Lời nói đầu
Tôpô là môn học cơ sở của Giải tích hiện đại, tài liệu viết về nó rất nhiều
song rất ít tài liệu có các bài tập kèm theo lời giải chi tiết minh hoạ cho môn
học hấp dẫn nhng tơng đối trừu tợng này. Nhằm giúp cho một số bạn học
viên Cao học Toán các khoá sau (Kể từ khóa 10) học tập đỡ vất vả và cảm thấy
thú vị hơn môn Tôpô. Dựa vào chơng trình học Tôpô đại cơng của Cao học
10 Toán, tác giả thống kê và giải các bài tập Tôpô đã gặp trong chơng trình
học. Đa số các lời giải trình bày chi tiết, có những bài tập hay tác giả trình bày
nhiềucáchgiảiđểbạnđọcthamkhảo.
Vì năng lực còn hạn chế và đây chỉ là các l ời giải mang tính chủ quan của
tác giả, điều kiện vật chất không cho phép, nên chỉ có thể trình bày đợc các
bài toán sát với Bài giảng của PGS T S Trần Văn Ân cho Học viên cao học Toán
khoá 9-10 ĐH Vinh.
Chắc chắn sẽ không tránh khỏi thiếu sót, song cũng mong nhận đợc sự ủng
hộ, ý kiến đóng góp của bạn đọc quan tâm đến Tôpô.
Cuốn sách gồm bốn phần chính:
I. Không gian Tôpô
II. Không gian Mêtric
III. Không gian Compact
IV. KhônggianLiênthông
Nhân đây cũng xin đợc cảm ơn a nh Nguyễn Hồng Cờng HV CH10 Toán
đã đề nghị tác giả hoàn thành tài liệu này.
Vi nh, ngày 30 tháng 04 năm 2003
Ngô Quốc Chung
12
Trờng PTDL Hermann Gmeiner Vinh, Nghệ An
1
Email:
2
Mobile: 0906236777
1

2
Không gian tôpô
Bài 1 : Cho không gian tôpô X, E là tập con của X ta luôn có:
a)E đóng E

E
b)
E = E

E
c)intE là tập mở lớn nhất chứa trong E
d)
E là tập đóng nhỏ nhất chứa E
e)E là tập mở E là lân cận của x E
Chứng minh
a) Giả sử E đóng mà E

E điểm x E

mà x E x X\E
lại do E đóng X\E mở lân cận U của x sao cho x U X\E
U E = U E\{x} = trái với giả thiết x E

E

E
Giả sử E

E x X\E thì x E


lân cận U của x sao cho
U E\{x} = U E = (vì x E) U X\E X\E mở E đóng
b) Giả sử x E E

x E hoặc x E

.
Nếu x E rõ ràng x
E.
Nếu x E

lân cận U của x thì ta có
U E\{x} = và E\{x}
E\{x}
U
E\{x} =
x
E

E
E E

E
Giả sử x/ X\E E

x/ E

tồntạilâncậnU của x sao cho
U E\{x} = mà x/ E U E = X\{E E


} là tập mở mà
E E E

E E E

c) Ta sẽ chứng minh rằng mọi tập mở nằm trong E đều nằm trong intE.
Thật vậy:
Giả sử U là tập mở bất kì sao cho U E x U thì x U E E
là lân cận của x x là điểm trong của E x intE
U intE
3
4
BâygiờtachứngminhintE là tập mở để hoàn thành chứng minh.
Với m ọi x intE E là lân cận của x U mở để
x U E U intE intE là tập mở
d) Theo định nghĩa
e) Rõ ràngE mở E là lân cận của x E
Giả sử E là lân cận của mọi điểm thuộc nóx E, U
x
là tập mở sao cho
x U
x
E E =

xE
{x}

xE
U
x

E E =

xE
U
x
E
E là tập mở
Bài 2 : Mỗi không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai là khả ly.
Chứng minh
Cách 1:
Vì X là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợcthứ2,nêntrongXcócơsở
= {U
n
}
nN
đếm đợc
Với m ỗi n N ta lấy tơng ứng một x
n
U
n
,vàđặttập
F = {x
n
}
nN
Rõ ràng F là tập đếm đợc, bây giờ ta sẽ chứng minh

F = X. Thật vậy:
Ta có
(X\

F ) F = (1)
Giả sử (X\
F ) = x X\F,vìX\F mở
U
n
0
sao cho x U
n
0
X\F
Lúc đó tồn tại x
n
0
F sao cho x
n
0
U
n
0
X\F
n
0
X\F F
Điều này trái với (1) vậy X\F = X = F
Cách 2:
Gọi = {U
n
}
nN
là cơ sở đếm đợccủaX.Tađặttập

F = {x
n
}
nN
trongđómỗix
n
đợc lấy r a tơng ứng trong một tập U
n
.
Giả sử V là một tập mở bất kỳ trong X V = {U

: U

}
U

0
V x

0
F sao cho x

0
U

0
V
F V =

F = X

5
Bài 3 :
(a)GiaocủamộthọtôpôtuỳýtrênX là một tôpô trên X
(b) Hợp của hai tôpô trên X có thể không là tôpô trên X
(c) Đối với một họ tuỳ ý các tôpô trên X, tồn tại một tôpô duy nhất, mịn
nhất trong các tôpô thô hơn mọi tôpô của họ đó, và tồn tại tôpô duy nhất, thô
nhất trong các tôpô của họ.
Chứng minh
(a) Điều này dễ dàng chứng minh nhờ vào định nghĩa, xin dành cho bạn
đọc
(b) Ta sẽ chỉ ra một tập X cóhaitôpôtrênnómàhợpcủahaitôpônày
không phải là một tôpô trên X
Chọn tập X = {a, b, c}. Với hai t ôpô là

1
= {, {a, c}, {a, b, c}}

2
= {, {b, c}, {a, b, c}}
Dễ dàng thử thấy
1
và
2
là các tôpô trên X.
Lúc đó =
1

2
= {, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} không phải là một tôpô trên
X. Thật vậy:

{a, c}; {b, c} nhng {a, c} {b, c} = {c}
(c) Gọi U = {U

}
I
là một họ các tôpô trên X
Đặt
T =
<
I
U

ta sẽ chứng minh T là tôpô mịn nhất trong các tôpô thô hơn mọi tôpô của h ọ U.
Thật vậy, giả sử U là một tôpô bất kì thô hơn các tôpô của họ U
U U

, U
<
I
U

= T T mịn hơn U (đpcm )
Gọi họ tôpô
= {T : T mịn hơn mọi tôpô của họ U}
Đặt
T =
<
T
T
Ta sẽ chứng minh T là tôpô thô nhất trong các tôpô mịn hơn mọi tôpô của họ

U.Thậtvậy
Giả sử U là tôpô bất kỳ mịn hơn mọi tôpô của họ U U = T

0
nào đó
6
U T T thô hơn U (đpcm)
Chú ý:
Từchứngminhtrênchotathấygiaocủamộthọcáctôpôlàmộttôpônhng
hợp của một họ các tôpô nói chung không phải là một tôpô.
Bài 4 : (a) Giảsử(X, T ) là không gian tôpô; đối với mỗi x X,kýhiệuU
x
là họ các lân cận của nó. Khi đó :
1)NếuU U
x
thì x U
2)NếuU và V làcácphầntửcủaU
x
thì U V U
x
3)NếuU U
x
và U V thì V U
x
4)NếuU U
x
thì tìm đợc phần tử V U
x
sao cho V U và V U
y

với
mỗi y V (nói cách khác, tập V là lân cận của mọi điểm thuộc nó)
(b) Nếu hàm U lập tơng ứng mỗi điểm tuỳ ý x X với họ U
x
nào đó và thoả
mãn các điều kiện 1), 2), và 3) thì họ T các tập sao cho U U
x
nếu x U,là
tôpô nào đó trên X. Nếu điều kiện 4)cũngđợc thực hiện, thì U
x
đúng là hệ
lân cận của x đối với tôpô T.
Chứng minh
(a) Ta có:
1) Giả sử U U
x
U là lân cận của x theo định nghĩa lân cậntập mở
V sao cho:
x V U x U
2) Giả sử U và V U
x
suy ra tồn tại các tập mở U
x
và V
x
sao cho
x U
x
U và x V
x

V x U
x
V
x
U V mà U
x
V
x
mở
U V U
x
3) Giả sử U U
x
và V là tập bất kỳ sao cho U V .VìU là lân cận của
x nên tồn tại tập mở U
x
sao cho x U
x
U x U
x
V V U
x
4) Giả sử U U
x
lúc đó tồn tại tập mở V sao cho x V U. Ta sẽ chứng
minh rằng V U
y
với mọi y V . Thật vậy:
Với mỗi điểm y V lúc đó tồn tại tập V mở để y V V V là lân cận
của y V U

y
(b) Với T = {U : U U
x
nếu x U}
Ta sẽ chứng minh T làmộttôpôtrênX.Thậtvậy:
i) Rõ ràng ,X T
ii) Giả sử {U
i
}
iI
là một họ bất kì thuộc T
tồn tại một U
i
0


iI
U
i
, nên theo tiên đề 3)

iI
U
i
T
iii) Giả sử U, V T theo tiên đề 2) U V T
Vậy T là một tôpô trên X
7
Với U
x

thoả mãn thêm điều kiện 4) ta chứng minh T là họ lân cận của x đối
với tôpô T . Thật vậy:
Giả sử U U
x
theo tiên đề 4) tồn tại V T sao cho
x V U
U
x
là một hệ lân cận của x đối với tôpô T
Bài 5 :
Giả sử i là toán tử chuyển tập con của X thành tập con của X và T là họ
các tập con sao cho A
i
= A
Vớiđiềukiệnnào,T sẽ là tôpô và (đồng thời i là toán tử phần trong đối với
tôpô nào đó.
Chứng minh
I. Giả sử i là toán tử phần trong của X và
T = {A X : A
i
= A}
Để T là một tôpô trên X ta cho i thoả mãn các tiên đề sau:
1)X
i
= X
2)A
i
A
3)(A
i

)
i
= X
4)A
i
B
i
=(A B)
i
Ta sẽ chứng minh T là một tôpô. Thật vậy:
i) Hiển nhiên X T , lại có
i
(theo tiên đề 2) và
i
( là tập con của mọi tập con của X)
i
= T
ii) Trớc hết ta chứng minh bổ đề sau :
Nếu A B thì A
i
B
i

Thật vậy A B A = A B A
i
= A
i
B
i
(theo 3) A

i
B
i
Giả sử {A

}
I
là họ bất kì trong T ta sẽ chứng minh

I
A

T tứctachứngminh

I
A

=(

I
A

)
i
Rõ ràng
(

I
A


)
i


I
A

Ta chỉ cần chứng minh:

I
A

(

I
A

)
i
8
Ta có
A



I
A

, nên theo bổ đề trên) A
i


(

I
A

)
i
A

= A
i

(

I
A

)
i


I
A

=

I
A
i


(

I
A

)
i


I
A

(

I
A

)
i
iii) Giả sử A, B là hai tập bất kì thuộc lúc đó ta có:
A
i
B
i
= A B và A
i
B
i
=(A B)

i
(theo tiên đề 4)
A
i
B
i
= A B A B T
II. Bây giờ ta sẽ chứng minh F X thì F
i
trùng với F
o
Giả sử F là tập con bất kì của X.VìF
o
là tập mở
F
o
T (F
o
)
i
= F
o
Lại do F
o
F F
o
=(F
o
)
i

F
i
(theo bổ đề trên)
F
o
F
i
(1)
Lại có (F
i
)
i
= F
i
(theo tiên đề 3) F
i
T mà F
i
F
F
i
F
o
(2)
Từ (1) và (2) F
o
= F
i
Bài 6 : Không gian tôpô đợc gọi là T
1

- không gian khi và chỉ khi mỗi tập một
điểm là tập đóng. Chứng minh rằng:
(a)TrênmỗitậpX có một tôpô thô nhất T duy nhất sao cho (X, T )làT
1
-
không gian.
(b)NếutậpX vô hạn và T là tôpô thô nhất sao cho (X, T )làT
1
- không
gian thì (X, T ) liên thông.
(c)Nếu(X, T )làT
1
-không gian thì tập các điểm giới hạn của tập con tuỳ ý
là tập đóng. Kết quả mạnh hơn :
Định lý Yang:
Để tập giới hạn của tập con tuỳ ý là tập đóng, cần và đủ là
tập giới hạn của tập {x} là tập đóng, trong đó x là điểm tuỳ ý của tập X.
Chứng minh
(a)
Cách 1:
Giả sử {T

}
I
là họ tất cả các tôpô T
1
-không gian trên tập X.Đặt
T =
<
I

T

9
ta sẽ chứng minh T là tôpô thô nhất duy nhất sao cho (X, T )làT
1
- không gian.
Bạn đọc tự chứng minh dựa vào câu A.
Cách 2:
Đặt
T = {,X,X\F : F là tập con hữu hạn của X}
.Tacó:
i) Rõ ràng ,X T theo định nghĩa T
ii) Giả sử {U

}

là họ bất kỳ thuộc T U

= X\F

trong đó F

hữu
hạn, với mọi .Tacó:


U

=



(X\F

)=X\(
<

F

)
mặt khác F

hữu hạn
<

F

hữu hạn


U

T
iii) U, V là hai tập bất kỳ thuộc T , khi đó F
u
,F
v
hữu hạn sao cho
U = X\F
u
,V = X\F

v
Ta có:
U V =(X\F
u
) (X\F
v
)=X\(F
u
F
v
)
mà F
u
F
v
hữu hạn U V T .
Vậy T là một tôpô trên X.
Bâygiờtachứngminh(X, T ) là T
1
-không gian thô nhất. Thật vậy:
Vì {x} hữu h ạn X\{x} T X\{x} mở {x} là tập đóng
(X, T ) là T
1
-không gian.
Giả sử (X, U) là T
1
-không gian bất kỳ. Ta có:
V T V = X\F với F là tập hữu hạn tức F = {x
1
,x

2
, , x
n
}
V = X\{x
1
,x
2
, , x
n
} = X\(
n

=1
x
i
)=
n
<
i=1
X\{x
i
}
Theo giả thiết (X, U) là T
1
-không gian i = 1,n tập {x
i
} đóng
X \x
i

U, i = 1,n
n
<
i=1
X\{x
i
} U V U T U
T thô hơn U
TừchứngminhtrêncũngchotatínhduynhấtcủaT
10
(b) Để chứng minh X là không gian liên thông ta chứng minh không tồn
tại một tập con thực sự khác vừa đóng vừa mở của X.Thậtvậy:
Giả sử U là tập con thực sự, khác rỗng mở bất kỳ trong X
U = X\F với F là tập con hữu hạn của X,vìX vô hạn
U = X\F vô hạn, vậy mọi tập con khác rỗng mở của X đều vô hạn.
Lại có X\U = F = hữu hạn F không mở U không đóng, do U lấy bất
kỳ mọi tập mở khác rống và X đều không đóng X là không gian không
liên thông.
(c)(X, T ) là T
1
-không gian. A là tập con bất kỳ của X.
Để chứng minh A

đóng ta sẽ chứng minh X\A

mở. Thật vậy:
Với mọi x X\A

x A


lân cận mở U của x sao cho U A\{x} = .
Giả sử y U A

.VìX là T
1
- không gianlân cận mở V của y sao
cho x V ,doU mở y U W = U V cũng là lân cận mở của
y.VàW A\{y} = W A\{x, y} U A\{y} = (Vì x W và
W U) W A\{y} = mâu thuẫn với y A

.
Vậy U A

= x U X\A

X\A

mở A

đóng.
Bây giờ ta chứng minh định lý Yang:
Hiển nhiên A X mà A

đóng x X thì {x}

đóng.
Ta sẽ chứng minh nếu {x}

đóng với mọi x X thì A


đóng với mọi A X.
Thật vậy:
x X thì x {x}

vì nếu x {x}

lân cận U của x.Tacó:
U {x}\{x} = vô lý x X\{x}

vì {x}

đóng X\{x}

mở
X\{x}

là lân cận của x với mọi x X.
Giả sử A là tập con bất kỳ của X, x X\A

tồntạilâncậnU của x sao cho
U X\{x} = .
Lúc đó V = U X\{x}

cũng là lân cận của x và V X \{x } = .
Ta sẽ chứng minh V X\A

Mỗi y V nếu y = x rõ ràng y X\A

Nếu y = x,doV X\{x}


y X\{x}

và lân cận V
y
của y sao cho
V
y
{x}\{y} = V {x} =
Đặt W = V
y
V W là lân cận của y và W {x} =
W A\{y} = W\{x} A\{y} = W A\{x, y} V A\{x} =
W A\{x} = y A

y X\A

V X\A

X\A

mở A

đóng.
11
Bài 7 : Không gian tôpô X thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai là không gian
Linderlov.
Mọi không gian con Y của X đều là không gian thoả mãn đếm đợc thứ hai.
Chú ý:
Khônggiantôpômàtạimỗiđiểmcócơsởlâncậnđếmđợc gọi là không gian
tôpô thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất.

Khônggiantôpôcócơsởđếmđợc gọi là không gian tôpô thoả mãn tiên đề
đếm đợc thứ hai.
Khônggiantôpôđợc gọi là không gian Linderlov nếu với mọi phủ mở đều trích
ra đợc một phủ con đếm đợc.
Chứng minh
Giả sử
U = {U

}

làphủmởbấtkỳcủaX và
= {V
i
}
iN
là một cơ sở đếm đợc của X ta sẽ chứng minh có một phủ con đếm đợc của
U. Thật vậy:
Mỗi U

U đều tồn tại h ọ {V
i
}
iI

sao cho
U

=

iI


V
i
X =


U

=


(

i I

V
i
)
Đặt
V = {V
i
}

i I

vì V mà có lực lợng đếm đợc
V có lực lợng không quá đếm đợc và phủ X.
Với mỗi V
i
V ta chọn một và chỉ một tập U


i
U tơng ứng sao cho V
i
U
i
.
Đặt
U
0
= {U

i
}
rõ ràng U
0
U và lực lợng của U
0
bằng lực lợng của V nênnócólựclợng
không quá đếm đợc do họ V phủ X họ U
0
phủ X ta có (đpcm).
Việc chứng minh ý còn lại xin dành cho bạn đọc.
Bài 8 : Nếutôpôcủamộtkhônggiancócơsởđếmđợc thì mỗi cơ sở của
không gian chứa cơ sở đếm đợc nào đó.
12
Chứng minh
Giả sử (X, T ) là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai mọi không
gian con của nó cũng thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai mọi không gian
concủaXđềulàkhônggianLinderlovnênmỗiphủmởcủanóđềucómộtphủ

con đếm đợc.
Giả sử
= {U
n
}
nN
là một cơ sở đếm đợc của T và
= {V

}

là cơ sở bất kỳ của T . Ta sẽ chứng minh chứa một c ơ sở đếm đợc. Thật vậy:
Với mỗi n không gian con U
n
của X là không gian Linderlov mặt khác U
n
thuộc
T họ {V
n

}
I
{V

}

sao cho :
U
n
=


I
V
n

Do không gian U
n
Linderlov nên tồn tại họ đếm đợc
{V
n

i
}

i
N
{V
n

}
I
sao cho:
U
n
=


i
N
V

n

i
với mọi n N.Tađặt:
U = {V
n

i
: U
n
=


i
N
V
n

i
,U
n
}
U {V

}

Rõ ràng do lực lợng của {U
n
}
nN

là đếm đợc nên U là họ đếm đợc bây giờ
ta chứng minh U là cơ sở của T .
Mỗi x X và bất kỳ U T sao cho x U tồn tại U
n
0
sao cho
x U
n
0
U x U
n
0
=



i
=1
V
n
0

i
U V
n
0

i
0
U

sao cho
x V
n
0

i
0
U
trong đó V
n
0

i
U U là cơ sở đếm đợc của T và U .
13
Bài 9 :NếutậpA trù mật trong một không gian tôpô X còn U mở thì U
A U.
Chứng minh
Giả sử tồn tại x U nhng x A U tồn tại lân cận V
x
của x sao cho
(V
x
\{x}) (A U)=
((V
x
\{x}) U) A =
((V
x
U)\{x}) A = ()

Mặt khác U mở nên U là lân cận của x V
x
U là lân cận của x lại do A trù
mật trong X
((V
x
U)\{x}) A =
trái với ()
Vậy không tồn tại x Umà x
A U U A U
Bài 10 :Giả sử f : X Y là song ánh liên tục từ không gian tôpô X vào
không gian tôpô Y . Khi đó các khẳng định sau là tơng đơng:
a) f làánhxạđồngphôi
b) f là ánh xạ mở
c) f làánhxạđóng
Chứng minh
a) b) và c) là hiển nhiên.
Bâygiờtasẽchứngminhb) a).Tacó:
Vì f là song ánh f
1
: Y X. Ta sẽ chứng minh f
1
liên tục.
Giả sử U là tập mở bất kỳ trong X khi đó (f
1
)
1
(U)=f(U) mở tron g Y (vì
f là ánh xạ mở) f
1

liên tục
Việc chứng minh c) a) hoàn toàn tơngtựbằngcáchtathaychữmởbằng
chữđóngtrongchứngminhtrên.
Bài 11 :
a) Không gian tôpô X là T
1
-không gian nếu và chỉ nếu x X thì tập {x}
là tập đóng trong X.
b) Mọi không gian con của T
2
-không gian là T
2
-không gian.
Chứng minh
a) Giả sử X là T
1
-không gian, x là điểm bất kỳ thuộc X.Khiđóy
14
X\{x}, lân cận U
y
của y sao cho x U
y
{x} U
y
= U
y
X\{x} X\{x} mở {x} là tập đóng.
Giả sử x X, {x} đóng X\{x} mở
y = x y X\{x} vì X\{x} mở lân cận mở của y để U X\{x}
x/ U X là T

1
-không gian.
b)Giả sử X là T
2
-không gian Y là không gian con của X.
Khi đó với mọi x, y Y ; x = y tồn tại các l ân cận U, V của x, y trong X sao
cho:
U V = (U Y ) (V Y )=
Đặt
U
Y
= U Y,V
Y
= V Y
khi đó U
Y
,V
Y
là các lân cận của x, y trong Y và U
Y
V
Y
= Y là T
2
-không
gian.
Bài 12 :GiảsửX là không gian tôpô, Y là T
2
-không gian f,g : X Y là
các ánh xạ liên tục. Khi đó :

a)TậpF = {x X : f(x)=g(x)} là tập đóng trong X.
b)Nếuf = g trên tập con trù mật của X thì f = g
Chứng minh
a) Để chứng minh F đóng ta chứng minh tập
G = X\F = {x X : f(x) = g(x)} mở
Với mọi x G f(x) = g(x) U và V là lân cận mở của f(x) và g(x)
sao cho U V =

Do f liên tục U, V mở
W = f
1
(U) g
1
(V ) là một lân cận mở của x
y W f(y) U và g(y) V ,vì U V =
f(y) = g(y) y G W G G mở F là tập đóng.
b)
Cách 1:
Giả sử A là tập trù mật khắp nơi trong X và x A thì f(x)=g(x).
Đặt
F = {x X : f(x)=g(x)}
15
ta sẽ chứng minh X = F , thật vậy:
Rõ ràng F đóng theo a). Mặt khác ta lại có:
A F X =

A F = F X = F
Cách 2:
Gọi A là tập trù mật trong X và thoả mãn x A thì f(x)=g(x)
Giả sử x X sao cho f(x) = g(x) các tập mở U, V sao cho f(x)

U, g(x) V và U V = .ĐặtG = f
1
(U) g
1
(V ) khi đó G là lân cận mở
của x lại do
A = X
G A = y G A y G
f(y) U và g(y) V mà U V = f(y) = g(y) y A vô lý vì
y G A (đpcm).
Bài 13 :
Giả sử f :
3

X

Y là ánh xạ từ tổng tôpô
3

X

vào không
gian tôpô Y .Khiđóf liên tục khi và chỉ khi f

i

: X

Y liên tục
trong đó

i

: X


3

X

là phép nhúng.
Chứng minh
Giả sử f liên tục và ,i

liên tục rõ ràng f

i

liên tục.
Giả sử ,f

i

liên tục.
Lúc đó với tập mở U bất kỳ trong Y ta có:
f
1
(U) X

= i
1


(f
1
(U)) = (i
1


f
1
)(U)=(f

i

)
1
(U) mở trong X

f
1
(U) X

mở trong X

f
1
(U) mở trong X, nhờ nhận xét sau định
nghĩa tôpô tổng f liên tục.
Bài 14 :
Giả sử Y là không gian tôpô và X = X


: là không gian tôpô tích của
các không gian tôpô X

: . Khi đó ánh xạ f : Y X liên tục điều kiện
cầnvàđủlàánhxạp


f : Y X

với mọi liên tục. Trong đó
p

: X X

là phép chiếu lên toạ độ thứ .
16
Chứng minh
Với m ọi ta đặt g

= p


f
Rõ ràng f liên tục thì ,g

liên tục.
Bâygiờtachứngminhnếug

liên tục với mọi thì f liên tục. Thật vậy:
Giả sử U là tập mở bất kì trong

X U =

I
U

trong đó {U

}
I
làcáctậpthuộccơsởcủatôpôtích.
Với m ỗi ta có:
U

=
n

<
i=1
p
1

i
(V
i
) với n

N
U =

I

U

=

I
(
n

<
i=1
p
1

i
(V
i
)) với V
i
là tập mở trong X

i
Khi đó
f
1
(U)=f
1
(

I
(

n

<
i=1
p
1

i
(V
i
)) =

I
(
n

<
i=1
f
1

p
1

i
(V
i
))
f
1

(U)=

I
(
n

<
i=1
(p

i

f)
1
(V
i
)) =

I
(
n

<
i=1
g
1

i
(V
i

))
Do g

i
liên tục
n

<
i=1
g
1

i
(V
i
) là tập mở


I
(
n

<
i=1
g
1

i
(V
i

)) là tập mở f
1
(U) mở
f liên tục.
Bài 15 :
Cho A và B là các tập con của không gian tôpô X,saochoX = A B và các
tập A\B và B\A tách đợc. Khi đó, nếu ánh xạ f liên tục đồng thời trên A và
B thì f liên tục trên toàn bộ X.
Chứng minh
Giả sử f : X Y làánhxạtừkhônggiantôpôX vào không gian tôpô Y
thoả mãn f liên tục trên A và B.
U là tập mở bất kì trong Y khi đó:
f
1
(U)=(f
1
(U) A) (f
1
(U) B)
17
L¹i cã
f
−1
(U) ∩ A = f
−1
|
A
(U)
f
−1

(U) ∩ B = f
−1
|
B
(U)
Do f liªn tôc trªn A vµ B theo gi¶ thiÕt
⇒ f
−1
|
A
(U) vµ f
−1
|
B
(U) më trong X
⇒ f
−1
(U) ∩ A më trong A, f
−1
(U) ∩ B më trong B
Theo hÖ qu¶ 19 ch−¬ng1,suyraf
−1
(U) më ⇒ f liªn tôc trªn toµn bé X.
Không gian mêtric
Bài 16 :Giả sử X, d là không gian giả mêtric, A là tập con của X cho trớc.
Khi đó hàm
d
A
: X R
x d

A
(x)=d(x, A)
là một hàm liên tục.
Chứng minh
Với m ọi x, y X ta có
d(x, z) a d(x, y)+d(y, z )
d(x, z) d(y, z) a d(x, y)
inf
zA
(d(x, z) d(y,z)) a d (x, y)
d(x, A) d(y,A) a d(x, y)(1)
Chứng minh tơng tự ta có
d(y, A) d(x, A) a d(y,x)=d(x, y)(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
|d(x, A) d(y, A)| a d(x, y)
|d
A
(x) d
A
(y)| a d(x, y)
d
A
là hàm liên tục đều d
A
liên tục.
Bài 17 :Giảsử(X, d) là không gian giả mêtric A X. Khi đó ta có:
A = {x X : d(x, A)=0}
Chứng minh
Đặt
M = {x X : d(x, A)=0}

18
19
khi đó M = d
1
A
(0) trong đó
d
A
: X R
x d
A
(x)=d(x, A)
Theo bài 16 d
A
liên tục và tập {0} đóng trong R M đóng (1)
Hiển nhiên x A thì d(x, A)=0 A M kết hợp với (1)
A M.
Để chứng minh M
A ta sẽ chứng minh nếu x/ A thì x/ M.Thậtvậy:
Giả sử x/
A tồn tại > 0 sao cho B(x, ) A =
d(x, a) , a A
d(x, A)=inf{d(x, a):a A}
x/ M M
A A = M = {x X : d(x, A)=0}
Bài 18 :
(a) Mỗi không gian giả mêtric đều thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất.
(b) Không gian giả mêtric thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai khi và chỉ khi
nó khả ly.
Chứng minh

(a)(X, d) là không gian giả mêtric, x là điểm bất kì thuộc X. Họ c ác hình
cầu mở:
B = {B(x,
1
n
)}

n=1
làmộtcơsởlâncậnđếmđợc của điểm x X là không gian thoả mãn tiên
đề đếm đợc thứ nhất.
(b)(X, d) là không gian giả mêtric thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai. Khi
đó trong X có cơ sở đếm đợc
B = {V
i
}

i=1
Mỗi i =1, 2, , n, ta lấy một điểm x
i
V
i
.Đặttập
A = {x
i
}

i=1
LúcđórõràngA là tập đếm đợc hơn nữa A trù mật trong X. Thật vậy:
Với m ỗi x X, U là lân cận mở bất kỳ của x
U = V


i
trong đó {V

i
} B lại do U = V

i
0
= x

i
0
A
U A V

i
0
A x


0
U A = A trù mật trong X X khả ly.
20
Giả sử X là không gian khả ly, khi đó trong X có tập con đếm đợc A = {a
i
}

i=1
trù mật trong X.Đặt

U = {B(a
i
,
1
n
):a
i
A; i, n N}
Rõ ràng U đếm đợc. TasẽchứngminhnólàmộtcơsởcủaX tức ta chứng
minh mọi hình cầu mở B(x, r) trong X đều có một B B sao cho B B(x, r).
Thật vậy:
Với mọi hình cầu mở B(x, r),tồntạin
0
N sao cho
1
n
0
a r.DoA trù mật
trong X a A sao cho
a B(x,
1
3n
0
) d(a, x) <
1
3n
0
x B(a,
1
3n

0
)
Khi đó B(a,
1
3n
0
) B(x, r).Thậtvậy:
y B(a,
1
3n
0
) d(a, y) <
1
3n
0
d(x, y) a d(x, a)+d(a, y) <
1
3n
0
+
1
3n
0
=
2
3n
0
d(x, y) <
2
3n

0
<
1
n
0
<r y B(x, r)
Mặt khác B(a,
1
3n
0
) U hình cầu mở B(x, r) đều tồn tại một hình cầu
B U sao cho B B(x, r) U là cơ sở của X.
Vậy X thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ hai.
Bài 19 :Cho ánh xạ f : X Y từ không gian giả mêtric (X,d
X
) vào không
gian giả mêtric (Y,d
Y
) là ánh xạ đẳng cự. Khi đó:
a) f làánhxạliêntục,nếuf là ánh xạ lên thì f mở.
b) Tích của hai ánh xạ đẳng cự là ánh xạ đẳng cự.
c) Nếu f làánhxạlênvàX là không gian mêtric thì f là phép đồng phôi.
Chứng minh
a) Với mọi a, b X ta có:
d
X
(a, b)=d
Y
(f(a),f(b))
Vậy > 0 ta chọn = , khi đó nếu d

X
(a, b) <
d
Y
(f(a),f(b)) = d
X
(a, b) < = d
X
(f(a),f(b)) <
21
Suy ra f liên tục.
Nếu f là ánh xạ lên. Với mọi hình cầu mở B
X
(a, ) trong X ta sẽ chứng minh
ảnh của nó cũng là hình cầu mở B
Y
(f(a), ) trong Y . Thật vậy:
f[B(a, )] = {f(b):d
X
(a, b) < }
lại có d
X
(a, b)=d
Y
(f(a), (fb))
f[B(a, )] = {f(b):d
Y
(f(a),f(b)) < } {y Y : d
Y
(f(a),y) < }

mặt khác
B
Y
(f(a), )={y Y : d
Y
(f(a),y) < }
f[B
X
(a, )] B
Y
(f(a), )(1)
y B
Y
(f(a), ) d
Y
(f(a),y) < lại do f toàn ánh nên b X
sao cho
y = f(b) d
Y
(f(a),f(b)) < d
X
(a, b)=d
Y
(f(a),f(b)) <
b B(a, ) y = f(b) f[B(a, )]
B
Y
(f(a), ) f[B(a, )] (2)
Từ (1) và (2) suy ra
B

Y
(f(a), )=f[B(a, )] (3)
Giả sử U là tập mở bất kỳ trong X, khi đó mỗi y f(U) sẽ tồn tại x U sao
cho y = f(x) do U mở > 0 sao cho B
X
(x, ) U f[B(x, )] f(U)
từ (3) B
Y
(f(x), ) f(U) hay B
Y
(y, ) f(U) f là ánh xạ mở
b) Giả sử f : X Y và g : Y Z là các ánh xạ đẳng cự. Ta sẽ chứng
minh ánh xạ g

f : X Z làánhxạđẳngcự.Thậtvậy:
Với m ọi a, b X do f đẳng cự d
X
(a, b)=d
Y
(f(a),f(b)) lại d o g đẳng cự
d
Y
(f(a),f(b)) = d
Z
(g(f(a)),g(f(b))) = d
Z
(g

f(a),g


f(b))
d
X
(a, b)=d
Y
(g

f(a),g

f(b)) g

f là ánh xạ đẳng cự
c) Theo giả thiết ta có f ánh xạ lên nên theo câu a) f liêntụcvàmở.Đểkết
thúc chứng minh ta chỉ cần chứng minh f là ánh xạ đơn ánh
Giả sử a, b X sao cho f(a)=f(b) d
Y
(f(a),f(b)) = 0 d
X
(a, b)=0
a = b f đơn ánh.
22
Chú ý:
Nếu (X, d
X
) chỉ là không gian giả mêtric thì nói chung f không phải là đồng
phôi vì f có thể không đơn ánh.
Bởi vì trong không gian giả mêtric ta không có
a, b X nếu d
X
(a, b) a = b

Bài 20 :
(a) Giả sử X là không gian chính quy và D là họ tất cả các tập con có
dạng
{x},x X.
Khi đó D là một phân hoạch của không gian X, đồng thời phép chiếu tự nhiên
từ không gian X lên không gian thơng D vừa mở vừa đóng, và không gian
thơng là không gian Hausdoff chính quy
(b) Tích của các không gian chính quy là không gian chính quy.
Chứng minh
(a)
D là phân hoạch
Giả sử x X và y
{x}, ta chứng minh {y} = {x}.
Dễ thấy
{y} {x}, ta cần chứng minh {x} {y} để chứng minh điều đó ta sẽ
chứng minh x
{y}.
Giả sử ngợc lại x
{y} x X\{y} lại do X chính quy nên lân cận đóng
V sao cho x V X\
{x} {x} V X\{y} {y}{x} = y/ {x}
trái với giả thiết D là một phân hoạch trên X.
Phép chiếu tự nhiên
p : X D
x
{x}
là ánh xạ mở, đóng.
Giả sử U là tập đóng(mở) trong X theo định lý 10 chơng3 ta chỉ cần chứng
minh
R[U]=p

1
[p(U)] đóng(mở) trong X. Thật vậy:
Theo tính chất tập h ợp thì U p
1
[p(U)] U R[U](1)
Giả sử x p
1
[p(U)] p(x) p(U) u U sao cho p(x)=p(u) hay
{x} = {u} vì u U và U đóng(mở), X chính quy {u} U {x} U
x U
R[U] U (2)
Từ (1) và (2) suy ra R[U]=U mà U đóng(mở) trong X p là ánh xạ đóng, mở.
23
Khônggianthơng là Hausdoff chính quy
Giả sử c, d D sao cho c = d khi đó c, d có dạng
c =
{x} = p(x)
d =
{y} = p(y) với x, y X
{
p
1
(c)=p
1
({x})={x}
p
1
(d)=p
1
({y})={y}

Vì c = d nên {x} {y} = y/ {x}
Lại do X chính quy nên tồn tại các lân cận mở V của y và U của
{x} trong X
sao cho V U = mà x
{x} U là lân cận mở của x Do p là ánh xạ mở
nên p(U),p(V ) là các l ân cận mở của p(x)=c, p(y)=d Theo chứng minh trên
ta có
p
1
[p(U)] = U
p
1
[p(V )] = V
mà U V = p
1
[p(U)] p
1
[p(V )] =
theo tính chất của ánh xạ p[U] p[V ]=p(U) và p(V ) là hai tập mở
chứa c và d giao nhau bằng rỗng D là không gian Hausdoff.
Giả sử a D a = p(x)={x} với x X, U là lân cận mở chứa a do p
liên tục p
1
(U) là tập mở chứa x
Vì X là không gian chính quy nên tồn tại tập mở V sao cho
x V
V p
1
(U)
p(x) p(V ) p(

V ) p
1
(p(U)) = U do p làánhxạđóngnêntacó(V )
là tập đóng chứa p(V )
p(x) p(V )
p(V ) p(V ) U

{x} p(V ) p(V ) U (3)
Vì p là ánh xạ mở nên p(V ) là tập mở trong D thoả mãn (3) D là không
gian chính quy.
(b) V iệc chứng minh câu này đã đợc trình bày chi tiết ở nhiều sách ví dụ
cuốn Tôpô đại cơng của Nguyễn Xuân Liêm đề nghị bạn đọc tự chứng minh.
Không gian compact
Bài 21 : Mỗi dãy trong không gian tôpô X có điểm giới hạn khi và chỉ khi mỗi
tập con vô hạn của X đềucóđiểm-giới hạn.
Chứng minh
Giả sử X là không gian mà mọi dãy đều có điểm giới hạn.
A X là tập con vô hạn bất kỳ của X dãy
{x
1
,x
2
, , x
n
, } A
sao cho x
i
= x
j
nếu i = j.

Theo giả thiết dãy {x
1
,x
2
, , x
n
, } có điểm giới hạn, ta gọi điểm đó là x ta
chứng minh x cũng là điểm -giới hạn của A.
Giả sử V là lân cận bất kì của x,vìx là điểm giới hạn của dãy {x
n
}

n=1
nên kể
từ một n
0
nào đó V sẽ chứa vô số điểm của dãy do cách chọn dãy các điểm x
n
là khác nhau nên V chứa vô hạn điểm khác nhau của dãy {x
n
}

i=1
A V
chứa vô hạn điểm của A.
GiảsửmỗitậpconvôhạncủaX đềucóđiểm-giới hạn.
{x
n
}


n=1
là dãy bất kỳ trong X.
TH
1
: Nếu {x
n
}

n=1
chỉ nhận hữu hạn giá trị {a
1
,a
2
, , a
k
} lúc đó có ít nhất
một giá trị a
k
0
xuất hiện vô số lần trong dãy lúc đó dễ dàng chứng minh a
k
0
chính là điểm giới hạn của dãy {x
n
}

n=1
TH
2
: Nếu {x

n
}

n=1
nhận vô hạn giá trị {x
n
}

n=1
là tập vô hạn trong X x
là điểm -giới hạn lân cận V của x thì V chứa vô số điểm của dãy
{x
n
}

n=1
từ bất kỳ n
0
nào V cũng chứa vô số điểm của dãy mọi dãy trong
X đềucóđiểmgiớihạn.
Chú ý:
Khái niệm điểm giới hạn của dãy khác với điểm hội tụ của dãy. Các bạn có thể
đọc ở chơng 2 cuốn Tôpô Đại cơngcủaJ.L.Keli
Bài 22 :Nếu X là không gian compact thì mỗi dãy trong X đềucóđiểmgiới
hạn.
24
25
Chứng minh
Giả sử ngợc lại tồn tại dãy {x
n

}

n=1
không có điểm giới hạn x X tồn
tại lân cận mở V
x
của x sao cho V
x
chỉ chứa hữu hạn điểm của dãy {x
n
}

n=1
()
Rõ ràng X =

xX
V
x
và V
x
mở x X
Nên {V
x
}
xX
là phủ mở của X mà X compact tồn tại phủ con hữu h ạn
{V
x
i

}
k
i=1
{V
x
}
xX
tức X =
k

i=1
V
x
i
{x
n
}

n=1

k

i=1
V
x
i
do đó tồn tại tập hợp V
x
i
0

{V
x
i
}
k
i=1
nào đó chứa vô số điểm của dãy {x
n
}

n=1
trái với () mọi dãy trong X đềucóđiểmgiớihạn.
Bài 23 :Giả sử f : X Y làánhxạliêntụctừkhônggiantôpôX lên không
gian tôpô Y , khi đó:
a) Y là không gian compact.
b) Nếu Y là T
2
-không gian f là song ánh thì f là ánh xạ đồng phôi.
Chứng minh:
a) Giả sử U = U


là phủ mở bất kỳ của không gian tôpô Y vì f liên tục
{f
1
(U

)}

là phủ mở của X lại do X compact tồn tại họ hữu hạn

{f
1
(U

i
)}
k
i=1
{f
1
(U

)}

phủ X X =

k
i=1
f
1
(U

i
)
f(X)=Y = f(
k

i=1
f
1

(U

i
)=
k

i=1
f(f
1
(U

i
)) =
k

i=1
(U

i
)
Y =
k

i=1
(U

i
)
Phủ mở U cóphủconhữuhạn{U


i
}
k
i=1
phủ Y Y là không gian compact.
b) Vì f là song ánh liên tục nên để chứng minh f là ánh xạ đồng phôi ta
chỉ cần chứng minh f là ánh xạ đóng.
F là tập con đóng bất kì của X vì X là không gian compact F compact, lại
do f liên tục f(F ) là tập compact trong Y ,màY là T
2
-không gian
f(F ) đóng f là ánh xạ đóng.
Suy ra f là ánh xạ đồng phôi.