Chương 14. PT tổng quát ĐLH và PT Lagrange II

.c
om

BÀI GIẢNG

cu

u

du
o

ng

th

an

co

ng

Môn học: CƠ HỌC LÝ THUYẾT

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Phần III

co

ng

.c
om

ĐỘNG LỰC HỌC
th

an

Chương 10: Phương trình vi phân chuyển động

ng

Chương 11: Nguyên lý D’Alembert

du
o

Chương 12: Các định lý tổng quát động lực học

cu

u

Chương 13: Nguyên lý di chuyển khả dĩ

Chương 14: PT tổng quát động lực học và PT Lagrange II

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 14

ng

.c
om

PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT ĐLH
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE II

co

NỘI DUNG

th

an

14.1. Phương trình Tổng quát Động lực học

cu

u


du
o

ng

14.2. Phương trình Lagrange II

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 14. PT tổng quát ĐLH và PT Lagrange II

14.1. Phương trình Tổng quát động lực học
Phương trình tổng quát động lực học

ng

  F

kx

co

k 1

.c
om


xk   xk   Fky  mk 
y k   y k   Fkz  mk 
z k   z k   0
 mk 

N

Phương trình Lagrange II

du
o

ng

Từ phương trình tổng quát động lực học, ta biểu diễn theo hệ tọa
độ suy rộng đầy đủ và độc lập tuyến tính

u

r
 d  T  T 
 
  qi   Qi qi


 i   qi 
i 1  dt   q
i 1
d  T  T

 
 Qi

dt  qi  qi
r

cu





an

k 1


 
Fk  mk Wk  rk  0

th


N

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>


Chương 14. PT tổng quát ĐLH và PT Lagrange II

14.2. Phương trình Lagrange II

.c
om

Trường hợp các lực có thế

Nếu tất cả các lực tác dụng lên hệ là các lực có thế, thì áp dụng
cơng thức sau

co

ng

L T 

 L
0

  qi

u

du
o

d  L


dt  qi

ng

th

an

Hàm L của các tọa độ suy rộng và vận tốc suy rộng bằng hiệu giữa
động năng và thế năng của hệ, được gọi là hàm Lagrange hay hàm
thế. Khi đó phương trình Lagrange của các lực có thế có dạng:

cu

Đây là hệ phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ. Số lượng
phương trình bằng đúng số bậc tự do của hệ.

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 14. PT tổng quát ĐLH và PT Lagrange II

14.2. Phương trình Lagrange II

ng

.c
om


Ví dụ Khơng kể đến ma sát, viết phương trình chuyển động của hệ bao
gồm thanh AB đồng chất chiều dài l, trọng lượng P và có thể quay quanh
trục A trên mặt phẳng thẳng đứng. Viên bi M trọng lượng Q chuyển động
trên thanh. Chiều dài tự nhiên của lò xo AM là l0, độ cứng bằng k.

A

an

co

Chọn tọa độ suy rộng
 q1  

 q2  x

ng

Phương trình Lagrange II

cu

u

x

du
o




th

l0

d  T

dt  qi

 T
 Qi

  qi

B

P
Q

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 14. PT tổng quát ĐLH và PT Lagrange II

14.2. Phương trình Lagrange II

.c

om

Tính lực suy rộng Q1
+ Giả sử cơ hệ thực hiện di chuyển khả dĩ:

  0;  x  0

ng

A

co

  P hC  Q hM

an

C'

u

du
o

 hM

ng

C
P


l
  P sin   Q  l0  x  sin 
2
l


   P sin   Q  l0  x  sin   
2



th

 hC

cu





  A   A  P    A Q 

 Q1  

Pl
sin   Q (l0  x ) sin 
2


Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 14. PT tổng quát ĐLH và PT Lagrange II

14.2. Phương trình Lagrange II

.c
om

Tính lực suy rộng Q2
+ Giả sử cơ hệ thực hiện di chuyển khả dĩ:
 x  0;   0

ng

A

co

  A   A Q    A  F 
dh

 Q cos  x  Fdh x

an




th

  Q cos   kx   x

cu

Q

B

 Q2  Q cos   k  x

u

du
o

ng

x

VMr
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 14. PT tổng quát ĐLH và PT Lagrange II


14.2. Phương trình Lagrange II

.c
om

Tính động năng của hệ T  TAB  TM
Thanh AB qua quanh A cố định
1P 2 2
1
11P 2 2
l 
TAB  J A 2 
l  
6g
2
23g
M chuyển động trượt tương đối trên thanh AB và chuyển
động kéo theo của M là quay quanh A
1Q 2 1Q 2
T

VM 
e
( x  (l0  x) 2  2 )
M
VM
2g
2g
 a r e
Với VM  VM  VM  VM

 
2
r 2
e 2
r
e

V

V

V

V

V




a
M
M
M
M
M

co

ng


A

ng

th

an



du
o

M

u

VMr

cu

B

VM

 V

  V 
 V   V 

r
M

r
M

2

2

e
M

e
M

2

 2VMr  VMe cos 

2

  x    (l0  x) 
2

2

 VM2  x 2  (l0  x) 2  2 (Hoặc dùng Pitago để tính)
Bộ mơn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com


/>

Chương 14. PT tổng quát ĐLH và PT Lagrange II

14.2. Phương trình Lagrange II
1P 2 2 1Q 2
l  
( x  (l0  x) 2  2 )
 T  TAB  TM 
6g
2g

.c
om

 d  T  T
 Q1
 


dt

q

q
d  T  T
  1
1
 Qi  



dt  qi  qi
 d  T   T  Q
2
 dt  q  q
2
  2

co

ng

Phương trình Lagrange II

ng

th

an

Tính các đạo hàm theo tọa độ suy rộng thứ nhất
Q
T T 1 P 2
T T
l   (l0  x ) 2 

0




g
q1 
q1  3 g

du
o

d  T  1 P 2
Q
Q










2
(
)
(l0  x ) 2 
l
l
x
x



0
dt  q1  3 g
g
g

cu

u



Phương trình vi phân chuyển động thứ nhất
1P 2
Q
Q
Pl
l   2 (l0  x ) x    (l0  x ) 2    sin   Q (l0  x ) sin 
3g
g
g
2
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 14. PT tổng quát ĐLH và PT Lagrange II

14.2. Phương trình Lagrange II


T
T Q

 x
q 2 x
g

T
T Q

 (l0  x ) 2
q 2 x
g

co

ng

d  T  Q
x

  
dt  q1  g

an



.c

om

Tính các đạo hàm theo tọa độ suy rộng thứ hai

du
o

ng

th

Phương trình vi phân chuyển động thứ hai
Q
Q

x  (l0  x ) 2  Q cos   k  x
g
g

cu

u

Vậy hệ phương trình vi phân chuyển động của toàn hệ
Q
Q
Pl
 1 P 2 
2




 3 g l   2 g (l0  x ) x    g (l0  x )    2 sin   Q (l0  x ) sin 


Q
 Q 
x  (l0  x ) 2  Q cos   k  x
 g
g
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 14. PT tổng quát ĐLH và PT Lagrange II
Cho cơ hệ như hình vẽ. Tải A, con lăn B và lăng trụ C lần lượt có các khối
lượng m1, m2, m3 = 3m2. Bán kính trong của con lăn r, bán kính ngồi của

.c
om

con lăn R, mơ men qn tính của con lăn đối với trục đi qua tâm B và vng
góc với mặt phẳng hình vẽ là JB = m2.r2. Chỉ tồn tại ma sát trượt tại tiếp

ng

điểm H có hệ số ma sát chung cho cả tĩnh và động là f = 0,4. Giả sử con lăn

co


lăn khơng trượt. Các đại lượng được tính đều có thứ nguyên tương ứng với

th

Lăng trụ C được giữ cố

an

hệ đơn vị cơ bản.

du
o

ng

định. Chọn độ dời s của A,
x của tâm B có chiều như

cu

u

hình vẽ, gốc tương ứng vị

trí cân bằng tĩnh của cơ hệ.
Các vectơ nằm bên phải
của các đại lượng chỉ chiều
chuyển động.
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 14. PT tổng quát ĐLH và PT Lagrange II
Lăng trụ C được giữ cố

.c
om

định. Chọn độ dời s của A,
x của tâm B có chiều như

ng

hình vẽ, gốc tương ứng vị

co

trí cân bằng tĩnh của cơ hệ.

cu

u

du
o

ng


chuyển động.

th

của các đại lượng chỉ chiều

an

Các vectơ nằm bên phải

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>