Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

.c
om

BÀI GIẢNG

cu

u

du
o

ng

th

an

co

ng

Môn học: CƠ HỌC LÝ THUYẾT

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Phần III

co

ng

.c
om

ĐỘNG LỰC HỌC
th

an

Chương 10: Phương trình vi phân chuyển động

ng

Chương 11: Nguyên lý D’Alembert

du
o

Chương 12: Các định lý tổng quát động lực học

cu

u

Chương 13: Nguyên lý di chuyển khả dĩ

Chương 14: PT tổng quát động lực học và PT Lagrange II

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 11

ng

.c
om

NGUYÊN LÝ D’ALEMBERT

an

co

NỘI DUNG

ng

th

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ

du
o


11.2. Lực quán tính, nguyên lý D’Alembert

cu

u

11.3. Thu gọn hệ lực qn tính

Bộ mơn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
Chuyển động của cơ hệ không những phụ thuộc vào các lực tác

.c
om

động mà còn phụ thuộc vào một số yếu tố khác ngoài lực như: Khối
lượng của hệ, hình dáng của hệ và sự phân bố khối lượng bên trong

co

ng

hình dáng của hệ.


an

Khối lượng của cơ hệ:

cu

u

du
o

ng

độ quán tính của cơ hệ.

th

Là một đại lượng vô hướng luôn dương đặc trưng cho mức
n

M   mk  0, kg
k 1

Quán tính là một thuộc tính của vật chất phản ánh sự dễ dàng
hay khó khăn thay đổi trạng thái cơ học đã có của vật. Qn tính
càng lớn vật càng khó thay đổi trạng thái cơ học và ngược lại.
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com


/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ

.c
om

Khối lượng của cơ hệ:

n

ng

Nếu cơ hệ là một mơi trường liên tục thì:

co

mk  k .dV  M   k .dV 

th

an

k 1

  .dV

V 


k

du
o

ng

Nếu cơ hệ của chúng ta là một môi trường liên tục và đồng chất :

cu

u

k  const    M 

 .dV  V

V

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
Khối tâm của cơ hệ:


.c
om

Là một điểm hình học tồn tại trong khơng gian của hệ, được ký
hiệu bằng điểm C và có vị trí được xác định như sau:

cu

u

du
o

 
rC r
k

Mk(mk)

ng

C

th

an


r2


co

M2(m2)

M1(m1)


r1


rC 

x

y


 mk rk

ng

z

m


 xC 


  yC 



 zC 


k

m

k

xk

M
 mk yk

Với

M 

m

k

M
 mk zk
M

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com


/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ

ng

.c
om

n

mk .xk


 vCx  xC  k 1
M

n

mk . y k



  vCy  yC  k 1
M

n


̇
.
m
zk

k

vCz  zC  k 1
M




 mk .vk
M

an

ng

th

k 1

cu

u

du

o

 
vC  rC 

co

n

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ



m
.
xk

k

 WCx  
xC  k 1
M


n

mk .
yk



 WCy  
yC  k 1
M

n

mk .
zk


WCz  
zC  k 1
M



an


 
W C  vC  rC 

th


k 1

u

du
o

ng

M

cu

co


 mk .W k
n

ng

.c
om

n

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com


/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ

co


mk

du
o

ng

hk

cu

u

yk

xk

kg .m 2

an


zk

J    m k hk2 ;

th

z

ng

cơ hệ khi cơ hệ quay quanh trục.

.c
om

Moment quán tính của hệ đối với một trục
Là một đại lượng vơ hướng, dương biểu thị qn tính của

y

Xét trong hệ tọa độ Oxyz

J x   m k ( y k2  z k2 )
J y   m k ( xk2  z k2 )

J z   m k ( xk2  y k2 )

x
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com


/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ

.c
om

Moment quán tính của vật rắn đối với trục z

m

co

r Là cánh tay địn vng góc với trục z
dm   dV Là vi phân khối lượng

th

an

Với:

ng

J z   r 2 dm

J z   r 2  dV

V

cu

u

du
o

ng

Suy ra:

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ

.c
om

Ví dụ: Tính Moment quán tính của thanh thẳng đồng chất đối với
trục () khối lượng M dài L như hình vẽ
1. Trục () đi qua đầu thanh.

ng


2. Trục () đi qua trọng tâm của thanh.

an

co

Giải
1. Trục () đi qua đầu thanh: Xét một phân tố nhỏ:

u

xk

B

cu

xk

du
o

(M)

ng

mk

A


m k   . xk

th



L

x

M
Với  
L

Theo định nghĩa

J    m k xk2    xk2  xk
L

 J     x dx 
2

0

2

 L3
3


ML
 J 
3

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ

Tương tự như trên

mk

L/2

 J 

(M)

ML2
 J 
12

L/2

ng


th

L/2

B

12

L/2

co

xk xk



an

A

x

 x 2 dx 

 L3

ng

()


.c
om

2. Trục () đi qua trọng tâm của thanh : Xét một phân tố nhỏ

()

D

(M)

C

cu

u

du
o

Có thể sử dụng cơng thức trên cho tấm hình chữ nhật đồng chất

x
A

B
L/2

L/2


Bộ mơn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ

.c
om

Ví dụ: Tính moment quán tính của vành tròn và mặt trụ tròn đối với
trục () đi qua tâm của vành và mặt trụ tròn khối lượng M, bán kính
R như hình vẽ

(M)

ng

R

O

du
o

mk


J    mk R 2  R 2  mk

 J   MR

2

u

O

th

(M)

Theo định nghĩa

cu

R

co



an



ng


Giải

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ

.c
om

Ví dụ: Tính Moment quán tính của tấm tròn và trụ tròn đồng chất
đối với trục () đi qua tâm của tấm và trụ tròn khối lượng M, bán
kính R như hình vẽ

ng

O

du
o

R

u

O


th

(M)

cu

r

co



(M)
dr
R

Xét một phân tố nhỏ ta có

an



ng

Giải

mk 

M

(2 rk . rk )
2
R

Theo định nghĩa

J   m r  
2
k k

2 Mrk3
 rk
2
R

2 Mr 3
dr
 J  
2
R
0
R

1
 J   MR 2
2

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com


/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
Moment quán tính của hệ đối với tâm O

cơ hệ khi cơ hệ quay quanh tâm O.

JO   m r

co

ng

z

Trong hệ tọa độ Oxyz

th


rk

u

yk

du
o


ng

J O   m k rk2   m k ( xk2  y k2  z k2 )

cu

xk

2
k k

an

zk

O

.c
om

Là một đại lượng vơ hướng, dương biểu thị qn tính của

y

xk2  y k2 y k2  z k2 xk2  z k2
)
  mk (



2
2
2

1
 JO  (J x  J y  J z )
2

x
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ

2

ng

J  M 

.c
om

Trong kỹ thuật, moment quán tính khối lượng thường được biểu diễn
dạng:


co

Với: M là khối lượng tồn vật (kg)

th

an

 là bán kính qn tính (m)

du
o

cu

u



ng

()


O

Bộ mơn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>


Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
Moment quán tính ly tâm của hệ

n

J xy  I xy    mk .xk . yk 

.c
om

 Đối với hệ trục xy:

k 1
n

ng

J yz  I yz    mk . yk .zk 

an

co

 Đối với hệ trục yz :

J zx  I zx    mk .zk .xk 
k 1


du
o

ng

th

 Đối với hệ trục zx:

k 1
n

cu

u

 J xy  J yx ; J yz  J zy ; J zx  J xz

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ

.c
om


Trục quán tính chính của cơ hệ.
Là trục sao cho tất cả các moment quán tính ly tâm của cơ hệ có

ng

chứa chỉ số tên trục ấy phải đồng loạt bằng không.

an

co

 Nếu Jxz = Jyz = 0 thì trục z là trục qn tính chính của hệ.

th

 Nếu trục quán tính chính của cơ hệ đi qua khối tâm C của cơ

du
o
u
cu

cơ hệ.

ng

hệ ấy thì nó sẽ được gọi là trục qn tính chính trung tâm của

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ

.c
om

Định lý liên hệ giữa các trục song song

Liên hệ moment quán tính giữa 2 trục song song

J   J  C  Md 2

ng



(C)

co

d

an

Với M là khối lượng vật

C

th

d là khoảng cách giữa 2 trục song song

cu

u

du
o

ng

JC là moment quán tính đối với trục qua
khối tâm

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ

.c
om


Định lý liên hệ giữa các trục không song song (công thức xoay trục)

J L  J x cos 2   J y cos 2   J z cos 2 

th

J xy   mk xk yk , J yz   mk yk z k , J xz   mk xk z k

ng

Với

an

co

ng

 2 J xy cos  cos   2 J yz cos  cos   2 J xz cos  cos 

Là moment tích quán tính khối lượng

L

du
o

z

cu


u




O

y


x

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ

.c
om

Ví dụ: Tính Moment quán tính của thanh thẳng đối với trục () đi qua
trọng tâm của thanh khối lượng M dài L như hình vẽ
Giải
(C)


co

ng

Moment quán tính của thanh đối với trục
đi qua đầu thanh:

(M)
B

C
L/2

JA

ML2

3

u

du
o

ng

Sử dụng công thức đổi trục song song

cu


L/2

x

th

A

an

(A)

J  A  J  C  Md 2
 J C  J  A
 J C

2
2
ML
ML
 Md 2 

3
4

ML2

12

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ

.c
om

Moment quán tính khối lượng của một số vật đồng chất đơn giản
Thanh thẳng đồng chất khối lượng M chiều dài L

ng



B

ML2

 J zB
3

th

C

A


an

co

1. Trục () đi qua đầu thanh tại A

du
o

ng

J zA



cu

u

2. Trục () đi qua khối tâm C cách A L/2

A

C

B

J zC


ML2

12

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
Moment quán tính khối lượng của một số vật đồng chất đơn giản

J  O  J zO  MR 2

co

O

R

ng

z

J xO  J yO  MR 2 / 2

y


an



.c
om

Vành tròn đồng chất khối lượng M bán kính R

ng

th

z

R

O

u

z

cu



du
o


Mặt trịn (trụ trịn) đồng chất khối lượng M bán kính R

J O  J zO

y

x

J xO  J yO

1
 MR 2
2
1
 MR 2
4

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
Moment quán tính khối lượng của một số vật đồng chất đơn giản

.c
om


Tấm chữ nhật đặc, đồng chất, dày đều

y

ng

M

ng

du
o

O

th

an

co

ly

cu

u

1 2
J x  Ml y
3


x

lx

1 2
J y  Ml x
3

1
J z  J O  M lx2  l y2
6





Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 11. Nguyên lý D’Alembert

11.1. Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ
Moment quán tính khối lượng của một số vật đồng chất đơn giản

.c
om


Ống trụ tròn đồng chất khối lượng M bán kính R

ng

zC

J zC  MR  J C

h
2

th

an

co

2

ng

M

u

du
o

C


cu

R

yC

h

J xC  J yC 
1  2 h2 
 M  R  
2 
6

xC
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>