Bài giảng Cơ lý thuyết: Chương 2 - TS. Đặng Hoài Trung
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.16 MB, 14 trang )
CHƯƠNG II
TS. ĐẶNG HOÀI TRUNG
BM VẬT LÝ ĐỊA CẦU, KHOA VL – VLKT, TRƯỜNG ĐH KHTN – VNU-HCM
Email:
1. TÍCH PHÂN CHUYỂN ĐỘNG – ĐỊNH LUẬT BẢO TỒN
- Tích phân chuyển động: là các hàm theo tọa độ và
vận tốc suy rộng, luôn giữ nguyên giá trị không đổi và
chỉ phụ thuộc vào điều kiện ban đầu.
- Định lý Noether: với bất kỳ một vi phân đối xứng
nào, tác dụng của một hệ vật lý tương ứng với một định
luật bảo toàn
- Yêu cầu: chứng minh mỗi bất biến của hàm Lagrange
đối với phép biến đổi đối xứng của khơng gian hoặc
thời gian đều dẫn đến một tích phân chuyển động –
định luật bảo toàn.
Amalie Emmy Noether
(23/3/1882 – 14/4/1935)
Nhà tốn học người Đức
nổi tiếng vì những đóng
góp nền tảng và đột phá
trong lĩnh vực đại số trừu
tượng và vật lý lý thuyết
2. ĐỊNH LUẬT BẢO TỒN NĂNG LƯỢNG
- Xét tính đồng nhất của thời gian – hàm Lagrange sẽ không phụ thuộc hiển
vào thời gian t.
𝑑𝐿
𝜕𝐿 𝜕𝑞𝑖
𝜕𝐿 𝜕𝑞ሶ 𝑖 𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝑑 𝜕𝐿
=
+
+
=
𝑞ሶ 𝑖 +
𝑞ሷ 𝑖 =
𝑞ሶ 𝑖
𝑑𝑡
𝜕𝑞𝑖 𝜕𝑡
𝜕𝑞ሶ 𝑖 𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑞𝑖
𝜕𝑞ሶ 𝑖
𝑑𝑡 𝜕𝑞𝑖ሶ
𝑖
𝑖
𝑖
𝑑
𝜕𝐿
𝑞ሶ 𝑖 − 𝐿 = 0
𝑑𝑡
𝜕𝑞𝑖ሶ
𝑖
Đặt là: E
𝑖
𝑖
(2.1)
- Định lý Euler về các hàm thuần nhất: nếu f (x1, x2, …, xk) là hàm thuần nhất
bậc n thì:
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑥1
+ ⋯ + 𝑥𝑘
= 𝑛𝑓
𝜕𝑥1
𝜕𝑥𝑘
- T là hàm thuần nhất bậc 2:
𝜕𝐿
𝜕𝑇
𝑞ሶ 𝑖
= 𝑞ሶ 𝑖
= 2𝑇
𝜕𝑞𝑖ሶ
𝜕𝑞𝑖ሶ
𝑖
𝑖
𝑬 = 𝑻 𝒒, 𝒒ሶ + 𝑼(𝒒ሻ
- Vậy: E là cơ năng của hệ
(2.2)
(2.1 và 2.2)
𝜕𝑳
𝑬=
𝒒ሶ 𝒊 − 𝑳 = 𝑻 𝒒, 𝒒ሶ + 𝑼(𝒒ሻ = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝑡
𝜕𝒒ሶ𝒊
𝒊
- Định luật bảo toàn cơ năng: trong cơ hệ kín năng lượng ln giữ ngun
khơng đổi trong suốt q trình chuyển động.
- Năng lượng có tính cộng được.
- Các hệ cơ học có năng lượng được bảo toàn gọi là các hệ bảo thủ.
- Hàm Lagrange cho cơ hệ kín (hoặc nằm trong trường ngồi khơng đổi):
𝑳 = 𝑻 𝒒, 𝒒ሶ − 𝑼(𝒒ሻ
3. ĐỊNH LUẬT BẢO TỒN ĐỘNG LƯỢNG
- Xét tính đồng nhất của không gian.
- Xét chuyển động vô cùng bé trên đoạn 𝜀,
Ԧ sao cho hàm Lagrange vẫn giữ
nguyên không đổi.
- Biến thiên của hàm Lagrange do sự thay đổi vơ cùng bé của tọa độ, cịn vận
tốc khơng đổi.
𝜕𝐿
𝜕𝐿
𝛿𝐿 =
𝛿 𝑟Ԧ𝑗 = 𝜀Ԧ
=0
𝜕𝑟Ԧ𝑗
𝜕𝑟Ԧ𝑗
𝑗
𝑗
𝜕𝐿
𝜕𝑈
= −
= 𝐹Ԧ𝑗 = 0
𝜕𝑟Ԧ𝑗
𝜕𝑟Ԧ𝑗
𝑗
𝑗
(3.1)
𝑗
Khơng có lực nào hoặc tổng hợp lực tác dụng lên hệ bằng 0
Phương trình Lagrange và (3.1)
𝑑 𝜕𝐿
𝑑
𝜕𝐿
=
=0
𝑑𝑡 𝜕𝑣Ԧ𝑗 𝑑𝑡
𝜕𝑣Ԧ𝑗
𝑗
𝑗
𝛛𝑳
𝒑=
= 𝒎𝒋 𝒗𝒋 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕
𝛛𝒗𝒋
𝒋
𝒋
- Định luật bảo toàn động lượng: Nếu khơng có lực nào hoặc tổng hợp các
lực tác dụng lên hệ bằng 0 (hệ kín) thì động lượng của hệ sẽ được bảo toàn.
- Đặc điểm:
+ Động lượng có tính cộng được.
+ Các thành phần riêng biệt có thể được bảo tồn cả khi có trường ngồi nếu
thế năng của trường đó khơng phụ thuộc vào một tọa độ tương ứng nào đó.
- Lưu ý: Nếu chuyển động được miêu tả bằng các tọa độ suy rộng thì:
+ Động lượng suy rộng:
𝜕𝐿
𝑝𝑖 =
𝜕𝑞ሶ 𝑖
+ Lực suy rộng:
𝜕𝐿
𝐹𝑖 =
𝜕𝑞𝑖
- Động lượng suy rộng là hàm thuần nhất tuyến tính của các vận tốc suy rộng,
khơng được quy về tích khối lượng và vận tốc.
Ví dụ: Xét một hạt khối lượng m chuyển động trong một
trường thế có dạng: V(r) = -k/r, với k là hằng số và r là khoảng
cách để tâm trường.
a) Viết phương trình Lagrange cho hạt.
b) Tìm pr và pθ như là những hàm theo r, θ, ṙ và θ.ሶ Có hàm nào
là hằng số khơng?
4. TÂM QUÁN TÍNH
- Xét hqc K’ chuyển động với vận tốc 𝑉 so với hqc K.
- Công thức cộng vận tốc:
𝑣Ԧ𝑗 = 𝑣′𝑗 + 𝑉
- Động lượng của hqc K: 𝑝Ԧ = 𝑚𝑗 𝑣Ԧ𝑗 = 𝑚𝑗 𝑣′𝑗 + 𝑉 𝑚𝑗 = 𝑝′
Ԧ + 𝑉 𝑚𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
- Chọn hqc K’ sao cho động lượng toàn phần của cơ hệ bằng 0, khi đó:
σ𝑗 𝑚𝑗 𝑣Ԧ𝑗
𝑝Ԧ
𝑉=
=
σ𝑗 𝑚𝑗
σ𝑗 𝑚𝑗
- Biểu thức trên có thể được biểu diễn như đạo hàm toàn phần theo thời gian của
biểu thức:
σ𝑗 𝑚𝑗 𝑟Ԧ𝑗
𝑅=
σ𝑗 𝑚𝑗
5. ĐỊNH LUẬT BẢO TỒN MƠMEN ĐỘNG LƯỢNG
- Xét tính đẳng hướng của không gian.
- Độ dịch chuyển dài của đầu mút vectơ:
𝛿 𝑟Ԧ = 𝑟. 𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝛿𝜑
- Do 𝛿 𝑟Ԧ vng góc với mặt phẳng chứa 𝑟Ԧ và 𝛿𝜑:
𝛿 𝑟Ԧ = 𝛿𝜑 × 𝑟Ԧ
- Tương tự:
𝛿 𝑣Ԧ = 𝛿𝜑 × 𝑣Ԧ
𝜕𝐿
𝜕𝐿
- Lấy biến phân của hàm Lagrange: 𝛿𝐿 =
𝛿 𝑟Ԧ𝑗 +
𝛿 𝑣Ԧ𝑗 = 0
𝜕𝑟Ԧ𝑗
𝜕𝑣Ԧ𝑗
𝑗
𝑝Ԧሶ𝑗
𝑝Ԧ𝑗
𝛿𝐿 = 𝑝Ԧሶ𝑗 𝛿𝜑 × 𝑟Ԧ + 𝑝Ԧ𝑗 𝛿𝜑 × 𝑣Ԧ
𝑗
=0
𝑑
𝑟Ԧ × 𝑝Ԧ𝑗 = 0
𝑑𝑡
𝑗
𝐿 = 𝑟Ԧ × 𝑝Ԧ𝑗 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑗
- Định luật bảo tồn mơmen động lượng: đối với một cơ hệ kín, mơmen động
lượng sẽ được giữ ngun khơng đổi trong suốt q trình chuyển động.
- Tính chất:
+ Tính bất định: giá trị của mơmen động lượng phụ thuộc vào việc lựa chọn
gốc tọa độ.
+ Tính cộng được: mơmen động lượng của cơ hệ bằng tổng mômen động
lượng của các chất điểm.
Bài tập: Biểu diễn các thành phần theo hệ tọa độ Descartes
(Cartesian) của mômen động lượng của hạt chuyển động trong hệ
tọa độ trụ.
Đáp án
𝐿𝑥 = 𝑚(𝑦𝑣𝑧 − 𝑧𝑣𝑦 ሻ = 𝑚 𝑟𝑧ሶ − 𝑧𝑟ሶ 𝑠𝑖𝑛𝜑 − 𝑚𝑟𝑧𝑐𝑜𝑠𝜑𝜑ሶ
𝐿𝑦 = 𝑚 𝑧𝑣𝑥 − 𝑥𝑣𝑧 = −𝑚 𝑟𝑧ሶ − 𝑧𝑟ሶ 𝑐𝑜𝑠𝜑 − 𝑚𝑟𝑧𝑠𝑖𝑛𝜑𝜑ሶ
𝐿𝑧 = 𝑚(𝑥𝑣𝑦 − 𝑦𝑣𝑥 ሻ = 𝑚𝑟 2 𝜑ሶ
𝐿2 = 𝑚2 𝑟 2 𝜑ሶ 2 𝑟 2 + 𝑧 2 + 𝑚2 𝑟𝑧ሶ − 𝑧𝑟ሶ
2
