tìm
m
để (C
m

) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y

9. Cho hàm số
y x mx m x m
3 2
3 ( 1) 1
= − + − + +
(Cm).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
m
1
=
.
b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng
d y x m
: 2 1
= − −
cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt có

hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1.
•
PT hoành độ giao điểm của (Cm) và d:
x mx m x m x m
3 2
3 ( 1) 1 2 1
− + − + + = − −
(1)
⇔

x
x m x m
2
1
(1 3 ) 2 2 0 (2)

=

+ − − − =


YCBT
⇔
(1) có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1
⇔
(2) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1
Xét PT (2) ta có:
m m m
2
9 2 9 0,

∆
= + + > ∀

⇒
(2) luôn có 2 nghiệm phân biệt
x x
1 2
,
.
Do đó: (2) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1
⇔

x x
1 2
1
< <

⇔

x x
1 2
0 1 1
< − < −
(*)
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-25
-20
-15
-10
-5

5
x
y
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 13
Đặt
t x
1
= −
. Khi đó (2)
⇔

t m t m
2
3(1 ) 5 0 (3)
+ − − =

(*)
⇔
(3) có 2 nghiệm dương phân biệt
⇔

S m
P m
0
3( 1) 0
5 0
∆


>

= − >


= − >

(vô nghiệm)
Kết luận: không có giá trị m thoả YCBT.
10. Cho hàm số
y x x
3
3 2
= − +
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho
A
x
2
=
và
BC
2 2
=
.
•
Với
A
x

2
=

⇒

A
y
4
=
. PT đường thẳng d đia qua A(2; 4) có dạng:
y k x
( 2) 4
= − +
.
PT hoành độ giao điểm của (C) và d:
x x k x
3
3 2 ( 2) 4
− + = − +

⇔

x
g x x x k
2
2
( ) 2 1 0

=


= + − + =


d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
⇔

k
g k
0 0
(2) 0 9
∆
′
 
> >
⇔
 
≠ ≠
 
. Khi đó toạ độ của
B x y C x y
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
thoả hệ phương
trình:
x x k
y kx k
2
2 1 0 (1)
2 4 (2)


+ − + =

= − +


Ta có: (1)
⇒

x x k
1 2
2
− =
; (2)
⇒

y y k x x k k
1 2 1 2
( ) 2− = − =

BC =
2 2

⇔

k k
3
4 4 2 2
+ =

⇔


k k k
3
4 4 8 0 1
+ − = ⇔ =
. Vậy
d y x
: 2
= +

11. Cho hàm số
y x mx m x
3 2
2 3( 1) 2
= + + − +
có đồ thị là (C
m
) (m là tham số).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C
1
) của hàm số trên khi m = 1.
b) Cho đường thẳng
d y x
: 2
= − +
và điểm
(3;1)
K
. Tìm các giá trị của m để (d) cắt (C
m

) tại ba
điểm phân biệt
(0;2)
A
, B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng
2 2,
.
ĐS:
m m
0, 3
= =

12. Cho hàm số
3 2
6 9 2
y x x x
= + + +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương
trình:
3 2 3 2
6 9 6 9
x x x m m m
+ + = + +

Ta có:

2
, ' 3 12 9
D y x x
= = + +
ℝ

' 0 3( 2) 1( 2)
y x y x y
⇒ = ⇔ = − = ∨ = − = −

Điểm đặc biệt:
( 2;0)
−
A
.
( 4; 2), (0;2)
D E
− −

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ
thị
( )
C
và đường thẳng
3 2
: 6 9 2
d y k m m m
= = + + +
.
• Nếu

2 4
k m
< − ⇔ < −
phương trình có 1
nghiệm.
• Nếu
2 4 1
k m m
= − ⇔ = − ∨ = −
phương trình có 2 nghiệm.
• Nếu
2 2 ( 4;0) \{ 3; 1}
k m
− < < ⇔ ∈ − − −
phương trình có 3 nghiệm.
• Nếu
2 3 0
k m m
= ⇔ = − ∨ =
phương trình có 2 nghiệm.
• Nếu
2 0
k m
> ⇔ >
phương trình có 1 nghiệm.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2

-1
1
2
3
4
x
y
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 14
Dạng 4: Sự tương giao của đồ thị hàm số trùng phương:
y f x ax bx c a
4 2
( ) ( 0)
= = + + ≠

Số giao điểm của (C):
y ax bx c
4 2
= + +
với trục Ox = số nghiệm của
ax bx c
4 2
0
+ + =
(1)
t x t
ax bx c
at bt c
2

4 2
2
, 0
0 (1)
0 (2)


= ≥
+ + = ⇔

+ + =



Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng.
• (1) vơ nghiệm ⇔
vô nghiệm
có nghiệm kép âm
có nghiệm âm
(2)
(2)
(2) 2





• (1) có 1 nghiệm ⇔
có nghiệm kép bằng
có nghiệm bằng nghiệm còn lại âm

(2) 0
(2) 1 0,




• (1) có 2 nghiệm ⇔
có nghiệm kép dương
có nghiệm dương và nghiệm âm
(2)
(2) 1 1




• (1) có 3 nghiệm ⇔
có nghiệm bằng nghiệm còn lại dương
(2) 1 0,

• (1) có 4 nghiệm ⇔
có nghiệm dương phân biệt
(2) 2

1. Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hồnh tại k điểm phân biệt.
Dựa vào các trường hợp nêu trên.
2. Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành một cấp số
cộng.
⇔
ax bx c
4 2

0
+ + =
(1) có 4 nghiệm phân biệt.
⇔
at bt c t x
2 2
0 ( )
+ + = =
(2) có 2 nghiệm dương phân biệt
t t
1 2
,
(giả sử
t t
1 2
<
)
– Khi đó các nghiệm của (1) là:
t t t t
2 1 1 2
; ; ;− −
.
– Vì
t t t t
2 1 1 2
; ; ;− −
lập thành cấp số cộng nên
(
)
t t t t t t

2 1 1 1 2 1
9
− = − − ⇔ =
.
– Giải điều kiện:
b
t t
a
c
t t
a
t t
1 2
1 2
1 2
9

+ = −



=


=


Bài tập:
1. Cho hàm số
y x mx m

4 2
1
= − + −
có đồ thị là
( )
m
C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
m
8
=
.
b) Tìm các giá trị của m để đồ thị
( )
m
C
cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt.
•
PT hồnh độ giao điểm của (Cm) với trục hồnh:
x mx m
4 2
1 0
− + − =
(1)
Đặt
t x t
2
, 0
= ≥

. Khi đó: (1)
⇔

t mt m
2
1 0
− + − =

(2)
⇔

t
t m
1
1

=

= −


YCBT ⇔ (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có 2
nghiệm dương phân biệt ⇔
m
0 1 1
< − ≠

⇔

m

m
1
2

>

≠


2. Cho hàm số
y x m x m
4 2
2( 1) 2 1
= − + + +
có đồ thị là
( )
m
C
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi
m
0
=
.
b) Tìm các giá trị của
m
để đồ thị
( )
m
C

cắt trục hồnh tại 4 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành
cấp số cộng.
c) Tìm các giá trị của m để đồ thị
( )
m
C
cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt đều có hồnh độ nhỏ
hơn
3
.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 15
b)
•
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x m x m
4 2
2( 1) 2 1 0

− + + + =
(1)
Đặt
t x t
2
, 0
= ≥
thì (1) trở thành:
f t t m t m
2
( ) 2( 1) 2 1 0
= − + + + =
.
Để (C
m
) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì
f t
( ) 0
=

phải có 2 nghiệm dương phân biệt
( )
m
m
S m
m
P m
2
' 0
1

2 1 0
2
0
2 1 0
∆

= >



> −
⇔ = + > ⇔
 
 
≠
= + >


(*)
Với (*), gọi
t t
1 2
<
là 2 nghiệm của
f t
( ) 0
=
, khi đó hoành độ giao điểm của (C
m
) với Ox lần lượt là:

x t x t x t x t
1 2 2 1 3 1 4 2
; ; ;= − = − = =

x x x x
1 2 3 4
, , ,
lập thành cấp số cộng
x x x x x x t t
2 1 3 2 4 3 2 1
9
⇔ − = − = − ⇔ =

( )
( )
m
m m
m m m m m m
m m
m
4
5 4 4
1 9 1 5 4 1
4
5 4 4
9

=

= +


⇔ + + = + − ⇔ = + ⇔ ⇔

− = +
= −



(thoả (*)). Vậy
m
4
4;
9
 
= −
 
 

c)
•
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x m x m
4 2
2( 1) 2 1 0
− + + + =
(1)
Đặt
t x t
2
, 0

= ≥
thì (1) trở thành:
f t t m t m
2
( ) 2( 1) 2 1 0
= − + + + =
.
(C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn
3

(
)
f t
⇔
có 2 nghiệm phân biệt
t t
1 2
,
sao cho:
t t
t t
1 2
1 2
0 3
0 3

= < <


< < ≤


m
m
f m
f m hoaëc m m
S m
S m
P m
2
2
0
0
1
(3) 4 4 0
(0) 2 1 0 1
2
2( 1) 0
2( 1) 3
2 1 0
∆
∆

′
= >

′
= >


 
= − ≤
⇔ = + = ⇔ = − ∨ ≥
 
= + >
 
= + <

= + >


. Vậy:
m m
1
1
2
= − ∨ ≥
.
3. Cho hàm số
y x m x m
4 2
(3 2) 3
= − + +
có đồ thị là
( )
m
C
, m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
b) Tìm m để đường thẳng

y
1
= −
cắt đồ thị
( )
m
C
tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
•
Phương trình hoành độ giao điểm của (C
m
) và
đường thẳng
y
1
= −
:
x m x m
4 2
(3 2) 3 1
− + + = −

⇔
x m x m
4 2
(3 2) 3 1 0
− + + + =

⇔


x
x m
2
1
3 1 (*)

= ±

= +


Đường thẳng
y
1
= −
cắt (C
m
) tại 4 điểm phân biệt
có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình
(*) có hai nghiệm phân biệt khác
±
1 và nhỏ hơn 2
⇔

m
m
0 3 1 4
3 1 1

< + <



+ ≠



⇔

m m
1
1; 0
3

− < < ≠



4. Cho hàm số
y x m x m
4 2
2( 1) 2 1
= − + + +
có đồ thị là
( )
m
C
, m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
m
1

=
.
b) Tìm các giá trị của m để
( )
m
C
cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D có hoành độ lần
lượt là
x x x x
1 2 3 4
, , ,
(
x x x x
1 2 3 4
< < <
) sao cho tam giác ACK có diện tích
S
4
=
, biết
K
(3; 2)
−
.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-8
-6
-4
-2
2

4
6
8
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 16
•
PT hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành:
x m x m
4 2
2( 1) 2 1 0
− + + + =
(1) .
Đặt
t x t
2
, 0

= ≥
. (1) trở thành:
t m t m
2
2( 1) 2 1 0
− + + + =
(2)
(Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt
⇔
(2) có 2
nghiệm dương phân biệt
⇔

m m
S m
P m
2
( 1) (2 1) 0
2( 1) 0
2 1 0
∆

′
= + − + >


= + >

= + >



⇔

m
m
1
2
0


> −


≠


Khi đó (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự là:
t t t t
1 2 2 1
; ; ;
− − , với
t t
1 2
>
.
Ta có:
ACK
S AC d K AC
1
. ( , )

2
=
(3), với
K
d K AC y
( , ) 2
= =
.
Khi đó: (3)
⇔

t t
1 2
4
+ =

⇔

t t t t
1 2 1 2
2 16
+ + =

⇔
m m
2( 1) 2 2 1 16
+ + + =

⇔


m
4
=
.
Dạng 5: Sự tương giao của đồ thị hàm số:
ax b
y f x
cx d
( )
+
= =
+

Bài tập:
1. Cho hàm số
x
y
x
2 2
1
−
=
+
có đồ thị là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng (d):
y x m
2
= +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

AB
5
=
.
•
PT hoành độ giao điểm:
x
x m
x
2 2
2
1
−
= +
+

⇔

x mx m x
2
2  2 0 ( 1)
+ + + = ≠ −
(1)
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B
⇔
(1) có 2 nghiệm phân biệt
x x
1 2
,
khác –1


⇔

m m
2
8 16 0
− − >
(2)
Khi đó ta có:
m
x x
m
x x
1 2
1 2
2
2
2

+ = −



+

=


. Gọi
(

)
(
)
A x x m B x x m
1 1 2 2
;2 , ;2+ +
.
AB
2
= 5
⇔

x x x x
2 2
1 2 1 2
( ) 4( ) 5
− + − =

⇔

x x x x
2
1 2 1 2
( ) 4 1
+ − =

⇔

m m
2

8 20 0
− − =


⇔

m
m
10
2

=

= −

(thoả (2))
Vậy:
m m
10; 2
= = −
.
2. Cho hàm số
x
y
x
2 1
2
+
=
+

có đồ thị là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Chứng minh rằng đường thẳng d:
y x m
= − +
luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
•
PT hoành độ giao điểm của (C) và d:
x
x m
x
2 1
2
+
= − +
+

⇔

x
f x x m x m
2
2
( ) (4 ) 1 2 0 (1)

≠ −

= + − + − =



Do (1) có
m
2
12 0
∆
= + >
và
f m m m
2
( 2) ( 2) (4 ).( 2) 1 2 3 0,
− = − + − − + − = − ≠ ∀

nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị (C ) tại hai điểm phân biệt A, B.
Ta có:
A A B B
y m x y m x
;
= − = −
nên
B A B A
AB x x y y m
2 2 2 2
( ) ( ) 2( 12)
= − + − = +
Suy ra AB ngắn nhất
⇔

AB
2

nhỏ nhất
⇔

m
0
=
. Khi đó:
AB
24
=
.
3. Cho hàm số
x
y
x
2
1
=
−
có đồ thị là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4

x
y
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 17
b) Tìm m để đường thẳng
d y mx m
: 2
= − +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài AB
ngắn nhất.
•
PT hoành độ giao điểm:
x
mx m
x
2
2
1
= − +
−

⇔

x
g x mx mx m
2
1
( ) 2 2 0 (2)


≠

= − + − =


d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B
⇔
(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
⇔

m
0
>

Khi đó:
A x mx m B x mx m
1 1 2 2
( ; 2), ( ; 2)
− + − +

⇒

AB m x x
2 2 2
2 1
(1 ) ( )
= + −
Theo định lí Viet, ta có:
m
x x x x

m
1 2 1 2
2
2;
−
+ = =

⇒
AB m
m
2
1
8 16
 
= + ≥
 
 

Dấu "=" xảy ra
⇔

m
1
=
. Vậy
AB
min 4
=
khi
m

1
=
.
4. Cho hàm số
x
y
x
2 4
1
+
=
−
có đồ thị là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M, N
sao cho
MN
3 10
=
.
•
Phương trình đường thẳng
d y k x
( ): ( 1) 1.
= − +

Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm
x y x y
1 1 2 2
( ; ), ( ; )

phân biệt sao cho
( ) ( )
x x y y
2 2
2 1 2 1
90
− + − =
(a)
x
k x
x
y k x
2 4
( 1) 1
1
( 1) 1

+
= − +

− +


= − +

(I). Ta có:
kx k x k
I
y k x
2

(2 3) 3 0
( )
( 1) 1


− − + + =
⇔

= − +



(I) có 2 nghiệm phân biệt
⇔

kx k x k b
2
(2 3) 3 0 ( )
− − + + =
có 2 nghiệm phân biệt
⇔

k k
3
0, .
8
≠ <

Ta biến đổi (a) trở thành:
( ) ( )

k x x k x x x x
2 2
2 2
2 1 2 1 2 1
(1 ) 90 (1 ) 4 90
 
+ − = ⇔ + + − =
 
 
(c)
Theo định lí Viet cho (b) ta có:
k k
x x x x
k k
1 2 1 2
2 3 3
, ,
− +
+ = =
thế vào (c) ta có phương trình:
k k k k k k
3 2 2
8 27 8 3 0 ( 3)(8 3 1) 0
+ + − = ⇔ + + − =

k k k
3 41 3 41
3; ;
16 16
− + − −

⇔ = − = =
.
Kết luận: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên.
5. Cho hàm số
x
y
x
2 1
1
−
=
−
có đồ thị là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng d:
y x m
= +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ∆OAB vuông
tại O.
•
PT hoành độ giao điểm của (C) và d:
x m x m x
2
( 3) 1 0, 1
+ − + − = ≠
(*)
(*) có
m m m R
2
2 5 0,

∆
= − + > ∀ ∈
và (*) không có nghiệm x = 1.

⇒
(*) luôn có 2 nghiệm phân biệt là
A B
x x
,
. Theo định lí Viét:
A B
A B
x x m
x x m
3
. 1

+ = −

= −


Khi đó:
(
)
(
)
A A B B
A x x m B x x m
; , ;+ +



OAB
∆
vuông tại O thì
(
)
(
)
A B A B
OA OB x x x m x m
. 0 0
= ⇔ + + + =
 


(
)
A B A B
x x m x x m m
2
2 0 2
⇔ + + + = ⇔ = −

Vậy: m = –2.
6. Cho hàm số
x
y
x
2 1

1
+
=
+
có đồ thị là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 18
b) Tìm các giá trị của tham số k sao cho đường thẳng (d):
y kx k
2 1
= + +
cắt đồ thị (C) tại hai
điểm phân biệt A và B sao cho các khoảng cách từ A và B đến trục hoành là bằng nhau.
•
PT hoành độ giao điểm:
x
x
kx k
x
kx k x k
2
1
2 1
2 1
1
(3 1) 2 0 (*)

≠ −

+
= + + ⇔

+ + − + =


d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B
⇔
(*) có 2 nghiệm phân biệt
⇔

k
k k
2
0
6 1 0
∆

≠

= − + >



⇔

k
k k
0
3 2 2 3 2 3


≠

< − ∨ > +

(**). Khi đó:
A x kx k B x kx k
1 1 2 2
( ; 2 1), ( ; 2 1)
+ + + +
.
Ta có:
d A Ox d B Ox
( , ) ( , )
=

⇔

kx k kx k
1 2
2 1 2 1
+ + = + +

⇔

k x x k
1 2
( ) 4 2 0
+ + + =



⇔

k
3
= −
(thoả (**).
7. Cho hàm số
x
y f x
x
2 1
( )
1
+
= =
−
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (d):
y x m
= +
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N sao
cho diện tích tam giác IMN bằng 4 (I là tâm đối xứng của (C)).
•
Tâm đối xứng của (C) là I(1; 2). Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):
x
x
x m
x

f x x m x m
2
1
2 1
1
( ) ( 3) 1 0

≠
+

= + ⇔

−
= + − − − =



d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N
f x
( ) 0
⇔ =
có hai nghiệm phân biệt
M N
x x
,
khác 1

m m
f
2

2 13 0
(1) 3 0
∆


= − + >
⇔

= − ≠


(đúng với mọi m). Tọa độ các giao điểm là
M M N N
M x y N x y
( ; ), ( ; )
.

M N M N
MN x x x x m m
2 2
2 ( ) 4 2( 2 13)
 
= + − = − +
 
;
m
d d I d
1
( , )
2

−
= =


IMN
S MN d m m m
2
1
4 . 4 1. 2 13 8
2
= ⇔ = ⇔ − − + =

⇔

m m
3; 1
= = −
.
8. Cho hàm số
x
y
x
3
2
+
=
+
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng

d y x m
: 2 3
= +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
OA OB
. 4
= −
 

với O là gốc toạ độ.
•
PT hoành độ giao điểm của (C) và (d):
x
x m
x
3
2 3
2
+
= +
+

⇔

x m x m x
2
2 3(1 ) 6 3 0 (1) ( 2)
+ + + − = ≠

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

⇔
(1) có 2 nghiệm phân biệt
x x
1 2
,
khác –2

⇔

m m
m
m m
2
9 30 33 0
8 6(1 ) 6 3 0
∆

= − + >
⇔ ∀

− + + − ≠


Khi đó:
A x x m B x x m
1 1 2 2
( ;2 3 ), ( ;2 3 )
+ +
.
m

OA OB
12 15
. 4 4
2
−
= − ⇔ = −
 

⇔

m
7
12
=
.

Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 19
Dạng 6: Viết phương trình tiếp tuyến:
Cho hàm số
( )
y f x
=
có đồ thị
( )
C
, điểm
0 0 0
( ; ) ( )

M x y C
∈
và số thực
k
∈
ℝ
.
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm
0 0 0
( ; )
M x y
thuộc đồ thị
( )
C
.
• Hệ số góc của tiếp tuyến tại
0 0 0
( ; )
M x y
là:
0
'( )
f x
.
• Phương trình tiếp tuyến là:
0 0 0
'( )( )
y y f x x x
− = −
.

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc k cho trước.
Cách 1: Phương pháp tìm tiếp điểm.
• Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với
( )
C
tại điểm có hoành độ
'( )
i i i
x f x k x x
⇒ = ⇒ =
là nghiệm
của phương trình
'( )
i
f x k
=
.
• Giải phương trình:
'( )
i
f x k
=
suy ra nghiệm:
{
}
0 1
; , , , ,
i n
x x x x x
∈

.
• Phương trình tiếp tuyến tại
i
x
là:
( ) ( )
i i
y k x x f x
= − +
.
Cách 2: Phương pháp điều kiện tiếp xúc.
• Phương trình đường thẳng ∆ có dạng:
y kx m
= +
.
• ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
f x kx m
f x k
( )
'( )

= +

=

(*)
• Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của ∆.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến ∆ có thể được cho gián tiếp như sau:
+ ∆ song song với đường thẳng d:
y ax b

= +
thì
k a
=

+ ∆ vuông góc với đường thẳng
d y ax b a
: ( 0)
= + ≠
thì
k
a
1
= −

+ ∆ tạo với trục hoành một góc α thì
k a
tan
=
.
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆
∆∆
∆ của (C):
y f x
( )
=
, biết ∆
∆∆
∆ cắt hai trục toạ độ tại A và B
sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước.

• Gọi
M x y
0 0
( ; )
là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc
k f x
0
( )
′
=
.
• ∆OAB vuông cân ⇔ ∆ tạo với Ox một góc
0
45
, suy ra
1
k
=
hoặc
1
k
= −
và O ∉ ∆. (a)
•
OAB
S S OA OB S
. 2
∆
= ⇔ =
. (b)

• Giải (a) hoặc (b) tìm được
x
0
. Từ đó viết phương trình tiếp tuyến ∆.
Bài toán 4: Tìm những điểm trên đồ thị (C):
y f x
( )
=
sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song
hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước.
• Gọi
M x y
0 0
( ; )
∈ (C). ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính
f x
0
( )
′
.
• Vì ∆ // d nên
d
f x k
0
( )
′
=
(1) hoặc ∆ ⊥ d nên
d
f x

k
0
1
( )
′
= −
(2)
• Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được
x
0
. Từ đó tìm được
M x y
0 0
( ; )
∈ (C).
Bài tập:
1. Cho hàm số
y x x
3 2
2 3 1
= − +
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ
bằng 8.
•
Giả sử
M x y C
0 0
( ; ) ( )

∈

⇒
y x x
3 2
0 0 0
2 3 1
= − +
. Ta có:
y x x
2
3 6
′
= −
.
PTTT
∆
tại M:
y x x x x x x
2 3 2
0 0 0 0 0
(6 6 )( ) 2 3 1
= − − + − +
.

∆
đi qua
P
(0;8)
⇔

x x
3 2
0 0
8 4 3 1
= − + +

⇔

x
0
1
= −
. Vậy
M
( 1; 4)
− −
.
2. Cho hàm số
y x x
3 2
3 1
= − +
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau
và độ dài đoạn AB =
4 2
.
•
Giả sử

A a a a B b b b
3 2 3 2
( ; 3 1), ( ; 3 1)
− + − +
thuộc (C), với
a b
≠
.
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 20
Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên:

y a y b
( ) ( )
′ ′
=

⇔

a a b b a b a b a b a b
2 2 2 2
3 6 3 6 2( ) 0 ( )( 2) 0
− = − ⇔ − − − = ⇔ − + − =


⇔

a b b a
2 0 2

+ − = ⇔ = −
. Vì
a b
≠
nên
a a a
2 1
≠ − ⇔ ≠

Ta có:
AB b a b b a a b a b a b a
2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 2 2
( ) ( 3 1 3 1) ( ) ( 3( ))
= − + − + − + − = − + − − −


b a b a ab b a b a b a
2
2 3
( ) ( ) 3 ( ) 3( )( )
 
= − + − + − − − +
 


b a b a b a ab
2
2 2 2
( ) ( ) ( ) 3 3.2
 

= − + − − + −
 


b a b a b a ab
2
2 2 2
( ) ( ) ( ) 6
 
= − + − + − −
 
b a b a ab
2 2 2
( ) ( ) ( 2 )
= − + − − −


2
AB b a ab a a a
2 2 2 2 2
( ) 1 ( 2 ) (2 2 ) 1 ( 2 2)
   
= − + − − = − + − −
   


a a a a a
2
2 2 2 4 2
4( 1) 1 ( 1) 3 4( 1) ( 1) 6( 1) 10

 
   
= − + − − = − − − − +
 
   
 


a a a
6 4 2
4( 1) 24( 1) 40( 1)
= − − − + −

Mà
AB
4 2
=
nên
a a a
6 4 2
4( 1) 24( 1) 40( 1) 32
− − − + − =


a a a
6 4 2
( 1) 6( 1) 10( 1) 8 0
⇔ − − − + − − =
(*)
Đặt

t a t
2
( 1) , 0
= − >
. Khi đó (*) trở thành:

t t t t t t t
3 2 2
6 10 8 0 ( 4)( 2 2) 0 4
− + − = ⇔ − − + = ⇔ =

⇒
a b
a
a b
2
3 1
( 1) 4
1 3

= ⇒ = −
− = ⇔

= − ⇒ =


Vậy 2 điểm thoả mãn YCBT là:
A B
(3;1), ( 1; 3)
− −

.
3. Cho hàm số
x
y
x
2 1
1
+
=
+
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4),
( 4; 2)
B
− −
.
•
Gọi x
0
là hoành độ tiếp điểm (
x
0
1
≠ −
).
PTTT (d) là
x
y x x
x

x
0
0
2
0
0
2 1
1
( )
1
( 1)
+
= − +
+
+

⇔
x x y x x
2 2
0 0 0
( 1) 2 2 1 0
− + + + + =

Ta có:
d A d d B d
( , ) ( , )
=

⇔


x x x x x x
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2 4( 1) 2 2 1 4 2( 1) 2 2 1
− + + + + = − + + + + +


⇔

x x x
0 0 0
1 0 2
= ∨ = ∨ = −

Vậy có ba phương trình tiếp tuyến:
y x y x y x
1 5
; 1; 5
4 4
= + = + = +

4. Cho hàm số
x
y
x
2 1
1
−
=
−

.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại
M vuông góc với đường thẳng MI.
•
Giao điểm của hai tiệm cận là I(1; 2). Gọi M(a; b)
∈
(C)
⇒

a
b
a
2 1
1
−
=
−
(a
≠
1)
PTTT của (C) tại M:
a
y x a
a
a
2
1 2 1
( )
1

( 1)
−
= − − +
−
−

PT đường thẳng MI:
y x
a
2
1
( 1) 2
( 1)
= − +
−

Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có:
a a
2 2
1 1
. 1
( 1) ( 1)
− = −
− −

⇔

a b
a b
0 ( 1)

2 ( 3)

= =

= =


Vậy có 2 điểm cần tìm M
1
(0; 1), M
2
(2; 3)
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 21
5. Cho hàm số
x
y
x
2
2 3
+
=
+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung
lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
•
Gọi

x y
0 0
( ; )
là toạ độ của tiếp điểm
⇒

y x
x
0
2
0
1
( ) 0
(2 3)
−
′
= <
+


∆
OAB cân tại O nên tiếp tuyến
∆
song song với đường thẳng
y x
= −
(vì tiếp tuyến có hệ số góc âm).
Nghĩa là:
y x
x

0
2
0
1
( ) 1
(2 3)
−
′
= = −
+

⇒

x y
x y
0 0
0 0
1 1
2 0

= − ⇒ =

= − ⇒ =



+ Với
x y
0 0
1; 1

= − =

⇒

∆
:
y x y x
1 ( 1)
− = − + ⇔ = −
(loại)
+ Với
x y
0 0
2; 0
= − =

⇒

∆
:
y x y x
0 ( 2) 2
− = − + ⇔ = − −
(nhận)
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y x
2
= − −
.
6. Cho hàm số

x
y
x
2 1
1
−
=
−
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến
bằng
2
.
•
Tiếp tuyến của (C) tại điểm
M x f x C
0 0
( ; ( )) ( )
∈
có phương trình:

y f x x x f x
0 0 0
'( )( ) ( )
= − +

⇔

x x y x x

2 2
0 0 0
( 1) 2 2 1 0
+ − − + − =
(*)
Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) bằng
2
x
x
0
4
0
2 2
2
1 ( 1)
−
⇔ =
+ −
⇔

x
x
0
0
0
2

=

=



Các tiếp tuyến cần tìm :
x y
1 0
+ − =
và
x y
5 0
+ − =

7. Cho hàm số
x
y
x
2
2
=
+
(C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị
(C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
•
Tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ
a
2
≠ −
thuộc (C) có phương trình:


a
y x a x a y a
a
a
2 2
2
4 2
( ) 4 ( 2) 2 0
2
( 2)
= − + ⇔ − + + =
+
+

Tâm đối xứng của (C) là
(
)
I
2;2
−
. Ta có:

a a a
d I d
a
a a
4 2
8 2 8 2 8 2
( , ) 2 2
2 2 2

16 ( 2) 2.4.( 2)
+ + +
= ≤ = =
+
+ + +


d I d
( , )
lớn nhất khi
a
a
a
2
0
( 2) 4
4

=
+ = ⇔

= −

.
Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến
y x
=
và
y x
8

= +
.
8. Cho hàm số
x
y
x
1
2 1
− +
=
−
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng
d y x m
:
= +
luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B.
Gọi
k k
1 2
,
lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng
k k
1 2
+
đạt
giá trị lớn nhất.
•
PT hoành độ giao điểm của d và (C):

x
x m
x
1
2 1
− +
= +
−

⇔

x
g x x mx m
2
1
2
( ) 2 2 1 0 (*)

≠



= + − − =


Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 22
Vì
g

m m m
g
2
2 2 0,
1
0
2
∆

′
= + + > ∀


 
≠
 

 

nên (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt
x x
1 2
,
.
Theo định lí Viet ta có:
m
x x m x x
1 2 1 2
1
;

2
− −
+ = − =
. Giả sử:
A x y B x y
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
.
Tiếp tuyến tại A và B có hệ số góc là:
k k
x x
1 2
2 2
1 2
1 1
;
(2 1) (2 1)
= − = −
− −


⇒
k k m
2
1 2
4( 1) 2 2
+ = − + − ≤ −
. Dấu "=" xảy ra
⇔


m
1
= −
.
Vậy:
k k
1 2
+
đạt GTLN bằng
2
−
khi
m
1
= −
.
9. Cho hàm số
x
y
x
3
1
+
=
−
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Cho điểm
o o o
M x y

( ; )
thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M
0
cắt các tiệm cận của (C) tại
các điểm A và B. Chứng minh M
o
là trung điểm của đoạn thẳng AB.
•

o o o
M x y
( ; )

∈
(C)
⇒

y
x
0
0
4
1
1
= +
−
. PTTT (d) tại M
0
:
y y x x

x
0 0
2
0
4
( )
( 1)
− = − −
−

Giao điểm của (d) với các tiệm cận là:
A x B y
0 0
(2 1;1), (1;2 1)
− −
.

⇒

A B A B
x x y y
x y
0 0
;
2 2
+ +
= =

⇒
M

0
là trung điểm AB.
10. Cho hàm số:
x
y
x
2
1
+
=
−
(C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác
có diện tích không đổi.
•
Giả sử M
a
a
a
2
;
1
 
+
 
−
 

∈

(C).
PTTT (d) của (C) tại M:
a
y y a x a
a
2
( ).( )
1
+
′
= − +
−

⇔

a a
y x
a a
2
2 2
3 4 2
( 1) ( 1)
− + −
= +
− −

Các giao điểm của (d) với các tiệm cận là:
a
A
a

5
1;
1
 
+
 
−
 
,
B a
(2 1;1)
−
.

IA
a
6
0;
1
→
 
=
 
−
 

⇒
IA
a
6

1
=
−
;
IB a
(2 2;0)
→
= −

⇒
IB a
2 1
= −

Diện tích
IAB
∆
: S
IAB
∆
=
IA IB
1
.
2
= 6 (đvdt)
⇒
ĐPCM.
11. Cho hàm số
x

y
x
2
1
−
=
+
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận tại A và B sao cho bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác IAB là lớn nhất, với I là giao điểm của 2 tiệm cận.
•
(C) có TCĐ
x
1
= −
, TCN
y
1
=
. Giao điểm 2 tiệm cận là
I
( 1;1)
−
.
Gọi
x
M x C
x
0

0
0
2
; ( )
1
 
−
∈
 
 
+
 
. PTTT
∆
của (C) tại M:
x
y x x
x
x
0
0
2
0
0
2
3
( )
1
( 1)
−

= − +
+
+
.

∆
cắt hai tiệm cận tại
x
A B x
x
0
0
0
5
1; , (2 1;1)
1
 
−
− +
 
 
+
 
. Ta có:
IA IB x
x
0
0
6
; 2 1

1
= = +
+
.

⇒

IAB
S IA IB
1
. 6
2
= =
. Gọi p, r là nửa chu vi và bán kính đường trọn nội tiếp của
∆
IAB.
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 23
Ta có:
S
S pr r
p p
6
= ⇒ = =
. Do đó r lớn nhất
⇔
p nhỏ nhất. Mặt khác
∆
IAB vuông tại I nên:

p IA IB AB IA IB IA IB IA IB IA IB
2 2
2 2 . 2 . 4 3 2 6
= + + = + + + ≥ + = +
.
Dấu "=" xảy ra
⇔

IA IB
=

⇔

x x
2
0 0
( 1) 3 1 3
+ = ⇔ = − ±
.
+ Với
x
1 3
= − −

⇒
PTTT
∆
:
(
)

y x
2 1 3
= + +

+ Với
x
1 3
= − +

⇒
PTTT
∆
:
(
)
y x
2 1 3
= + −

12. Cho hàm số
y x mx m
4 2
2
= − +
(1), m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số khi
1

m
=
.
b) Gọi A là một điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ bằng 1. Tìm m để khoảng cách từ
điểm
B
3
; 1
4
 
 
 
đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại A là lớn nhất.
•

A Cm
( )
∈
nên
A m
(1;1 )
−
.
y x mx y m
3
' 4 4 '(1) 4 4
= − ⇒ = −

Phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại A:
y m y x

(1 ) (1).( 1)
′
− − = −

⇔

m x y m
(4 4 ) 3(1 ) 0
− − − − =

Khi đó
d B
m
2
1
( ; ) 1
16(1 ) 1
∆
−
= ≤
− +
, Dấu ‘=’ xảy ra
⇔
khi m = 1.
Do đó
d B
( ; )
∆
lớn nhất bằng 1 khi và chỉ khi m = 1.
13. Cho hàm số

x
y
x
2 3
2
−
=
−
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B
sao cho AB ngắn nhất.
•
Lấy điểm
M m
m
1
; 2
2
 
+
 
−
 
(
)
C
∈
. Ta có:
y m

m
2
1
( )
( 2)
′
= −
−

Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình:
y x m
m
m
2
1 1
( ) 2
2
( 2)
= − − + +
−
−

Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là:
A
m
2
2;2
2
 
+

 
−
 

Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là:
B m
(2 2;2)
−

Ta có:
AB m
m
2 2
2
1
4 ( 2) 8
( 2)
 
= − + ≥
 
−
 
 
. Dấu “=” xảy ra
⇔

m
m
3
1


=

=


Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là:
M
(3;3)
hoặc
M
(1;1)

14. Cho hàm số
3 2
( 1) ( 1) 1
= − + + − +
y x m x m x
có đồ thị
( )
m
C
, với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
m 1
=
.
b) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số
( )
m

C
cắt trục hoành tại 3 điểm
(1;0), ,
A B C
và các
tiếp tuyến tại B và C song song nhau.
Phương trình hoành độ giao điểm:
3 2
2
( 1) ( 1) 1 0
( 1)( 1) 0
− + + − + =
⇔ − − − =
x m x m x
x x mx

( )
m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ
khi
2
( ) 1 0
= − − =
g x x mx
có 2 nghiệm phân biệt
khác 1
m 0
⇔ ≠
.

Gọi
B C
x ,x
là nghiệm của phương trình
( ) 0
=
g x

B C
x x
⇒ ≠
và
B C
x x m
+ =
.
Tiếp tuyến tại B và C song song nhau
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ

09/12 Trang 24
B C B C B C
y'(x ) y'(x ) (x x )[3(x x ) 2(m 1)] 0 m 2
⇔ = ⇔ − + − + = ⇔ =

15. Cho hàm số
3
3 2
y x x
= − +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
b) Tìm 2 điểm A, B phân biệt thuộc đồ thị
( )
C
sao cho các tiếp tuyến tại A, B có cùng hệ số góc
và đường thẳng đi qua A, B vuông góc với
: 2011 0
d x y
+ + =
.
Cách 1: Xét
3 3
( ; 3 2), ( ; 3 2)
A a a a B b b b
− + − +


với
a b
≠
là 2 điểm cần tìm.
Tiếp tuyến tại A có hệ số góc:
2
3 3
A
k a
= −
; tiếp
tuyến tại B có hệ số góc:
2
3 3
B
k b
= −
.
Do tiếp tuyến tại A và B có cùng hệ số góc nên
2 2
3 3 3 3
A B
k k a b a b
= ⇔ − = − ⇔ = −

Do đó:
3 2
(2 ;2 6 ) 2 (1; 3)
= − = −


AB b b b b b

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
(1; 1)
u
= −

và
đường thẳng AB có vectơ chỉ phương
2
(1; 3)
= −

AB b
nên
. 0
AB d AB u
⊥ ⇔ =
 

2
4 0 2
⇔ − = ⇔ = ±
b b

Với
2 2 ( 2;0), (2;4)
b a A B
= ⇒ = − ⇒ −


Với
2 2 (2;4), ( 2;0)
b a A B
= − ⇒ = ⇒ −
. Vậy hai điểm cần tìm là:
( 2;0), (2;4)
A B
−

Cách 2: tiếp tuyến với
( )
C
tại điểm
( )
A C
∈
có hệ số góc
2
3 3
k x
= −
vì có 2 điểm A, B thuộc
( )
C
sao
cho tiếp tuyến với
( )
C
có cùng hệ số góc nên phương trình
2

3 3
k x
= −
có hai nghiệm phân biệt
3 0 3
k k
⇔ + > ⇔ > −
.
Mặt khác tọa độ điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình:
2
3
2
2
(3 3) 2 2 ( 2) 2
3 2
: ( 2) 2
3 3
3
3 3
3 3


= − − + = − +
= − +
 
⇔ ⇒ = − +
 
= −

 

= −

x k
y x x x
y x x
k
AB y x
k x
k x

Vì đường thẳng AB vuông góc với
: 2011 0 2011
d x y y x
+ + = ⇔ = − −
nên
9
⇒ =
k

Vậy tọa độ điểm A, B là:
( 2;0), (2;4)
A B
−

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1

2
3
4
x
y
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 25
Dạng 7: Biện luận số nghiệm của phương trình:
Bài toán:
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
( , ) 0
F x m
=

Phương pháp giải:

Biến đổi
( , ) 0
F x m
=
về 1 trong 2 dạng sau:
( )
f x m
=
hoặc
( ) ( )
f x g m
=



Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
( ) : ( )
C y f x
=
.


Dựa vào số giao điểm của đồ thị
( )
C
và đường thẳng
:
d y m
=
(hoặc
( )
y g m
=
) để suy ra
số nghiệm của phương trình
( , ) 0
F x m
=
.

Bài tập

1.


Cho hàm số
4 2
y x 2x 1
= − −

a)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b)

Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình:
4 2
x 2x 1 m
− − =
.
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị
( )
C
và đường thẳng
y m
=
. Dựa vào đồ thị ta có:
•

Nếu
2
m
< −
đường thẳng d không cắt đồ thị
( )

C
nên
phương trình vô nghiệm.
•

Nếu
2 1
m m
= − ∨ > −
thì đường thẳng d và đồ thị
( )
C

có 2 điểm chung phân biệt nên phương trình có 2
nghiệm phân biệt.
•

Nếu
1
m
= −
thì đường thẳng d và đồ thị
( )
C
có 3 điểm
chung phân biệt nên phương trình có 3 nghiệm phân
biệt.
•

Nếu

2 1
m
− < < −
thì đường thẳng d và đồ thị
( )
C
có 4 điểm chung phân biệt nên phương
trình có 4 nghiệm phân biệt.
2.

(TN 2010) Cho hàm số
3 2
1 3
5
4 2
y x x
= − +
.
a)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
b)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
3 2
6 0
x x m

− + =
có 3 nghiệm
thực phân biệt.
3.

Cho hàm số
3 2
6 9
y x x x
= − + −

a)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
b)

Tìm m để phương trình
3 2
6 9 0
x x x m
− + + =
có 3 nghiệm phân biệt
1 2 3
x x x
< <
.
Chứng minh rằng

1 2 3
0 1 3 4
x x x
< < < < < <
.
Đặt
3 2
( ) 3 9
f x x x x m
= − + +
, với
4 0
m
− < <
thì:
(0) 0
f m
= <
,
(1) 4 0
f m
= + >
,
(3) 0
f m
= <
,
(4) 4 0
f m
= + >

từ đây
(0) (1) 0
f f
<
,
(1) (3) 0
f f
<
,
(3) (4) 0
f f
<
, từ tính liên tục của hàm số ta
có điều cần chứng minh.
4.

Cho hàm số
3 2
y x 3x 4
= − + +

a)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
m 1
= −
.
b)

Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

3 2
cos x 3sin x m 1 0
+ + − =
.
5.

Cho hàm số
3 2
2 3 6( 1) 2( 1)
y x x m x m
= + + − − −
, m là tham số.
a)

Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu.
b)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số khi
m 1
=
.
c)

Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
3 2
2x 3x k 2 0
− − + =

.
6.

Cho hàm số
3 2
1 m 1
y x x (1)
3 2 3
= − +
a)

Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại
x 2
=
.
b)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số (1) khi
m 2
=
.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2

3
4
5
x
y