Bài giảng Cơ lý thuyết: Chương 1 - TS. Đặng Hoài Trung
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.14 MB, 24 trang )
chọn
được hàm đúng y(x) khi cho α = 0.
▪ Y(x) cũng đi qua VT 1 và 2 nên: η(x1) = η(x2) = 0
𝑥2
𝑥2
𝑆 𝛼 = න 𝑓 𝑌 𝑥 , 𝑌 ′ 𝑥 , 𝑥 𝑑𝑥 = න 𝑓 𝑦 + 𝛼𝜂, 𝑦 ′ + 𝛼𝜂′ , 𝑥 𝑑𝑥
𝑥1
𝑥1
𝜕𝑓 𝑑 𝜕𝑓
−
=0
′
𝜕𝑦 𝑑𝑥 𝜕𝑦
Phương trình Euler – Lagrange
với, x được gọi là biến độc lập, y là biến phụ thuộc
* Xét lại ví dụ 1:
CM được
′
𝑓 𝑦, 𝑦 , 𝑥 = 1 + 𝑦
′2
1Τ2
𝑦 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Bài tập về nhà: Tìm đường đi với thời gian ngắn
nhất của một hạt từ vị trí 1 sang 2 chỉ chịu tác dụng
của trọng lực.
Hướng dẫn: Gọi quỹ đạo có dạng x = x(y), hạt chuyển
động chỉ chịu tác dụng của trọng lực: 𝑣 =
2𝑔𝑦
đường thẳng
❖ Tổng qt hóa phương trình Euler – Lagrange đối với số biến phụ thuộc bất
kì. Trong cơ học Lagrange, biến độc lập là thời gian t, biến phụ thuộc là các
tọa độ suy rộng q1, q2, …, qs.
❖ Tích phân S phía trên, biểu diễn dạng quỹ đạo của một hệ cơ học được gọi
là tác dụng (the action integral). Hàm dưới dấu tích phân phụ thuộc vào các
tọa độ suy rộng và vận tốc suy rộng L(q, q,ሶ t) được gọi là hàm Lagrange.
❖ Nguyên lý Hamilton (nguyên lý biến phân): Một hệ cơ học chuyển động
giữa hai điểm 1 và 2 trong một khoảng thời gian cho trước từ t1 đến t2 sẽ có quỹ
đạo sao cho tác dụng:
𝑡2
𝑆 = න 𝐿(𝑞, 𝑞,ሶ 𝑡ሻ𝑑𝑡
𝑡1
sẽ có giá trị cực trị (nhưng không bao giờ là cực đại).
Sử dụng phương trình Euler – Lagrange, ta dẫn ra các phương trình Lagrange:
𝑑 𝜕𝐿
𝜕𝐿
−
=0
𝑑𝑡 𝜕𝑞ሶ 𝑖 𝜕𝑞𝑖
Hàm Lagrange:
𝐿 = 𝑇 𝑞, 𝑞,ሶ 𝑡 − 𝑈(𝑞, 𝑡ሻ
𝑠
1
+ T là động năng của cơ hệ: 𝑇 = 𝐴𝑖𝑘 (𝑞ሻ𝑞ሶ 𝑖 𝑞ሶ 𝑗
2
𝑖,𝑗
+ U là thế năng của cơ hệ:
U = U (q1, q2, …, qs, t)
(i = 1, 2, 3, …s)
Tính chất của hàm Lagrange:
❖ Tính cộng được: cơ hệ gồm hai phần kín A và B, khơng tương tác với nhau,
khi đó hàm Lagrange của hệ sẽ tiến tới: limL = LA + LB
Ý nghĩa: phương trình chuyển động của mỗi phần không tương tác với nhau
không thể chứa các đại lượng thuộc về các phần khác của hệ.
❖ Tính bất định: có thể nhân đồng thời các hàm Lagrange của tất cả các hệ với
cùng một hằng số như nhau.
Ý nghĩa: Có thể tùy ý tự nhiên trong việc lựa chọn đơn vị đo các đại lượng vật lý.
❖ Tính khơng đơn trị: hàm Lagrange chỉ được xác định với độ chính xác tới
một sự phụ thêm vào nó một đạo hàm tồn phần của một hàm bất kỳ theo các
tọa độ và thời gian.
4. NGUYÊN LÝ TƯƠNG ĐỐI GALILEE
✓ Hệ quy chiếu quán tính: là hệ quy chiếu có khơng gian đồng nhất và đẳng
hướng, thời gian đồng nhất.
✓ Xét tính đồng nhất của không gian và thời gian: Hàm L sẽ không chứa dưới
dạng hiển vectơ tọa độ Ԧr và thời gian t, nghĩa là nó chỉ là hàm của vận tốc v.
✓ Xét tính đẳng hướng của khơng gian: L sẽ khơng thể phụ thuộc vào vectơ v,
nghĩa là nó chỉ có thể phụ thuộc vào bình phương vận tốc v2.
𝐿 = 𝐿 𝑣2
𝑣Ԧ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
✓ Nguyên lý tương đối Galilee: Tất cả các định luật của tự nhiên sẽ có dạng
như nhau trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính.
VD1: Hai vật khối lượng m1 và m2 (m1 > m2) được treo bởi sợi
dây không dãn, vắt qua một rịng rọc khối lượng khơng đáng kể.
Viết các hàm Lagrange, sử dụng y làm tọa độ suy rộng, từ đó xác
định phương trình chuyển động Lagrange. So sánh kết quả tìm
được với phương pháp động lực học của Newton.
VD2: Cho một hạt khối lượng m chuyển động trong một mặt phẳng dưới tác
động của lực hướng tâm có dạng (với các hằng số a, b > 0):
𝑎
𝑏
𝐹 𝑟 =− 2+ 3
𝑟
𝑟
a) Sử dụng hệ tọa độ cực, hãy viết hàm Lagrange của hạt này.
b) Viết các phương trình Lagrange cho hạt này và tìm ít nhất một tích phân
chuyển động.
VD3: Xét một hạt khối lượng m được giữ cho
chuyển động khơng ma sát trên một hình trụ trịn
bán kính R. Vật m chịu tác dụng của lực có dạng
F = −kr𝑒Ԧ𝑟 , với k là hằng số dương, r là khoảng
cách từ vật đến gốc tọa độ và vectơ đơn vị 𝑒Ԧ𝑟 luôn
hướng ra khỏi gốc tọa độ. Sử dụng các tọa độ suy
rộng z và θ trong hệ tọa độ trụ (x = Rcosθ; y =
Rsinθ; z = z) để xác định hàm Lagrange và phương
trình Lagrange của vật.
