MT S BÀI TOÁN TỊM CC TR

Li m đu: Ni dung các bài toán tìm giá tr ln nht, nh nht thông thng đc
nêu di dng tng quát sau đây:
Tìm giá tr ln nht, nh nht ca biu thc A = f(x
i
) và các giá tr x
i
tng ng vi
i=
n;1
và các x
i
thuc nhng min xác đnh nào đó, hoc tha mãn mt h ràng buc
g
k
(x
i
) = a
k
(k=
k;1
)
Nguyên tc chung đ gii bài toán:
Vi các điu kin x
i
cho trc, dùng các phép bin đi toán hc đ đa v dng bt
đng thc M

1

2
MA
vi
i
x
, trong đó M
1
và M
2
là các hng s, sau đó tìm giá tr
tng ng ca các x
i
đ A = M
1
; A = M
2
. Khi đó M
1
là giá tr nh nht, M
2
là giá tr
ln nht ca A.
Sau đây chúng tôi xin gii thiu mt s bài toán tìm giá tr ln nht (Max) và nh
nht (Min) thng gp trong chng trình toán THCS.  đây s phân chia các dng
toán ch là tm thi cha bao trùm ht các kiu bài toán tìm Min, Max phc tp khác.
Dng th nht
Nhng bài toán tìm Min, Max không có điu kin ràng buc cho các bin. Trong loi
này thông thng có các kiu bài toán sau đây:

*1 Biu thc cn tìm cc tr là mt biu thc nguyên
Cách gii thng dùng là vit biu thc di dng tng các bình phng vi mt
hng: f(x) =
 
Kxg 
2
)(

VD1 Tìm giá tr nh nht ca f(x) = x
2
– x + 1
HD gii: f(x) = x
2
– x + 1 = (x –
4
3
4
3
)
2
1
2


(do (x –
0)
2
1
2


) Vy GTNN ca f(x) là
4
3
khi x =
2
1

VD2 Tìm GTLN ca f(x) = – x
2
+ 6x + 1
HD gii:
f(x) = – x
2
+ 6x + 1 = – (x – 3)
2
+ 10
10

(do – (x – 3)
2

0
)
Vy GTLN ca f(x) là 10 khi x = 3
VD3 Tìm GTNN ca f(x; y) = 2x
2
– 2xy + 5y
2
+ 2x + 2y
HD gii:

f(x; y)=
11)13(
2
1
)12(
2
1
22
 yyx

Do (2x – y + 1)
2

0
; (3y + 1)
2

0
nên GTNN ca f(x; y) bng –1 khi












3
1
3
2
y
x

VD4 Tìm giá tr ln nht ca
f(x; y) = – x
2
– y
2
+ xy + 2x + 2y
HD gii:
– 2f(x; y) = 2x
2
+ 2y
2
– 2xy – 4x – 4y



= (x – y)
2
+ (x – 2)
2
+ (y – 2)
2
– 8
f(x; y)=

 
44)2()2()(
2
1
222


yxyx

Vy f(x; y) có giá tr ln nht bng 4 khi x = y = 2
Bài tp áp dng
1-1 Tìm GTNN ca f(x) = x
5
– x
2
– 3x + 5 vi x
0

1-2 Tìm GTNN ca
f(x; y; z) = x
4
+ y
4
+ z
4
– 1 – 2x
2
y
2
+ 2x

2
– 2xz

1-3 Tìm GTNN ca : f(x)= x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
1-4 Tìm GTNN ca : f(x) = x
100
– 10x
10
+ 10
1-5 Tìm GTNN ca : f(x; y) = x
2
– 4xy + 5y
2
+ 10x – 22y + 28
1-6 Tìm GTLN ca f(x) = 2 + x – x
2

*2. Biu thc cn tìm cc tr có cha du giá tr tuyt đi
VD Tìm GTNN ca f(x) =
x – 3 5x

HD gii:
Cách 1: Ta có /x – 3/ =





)3(3
)3(3

xx
xx

/x – 5/ =





)5(5
)5(5
xx
xx

 Nu x < 3 thì f(x) = 8 – 2x > 2
 Nu 3
5 x
thì f(x) = 2
 Nu x > 5 thì f(x) = 2x – 8 > 2
Giá tr nh nht ca f(x) = 2 khi
53  x

Cách 2:
f(x) = /x – 3/ + / x – 5/= /x – 3/ + /5 – x/
253  xx

Vy GTNN ca f(x) là 2 <==> (x – 3)(5 – x)
530  x

Bài tp áp dng

2-1 Vi mi giá tr nguyên ca x, tìm GTNN ca
f(x) = /x – 2/ +/x – 3/ +/ x – 4/ +/x – 5/
2-2 Tìm GTNN ca
f(x) = /x
2
– 1/ + /x
2
– 4/ + /x + 1/ + /x + 2/
2-3 Tìm GTNN ca : f(x) =
4444  xxxx

2-4 Tìm GTNN ca : f(x) =
22
)1994()1993(  xx

2-5 Tìm GTLN, GTNN ca : f(x) =
11  xx

*3. Biu thc cn tìm GTLN, GTNN là mt biu thc hu t cha mt bin.
VD1: Tìm GTLN, GTNN ca : y =
1
1
2
2


xx
x

HD gii:

Cách 1:



y =
2
4
3
)
2
1
(
)1(
2
1
12
1
)12(2
2
2
2
2
2
2










x
x
xx
xx
xx
xx

GTLN ca y là 2 khi x = 1
y =
)1(3
)1(3
1
1
2
2
2
2





xx
x
xx
x


=
3
2
4
9
)
2
1
(3
)1(
3
2
)1(3
)12()1(2
2
2
2
22






x
x
xx
xxxx

Vy GTNN ca y là

3
2
khi x = – 1
Cách 2:
Do x
2
– x + 1 > 0 vi mi x nên ta có th vit:
y(x
2
– x + 1) = x
2
+ 1 <==>
(y – 1)x
2
– yx + y – 1 = 0 (*)
Nu y = 1 thì x = 0
Nu y
1
thì phng trình (*) phi có nghim
0483)1(4
222
 yyyy

2
3
2
9
4
)
3

4
(
2
 yy

Vy GTNN ca y là
3
2
khi x = – 1
GTLN ca y là 2 khi x = 1
VD2 Tìm GTLN, GTNN ca
y =
22
4
)1(
1
x
x


vi x
0

HD gii: y =
22
2
22
2
22
24

)1(
2
1
)1(
2
)1(
12
x
x
x
x
x
xx






1

GTLN ca y là 1 khi x = 0
 tìm GTNN có hai cách sau:
Cách 1: Dùng điu kin có nghim ca phng trình bc hai:
Bin đi thành (y – 1)x
4
+ 2yx
2
+ y – 1 = 0
Khi y = 1 thì x = 0, nu y


1 thì phng trình phi có nghim
012'  y

<==> y
2
1

, GTNN ca y là
2
1
khi x = 1
Cách 2: Bin đi y =
2
1
1
1
2
1
2
2
2













x
x

Bài tp áp dng
3-1 Tìm GTNN, GTLN ca : y =
32
2
2
2


xx
xx

3-2 Tìm GTNN, GTLN ca : y =
2
32
2
2


x
xx





3-3 Tìm giá tr ln nht ca : y =
2
)1993( x
x

3-4 Tìm GTLN, GTNN ca : y =
1
)1(2
2
2


x
xx

3-5 Tìm GTLN ca y =
4
2
1 x
x


3-6 Tìm GTNN ca y =
x
xx 8)(2( 
Vi mi x > 0
3-7 Tìm GTLN ca y =
22
742

2
2


xx
xx

3-8 Tìm GTLN ca y =
xx 12

3-9 Tìm GTLN và GTNN ca : y = x +
2
2 x

3-10 Xác đnh a và b đ biu thc A =
1
2
2


x
baxx
có GTNN bng – 1
Dng th hai:
Nhng bài toán cc tr có điu kin ràng buc gia các bin. Xin gii thiu mt s b
đ có liên quan:
B1 Tng hai s dng là mt hng s thì tích ca chúng ln nht khi hai s đó bng
nhau.
B2 Tích hai s dng là mt hng s thì tng ca chúng nh nht khi hai s đó bng
nhau.

B3 Vi mi x > 0 ta có:
2
1

x
x
du bng xy ra khi x = 1
BT Cauchy
n
n
i
i
n
i
ii
xnxx





1
1
;0

Du bng xy ra khi x
1
= x
2
…= x

n

BT Bunhiacopxki: (x
2
+ y
2
)(a
2
+ b
2
)
2
)( byax 

Du bng xy ra khi ax = by
Vi nhiu s hng:
2
11
2
1
2






















n
i
ii
n
i
i
n
i
i
baba

Du bng xy ra khi:
n
n
b
a
b
a

b
a

2
2
1
1

* 4. Nhng bài toán áp dng B 1, 2
VD1 Cho a + b = 1, tìm GTNN ca A = a
2
+ b
2
; B = a
4
+ b
4
;
C = a
8
+ b
8

HD gii: A = a
2
+ b
2
= (a + b)
2
– 2ab = 1 – 2ab

Theo B 1 thì ab ln nht bng
4
1
khi a = b =
2
1

Vy A nh nht bng
2
1
khi a = b =
2
1

Do a
2
+ b
2

2
1

==> a
4
+ a
2
b
2
+ b
4


4
1

và



a
4
– 2a
2
b
2
+ b
4

0
nên 2(a
4
+ b
4
)
4
1


GTNN ca B =
8
1

khi a = b =
2
1

Tng t ta cng tìm đc GTNN ca C là
64
1

khi a = b =
2
1

Bài tp áp dng
4-1 Cho a + b = 1, tìm GTNN ca a
3
+ b
3
+ ab
4-2 Tìm GTLN ca f(x; y) = (a – x)(b – y)(cx – dy)
Vi a, b, c, d là các s dng, a > x, b > y,
cx + dy > 0
4-3 Tìm GTLN ca A = xy vi 3x + 5y = 12
4-4 Vi a > 0, b > 0, ab = 1, tìm GTNN ca : (a + 1 )(b + 1)
4-5 Tìm GTLN ca : f(x) = (2x
2
+ 1)(5 – x
2
) vi x
2



5
4-6 Tìm GTNN ca y =
1
2
2 

x
x
vi x > 1
*5. Nhng bài toán áp dng các BT
VD1 Tìm GTNN ca : f(x; y) =
10)(8)(3
2
2
2
2

x
y
y
x
x
y
y
x

HD gii: đt t =
0442
22

 ttt
x
y
y
x

Khi đó: f(x; y) = f(t) = t
2
– 4 + 2(t – 2)
2

0

f(t) = 0 khi t = 2
1 yx

Vy GTNN ca f(x; y) = 0 khi x = y =
1

VD2 Tìm GTNN ca f(x; y) = x
2
+ y
2
vi ax + by = k (a, b, k là hng s)
HD gii: (ax + by)
2


(a
2

+ b
2
)(x
2
+ y
2
)
Hay x
2
+ y
2

22
2
ba
k


du bng xy ra khi
y
b
x
a

t đó suy ra GTNN ca f(x; y)
VD3 Tìm GTLN, GTNN ca x bit rng






13
7
2222
cbax
cbax

HD gii: Ta chng minh đc:
3(a
2
+ b
2
+ c
2
)

(a + b + c)
2
Hay: 3(13 – x
2
)

(7 – x)
2

4x
2
– 14x + 10
0


2x
2
–7x + 5
0

2(x – 1)(x –
0)
2
5


1
 x

2
5




-GTNN ca x là
2
5
khi a = b = c =
2
3

- GTLN ca x là 1 khi a = b =c = 2
VD4 Cho h









)3(12
)2(16
)1(9
22
22
yzxt
ty
zx

Vi mi x, y, z, t là s thc dng
Tìm GTLN ca x + y
HD gii: Nhân (1) vi (2) v theo v: x
2
y
2
+ x
2
t
2
+ z
2
y
2

+ z
2
t
2
= 144 (4)
Bình phng hai v ca (3) : x
2
t
2
+ 2xyzt + y
2
z
2

144
(5)
T (4) và (5): x
2
y
2
+ z
2
t
2
– 2xyzt = 0
Suy ra xy = zt (6)
Cng (1) và (2) ta có:
x
2
+ y

2
+ z
2
+ t
2
= 25 (7)
T (6) và (7) ta có:
x
2
+ y
2
+ 2xy + z
2
+ t
2
– 2zt = 25
Hay: (x + y)
2
+ (z – t)
2
= 25
 x + y ln nht thì z – t = 0
Vây x + y = 5, z = t = 2,4
Tính đc (x, y, z, t) = (1,8; 3,2; 2,4; 2,4)
Bài tp áp dng
5-1 Vi x, y
0
, tìm GTNN ca : f(x;y) =
)()()(
2

2
2
2
4
4
4
4
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x


5-2 Tìm GTLN ca M = xy + yz + xz
khi x + y + z = 1 và z, y, z là các s không âm.
5-3 Cho x; y; z > 0 và x + y + z = 1.
Tìm GTNN ca
zyx
111


5-4 Cho x + y + z = 1, tìm GTNN ca x

2
+ y
2
+ z
2

5-5 Vi p > 1, tìm GTNN ca A =
4
2
1
2
2
2

x
x
p
vi x
0

5-6 Vi:








6

9
4
22
22
yzxt
tz
yx
(x; y; z; t > 0)
Tìm giá tr ln nht ca x + y
5-7 Cho các s t nhiên x; y; z; t. Tìm GTNN ca
M = x
2
+ y
2
+ 2z
2
+ t
2
vi







10143
21
222
222

zyx
tyx

5-8 Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= 1
Tìm GTNN, GTLN ca a + b + c
5-9 Vi a + b + c

3. Tìm GTNN ca : M = a
2
+ b
2
+ c
2




5-10 Vi a, b, c
0
và ab + bc + ac = 1. Tìm GTNN ca a + b + c
5-11 Cho
ntzyx 1
Tìm GTNN ca : A =
t

z
y
x


*6. Nhng bài toán dùng n ph đ đa v phng trình bc hai hoc dùng bt
đng thc
VD1 Tìm GTLN, GTNN ca:
f(x; y) = 2x – 3y vi 3x
2
– xy + 2y
2
= 5 (*)
Gii: t t = 2x – 3y ==> y =
3
2 tx
thay vào (*)
29x
2
– 5tx + 2t
2
– 45 = 0, bài toán có cc tr khi phng trình có nghim:
05220207
2
 t
hay
23
580
23
580

 t

T đó suy ra GTLN, GTNN ca f(x; y)
VD2 Tìm GTLN ca A = ab khi a + 2b = 1
HD gii: A = ab = b(1 – 2b) ==> – 2b
2
+ b – A = 0
8
1
081  AA
, suy ra GTLN ca A bng
8
1

khi a =
4
1
;
2
1
b

Bài tp áp dng
6-1 Tìm GTNN, GTLN ca A = 2x
2
– xy – y
2
vi x
2
+ 2xy + 3y

2
= 4
6-2 Cho x
2
+ 2xy + 7(x + y) + 2y
2
+ 10 = 0
Tìm GTLN, GTNN ca S = x + y + 1
6-3 Cho (x
2
– y
2
+ 1)
2
+ 4x
2
y
2
– x
2
– y
2
=0
Tìm GTNN, GTLN ca S = x
2
+ y
2

6-4 Cho h:






8
5
zxyzxy
zyx
Tìm GTLN, GTNN ca x
6-5 Tìm GTNN ca S = x + y vi x, y > 0
Và
a
yx
111
22

(trong đó a là hng s dng)
6-6 Cho x
2
+ 3y
2
+ z
2
= 2. Tìm GTLN ca : A = 2x + y – z
6-7 Tìm GTNN ca : f(x) = (x – 1)(x – 3)(x + 5)(x + 7)
*7. Nhng bài toán cc tr liên quan đn nghim ca phng trình bc hai
VD1 Cho phng trình bc hai:
x
2
– mx –

0
1
2

m
, có hai nghim x
1
, x
2
Tìm GTNN ca x
1
4
+ x
2
4

HD gii: Tính đc
x
1
4
+ x
2
4
=
4
2
4
4

m

m

x
1
4
+ x
2
4

422 

GTNN bng
224 
khi m =
8
2


Bài tp áp dng



7-1 Cho phng trình bc hai: x
2
– ax + a – 1 = 0 có hai nghim x
1
, x
2
.
Tìm GTLN, GTNN ca: M =

)1(2
32
21
2
2
2
1
21
xxxx
xx



7-2 Cho phng trình bc hai có hai nghim x
1
, x
2
: x
2
– 2(m – 1)x + m – 3 = 0
Tìm GTNN ca x
1
2
+ x
2
2

7-3 Cho phng trình bc hai : (m
2
+ m + 1)x

2
– (m
2
+ 8m + 3)x – 1 = 0
Tìm GTLN, GTNN ca x
1
+ x
2

7-4 Cho phng trình bc hai : x
2
+ 2(m – 2)x – 3m + 10 = 0
Tìm GTNN ca x
1
2
+ x
2
2

*8. Mt s bài toán cc tr hình hc đc gii bng phng pháp đi s
VD1 Cho hình vuông ABCD cnh bng a. Xác đnh v trí ca đim M trên đng chéo
BD đ din tích tam giác CEF đt GTNN và tính GTNN đó theo a. E và F là hình chiu
ca M trên AB và AD.
HD gii: E
A B

F M





D E’ C

K ME’ vuông góc vi CD, khi đó MFDE’ là cng là hình vuông. t ME’ = x ==>
ME = a – x = AF,
A
*
= S(CEF) = S(MEF) + S(MEC) + S(FMC)
= S(AFB) + S(FMC)
=
 
)(
2
1
2
1
)(
2
1
22
xaxaxxaa 

A* đt GTNN khi x(a – x) đt GTLN,
do x + (a – x) = a nên tích x(a – x) ln nht khi
x = a – x =
2
a
==> x = a/2 ==> ME’ = a/2
==> MD =
2

2a

Vy M chính là giao đim ca hai đng chéo AC và BD và khi đó S(CEF) = 3a
2
/8
VD2 Cho đim M nm trong tam giác ABC ( AB = c, BC = a, CA = b). Gi khong
cách t M đn các cnh AB, BC , CA là z, x, y. Hãy xác đnh v trí ca M đ biu thc:
P =
z
c
y
b
x
a

đt GTNN
HD gii:
A





M


B C
Ta có 2S = ax + by + cz
(S là din tích tam giác ABC)
(ax + by + cz)(

SP
z
c
y
b
x
a
2)


2SP = a
2
+ b
2
+ c
2
+ ab(
)()()
x
z
z
x
ca
y
z
z
y
bc
x
y

y
x


Do
2
x
y
y
x
, nên 2SP

(a + b + c)
2

Vy P đt GTNN bng (a + b + c)
2
/2S khi x = y = z tc là khi đim M là tâm đng
tròn ni tip tam giác ABC (giao đim ba đng phân giác)
VD3 Chng minh rng trong các tam giác vuông có chu vi không đi thì tam giác có
cnh huyn nh nht là tam giác vuông cân.
HD gii: Chuyn bài toán hình hc sang đi s:









0,,,
222
kcba
cba
kcba
Tìm GTNN ca c
a
2
+ b
2
= c
2
= (k – a – b)
2
<==> k
2
– 2ka – 2kb + 2ab = 0
<==> ab + k
2
– ka – kb = k
2
/2
<==> (k – a)(k – b) = k
2
/2 (hng s), vy
k – a + k – b nh nht khi k – a = k – b hay a = b
khi đó a + b ln nht nên c nh nht. Tam giác vuông cân.

Bài tp áp dng
8-1 Cho hình vuông ABCD cnh a, xét các hình thang có bn đnh  trên bn cnh ca

hình vuông và hai đáy song song vi mt đng chéo ca hình vuông. Tìm hình thang
có din tích ln nht và tính din tích y.
8-2 Cho đon thng AB = m và đng thng d song song vi AB. M là mt đim không
thuc AB và M nm trong na mt phng b AB không cha đng thng d. Gi C và
D là giao đim ca MA, MB vi d, tìm nhng v trí ca M đ tam giác MCD có din
tích nh nht.
8-3 Cho hình vuông ABCD cnh a, O là giao đim hai đng chéo, quay hình vuông
ABCD đn MNPQ tâm quay là O, góc quay là

. Xác đnh góc quay

đ chu vi phn
chung ca hai hình vuông ABCD và MNPQ là nh nht.
8-4 Hãy tìm trong tam giác ABC mt đim M sao cho tích các khong cách
t đó đn các cnh ca tam giác có giá tr ln nht.
8-5 Cho hình vuông ABCD, mt hình vuông MNPQ có bn đnh
nm trên bn cnh ca hình vuông ABCD, xác đnh v trí ca
MNPQ đ din tích MNPQ nh nht.