vỏ Thị Thanh Hà (C hu biện)
Lê Vàn La ỉ

Giáo trình

A

Tốn cao cấp 1

NHÀ XUẤT BAN ĐẠI HỌC CỊNG NGHIỆP
THÀNH PHÒ HÒ CHI MINH


VÕ THỊ THANH HÃ (Chủ biên)
LÊ VĂN LAI

TOÁN CAO CẤP 1

TRƯỜNG ĐAI HỌC CONG NGHIỆP TP.HCM

THl/yiEN
MÃ VẠCH

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP
THÀNH PHƠ HỒ CHÍ MINH


Lơi nói đầu
Được sự chấp thuận của Ban Giám hiệu trường Đại học Cơng nghiệp Thành
phố Hồ Chí Minh và Trưởng khoa Khoa học Cơ bản, giáo trình Tốn cao cấp
1 được biên soạn nhằm phục vụ cho việc dạy và học mơn Tốn cao cấp 1 tại

trường.
Giáo trình được biên soạn dành cho sinh viên đại học khối kỹ thuật và
kinh tế. Nội dung giáo trình được chúng tơi biên soạn theo chương trình
đào tạo mơn Tốn cao cấp 1 tại trường Đại học Cơng nghiệp Thành phố Hồ
Chí Minh, kiến thức được trình bày một cách logic, dễ hiểu. Mỗi nội dung
kiến thức đều có ví dụ minh họa cho sinh viên tiếp thu một cách dễ dàng.
Sau mỗi chương đều có phần bài tập tự luận và trắc nghiệm để sinh viên
luyện tập. Sinh viên có thể tìm thấy đáp án hoặc hướng dẫn ở những trang
cuối. Giáo trình được chia thành năm chương:

. Chương 1: Giới hạn và liên tục
Chương 2: Đạo hàm và vi phân
Chương 3: Tích phân
Chương 4: Chuỗi số
Chương 5: Phép tính vi phân hàm nhiều biến
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu trường Đại học
Công nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh và Chủ nhiệm Khoa Khoa học cơ bản
đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để giáo trình được xuất bản. Đồng thời chúng
tơi xin được chân thành cảm ơn q thầy, cơ trong tổ Tốn thuộc Khoa Khoa
học Cơ bản - Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh đã đọc
bản thảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu.
Tác giả hy vọng rằng giáo trình này sẽ là người bạn đồng hành và giúp
ích nhiều cho sinh viên và giảng viên trong q trình dạy và học mơn Tốn
cao cấp 1.
Trân trọng!
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 nám 2022
Các tác giả


Trang thơn,; tin giáo trình


https://gỉthub.com/khoacoban/toancaocapl

Nhằm tạo cầu nối giữa các tác giả và bạn đọc, chúng tôi đã thiết lập trang
thông tin hỗ trợ tại địa chỉ trên. Ở trang này chúng tơi sẽ:
Cung cấp các chứng minh: Nhằm trình bày kiến thức một cách cô đọng và
dễ hiểu, chúng tôi đã lược bỏ các chứng minh trong bản in và cung cấp bản
điện tử. Bạn đọc quan tâm đến các chứng minh có thể tìm ở đây.
Thơng tin sai sót: Trong lần đầu phát hành, chúng tơi khơng thể tránh khỏi
những sai sót. Do đó, chúng tơi sẽ đăng các bản đính chính tại trang thơng
tin này.
Tiếp nhận phản hồi độc giả: Tác giả cũng mong nhận được nhiều ý kiến
đóng góp q báu từ q thầy, cơ và các bạn sinh viên để lần tái bản sau
được hoàn thiện hon.
Các tác giả


Mục lục
Lời nói đầu.....................................................................................
Trang thơng tin giáo trình............................................................
Mục lục..........................................................................................

i
ii
iii

1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
1.1 Cơ BẢN VỀ SỐ THỰC..........................................................
1.1.1 Các tập số thường gặp................................................
1.1.2 Tiên đề về sup, inf.....................................................

1.1.3 Tính chất Archimède...................................................
1.1.4 Tập số thực mở rộng...................................................
1.2 HÀM SỐ...............................................................................
1.2.1 Khái niệm hàm số .....................................................
1.2.2 Một số tính chất đặc biệt của hàm số...........................
1.2.3 Hàm số ngược.............................................................
1.2.4 Hàm số hợp................................................................
1.2.5 Hàm số sơ cấp cơ bản ................................................
1.2.6 Hàm số sơ cấp.............................................................
1.3 DÃY SỐ..................................................................................
1.3.1 Dãy số hội tụ .............................................................
1.3.2 Dãy đơn điệu.............................................................
1.3.3 Dãy con.....................................................................
1.4 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.....................................................
1.4.1 Khái niệm giới hạn hàm số........................................
1.4.2 Các quy tắc tính giới hạn của hàm số...........................
1.4.3 Tiêu chuẩn kẹp...........................................................
1.4.4 Giới hạn của hàm hợp................................................
1.4.5 Giới hạn một phía .....................................................
1.4.6 Mở rộng khái niệm giới hạn........................................
1.4.7 Hai giới hạn quan trọng.............................................
1.5 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ..........................................

1
1
1
2
4
4
4

4
5
7
8
9
14
15
16
20
21
22
22
25
26
27
28
29
34
34


Trang iv

Mục lục

1.5.1 Định nghĩa và tính chất................................................
1.5.2 Liên tục một phía. Phân loại điểm gián đoạn..............
1.5.3 Hàm số liên tục trên một đoạn.....................................
TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM Sơ CẤP.....................................
1.6.1 Hàm lũy thừa, căn thức................................................

1.6.2 Hàm mũ và hàm logarit................................................
1.6.3 Hàm lượng giác, lượng giác ngược...............................
VÔ CÙNG BÉ, VO CÙNG LỚN VÀ GIỚI HẠN......................
1.7.1 Hàm tương đương.........................................................
1.7.2 Vô cùng be (VCB)............................................................
1.7.3 Vô cùng lớn (VCL).........................................................
BÀI TẬP.....................................................................................

34
37
38
39
39
40
41
42
42
43
46
48

2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
2.1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP 1 .............................................
2.1.1 Đạo hàm..........................................................................
2.1.2 Vi phân ..........................................................................
2.2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO........................................
2.2.1 Đạo hàm cấp cao............................................................
2.2.2 Vi phân cấp cao...............................................................
2.3 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH ..................................
2.3.1 Khái niệm cực trị............................................................

2.3.2 Định lý Fermat...............................................................
2.3.3 Định lý Rolle ..................................................................
2.3.4 Định lý Cauchy...............................................................
2.3.5 Định lý Lagrange............................................................
2.4 QUY TẮC LHÔPITAL..............................................................
2.4.1 Dạng 5.............................................................................

55
55
55
64
69
69
72
72
72
73
74
74
75
75
76

1.6

1.7

1.8

Cữ


2.5

2.6

2.4.2 Dạng—..........................................................................
00
2.4.3 Các dạng vơ định khác...................................................
CƠNG THÚC TAYLOR..............................................................
2.5.1 Cơng thức Taylor với phần dư Lagrange.......................
2.5.2 Công thức Taylor với phần dư Peano.............................
2.5.3 Công thức Maclaurin một số hàm số sơ cấp.................
2.5.4 Tính gần đúng bằng cơng thức Taylor..........................
2.5.5 Tính giới hạn bằng công thức Taylor.............................
ÚNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM . ...............................................
2.6.1 Tỷ lệ thay đổi của hàm số.............................................
2.6.2 Phân tích cận biên .........................................................

77
79
82
82
82
83
84
87
88
88
89



Mục lục

2.7

Trang V

BÀI TẬP.....................................................................................

90

3 TÍCH PHÂN
103
3.1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH.............................................................. 103
3.1.1 Nguyên hàm .................................................................... 103
3.1.2 Tích phân bất định........................................................... 104
3.1.3 Phương pháp tính tích phân bất định............................ 105
3.1.4 Tích phân hàm hữu tỷ......................................................111
3.1.5 Tích phân hàm lượng giác................................................ 114
3.1.6 Tích phân một số hàm vơ tỷ............................................. 118
3.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH..............................................................122
3.2.1 Định nghĩa và tính chất................................................... 122
3.2.2 Cơng thức Newton - Leibniz .......................................... 126
3.2.3 Phương pháp tính tích phân xác định............................ 127
3.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG ........................................................... 129
3.3.1 Tích phân suy rộng loại một............................................. 130
3.3.2 Tích phân suy rộng loại hai............................................. 137
3.4 ÚNG DỤNG TÍCH PHÂN........................................................... 142
3.4.1 Tính diện tích hình phẳng................................................ 142
3.4.2 Tính thể tích vật thể ........................................................ 146

3.4.3 Tính độ dài cung phang................................................... 151
3.4.4 Tính diện tích mặt tròn xoay............................................. 153
3.4.5 Lượng thay đổi của một hàm.......................................... 155
3.4.6 Giá trị trung bình của hàm số.......................................... 156
3.5 BÀI TẬP....................................................................................... 157
4 CHUỖI SỐ
.
~ ,
168
4.1 ĐẠI CƯƠNG VỀ CHUỖI SỐ ..................................................... 168
4.1.1 Các khái niệm về chuỗi số................................................ 168
4.1.2 Điều kiện cần để chuỗi hội tụ.......................................... 170
4.1.3 Tính chất của chuỗi hội tụ................................................ 171
4.2 CHUỖI SỐ DƯƠNG................................................................... 172
4.2.1 Khái niệm chuỗi dương................................................... 172
4.2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ........................................................ 174
4.3 CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ........................................................... 180
4.3.1 Chuỗi đan dấu................................................................. 180
4.3.2 Hội tụ tuyệt đối................................................................. 181
4.4 BÀI TẬP....................................................................................... 183


Trang vi

Mục lục

5 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHlỀư BIEN
192
5.1 GIỚI HẠN HÀM NHIỀU BIẾN.................................................. 192
5.1.1 Khái niệm hàm nhiều biến................................................ 192

5.1.2 Giới hạn của hàm nhiều biến . . ....................................... 194
5.2 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN.............................. 198
5.2.1 Khái niệm hàm liên tục ................................................... 198
5.2.2 Tính chất của hàm liên tục................................................ 199
5.3 ĐẠO HÀM RIÊNG...................................................................... 200
5.3.1 Đạo hàm riêng cấp một...................................................200
5.3.2 Đạo hàm riêng cấp hai..................................................... 204
5.4 VI PHÂN....................................................................................... 205
5.4.1 Khái niệm vi phân...............................
205
5.4.2 Các điều kiện khả vi........................................................ 206
5.4.3 Tính chất của vi phấn ..................................................... 207
5.4.4 Dùng vi phân tính gần đúng.......................................... 207
5.4.5 Vi phân cấp hai................................................................. 208
5.5 CỰC TRỊ Tự DO ......................................................................... 209
5.5.1 Khái niệm cực trị tự do..................................................... 209
5.5.2 Điều kiện cần của cực trị.................................................. 210
5.5.3 Điều kiện đủ của cực trị...................................................211
5.6 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN . . ....................................................... 214
5.6.1 Khái niệm cực trị có điều kiện ....................................... 214
5.6.2 Phuong pháp khử ........................................................... 214
5.6.3 Phuong pháp nhân tử Lagrange.................................... 215
5.7 GIÁ TRỊ LỚN NHAT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ........................... 218
5.8 BÀI TẬP....................................................................................... 222
Huớng dẫn - đáp án............................................................................... 230
Tài liệu tham khảo.................................................................................. 237


Chương 1


GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8

1.1

cơ BẢN VỀ số THỰC..............................................
HÀM số......................................................................
DÃY SỐ.................... k..............................................
GIỚI HẠN CỦA HÀM số . . ....................................
TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM số . ...............................
TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM Sơ CẤP .......................
VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN VÀ GIỚI HẠN..........
BÀI TẬP......................................................

Cơ BẢN VỀ SỐ THỰC

1.1.1 Các tập số thường gặp
Tập hợp tất cả các số tự nhiên được ký hiệu là N, nghĩa là

N = {0;l;2...}.
Tập hợp tất cả các số nguyên dương được ký hiệu là N
*, nghĩa là

* = {1;2;3...}.
N

Tập hợp tất cả các số nguyên được ký hiệu là Z, nghĩa là

z = {... — 2; —1;0,1;2...}.

1
4
15
22
34
39
42
48


Chương 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Trang 2

Tập hợp tất cả các số hữu tỷ được ký hiệu là Q, nghĩa là
772

{

— : m, n 6 z, n 7^ 0
n

Từ xưa, người ta biết rằng tập hợp các số nguyên và tập hợp các số hữu tỷ

không thể biểu diễn được tất cả các số đo trong cuộc sống. Chẳng hạn, nếu
hình vng có độ dài cạnh là một đơn vị thì đường chéo của nó khơng thể
biểu diễn bằng số hữu tỷ. Từ đó, xuất hiện tập hợp các số dùng để biểu diễn
cho các số đo trong các hoàn cảnh như thế này. Tập các số như thế được gọi
là tập các số vô tỷ.
Tập hợp tất cả các số hữu tỷ và vô tỷ được gọi là tập hợp các số thực và
được ký hiệu là R. Để chỉ số a là số thực ta viết a E R, và đọc là "a thuộc R".
Giá trị tuyệt đối của một số thực a, được ký hiệu là |#|, được xác định
bởi
nếu a > 0
a,
l«l =
-a, nếu a < 0

Ví dụ 1.1. |1,3| = 1,3 và |—3,5| = 3,5.
Giá trị tuyệt đối có các tính chất sau:

|«| = |-«|,

\ab\ = |«| |b|,

\a + b\ < |«| + ịb|.

Khoảng cách giữa hai số a và b là \a — b \, là độ dài đoạn thẳng nối a với b.
Hai số thực a và b được gọi là gần nhau nếu \a — b\ nhỏ.
Phần tiếp theo trình bày một số điều cốt lõi của tập các số thực để làm
cơ sở lý luận cho toàn bộ nội dung quyển sách này.

1.1.2


Tiên đề về sup, inf

Định nghĩa 1.1. Cho A là một tập con khác rỗng của R, và oc E R.

• ŨC là phần tử nhỏ nhất của A nếu ŨC G A và oc < X với mọi X G A. Phần tử
nhỏ nhất của A, nếu có, thì duy nhất và được ký hiệu là min A.
• a là một chặn trên của A nếu oc > X với mọi X e A. Khi A có một chặn
trên, ta nói A bị chặn trên và khi đó, phần tử nhỏ nhất của tập tất cả
các chặn trên, nếu có, được gọi là chặn trên nhỏ nhất của A, ký hiệu là
sup A.
• a là phần tử lớn nhất của A nếu a. E A và ŨC > X với mọi X E A. Phần tử
lớn nhất của A, nếu có, thì duy nhất và được ký hiệu là max A.


1.1 cơ BẤN VỀ SỐ THỰC

Trang 3

• a là một chặn dưới của A nếu ŨL < X với mọi X e A. Khi A có một chặn
dưới, ta nói A bị chặn dưới và khi đó, phần tử lớn nhất của tập tất cả
các dưới, nếu có, được gọi là chặn dưới lớn nhất của A, ký hiệu là inf A.

Ví dụ 1.2. Xét hai tập con của tập các số thực A = (0; 1] và B = (0; 4-oo). Ta
có:
• Do 1 > X với mọi X 6 A, nên 1 là một chặn trên của A, và do đó A bị
chặn trên. Ngồi 2 là một chặn trên, A cịn có vơ số các chặn trên, là
các phần tử của tập c = [1; +oo). Do 1 là phần tử nhỏ nhất của c nên
sup A = 1.
• Do 0 < X với mọi X G A, nên 0 là một chặn dưới của A, và do đó A bị
chặn dưới. Ngồi 0 là một chặn dưới, A cịn có vơ số các chặn dưới, là

các phần tử của tập D — (—oo;0]. Do 0 là phần tử lớn nhất của D nên
inf A = 0.
• Do 1 G A và 1 > X với mọi X G A nên max A = 1. Giả sử m = min A.
Thế thì 0 < m < X với mọi X e A. Chọn X = y G A, ta buộc phải có
m < y, nghĩa là m < 0, điều này mâu thuẫn với m > 0. Vậy min A
khơng tồn tại.

• Dễ thấy B bị chặn dưới bởi 0, có inf B — 0, và khơng tồn tại min B; B
không bị chặn trên, nên không tồn tại sup B, max B.
Với một tập con không rỗng bất kỳ A của R, min A, max A, sup A và
inf A không luôn luôn tồn tại. Tuy nhiên, ta chấp nhận tiên đề sau.
Tiên đề về sup: Mọi tập con không rỗng và bị chặn trên của R đều có chặn
trên nhỏ nhất.
Nhận xét rằng tập — A = {—X : X e A}]A tập con không rỗng và bị chặn
trên khi A là tập không rỗng và bị chặn dưới. Hơn nữa, nếu sup(—A) tồn
tại thì inf A tồn tại và inf A = — sup (—A), ta suy ra
Hệ quả về iní. Mọi tập con khơng rỗng và bị chặn dưới của R đều có chặn
dưới lớn nhất.
Trong tập các số thực, tập các số nguyên tự nhiên N được coi là tập con
nhỏ nhất của R thỏa ba tính chất:

1. 1 e N;

2. \fn e N, n + 1 e N;
3. Mọi tập con khác rỗng của N đều có phần tử nhỏ nhất.


Chương 1. GĨỚĨ HẠN VÀ LIÊN TỤC

Trang 4


1.1.3

Tính chất Archimède

Định lý 1.1. Cho số thực b > 0. Ta có
\/a e R, 3h g N,nb > a.
Đặc biệt, với a = X e R, b = 1 vằ a — 1, b = € > 0, ta nhận được hệ quả
thường dùng:

Hệ quả 1.1.

1. \/x G R, 3h G N, n > X.

2. Ve > 0, 3h
1.1.4

g

N, - < e.
n

Tập số thực mở rộng

Ta gọi R = R u {—oo, +oo} là tập số thực mở rộng. Các phép toán và quan
hệ thứ tự trên R được mở rộng qua R như sau: Với X G R,

— oo < X < +oo,
X + (±00) --- ±00,
±oo + (±00) = ±00,

„ / I__ X _ f ±00,
X X (±00) - < __
v
7
[ ^oo,

X>0
“
X < 0,

(±00) X (±00) = +oo,

(±00) X (=F°°) =
Do không mở rộng khoảng cách giữa hai số thực qua khoảng cách giữa
một số thực với các phần tử ±oo hay giữa — oo và +oo, người ta đưa ra khái
niệm lân cận như sau:
• Với X G R khoảng (x — ỏ; X + ổ) với ỏ > 0 được gọi là ỏ lân cận của X.
• Các tập (ỗ; +oo) và (—oo; ỏ), với ỏ là một số thực, lần lượt được gọi là ỏ
lân cận của +oo và — oo.

1.2
1.2.1

HÀM SỐ
Khái niệm hàm số

Định nghĩa 1.2. Cho D là một tập con khác rỗng của R. Hàm số f từ tập D
vào R là một quy tắc làm tương ứng mỗi phần tử X 6 D với một và chỉ một
phần tử f(x) G R.



1.2 HÀM SỐ

Trang 5

Một hàm số như thế được kí hiệu là
f ■ D —+ R,
XI—= /W-

• Tập D được gọi là miền xác định của hàm f.
• Với X E D,f(x) được gọi là giá trị của f tại X.
• Miền giá trị của hàm số f là tập hợp tất cả các giá trị /(%) khi X thay
đổi trong D, được ký hiệu là Rf,

Rf = {/(%) : X E D}.
Chúng ta minh họa cho hàm số f bằng sơ đồ sau đây.

/(4

Hình 1.1: Hàm số f làm tương ứng X với f(x)

Lưu ý, khi hàm số f được cho bởi cơng thức, thì miền xác định của nó
là tập hợp tất cả các số thực X làm cho cơng thức có ý nghĩa. Ví dụ: hàm số
f(x) — y/3 — X CÓ miền xác định D — {% : X E R, X < 3} vì ự3 — X chỉ có
nghĩa nếu 3 — X > 0.
Đồ thị của hàm số y = /(x) có được bằng cách vẽ tất cả các điểm (x;y)
với X E D và y = /(x) (Hình 1.2). Nếu ta bắt đầu từ X = a trên trục Ox, di
chuyển theo phương thẳng đứng đến đồ thị, sau đó di chuyển theo phương
ngang đến trục Oy, ta sẽ nhận được giá trị f(a).


Hình 1.2: Đồ thị của hàm y = /(x)

1.2.2

Một
• số tính chất đặc
• biệt
• của hàm số

Định nghĩa 1.3 (Tính đơn điệu). Cho hàm số /(x) xác định trên khoảng
(«;&).


Chương 1. GĨỚĨ HẠN VÀ LIÊN TỤC

Trang 6

• Hàm số /(%) được gọi là hàm tăng trên («; b) (Hình 1.3.a) nếu
V%1,%2 £ (ữ;b),XỊ < %2 => /(
1)
*

< /(
2)*

• Hàm số /(%) được gọi là hàm giảm trên («; b) (Hình 1.3.b) nếu

V%1,%2 c («;b),%i < %2 => /(
1)
*


(a)

> /(
2)*

(b)

Hình 1.3: (a) đồ thị hàm tăng; (b) đồ thị hàm gim

ã Hm hoc tng hoc gim trờn (ô; b) c gi chung l hm n iu
trờn (ô; b).
ã Hm s f(x) được gọi là khơng giảm trên («; b) (Hình 1.4.a) nếu
V%1,%2 £ (a;b),x-[ < %2 => /(
1)
*

< /(
2)*

• Hàm số f(x) được gọi là khơng tăng trên («; b) (Hình 1.4.b) nếu
V%1,%2 E (a;b),Xỵ < %2 => /(
1)
*

(a)

> /(
2)*


(b)

Hình 1.4: (a) đồ thị hàm không giảm; (b) đồ thị hàm khơng tăng
Định nghĩa 1.4 (Tính chẵn, lẻ). Xét hàm /(%) có miền xác định D đối xứng
qua gốc tọa độ o, nghĩa là nếu X thuộc D thì —X cũng thuộc D. Khi đó,


1.2 HÀM SỐ

Trang 7

• Hàm số /(%) được gọi là hàm chẵn nếu

Vx G D,/(-x) = /(%);
• Hàm /(%) được gọi là hàm lẻ nếu

Vx G D,/(-x) = -f(xỴ

Hình 1.5: (a) Đồ thị hàm số chẵn; (b) đồ thị hàm số lẻ
Định nghĩa 1.5 (Tính tuần hồn). Hàm số /(%) được gọi là hàm số tuần
hoàn nếu tồn tại số dương T sao cho

Vx G D, (x ± T e D và /(x — T)= f(x) — f(x + T)).
Số dương T nhỏ nhất, nếu có, được gọi là chu kỳ tuần tồn của /(x).

Hình 1.6: Đồ thị của hàm số tuần hoàn chu kỳ T

1.2.3

Hàm số ngược


Định nghĩa 1.6 (Hàm 1 -1). Hàm số /(x) được gọi là hàm số tương ứng
1 — 1 nếu với mỗi y e Rf chỉ có duy nhất X e D sao cho y = /(x).


Chương 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Trang 8

(a)

(b)

Hình 1.7: (a) đồ thị hàm 1 — 1; (b) đồ thị hàm khơng phải 1 — 1
về mặt hình học, hàm y = f(x) là hàm số tương ứng 1 — 1 nếu như một
đường thẳng cùng phương với Ox cắt đồ thị của hàm này nhiều nhất là một
điểm.

Định nghĩa 1.7 (Hàm ngược). Nếu hàm số y = /(x) là hàm tương ứng 1-1
thì với mỗi y e Rf, tồn tại duy nhất X e D sao cho /(%) = y. Do đó, quy tắc
làm tương ứng mỗi y e Rf với X € D sao cho /(%) = y là một hàm số, và ta
gọi đó là hàm ngược của hàm y — f(x), ký hiệu là X =
(y).

Thông thường, ta dùng chữ X để chỉ biến số và y để chỉ giá trị của hàm
tại X nên hàm ngược của y = /(x) được viết là y = f~ỵ(xỴ Khi đó, nếu
điểm (x;y) thuộc đồ thị của hàm số y — f(x) thì điểm (y;x) thuộc đồ thị
hàm ngược y = f~Ả(xỴ Vì hai điểm (x;y) và (y;x) đối xứng với nhau qua
đường phân giác thứ nhất nên suy ra đồ thị hàm số ngược y =
(x) đối

xứng với đồ thị của y = f(x) qua đường phân giác thứ nhất (Hình 1.8).

Hình 1.8: Đồ thị của hàm y — f(x) vày = f 1 (x)

1.2.4

Hàm số hợp

Định nghĩa 1.8. Cho hai hàm số
f : Df

Rf,

X'1—>y = /Wz

g : Dg

> Rg,

y 1—> 2 = g(y),


Trang 9

1.2 HÀM Số

trong đó, Rf là tập con của Dg. Với mỗi X E Df qua f sẽ có một và chỉ một
y E Rf sao cho f(x) — y, và vói y này qua g sẽ một và chỉ một z G Rg sao
cho g(y) = z. Nhu vậy, mơi X e Df ứng vói một và chỉ một z E Rg xác định
bởi z = g[f (x)]. Do đó, ta có hàm số


h : Df —> Rg,

X I—> z = h(x) = g[/(x)],

h đuợc gọi là hợp của f và g, đuợc ký hiệu g o f. Vậy,
(M)W =g[f(x)],\/x E Df.

Trong thực hành, để có hàm hợp của f và g thì chỉ cần Rf n Dg ý- 0; và
khi đó miền xác định của (g o f) (x) là các X trong Df sao cho f(x) E Dg.
Ví dụ 1.3. Cho hai hàm số f(x) = ỵ/x và g(x) = 1 — X. Hãy tìm (g o f)(x),
ơ ° £) (x)/ (/ ° /) (x) và (g ° 8) w cùng với miền xác định của chúng.

Giải. Hai hàm số đã cho có miền xác định lần lượt là Df = [0;+oo) và
Dg = (—oo; +oo). Cơng thức của các hàm hợp cần tìm và miền xác định của
chúng được tìm thấy như sau:
Cơng thức

(g°f)(x)
Ơ°G(G
(/°/)W
(g°g)M

1.2.5

Miền xác đinh
=g(/(x))
= /(gW)
=/(/W)
= g(g(x))


=1-4
*
= ựl-x
=V
*
=*

[0;+oo)
(—oo;l]
[0; +oo)
(-oo;+oo)

Hàm số sơ cấp cơ bản

Các hàm số sau đây được gọi là hàm so cấp co bản:
■ Hàm lũy thừa y = Xx, X 6 R

Miền xác định của hàm lũy thừa phụ thuộc vào X. Cụ thể:
• Nếu X E N thì miền xác định của hàm số là R.

• Nếu X là số nguyên âm thì miền xác định của hàm số là R \ {0}.
• Nếu X =

p E z, q E z+ thì

- Nếu q lẻ và


Trang 10


Chương 1. GIỚI HẠNVÀ LIÊN TỤC

* p > 0 thì miền xác định là R;
* p < 0 thì miền xác định là R \ {0}.
- Nếu q chẵn và
* p > 0, chẵn, thì miền xác định là R;
* p > 0, lẻ, thì miền xác định là R+.
* p < 0, chẵn, thì miền xác định là R \ {0};
* p < 0, lẻ, thì miền xác định là R+ \ {0}.
• Nếu ŨC là số vơ tỷ thì ta quy ước chỉ xét hàm y = xa trên [0; 4-00) nếu
oc > 0, và trong (0; 4-00) nếu oc < 0.
■ Hàm mũ y = ax, 0 < a 7^ 1

Số a được gọi là cơ số của hàm số mũ. Hàm y = ax có miền xác định là R,
tăng khi a > 1, và giảm khi a < 1. Đồ thị hàm y = ax như hình 1.9.

(a)

(b)

Hình 1.9: Đồ thị của hàm y = ax

■ Hàm logarit y = logữ X, 0 < a 7^ 1

Là hàm ngược của hàm y = ax. số a được gọi là cơ số của hàm số logarit
y = logfl X. Hàm số logarit y = logữ X có miền xác định là (0; 4-oo), tăng khi
a > 1, và giảm khi a < 1. Đồ thị hàm y = logữ X như hình 1.10.

(a)


(b)

Hình 1.10: Đồ thị của hàm y = loga X


1.2 HÀM SỐ

Trang 11

■ Các hàm lượng giác

Hình 1.11: Đồ thị các hàm lượng giác

Các hàm lượng giác y — sin X, cos X, tan X, cot X được định nghĩa như sau
(Hình 1.11):
cosx = OM; sin X = ON; tan X = AP; cot X = BQ.

Hàm y = sinx có miền xác định là R và miền giá trị là [—1; 1]. Đó là
một hàm lẻ, tuần hồn với chu kỳ 2tĩ. đồ thị của hàm y = sinx trên

2. Hàm y = cos X có miền xác định là R và miền giá trị là [—1; 1]. Đó là
một hàm chẵn, tuần hồn với chu kỳ 2tĩ. Đồ thị của hàm y = cos X trên
[—71; 7ĩ] được cho bởi hình 1.12.Ồ.
3. Hàm y = tan X xác định tại mọi X Ạ (2k + 1) ặ, k e z, và miền giá trị là
R. Đó là một hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 7Ĩ. Đồ thị của hàm y = tan X
trên (—ặ; ặ) được cho bởi hình 1.13.a.

4. Hàm y = cot X xác định tại mọi X Ạ kn, k G z, và miền giá trị là R. Đó
là một hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 7ĩ. Đồ thị của hàm y = cot X trên

(0; 7ĩ) được cho bởi hình 1.13.b.


Trang 12

Chương 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Hình 1.13: (a) đồ thị hàm tan x; (b) đồ thị hàm cot X
■ Các hàm lượng giác ngược

1. Hàm arcsin. Hàm số sin : R —> [—1; 1] không là hàm 1-1 nhưng khi
ta hạn chế miền xác định thành [—Ị] thì sin : [—ặ; ặ] —> [—1; 1] là
hàm 1-1. Khi đó, tồn tại hàm số ngược của hàm sin, ký hiệu arcsin,
arcsin : [—1; 1] —>

71 711
2'2-'

Ta có

y = arcsin X,
-1 < X < 1.

siny - X,
52 <
< 52 •
— yV —

Tính chất: Với mọi X e [—1; 1] ta có


(a) sin(arcsinx) = X

(b) arcsin(—x) = — arcsinx
Đồ thị: Hàm y — arcsin X có đồ thị như hình 1.14.a.

(a)

(b)

Hình 1.14: (a) đồ thị hàm arcsin x; (b) đồ thị hàm arccos X


1.2 HÀM SỐ

Trang 13

2. Hàm arccos. Tương tự, hàm số cos :
có hàm ngược, ký hiệu là arccos,

Ta có

y = arccos X,
-1 < X < ĩ.

cosy - X

Tính chất: Với mọi X E [—1; 1] ta có

(a) cos(arccosx) = X,
(b) arccos(—x) = 71 — arccosx,

(c) arcsin X + arccos X = y.

Đồ thị: Hàm y = arccos X có đồ thị như hình 1.14.b.
3. Hàm arctan. Hàm số tan : (—f;f) —> (—00; 00) là
hàm ngược, ký hiệu là arctan,

arctan : (-00; 00) -> i-y; y
Ta có
y = arctanx,
— 00 < X < 00.

tani/ = X,
2 y
2•

Tính chất: Với mọi X E R ta có

(b) arctan(—x) = — arctanx.
Đồ thị: Hàm y = arctan X có đồ thị như hình 1.15.a.
y = tan X

y

y — arctan X
X

2

0


V = arccot X

71y
ĩ
0

ĩ

X
Ý

7Ĩ

y = cot X
(a)

(b)

Hình 1.15: (a) đồ thị hàm arctan x; (b) đồ thị hàm arccot X


Chương 1. Gĩớĩ HẠN VÀ LĨẼN TỤC

Trang 14

4. Hàm arccot. Hàm số cot : (0; 7ĩ) —> (—00; 00) là hàm 1-1 nên có hàm
ngược, ký hiệu là arccot,
arccot: (—00;00) —> (0;7ĩ).
Ta có


_______________________________
í y — arccotx,
í coty = X,
Ỵ —00 < X < 00.
( 0 < y < 7Ĩ.

Tính chất: Với mọi X E R ta có
(a) cot(arccotx) = X,
(b) arccot(—x) — 7T — arccotx,
(c) arctan X + arccot X = Ị.

Đồ thị: Hàm y = arccot X có đồ thị như hình 1.15.Ồ.
1.2.6

Hàm số sơ cấp

Định nghĩa 1.9. Cho hai hàm f,g có miền xác định lần lượt là Df và Dg ta
định nghĩa các hàm tổng, hiệu, tích và thương như sau:
• Tổng của f và g, ký hiệu là f + g, là hàm số xác định trên miền mà cả
f và g cùng xác định, Df n Dg — D, và
(/ + g) w = f(x) + g(xl Vx £ D-

• Hiệu của f và g, ký hiệu là f — g, là hàm số xác định trên miền mà cả
f và g cùng xác định, Df n Dg = D, và
(f-g')(.x)=f(x)-g(x),Vx e D.

• Tích của f và g, ký hiệu là f.g, là hàm số xác định trên miền mà cả f
và g cùng xác định, Df n Dg = D, và
(f-g)(x) = f(x).g(x)yx e D.


• Thương của f và g, ký hiệu là là hàm số xác định trên miền mà cả f
và g cùng xác định, đồng thời g(x) phải khác không, và

D={teD/nDg|

g(x)=Ề0}.


1.3 DÀY SƠ

Trang 15

Ví dụ 1.4. Hai hàm số

/(x) = Vx và g(x) — y/1 — X
có miền xác định lần lượt là Df = [0;4-oo) và Dg = (—oo;l]. Phần chung
của hai miền xác định này là D f íì Dg — [0; 1]. Bảng sau đây tổng hợp các
công thức và miền xác định của các hàm tổng, hiệu, tích và thương được tạo
thành từ/(x) vàg(x).
Hàm
f+g
f-g
f-g

g
g

Cơng thức
(/ + g) (x) = ựx + ựl - X
(/ _ &) (x) — V

* — x/1 — X
(A?)W = ựx(i -*
)
(9 w - /1-

Miền xác định

0)«- ự1/

(0;l]

[O;1]
[O;1]
[0;l]
[0; 1)

Định nghĩa 1.10. Hàm số được tạo thành từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi các
phép toán cộng, trừ, nhân, chia và sự hợp nối các hàm số được gọi là hàm
sơ cấp.
1 c
.Á
+ X2 + ln(l + x). tanx - ecosx
Á
Ví dụ 1.5. Ham so ỷ (x) =---------------- ———--------------- là một hàm sô
’
arcsin X + 4x
■
sơ cấp.

1.3


DÃY SỐ

Định nghĩa 1.11. Một dãy số là một danh sách các số được viết theo một
trật tự xác định:
Xị, X2, X3, • • • , XM, Xn-ị-Ị, . . .
SỐ x-[ được gọi là số hạng thứ nhất, X2 được gọi là số hạng thứ hai, và tổng
quát xn được gọi là số hạng thứ n. Dãy số như vậy được ký hiệu là (x„).

Số n được gọi là chỉ số của xn. Chỉ số này khơng nhất thiết bắt đầu tại
n — 1, nó có thể bắt đầu tại n = 0, n = 2, hoặc một số nguyên dương tùy ý.
Không phải dãy số nào cũng được tạo ra từ một công thức. Ví dụ, dãy
các chữ số của số 7Ĩ :
3; 1;4; 1;5;9;2;6...,
khơng có cơng thức cho số hạng thứ n.
Khi xn có cơng thức, ta gọi xn là số hạng tổng quát của dãy số (xM).


Chương 1. GIỚTHẠN VÀ LIÊN TỤC

Trang 16
Ví dụ 1.6. Ta có ba dãy số sau:

Dãy số
C
N
lC
O

Miền xác định

n > 1
n >0
n>3

^'|O
4

số hạng tổng quát
=1 -1
= (-1)"
v _ 364,5.n2
xn - „2-4

1;—1;1;-1;1;...
656,1; 486; 433,9; 410,396,9;...

Định nghĩa 1.12. Cho dãy số (xn).

• Dãy (xn) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại sốM E R sao cho

xn < M,Vn e N.

• Dãy (xn) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m e R sao cho
Xn > m,\/n e N.

• Dãy (xn) vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn.
• Dãy mà tất cả các số hạng bằng nhau được gọi là dãy hằng.
Ví dụ 1.7.

• Dãy số (xn), với xn — ỉ, là dãy số bị chặn do với mọi n E *N

, ta có
0 < xn < 1.

• Dãy số (xn), với Xn = n2, là dãy số bị chặn dưới, không bị chặn trên do
với mọi n e N, ta có 0 < xn và xn rất lớn khi n lớn.
• Dãy số (xn), với xn = 2, là dãy số hằng.
1.3.1

Dãy số hội tụ

Định nghĩa 1.13. Dãy số (x„) được gọi là hội tụ đến số X e R nếu với mọi
số e > 0, tồn tại số no thuộc N, sao cho với mọi n > no thì khoảng cách giữa
xn và X nhỏ hơn e. Khi đó, X được gọi là giới hạn của dãy số (xn), và ta viết

X = lim xn hay xn —> X, khi n —> +oo.
n—>+oo
Định nghĩa 1.13 được viết dưới dạng ký hiệu là:

X = lim xn <=> Ve > 0,3no G N,\fn > no, \xn — x| < e.
n—>+oo

(1.1)


Trang 17

1.3 DÃY SO
Ví dụ 1.8. Xét dãy số (xn), với xn — c. Với mọi e > 0, ta có

|x„ — c| = |c — c| = 0 < e,

đúng với mọi n 6 N. Vậy, lim c - c.
n^+co

Ví dụ 1.9. Xét dãy (ỉ). Theo tính chất Archimède ta có
Ve > O,3no G N
*,Vn

> no,- < e
'n

nên suy ra
Ve > 0,3no 6 N
*, Vn > no,

Vậy, lim —
■ n—>+oo n

e.

n

0.

Định lý 1.2. Nếu dãy (xn) hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất.
Định lý 1.3. Nếu dãy (xn) hội tụ thì nó bị chặn.

Hệ quả 1.2. Nếu (x„) khơng bị chặn thì nó khơng hội tụ.
Ví dụ 1.10. Dãy (n2) là dãy không bị chặn (do không bị chặn trên) nên không
hội tụ.


Định lý 1.4 (Các quy tắc tính giới hạn). Giả sử

lim xn = xvà lim yn — y.
n^+oo
im+co
Thế thì:
1.

lim xxn = XX, X e R.
rw+oo

2. lim (x„ + yn~) — X + y.
7W+oo

3. lim (xnyn) = xy.
7W+oo

4. Khi 1/
J

K
.
xn
X
Ovàyn ± 0 với mọi n. lim —- = -.
■
n-7+oo yn
y

1.

+ 3n + 4
Ví dụ 1.11. Tìm lim _ 9 '---- ——.
•
M->00
+n+7

I HUONG Đai học cong nghiệp tp.hcm

111

THỰ VIÊN