Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

.c
om

BÀI GIẢNG

cu

u

du
o

ng

th

an

co

ng

Môn học: CƠ HỌC LÝ THUYẾT

/>Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com

Phần III

co

ng

.c
om

ĐỘNG LỰC HỌC
th

an

Chương 10: Phương trình vi phân chuyển động

ng

Chương 11: Nguyên lý D’Alembert

du
o

Chương 12: Các định lý tổng quát động lực học

cu

u


Chương 13: Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Chương 14: PT tổng quát động lực học và PT Lagrange II

/>Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com


Chương 13

ng

.c
om

NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ

co

NỘI DUNG

th

an

13.1. Khái niệm cơ bản

cu


u

du
o

ng

13.2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

/>Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com


Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

13.1. Khái niệm cơ bản

.c
om

Liên kết và cơ hệ không tự do
Là những ràng buộc về hình học và động học lên các chất điểm trong hệ,
không phụ thuộc vào lực tác dụng lên nó và các điều kiện đầu của chuyển

co

ng


động.

an

Những điều kiện ràng buộc đó thường được diễn tả dưới dạng những hệ

th

thức giữa các yếu tố xác định vị trí, vận tốc của các chất điểm hay vật rắn
viết dưới dạng:

(

 
rk , Vk , t ≤ 0

cu

u

fj

du
o

ng

thuộc hệ và thời gian. Người ta gọi đó là những phương trình liên kết và

)


k = 1, 2, 3...

 j = 1, 2, 3...

Trong đó k là số thứ tự của các chất điểm thuộc cơ hệ, j là số thứ tự của
các phương trình liên kết.
/>Bộ mơn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com


Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

13.1. Khái niệm cơ bản
Ví dụ

.c
om

1- Vật rắn là một cơ hệ gồm vô số chất điểm với vô số liên kết và liên kết

ng

đó được biểu thị bằng đẳng thức: MN=const.

N

co


M

A

y

ng

du
o

u

=
yB (3) 0,

 
rA(1) ≡ rA(2)
 
rB (2) ≡ rB (3)

cu

 
r0(1) ≡ 0,

th

an


2- Hệ tay quay thanh truyền như hình vẽ

1

2

3

O

x

B

/>Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com


Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

13.1. Khái niệm cơ bản
Phân loại liên kết

.c
om

a. Liên kết giữ (liên kết hai phía) và liên kết khơng giữ (liên kết một phía)

Liên kết giữ là loại liên kết mà phương trình liên kết của nó có dạng đẳng

ng

thức tốn học. Ngược lại, phương trình liên kết có dạng bất đẳng thức

th
dây

O

ng

l

y

du
o

O

an

co

tốn học thì liên kết ấy được gọi là liên kết không giữ.

M ( x, y )
Liên kết không giữ


f 2 ( x, y ) = x 2 + y 2 − l 2 ≤ 0

y
Thanh cứng

M ( x, y )

u

cu

x

l

x

Liên kết giữ

f1 ( x, y ) = x 2 + y 2 − l 2 = 0

/>Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com


Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ


13.1. Khái niệm cơ bản
Phân loại liên kết

.c
om

b. Liên kết dừng và không dừng.

Liên kết dừng là loại liên kết mà phương trình liên kết của nó khơng chứa

ng

biến thời gian t. Ngược lại, phương trình liên kết có chứa biến thời gian

co

t thì liên kết ấy được gọi là liên kết khơng dừng.

an

th

(

)

ng

fj


 
  

r1 , r2 ,..., rn ;V1 , V2 ,..., Vn ≤ 0

du
o

c. Liên kết holonom và phi holonom

u

Liên kết holonom là loại liên kết mà phương trình liên kết của nó khơng

cu

chứa các biến vận tốc. Ngược lại, nếu các phương trình liên kết có
chứa biến vận tốc thì liên kết đó được gọi là liên kết phi holonom.

fj

(

 

r1 , r2 ,..., rn ; t ≤ 0

)

fj


(

 
  

r1 , r2 ,..., rn ;V1 , V2 ,..., Vn , t ≤ 0

)

/>Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com


Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

13.1. Khái niệm cơ bản

.c
om

Di chuyển khả dĩ – Bậc tự do của hệ

co

ng

Cân bằng của cơ hệ


Động lực học

Phải phân tích phản lực tại

Bằng cách áp dụng nguyên lý

từng liên kết nên khơng phù

DCKD ta có thể xét cân bằng cho

hợp cho cơ hệ gồm nhiều vật.

cơ hệ mà không cần tách rời từng

cu

u

du
o

ng

th

an

Tĩnh học


vật.

/>Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com


Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

13.1. Khái niệm cơ bản
Di chuyển khả dĩ

.c
om

Di chuyển khả dĩ (DCKD) của cơ hệ là tập hợp các di chuyển vô cùng bé

an

A

y

2

th

1


x

3

ng
du
o

O

co

thỏa mãn các liên kết tại vị trí đang xét.

ng

của các chất điểm của cơ hệ từ vị trí đang xét sang vị trí lân cận mà vẫn

A'

B

C

cu

u

Để phân biệt di chuyển thực vô cùng bé và DCKD người ta kí hiệu như sau
Di chuyển thực vơ cùng bé :

Di chuyển khả dĩ:


d rk

δ rk

{ }
{ }

/>Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com


Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

13.1. Khái niệm cơ bản
Di chuyển khả dĩ

{ }

.c
om


Tại mỗi vị trí cơ hệ có vơ số DCKD δ rk . Các DCKD này khơng độc lập

tuyến tính do phải thỏa mãn các phương trình.


co

ng

Tùy theo tính chất của các liên kết mà ta có thể chỉ ra được một số
DCKD độc lập với nhau sao cho mọi DCKD khác có thể biểu diễn qua

th

an

chúng dưới dạng các tổng hình học

O

cu

u

du
o

ng

y

x

Viên bi có thể lăn theo nhiều

hướng khác nhau nhưng mọi
DCKD khác đều có thể biểu diễn
như tổng của hai độ dời theo các
phương x, y

Để xác định chuyển động cơ hệ ta chỉ cần xác định số DCKD độc lập.
Số DCKD độc lập nhau của cơ hệ còn được gọi là DOF của hệ.
/>Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com


Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

13.1. Khái niệm cơ bản
Tọa độ suy rộng

.c
om

Tọa độ suy rộng của cơ hệ là thông số độc lập được chọn để khảo sát
chuyển động cho toàn cơ hệ ấy. Với mỗi cơ hệ ta có nhiều cách để chọn

ng

các tọa đợ suy rộng.

co


Số tọa độ suy rộng độc lập để xác định hệ:

th

an

=
s dof
= 3N − R

du
o

ng

Vị trí của cơ hệ được xác định bởi n tọa độ suy rộng:

u

q1 ; q2 ;...; qn

cu

Các DCKD tương ứng của hệ được suy ra từ các tọa độ suy rộng:

δ q1 ; δ q2 ;...; δ qn
/>Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com



Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

13.1. Khái niệm cơ bản

th

ϕ

A

ψ

B

cu

u

du
o

ng

A

an

q1 ≡ ϕ


ϕ

co

q1 ≡ dt ( OO1 A )

 q1 ≡ ϕ

q2 ≡ ψ

ng

q1 = O1 A

O

O1

.c
om

Ví dụ

/>Bộ mơn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com



Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

13.1. Khái niệm cơ bản

.c
om

Ví dụ

sD

cu

u

du
o

Con lăn lăn khơng trượt

 q1 ≡ sD

q2 ≡ ϕC

A

ψ

an
th


ng

C

γ

co

ϕC

D

B

θ

ng

s

ϕ
dof = 5

 q1 ≡ ϕ
q ≡ ψ
2


 q3 ≡ θ

q ≡ s
 4

 q5 ≡ γ

/>Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com


Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

13.1. Khái niệm cơ bản
Lực suy rộng

.c
om


Xét cơ hệ N chất điểm chịu tác dụng của các lực hoạt động ( Fka ); k = 1 ÷ N .

Giả sử cơ hệ có n bậc tự do và có vị trí được xác định bởi các tọa độ

ng

suy rộng: q1 ; q2 ;...; qn

co


Cho cơ hệ thực hiện một DCKD sao cho tọa độ q1 có số gia δ q1, cịn các

th

an

tọa độ khác không đổi.



a
=
δ A1 ∑ Fk ⋅ δ rk

du
o

k =1

( )

1

u

N

ng

Tổng công phân tố của tất cả các lực trên DCKD δ q1

Với


δ rk

( )

1


∂rk
=
δ q1
∂q1

cu


 ∂r

a ∂rk
δ A1 =∑ Fka ⋅ k δ q1 =Q1.δ q1 Trong đó: Q
Fk ⋅
=
1
∂
q
k =1
∂q1
1

N

Q1 gọi là lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng q1
/>Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com


Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

13.1. Khái niệm cơ bản


 ∂ r
Qi = ∑ Fka k
∂qi
k =1

Cách tính lực suy rộng

N

.c
om

1 – Áp dụng trực tiếp định nghĩa:

co


ng

2 – Áp dụng tính cơng khả dĩ Các DCKD phải độc lập tuyến tính
Cho hệ di chuyển khả dĩ sao cho: δ q j ≠ 0(δ q j > 0) còn δ qi

=0

th

an

⇒ δ Aj =
Q jδ q j

du
o

ng

Hệ số tính cơng chính là hệ lực suy rộng tương ứng
3 – Áp dụng tính cơng khả dĩ trong trường hợp lực hoạt động là lực thế

∂Π
Qi = −
∂qi

cu

u


Π Là hàm thế năng

Trong trường hợp lực hoạt động có cả lực thế và lực khơng thế ta
có thể tính
∂Π
Qi =
−
+ Qi (lực không thế)

∂qi

/>Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com


Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

13.1. Khái niệm cơ bản
Ví dụ

O

I

co

Tính lực suy rộng bằng định nghĩa


A

an

ϕ

ng

diễn vector
F Biểu

 

du
o

B


 ∂ r
Qi = ∑ Fka k
∂qi
k =1
N

 
F3 ≡ F ( F , 0)

u


F1 ≡ P (0, P ) F
2 ≡ Q (0, Q )





Q r ≡=
rI a sin ϕ i + a cos ϕ j
1
 


r2 ≡
=
rH (2a sin ϕ + b sinψ )i + (2a cos ϕ + b cosψ ) j
 


r3=
≡ rB (2a sin ϕ + 2b sinψ )i + (2a cos ϕ + 2b cosψ ) j

cu

P ψ

th

H
y


ng

 q1 ≡ ϕ

q2 ≡ ψ

x

.c
om

Tính các lực suy rộng biết OA=2a, AB=2b

/>Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com


Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

13.1. Khái niệm cơ bản
Sử dụng cơng thức tính lực suy rộng:

.c
om


 ∂ r

a
k
Q1 ≡ Qϕ =
F
= [0 × a cos ϕ + P × (− a sin ϕ )]
∑
k
∂ϕ
k =1
+[0 × 2a cos ϕ + Q × (−2a sin ϕ )]

ng

3


 ∂ r
a
k
Q2 ≡ Qψ =
F
∑
k
∂ψ
k =1

du
o

ng


3

th

an

co

+[ F × 2a cos ϕ + 0 × (−2a sin ϕ )]
⇒ Q1 = − aP sin ϕ − 2aQ sin ϕ + 2aF cos ϕ
= [0 × 0 + P × 0]

cu

u

+[0 × b cosψ + Q × (−b sinψ )]
+[ F × 2b cosψ + 0 × (−2a sinψ )]
⇒ Q2 =
−bQ sinψ + 2bF cosψ

/>Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com


Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ


13.1. Khái niệm cơ bản

sD

Tính các lực suy rộng biết con lăn lăn không trượt
M Hệ tọa độ suy rộng đầy đủ và độc lập

.c
om

Ví dụ

E

D

 q1 ≡ sD

q2 ≡ ϕC

co

Tính Q1
Cho hệ DCKD với

an

PD

ng


ϕC

th

C

du
o

B

ng

δ q1 > 0, δ q2 =
0 (Ròng rọc C không quay)

cu

u

A PB
PA

∑δ A

(1)
k





= δ A( PA ) + δ A( PB ) + δ A( PD )

+δ A( M )
δs
= PAδ sD + PBδ sD − PD sin αδ sD + M D
rE
M
= ( PA + PB − PD sin α + )δ sD
rE

/>Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com


Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

13.1. Khái niệm cơ bản

M
⇒ ∑ δ A = ( PA + PB − PD sin α + )δ q1
rE
M
⇒ Q1 = PA + PB − PD sin α +
rE

ng


.c
om

(1)
k

co

Tính Q2

an

Cho hệ DCKD với

du
o

ng

th

=
δ q1 0, δ q2 > 0 (Con lăn D đứng yên)



(2)
∑ δ Ak = δ A( PA ) + δ A( PB ) + δ A( PD ) + δ A( M )


= PA rCδϕC − PB rCδϕC + 0 + 0
= ( PA − PB )rCδϕC

cu

u

⇒ ∑ δ Ak(2) =
( PA − PB )rCδ q2

⇒Q
=
( PA − PB )rC
2

/>Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com


Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

13.2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

r

=
k 1 =i 1


i

co

Qδq
=
∑
i

0

an

 
Fk δ rk
=
∑
N

ng

.c
om

Phát biểu nguyên lý di chuyển khả dĩ
Điều kiện cần và đủ để cơ hệ chịu liên kết giữ, dừng, hình học và lý
tưởng cân bằng ở vị trí đang xét là tổng công của tất cả các lực
hoạt động trên mọi DCKD đều bằng không

th


Nếu các tọa độ suy rộng độc lập tuyến tính ta được

du
o

ng

Qi = 0

cu

u

Các loại bài tốn áp dụng ngun lý DCKD
- Tìm điều kiện cân bằng của hệ
- Tìm các thành phần phản lực liên kết của cơ hệ
- Thiết lập PT, hệ PT vi phân chuyển động của cơ hệ
/>Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com


Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

13.2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

an


co

ng

a
δ
A
q 0 ∀δ q
=
∑ k Qδ=

.c
om

Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ để tìm phản lực liên kết,
điều kiện cân bằng:

th

Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ để tìm gia tốc
a
qt
δ
A
+
δ
A
0 δ qk
∑( k
k ) =∀


du
o

u
cu

k =1

ng

N

/>Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com


Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ

13.2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Tính các lực suy rộng biết OA=2a, AB=2b. Tính các góc ϕ , ψ
theo P, Q, F khi hệ cân bằng
 q1 ≡ ϕ

x
q2 ≡ ψ

ng


.c
om

Ví dụ

co

 Q1 = 0
Điều kiện để hệ cân bằng ⇔ 
Q2 = 0

th

ϕ

an

I
A

H

u

du
o

B


Q

cu

y

P ψ

0
− aP sin ϕ − 2aQ sin ϕ + 2aF cos ϕ =
⇒
0
−bQ sinψ + 2bF cosψ =

ng

O

F


 2F 
2F

ϕ
=
arctan




 tan ϕ = P + 2Q
P
+
2
Q




⇒
⇒

ψ = arctan  2 F 
 tanψ = 2 F




Q
Q





/>Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng
– Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com