Chương 10. Phương trình vi phân chuyển động

.c
om

BÀI GIẢNG

cu

u

du
o

ng

th

an

co

ng

Mơn học: CƠ HỌC LÝ THUYẾT

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Phần III
ng

.c
om

ĐỘNG LỰC HỌC
th

an

co

- Động lực học là một phần của cơ học lý thuyết nghiên cứu quy luật
chuyển động của vật thể dưới tác dụng của lực

du
o

ng

- Động lực học nghiên cứu quan hệ tương tác qua lại giữa lực là
nguyên nhân gây ra chuyển động và chuyển động mà các vật thể
nhận được từ các lực trên

cu

u

- Đối tượng nghiên cứu: chất điểm, hệ chất điểm và vật rắn tuyệt đối

- Các kết quả về lực trong tĩnh học và chuyển động trong động học sẽ
tiếp tục được dùng ở chương này

CuuDuongThanCong.com

/>

Phần III

cu

u

du
o

ng

th

an

co

ng

.c
om

ĐỘNG LỰC HỌC


CuuDuongThanCong.com

/>

Phần III

co

ng

.c
om

ĐỘNG LỰC HỌC
th

an

Chương 10: Phương trình vi phân chuyển động

ng

Chương 11: Nguyên lý D’Alembert

du
o

Chương 12: Các định lý tổng quát động lực học


cu

u

Chương 13: Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Chương 14: PT tổng quát động lực học và PT Lagrange II

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 10

ng

.c
om

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG

an

co

NỘI DUNG

ng

th


10.1. Khái niệm cơ bản động lực học

du
o

10.2. Các tiên đề động lực học

cu

u

10.3. PT vi phân chuyển động của chất điểm
10.4. PT vi phân chuyển động của hệ chất điểm

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 10. Phương trình vi phân chuyển động

10.1. Khái niệm cơ bản động lực học

.c
om

Chất điểm:

Là điểm hình học có khối lượng. Vật rắn tuyệt đối được xem


ng

như là một cơ hệ gồm có vơ số chất điểm được nối cứng với

co

nhau.

th

an

Nếu kích thước vật rắn khơng đáng kể so với kích thước quỹ

ng

đạo chuyển động, có thể xem như chất điểm. Chất điểm này

du
o

có khối lượng là khối lượng của tồn vật.

cu

u

Khi kích thước của vật rắn khơng ảnh hưởng đến qui luật
chuyển động của vật ấy thì tồn vật rắn ấy cũng được xem

như là một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của
tồn vật.
Bộ mơn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 10. Phương trình vi phân chuyển động

10.1. Khái niệm cơ bản động lực học
Cơ hệ: Là tập hợp các chất điểm mà chuyển động của chúng phụ

.c
om

thuộc lẫn nhau.

+ Cơ hệ tự do: là một tập hợp nhiều chất điểm mà sự tương tác

co

ng

cơ học giữa các chất điểm này được biểu thị thuần túy chỉ bằng

an

các lực. Nghĩa là các chất điểm trong cơ hệ tự do có thể dễ dàng

th


thực hiện các chuyển động vô cùng bé từ vị trí đang xét theo mọi

du
o

bất cứ cản trở nào.

ng

hướng sang các vị trí lân cận, nếu có lực tác động, mà khơng có

cu

u

+ Cơ hệ khơng tự do: Là một tập hợp nhiều chất điểm mà tương
tác cơ học giữa các chất điểm trong cơ hệ không chỉ biểu thị bằng
lực mà được biểu thị bằng một số điều kiện ràng buộc về hình học
và động học khác (các liên kết cơ học).
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 10. Phương trình vi phân chuyển động

10.1. Khái niệm cơ bản động lực học

.c

om

Lực:

Lực là một đại lượng vector được dùng để đo lường sự tương tác

ng

cơ học giữa các vật thể với nhau

co

Các lực trong bài toán tĩnh học thường là những lực hằng (vector

th

an

hằng). Nghĩa là các lực này sẽ có điểm đặt, phương chiều, độ lớn

ng

khơng thay đổi theo thời gian.

du
o

Các lực trong bài toán động lực học, nói chung, là những lực thay

cu


tác động.

u

đổi theo thời gian, theo vị trí và theo vận tốc của chất điểm chịu

   
F  F (t , r , v )

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 10. Phương trình vi phân chuyển động

10.1. Khái niệm cơ bản động lực học
Hệ quy chiếu:

.c
om

Vật chuẩn dùng để đánh giá chuyển động của đối tượng khác.
Hệ quy chiếu được chọn phải thỏa tiên đề quán tính của Galiléo.

co

ng


Hệ quy chiếu chính xác được chọn phải gắn liền với một vật

an

đang ở trạng thái cân bằng hoặc chuyển động thẳng đều.

th

Hệ quy chiếu gắn với trái đất thường được chọn cho các bài tốn

ng

động lực học thơng thường.

du
o

Hệ tiên đề Newton-Galile:

cu

u

Chất điểm chịu tác dụng của lực sẽ chuyển động thỏa mãn quan
  

hệ:

mk Wk  F1  F2  ....  Fn



mk W k  Fk

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 10. Phương trình vi phân chuyển động

10.2. Các tiên đề động lực học
a. Tiên đề 1: Tiên đề quán tính.

th

an

co

ng

.c
om

b. Tiên đề 2: Tiên đề cơ bản của động lực học
Định luật 2 Newton: Trong hệ quy chiếu quán tính chất điểm sẽ
chuyển động có gia tốc cùng phương, cùng chiều với lực tác động
lên chất điểm ấy và độ lớn của gia tốc chất điểm sẽ tỷ lệ thuận với
độ lớn của lực tác động lên chất điểm và tỉ lệ nghịch với khối lượng
với chất điểm ấy.


ng

c. Tiên đề 3: Tiên đề tác dụng và phản tác dụng

du
o

d. Tiên đề 4: Tiên đề về tính độc lập của các lực tác động lên
chất điểm.

cu

u

Khi một chất điểm chịu tác động của đồng thời nhiều lực thì vector
gia tốc của chất điểm ấy sẽ bằng tổng các vector gia tốc của chất
điểm ấy khi nó chịu tác động riêng lẻ của từng lực
e. Tiên đề 5: Tiên đề giải phóng liên kết.
Bộ mơn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 10. Phương trình vi phân chuyển động

10.3. PT vi phân chuyển động của chất điểm

.c
om


Các bài toán động lực học của chất điểm sẽ được chia ra làm
hai dạng bài toán thuận và bài toán ngược.

ng

Bài toán thuận:

co

Cho biết quy luật chuyển động của chất điểm, hãy xác định các

th

an

lực tác động lên chất điểm ấy. Dạng bài toán này rất dễ giải

du
o

ng

Bài toán ngược:

Cho biết trước các lực tác động lên chất điểm và các điều kiện

cu

u


ban đầu về chuyển động của chất điểm ấy( vận tốc ban đầu, gia
tốc ban đầu và vị trí ban đầu của chất điểm), cần xác định quy
luật chuyển động của chất điểm ấy.

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 10. Phương trình vi phân chuyển động

10.3. PT vi phân chuyển động của chất điểm

co

 
mr  F

ng

mx  Fx

my  Fy
mz  F

z

.c
om


Dạng vector và hệ tọa độ Decartes:

an

z

th


r

ng

Dạng tọa độ tự nhiên:

y

x

cu

u

du
o

mW  ms  F

2

2

v
s

 Fn
mWn  m  m



0  Fb

M (m)

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 10. Phương trình vi phân chuyển động

10.3. PT vi phân chuyển động của chất điểm

.c
om

Cho quả đại bác nặng 10kg bắn thẳng đứng với vận tốc ban đầu
V0=50m/s. Tính chiều cao tối đa của quả đại bác khi:
1. Bỏ qua lực cản khơng khí.


co

Giải

ng

2. Lực cản khơng khí là FD=0,01V2(N)

z

th

an

1. Bỏ qua lực cản khơng khí
Quả đạn chỉ chịu tác dụng của trọng lực

ng

PC  mC g  10  9,81  98,1( N )

WC

u

du
o

Định luật Newton II:




PC  mC WC

(1)

PC O

 PC  mCWC
 WC   g  9,81(m / s 2 )

Chiếu (1) lên Oz:

cu

Ví dụ:

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 10. Phương trình vi phân chuyển động

10.3. PT vi phân chuyển động của chất điểm

.c
om

Cho quả đại bác nặng 10kg bắn thẳng đứng với vận tốc ban đầu

V0=50m/s. Tính chiều cao tối đa của quả đại bác khi:
1. Bỏ qua lực cản khơng khí.

co

Giải

ng

2. Lực cản khơng khí là FD=0,01V2(N)

an

Bài toán động học:

du
o

ng

th

Điều kiện ban đầu: Tại z0 = 0 : V0 = 50 m/s
zmax = h : V = 0 m/s
Do quả đại bác chuyển động với gia tốc là hằng số nên:

u

2
Vmax

 V02  2WC ( zmax  z0 )

cu

Ví dụ:

 0  502  2(9,81)(h  0)

 h  127(m)
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 10. Phương trình vi phân chuyển động

10.3. PT vi phân chuyển động của chất điểm

.c
om

Cho quả đại bác nặng 10kg bắn thẳng đứng với vận tốc ban đầu
V0=50m/s. Tính chiều cao tối đa của quả đại bác khi:
1. Bỏ qua lực cản khơng khí.

PD

co

Giải


ng

2. Lực cản khơng khí là PD=0,01V2(N)

z

th

an

2. Lực cản khơng khí là PD=0,01V2(N)
Các lực tác dụng lên quả đạn:

WC

u

du
o

ng

2
P

0,
01
V
PC  98,1( N )

D
C (N )
 

Định luật Newton II: PC  PD  mC WC (2)

Chiếu (2) lên Oz:

cu

Ví dụ:

 PC  PD  mCWC

PC

O

 mC g  0, 01VC2  mCWC  WC  0, 001VC2  9,81
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 10. Phương trình vi phân chuyển động

10.3. PT vi phân chuyển động của chất điểm
Cho quả đại bác nặng 10kg bắn thẳng đứng với vận tốc ban đầu
V0=50m/s. Tính chiều cao tối đa của quả đại bác khi:


.c
om

Ví dụ:

1. Bỏ qua lực cản khơng khí.

an

*Bài tốn động học:

co

Giải

ng

2. Lực cản khơng khí là FD=0,01V2(N)

du
o

ng

th

Điều kiện ban đầu: Tại z0 = 0 : V0 = 50 m/s
zmax = h : V = 0 m/s
Dùng quan hệ giữa gia tốc và vận tốc:


cu

u

WC dz  VC dVC  (0, 001VC2  9,81)dz  VC dVC
h
0
VC
VC
 dz 
dVC   dz   
dVC
2
2
0
50
0, 001VC  9,81
0, 001VC  9,81
 h  500 ln(V  9810)
2
C

0

 h  114(m)

50
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com


/>

Chương 10. Phương trình vi phân chuyển động

10.3. PT vi phân chuyển động của chất điểm

.c
om

Ví dụ: Cho quả đại bác bắn nghiêng với phương ngang một góc  và
vận tốc ban đầu V0. Tìm phương trình chuyển động của đạn (bỏ qua
ma sát khơng khí)

ng

Giải

co

Phân tích các lực tác động lên quả đạn
Chỉ có trọng lực tác động lên quả đạn

du
o

ng

th


an

x0
mC 
PC
Định luật Newton II trong hệ 
y0
mC 
trục tọa độ Descarte
m 
 C z  mC g

*Bài toán động học

cu

u

Điều kiện ban đầu:

 x  0; x0  0

 y  0; y 0  V0 cos 
 z  0; z  V sin 
0
0


z
V0


y
x

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 10. Phương trình vi phân chuyển động

10.3. PT vi phân chuyển động của chất điểm

.c
om

Ví dụ: Cho quả đại bác bắn nghiêng với phương ngang một góc  và
vận tốc ban đầu V0. Tính phương trình chuyển động của đạn (bỏ qua
ma sát khơng khí)

ng

Giải

an

co

Lấy tích phân ba phương trình vi phân trên với điều kiện
ban đầu ta được:


th

x  0
 y  (V cos  )t
0

 z  (V sin  )t  1 gt 2
0

2

ng

z

cu

u

du
o

V0
y

Quỹ đạo của đạn là:

g
2

z 2
y
 y tan 
2
2V0 cos 

x

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 10. Phương trình vi phân chuyển động

10.3. PT vi phân chuyển động của chất điểm

k  0,3

.c
om

Ví dụ: Cho thùng hàng nặng 50kg. Hệ số ma sát động

ng

Tính vận tốc của thùng tại thời điểm 3s
tính từ lúc bắt đầu kéo thùng.
Giải


co

Phân tích các lực tác động lên thùng

T

ng

th

an

PC

du
o

Khi giải phóng liên kết ta có:

300

C
y

u

PC  mC g  50  9,81  490,5( N )

cu


T  400( N )
Fms  k N C  0,3 N C

Fms
NC


WC
x

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 10. Phương trình vi phân chuyển động

10.3. PT vi phân chuyển động của chất điểm

k  0,3

.c
om

Ví dụ: Cho thùng hàng nặng 50kg. Hệ số ma sát động

ng

Tính vận tốc của thùng tại thời điểm 3s
tính từ lúc bắt đầu kéo thùng.

Giải

co

Định luật Newton II:

ng

th

an



WC
F mC
 

 PC  T  N C  Fms  mC WC

(1)

du
o

Chiếu lên 2 phương Ox, Oy:

cu

u


T cos 300  Fms  mCWC

0
 N C  PC  T sin 30  0

 N C  290,5( N )

2
W

5,19(
m
/
s
)
 C

*Bài toán động học: Vì gia tốc là hằng số:

V  V0  WC t  0  5,19  3  15, 6(m / s)
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 10. Phương trình vi phân chuyển động

10.4. PT vi phân chuyển động của hệ chất điểm


.c
om

Dựa vào ngoại lực và nội lực:

Khảo sát cơ hệ có n chất điểm K. Đối với mỗi chất điểm ta phân các

ng

lực tác động lên chất điểm ấy thành 2 lực: nội lực và ngoại lực .

cơ hệ như sau:

an

i
Fk

K

cu

u

du
o

ng

 e i

 m1.a1  F1  F1
e i
 
m2 .a2  F2  F2



e i

mn .an  Fn  Fn


th

dưới dạng vector cho tồn

co

Hệ phương trình vi phân

e
Fk

Bộ mơn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 10. Phương trình vi phân chuyển động


10.4. PT vi phân chuyển động của hệ chất điểm

.c
om

Ví dụ: Cho tải A và tải B có khối lượng lần lượt là 100kg và 20kg. Tính
vận tốc của tải B tại thời điểm 2s (Bỏ qua ma sát, khối lượng của dây
và rịng rọc khơng đáng kể)

co

*Xét rịng rọc C:

ng

Giải

an

*Xét tải A:

WA

A

WB

B

ng


th



 FA  mAWA

C

du
o

 981  2T  100WA (1)

cu

u

*Xét tải B:



 FB  mB WB

 196, 2  T  mBWB (2)

Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>


Chương 10. Phương trình vi phân chuyển động

10.4. PT vi phân chuyển động của hệ chất điểm

.c
om

Ví dụ: Cho tải A và tải B có khối lượng lần lượt là 100kg và 20kg. Tính
vận tốc của tải B tại thời điểm 2s (Bỏ qua ma sát, khối lượng của dây
và rịng rọc khơng đáng kể)

ng

Giải

co

*Bài tốn động học:

th

an

Quan hệ chuyển động giữa A và B:
Lấy đạo hàm 2 lần biểu thức trên:

ng

2WA  WB (3)


cu

u

du
o

Từ (1), (2) và (3) giải được:

2 s A  sB  l

T  327( N )

WA  3, 27(m / s )
W  6,54(m / s )
 B

Tải A sẽ chuyển động tăng tốc đi xuống, tải B
chuyển động tăng tốc đi lên

VB  V0  WB t  VB  0  (6,54)(2)
 VB  13,1(m / s )
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>